段考詳解範圍：第三冊 2-2～3-1（對數與對數函數、平面向量）

南山高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 南山高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 南山高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 I（本頁第 17 題）最難：要看出相鄰兩項差 2，連乘會一項一項消去，再找使首項為正整數的最大項數。多選第 6、7、8 題也容易失分：第 6 題的選項 (3) 兩個圖形的定義域不同，第 7 題要把三個對數倒過來用以 3 為底比較，第 8 題的選項 (5) 要想到兩向量夾鈍角時和向量反而比較短。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 3 題（每題 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯多於 2 個選項該題不給分，共 15 分）、選填題 9 題（每題 5 分，共 45 分）、混合素養題 1 題組 3 小題（4 分、5 分、6 分，共 15 分）。選填 A～I 即本頁第 9～17 題，混合素養題第 1～3 小題即第 18～20 題。第 20 題學校的給分：列出兩顆星的關係式 1 分、兩式相減 1 分、代入數字 2 分、算出答案 2 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單選題（每題5分，共25分）

△ A B C

的面積為

7

，

A P = x A B + y A C

，

2 \leq x \leq 4

，

3 \leq y \leq 5

，所有可能的

P

點形成的區域面積為何？

(1) $14$
(2) $28$
(3) $42$
(4) $56$
(5) $84$

已知

a = lo g_{2} 5

，

b = lo g_{5} 7

，下列何者可以表示

lo g_{2} 70

？

(1) $10 a$
(2) $6 b$
(3) $6 ab$
(4) $b + ab$
(5) $1 + a + ab$

設

x

，

y

為實數，且知

lo g x = 5.6

，

lo g y = 2.8

，試求

lo g (x + 9 y^{2})

的值。

(1) $5.6$
(2) $5.8$
(3) $6.6$
(4) $11.2$
(5) $56$

滿足

(lo g x^{2} - 1) (lo g x^{2} - 2) (lo g x^{2}) \leq 0

的整數解有多少個？

(1) $8$
(2) $9$
(3) $12$
(4) $16$
(5) $17$

方程式

3^{2 x + 2} = 9 9^{x}

的解為何？

(1) $\frac{2 l o g 3}{l o g 11}$
(2) $\frac{l o g 99}{l o g 3}$
(3) $\frac{2 l o g 99}{l o g 3}$
(4) $\frac{l o g 33}{l o g 11}$
(5) $\frac{l o g 99}{l o g 11}$

二、多選題（每題5分，錯1個選項得3分，錯2個選項得1分，錯多於2個選項該題不給分，共15分）

設

a > 0

，

a \neq = 1

，下列敘述哪些正確？

(1) $y = - lo g_{a} x$ 的圖形與 $y = lo g_{\frac{1}{a}} x$ 的圖形相同
(2) $y = lo g_{a} ∣ x ∣$ 的圖形與直線 $x = h$ （ $h \neq = 0$ ）一定相交
(3) $y = 2 lo g_{a} x$ 的圖形與 $y = lo g_{a} x^{2}$ 的圖形相同
(4) $y = lo g_{a} x$ 的圖形與 $y = lo g_{\frac{1}{a}} (- x)$ 的圖形對稱於原點
(5) $y = lo g_{a} x$ 的圖形與 $y = a^{x}$ 的圖形對稱於直線 $x - y = 0$

a = lo g_{10} 3

，

b = lo g_{12} 3

，

c = lo g_{14} 3

，下列哪些為正確選項？

(1) $a > b > c$
(2) $a + c = 2 b$
(3) $b < \frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} < \frac{2}{b}$
(5) $b^{2} < a c$

平面上兩非零且不平行向量

a

，

b

，則下列哪些敘述為正確？

(1) 任何一個向量必能由 $a$ ， $b$ 線性組合而成
(2) 若 $c = x a + y b$ ，則 $(x, y)$ 的答案只會有唯一一組
(3) $a$ 和 $b$ 的長度總和大於 $a + b$ 的長度
(4) $a // b$ 表示 $a$ ， $b$ 的方向相同
(5) $a + b$ 的長度比 $a - b$ 的長度長

三、選填題（每題5分，共45分）答案中的分數需化為最簡分數，否則不予計分。

lo g_{3} x + lo g_{3} (x - 6) = 3

的解為

x =

____。

方程式

lo g_{3} (lo g_{2} x) = 2

的解為

x =

____。

lo g_{2} 48 - lo g_{4} 9 + lo g_{\frac{1}{3}} 9 + lo g_{9} 27 =

____。

在坐標平面上的

△ A B C

中，

P

為

\overline{B C}

邊之中點，

Q

在

\overline{A C}

邊上且

\overline{A Q} = 2 \overline{QC}

。已知

A B = (7, 18)

，

A C = (9, - 6)

，則

P Q =

____。

已知

P

為

△ O A B

內一點且

O P = \frac{1}{5} O A + \frac{3}{7} O B

，若直線

O P

與直線

A B

交於

C

，

O C = k O P

，

k =

____。

a = (3, - 4)

，

b = (4, 2)

，

c = (- 1, - 28)

，

c

可表示成

a

，

b

的線性組合

x a + y b

，則

(x, y) =

____。

a = (1, - 3)

，

b = (- 2, 4)

，

t

為實數，求

a + t b

的最小值為 ____。

若

x lo g_{2} 3 = 2

，則

3^{x} + 3^{- x}

之值為 ____。

⟨ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} ⟩

為公差為

2

的正整數等差數列並滿足

lo g 2 + lo g (1 + \frac{2}{a _{1}}) + lo g (1 + \frac{2}{a _{2}}) + \dots + lo g (1 + \frac{2}{a _{n}}) = lo g n

此數列最多有

k

項，則

k

的值為 ____。

四、混合素養題（共15分）答案中的分數需化為最簡分數，否則不予計分。

混合素養題（第 18～20 題為題組）（第 18～20 題）　晴朗無光害的夜空中，我們仰頭會看見許多星星，有些較亮有些較暗，事實上因為距離遠近的關係，星星真正的發光強度（絕對星等

M

）與我們在地球上觀測到的亮度（視星等

m

）並不相同，科學家在兩者間建立了以下公式：

m = M + 5 lo g d - 7.5365

其中

d

為所觀測恆星與地球的距離（單位：光年），以給定的資訊計算並回答下列問題（

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 7 = 0.8451

）

1. 若A與B兩顆星星的視星等相同，A星到地球的距離比B星到地球的距離遠，則兩星的絕對星等大小為（單選 4分）

(1) $A > B$
(2) $A < B$
(3) $A = B$
(4) 無法比較

2. 根據星表可知織女星與地球的距離約為

25

光年，絕對星等為

0.58

，織女星的視星等最接近下列哪個選項？（單選 5分）

(1) $- 2.33$
(2) $- 0.23$
(3) $0.23$
(4) $0.033$
(5) $1.23$

3. 若兩顆星星A，B的比較中，A星視星等比B星的視星等多了

3

，B星絕對星等比A星的絕對星等多了

2

，則A星與地球的距離為B星與地球的距離幾倍？（計算 6分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(2)(4)(5)

第 7 題(1)(3)(4)(5)

第 8 題(1)(2)(3)

第 9 題

9

第 10 題

512

第 11 題

\frac{7}{2}

第 12 題

(- 2, - 10)

第 13 題

\frac{35}{22}

第 14 題

(5, - 4)

第 15 題

\frac{5}{5}

第 16 題

\frac{17}{4}

第 17 題

10

第 18 題(2)

第 19 題(4)

第 20 題

10

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題 1～5

第 1 題

答案 (4)。

① 以 $A B$ 、 $A C$ 為兩邊的平行四邊形，面積是 $△ A B C$ 的 $2$ 倍，即 $14$ 。

② $x$ 從 $2$ 變到 $4$ ，範圍長度 $2$ ； $y$ 從 $3$ 變到 $5$ ，範圍長度 $2$ 。

③ $P$ 點形成以 $2 A B$ 、 $2 A C$ 為兩邊的平行四邊形（下圖鋪色部分），面積

$2 \times 2 \times 14 = 56$

所以選 (4)。

載入中...

區域的位置不影響面積，只看

x

、

y

範圍的長度：面積＝（

x

的範圍長）×（

y

的範圍長）×（以

A B

、

A C

為兩邊的平行四邊形面積）。

第 2 題

答案 (5)。

① 把 $70$ 拆成 $2 \times 5 \times 7$ ：

$lo g_{2} 70 = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 5 + lo g_{2} 7 = 1 + a + lo g_{2} 7$

② 由換底公式， $lo g_{2} 7 = lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 7 = ab$ 。

③ 所以 $lo g_{2} 70 = 1 + a + ab$ ，選 (5)。

第 3 題

答案 (3)。

① $lo g y^{2} = 2 lo g y = 5.6 = lo g x$ ，所以 $y^{2} = x$ 。

② $x + 9 y^{2} = x + 9 x = 10 x$ 。

③ $lo g (10 x) = 1 + lo g x = 1 + 5.6 = 6.6$ ，選 (3)。

第 4 題

答案 (4)。

① 真數 $x^{2} > 0$ ，所以 $x \neq = 0$ 。設 $t = lo g x^{2}$ ，不等式變成 $t (t - 1) (t - 2) \leq 0$ 。

② 三次式的根為 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ，解得 $t \leq 0$ 或 $1 \leq t \leq 2$ 。

③ $t \leq 0$ ： $0 < x^{2} \leq 1$ ，整數只有 $x = \pm 1$ ，共 $2$ 個。

④ $1 \leq t \leq 2$ ： $10 \leq x^{2} \leq 100$ ，整數 $x = \pm 4, \pm 5, \dots, \pm 10$ ，共 $14$ 個。

⑤ 整數解共 $2 + 14 = 16$ 個，選 (4)。

載入中...

x = \pm 1

時

lo g x^{2} = 0

，乘積為

0

，符合「

\leq 0

」；

x = \pm 3

時

x^{2} = 9 < 10

，

lo g 9

介於

0

與

1

之間，乘積為正，不合。

第 5 題

答案 (1)。

① 兩邊取常用對數：

$(2 x + 2) lo g 3 = x lo g 99$

② $lo g 99 = lo g 9 + lo g 11 = 2 lo g 3 + lo g 11$ ，代入得

$2 x lo g 3 + 2 lo g 3 = 2 x lo g 3 + x lo g 11$

③ 兩邊消去 $2 x lo g 3$ ，得 $x lo g 11 = 2 lo g 3$ ， $x = \frac{2 l o g 3}{l o g 11}$ ，選 (1)。

對數題先看真數能不能拆成已知數的乘積；不等式中的

lo g x^{2}

先換成一個字母，解完再換回

x

，別忘了

x \neq = 0

。

02多選題 6～8

第 6 題

答案 (1)(2)(4)(5)。下圖以 $a = 2$ 為例，分成三格：上格對應 (1)(4)，左下格對應 (3)，右下格對應 (5)。

(1) 正確。 由換底公式 $lo g_{\frac{1}{a}} x = \frac{l o g x}{l o g \frac{1}{a}} = \frac{l o g x}{- l o g a} = - lo g_{a} x$ ，兩個函數完全相同。

(2) 正確。 $y = lo g_{a} ∣ x ∣$ 的定義域是 $x \neq = 0$ ； $h \neq = 0$ 時點 $(h, lo g_{a} ∣ h ∣)$ 在圖形上，也在直線 $x = h$ 上。

(3) 錯誤。 $y = lo g_{a} x^{2}$ 的定義域是 $x \neq = 0$ ，有左右兩支； $y = 2 lo g_{a} x$ 只在 $x > 0$ 有定義。例如 $x = - 1$ 時前者有值、後者沒有。

下圖左下格：灰色是 $y = lo g_{2} x^{2}$ ，左右兩支；主色是 $y = 2 lo g_{2} x$ ，只有右邊一支，和灰色的右支重合。

(4) 正確。 $lo g_{\frac{1}{a}} (- x) = - lo g_{a} (- x)$ 。若 $(p, q)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上，即 $q = lo g_{a} p$ ，則 $x = - p$ 代入得 $- lo g_{a} p = - q$ ，點 $(- p, - q)$ 在第二個圖形上，兩圖形對稱於原點（下圖上格的點 $(4, 2)$ 與 $(- 4, - 2)$ ）。

(5) 正確。 $x - y = 0$ 就是直線 $y = x$ ； $y = lo g_{a} x$ 與 $y = a^{x}$ 互為反函數，圖形對稱於 $y = x$ 。

下圖右下格： $y = lo g_{2} x$ 上的點 $(1, 0)$ 對直線 $y = x$ 的對稱點是 $(0, 1)$ ，正好在 $y = 2^{x}$ 上。

載入中...

(3) 的兩個式子在

x > 0

時相等，差別只在定義域；化簡對數式時要先看真數的範圍。

第 7 題

答案 (1)(3)(4)(5)。

由換底公式，三數的倒數都以 $3$ 為底：

$\frac{1}{a} = lo g_{3} 10, \frac{1}{b} = lo g_{3} 12, \frac{1}{c} = lo g_{3} 14$

$y = lo g_{3} x$ 遞增，所以 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ 。

(1) 正確。 倒數越大，原數越小， $a > b > c$ 。

(2) 錯誤。 記 $u = \frac{1}{a}$ 、 $v = \frac{1}{b}$ 、 $w = \frac{1}{c}$ ，則 $a + c = \frac{u + w}{u w}$ ， $2 b = \frac{2}{v}$ 。由 (4) 得 $v > \frac{u + w}{2}$ ，再由算幾不等式 $u w \leq (\frac{u + w}{2})^{2}$ ：

$v (u + w) > \frac{( u + w ) ^{2}}{2} \geq 2 u w$

所以 $\frac{u + w}{u w} > \frac{2}{v}$ ，即 $a + c > 2 b$ ，不會相等。

(3) 正確。 $b < \frac{1}{2}$ 等價於 $\frac{1}{b} = lo g_{3} 12 > 2 = lo g_{3} 9$ ，而 $12 > 9$ ，成立。

(4) 正確。 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = lo g_{3} 140$ ， $\frac{2}{b} = lo g_{3} 144$ ， $140 < 144$ ，所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} < \frac{2}{b}$ 。

(5) 正確。 $b^{2} < a c$ 等價於 $\frac{1}{b ^{2}} > \frac{1}{a c}$ ，即 $(lo g_{3} 12)^{2} > lo g_{3} 10 \cdot lo g_{3} 14$ 。由算幾不等式

$lo g_{3} 10 \cdot lo g_{3} 14 \leq (\frac{lo g _{3} 140}{2})^{2} < (\frac{lo g _{3} 144}{2})^{2} = (lo g_{3} 12)^{2}$

所以成立。

載入中...

下圖是示意（彎曲程度放大）：

y = lo g_{3} x

的圖形往下彎，

x = 10

與

x = 14

兩點連線的中點，比曲線在

x = 12

的點低，這就是 (4) 的意思。

第 8 題

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 兩個非零且不平行的向量，可以把平面上任何向量寫成它們的線性組合。

(2) 正確。 若 $x a + y b = x^{'} a + y^{'} b$ ，則 $(x - x^{'}) a = (y^{'} - y) b$ ； $a$ 、 $b$ 不平行，只能 $x = x^{'}$ 、 $y = y^{'}$ ，所以唯一。

(3) 正確。 $a$ 、 $b$ 不平行，以它們為兩邊作平行四邊形， $a$ 、 $b$ 、 $a + b$ 圍成一個三角形；三角形兩邊和大於第三邊，所以 $∣ a ∣ + b > a + b$ 。

(4) 錯誤。 $a // b$ 表示兩向量方向相同或相反，不一定相同。

(5) 錯誤。 反例： $a = (1, 0)$ ， $b = (- 1, 1)$ ， $a + b = (0, 1)$ 長度 $1$ ， $a - b = (2, - 1)$ 長度 $5$ ，和向量反而比較短。

載入中...

由下圖看：

a + b

與

a - b

是平行四邊形的兩條對角線；兩向量夾鈍角時，

a + b

是較短的那條，夾銳角時才較長。

同真數不同底數的對數，倒過來換成同一個底數就能比較；兩個不平行的向量是平面的「座標系」，任何向量都能唯一寫成它們的線性組合。

03選填題 A～E（第 9～13 題）

第 9 題

答案 $9$ 。

① 真數條件： $x > 0$ 且 $x - 6 > 0$ ，所以 $x > 6$ 。

② 合併左邊： $lo g_{3} x (x - 6) = 3$ ，得 $x (x - 6) = 27$ 。

③ $x^{2} - 6 x - 27 = 0$ ， $(x - 9) (x + 3) = 0$ ， $x = 9$ 或 $x = - 3$ 。

④ 只有 $x = 9$ 符合 $x > 6$ 。

第 10 題

答案 $512$ 。

① 由對數的定義， $lo g_{2} x = 3^{2} = 9$ 。

② 再由定義， $x = 2^{9} = 512$ 。

第 11 題

答案 $\frac{7}{2}$ 。逐項化簡：

① $lo g_{2} 48 = lo g_{2} 16 + lo g_{2} 3 = 4 + lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3$ 。

③ $lo g_{\frac{1}{3}} 9 = lo g_{3^{- 1}} 3^{2} = - 2$ 。

④ $lo g_{9} 27 = lo g_{3^{2}} 3^{3} = \frac{3}{2}$ 。

⑤ 相加： $(4 + lo g_{2} 3) - lo g_{2} 3 + (- 2) + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$ 。

第 12 題

答案 $(- 2, - 10)$ 。

① $P$ 為 $\overline{B C}$ 中點： $A P = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ 。

② $\overline{A Q} = 2 \overline{QC}$ ， $Q$ 在 $\overline{A C}$ 上： $A Q = \frac{2}{3} A C$ 。

③ 相減：

$P Q = A Q - A P = - \frac{1}{2} A B + \frac{1}{6} A C$

④ 代入坐標： $- \frac{1}{2} (7, 18) + \frac{1}{6} (9, - 6) = (- \frac{7}{2} + \frac{3}{2}, - 9 - 1) = (- 2, - 10)$ 。

載入中...

第 13 題

答案 $\frac{35}{22}$ 。

① $O C = k O P = \frac{k}{5} O A + \frac{3 k}{7} O B$ 。

② $C$ 在直線 $A B$ 上，所以 $O A$ 、 $O B$ 的係數和為 $1$ ：

$\frac{k}{5} + \frac{3 k}{7} = 1 \Rightarrow \frac{22 k}{35} = 1$

③ $k = \frac{35}{22}$ 。

載入中...

k > 1

，表示

C

在

O P

延長出去的地方，與

P

在三角形內部相符。

對數方程式先寫真數條件；用向量處理中點、分點，先把所求向量寫成兩個基本向量的組合再代坐標。

04選填題 F～I（第 14～17 題）

第 14 題

答案 $(5, - 4)$ 。

① $x (3, - 4) + y (4, 2) = (- 1, - 28)$ ，得聯立方程式

$3 x + 4 y = - 1, - 4 x + 2 y = - 28$

② 第二式乘 $2$ ： $- 8 x + 4 y = - 56$ ，與第一式相減得 $11 x = 55$ ， $x = 5$ 。

③ 代回第一式： $15 + 4 y = - 1$ ， $y = - 4$ 。

載入中...

驗算：

5 (3, - 4) - 4 (4, 2) = (15 - 16, - 20 - 8) = (- 1, - 28)

。

第 15 題

答案 $\frac{5}{5}$ 。

① $a + t b = (1 - 2 t, - 3 + 4 t)$ 。

② 長度的平方：

$a + t b^{2} = (1 - 2 t)^{2} + (4 t - 3)^{2} = 20 t^{2} - 28 t + 10$

③ 配方： $20 t^{2} - 28 t + 10 = 20 (t - \frac{7}{10})^{2} + \frac{1}{5}$ 。

④ $t = \frac{7}{10}$ 時平方有最小值 $\frac{1}{5}$ ，所以長度的最小值是 $\frac{1}{5} = \frac{5}{5}$ 。

載入中...

幾何意義：

a + t b

的終點畫出一條通過

(1, - 3)

、方向為

b

的直線

y = - 2 x - 1

，所求就是原點到這條直線的距離

\frac{∣1∣}{5} = \frac{5}{5}

，最近的點

H (- \frac{2}{5}, - \frac{1}{5})

。

第 16 題

答案 $\frac{17}{4}$ 。

① $x lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3^{x} = 2$ ，所以 $3^{x} = 2^{2} = 4$ 。

② $3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}} = \frac{1}{4}$ 。

③ $3^{x} + 3^{- x} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$ 。

第 17 題

答案 $10$ 。

① 左邊合併成一個對數，得

$2 (1 + \frac{2}{a _{1}}) (1 + \frac{2}{a _{2}}) \dots (1 + \frac{2}{a _{n}}) = n$

② 公差為 $2$ ， $a_{k} + 2 = a_{k + 1}$ ，所以 $1 + \frac{2}{a _{k}} = \frac{a _{k} + 2}{a _{k}} = \frac{a _{k + 1}}{a _{k}}$ 。

③ 連乘時前後相消：

$\frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot \frac{a _{3}}{a _{2}} \dots \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{a _{n + 1}}{a _{1}} = \frac{a _{1} + 2 n}{a _{1}}$

④ 代回： $\frac{2 ( a _{1} + 2 n )}{a _{1}} = n$ ，整理得 $a_{1} (n - 2) = 4 n$ 。

⑤ $n = 1$ 、 $2$ 不合（ $n = 2$ 時左邊為 $0$ 、右邊為 $8$ ； $n = 1$ 時 $a_{1} = - 4$ 不是正整數），所以 $n > 2$ ，

$a_{1} = \frac{4 n}{n - 2} = 4 + \frac{8}{n - 2}$

⑥ $a_{1}$ 是正整數， $n - 2$ 要是 $8$ 的正因數： $n - 2 = 1, 2, 4, 8$ ， $n = 3, 4, 6, 10$ 。最多 $10$ 項， $k = 10$ 。

驗算

n = 10

：

a_{1} = 5

，數列

5, 7, \dots, 23

，

2 \times \frac{25}{5} = 10

，符合。

a + t b

的最小值，先寫成

t

的二次式配方；一串對數相加先合併成連乘，再找能前後相消的形式。

05混合素養題 1～3（第 18～20 題）

第 18 題

答案 (2)。

① 由公式， $M = m - 5 lo g d + 7.5365$ 。

② 兩星的 $m$ 相同， $d_{A} > d_{B}$ ；常用對數遞增， $lo g d_{A} > lo g d_{B}$ 。

③ 減去的 $5 lo g d$ 較大，所以 $M_{A} < M_{B}$ ，選 (2)。

第 19 題

答案 (4)。

① $lo g 25 = lo g \frac{100}{4} = 2 - 2 lo g 2 = 2 - 0.602 = 1.398$ 。

② 代入公式：

$m = 0.58 + 5 \times 1.398 - 7.5365 = 0.58 + 6.99 - 7.5365 = 0.0335$

③ 最接近 $0.033$ ，選 (4)。

第 20 題

答案 $10$ 倍。

① 設 A、B 的視星等、絕對星等、距離分別為 $m_{1}, M_{1}, d_{1}$ 與 $m_{2}, M_{2}, d_{2}$ ：

$m_{1} = M_{1} + 5 lo g d_{1} - 7.5365, m_{2} = M_{2} + 5 lo g d_{2} - 7.5365$

② 兩式相減： $m_{1} - m_{2} = (M_{1} - M_{2}) + 5 lo g \frac{d _{1}}{d _{2}}$ 。

③ 代入 $m_{1} - m_{2} = 3$ 、 $M_{1} - M_{2} = - 2$ ： $3 = - 2 + 5 lo g \frac{d _{1}}{d _{2}}$ 。

④ $lo g \frac{d _{1}}{d _{2}} = 1$ ，所以 $\frac{d _{1}}{d _{2}} = 10$ ，A 星的距離是 B 星的 $10$ 倍。

公式中有不需要的常數時，把兩顆星的式子相減，常數就消掉，只剩距離比的對數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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選填 I（本頁第 17 題）最難：要看出相鄰兩項差 2，連乘會一項一項消去，再找使首項為正整數的最大項數。多選第 6、7、8 題也容易失分：第 6 題的選項 (3) 兩個圖形的定義域不同，第 7 題要把三個對數倒過來用以 3 為底比較，第 8 題的選項 (5) 要想到兩向量夾鈍角時和向量反而比較短。

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