明倫高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (C)。可微分一定連續。$f(1)=a+b$，左極限 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$，所以 $a+b=1$。

左導數：$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{(1+h{)}^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }(2+h)=2$。

右導數：$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{a(1+h)+b-(a+b)}{h}=a$。

兩者相等，$a=2$（此時 $b=-1$）。

答案 (B)。由乘積的微分與 ${\left[(2x+2{)}^2\right]}^{\prime }=2(2x+2)\cdot 2$：

$$f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3(2x+2{)}^2+4(x-1{)}^4(2x+2)$$

提出 $(x-1{)}^3(2x+2)$：

$$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^3(2x+2)\left[4(2x+2)+4(x-1)\right]=(x-1{)}^3(2x+2)(12x+4)$$

所以 (B) 正確。(A) 第二項的係數應為 $4$ 不是 $2$（漏乘內層 $2x+2$ 的導數 $2$）。(C) $f^{\prime }(1)=0$。(D) $f^{\prime }(0)=(-1{)}^3\cdot 2\cdot 4=-8$。

答案 (E)。$f^{\prime }(0)$ 存在，函數在 $x=0$ 一定要有定義、連續，而且圖形在那裡平滑、沒有尖點。

(A) 在原點是尖點（左邊斜率為負、右邊為正），左右導數不相等，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

(B) 圖形在 $y$ 軸上是空心點，$f(0)$ 沒有定義，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

(C) 在 $x=0$ 左右兩段的高度不同，函數不連續，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

(D) 曲線在 $y$ 軸上是空心點，$f(0)$ 是上方的實心點，函數在 $x=0$ 不連續，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

(E) 是水平直線（常數函數），實心點就在線上，$f^{\prime }(0)=0$ 存在。

答案 (C)。$y^{\prime }=3a{x}^2+p$。因為 $a<0$、$p<0$，對所有實數 $x$ 都有 $3a{x}^2\le 0$，所以 $y^{\prime }=3a{x}^2+p<0$，函數處處遞減，沒有極大值與極小值。又 $x=0$ 時 $y=0$，圖形通過原點。

(A) 處處遞增，(B)(D) 各有一個極大點與一個極小點，都不合；處處遞減且通過原點的是 (C)。

答案 (B)。在 $x=2$ 附近 $x>0$，$f(x)=|x|=x$，所以

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(2+h)-2}{h}=1$$

答案 (B)。題目只說 $f$ 是函數，沒有說是多項式，也沒有說 $f(2)$ 是多少、$f$ 在 $2$ 或 $3$ 連續。

(B) 正確：

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}\cdot (x-2)=5\times 0=0$$

(C) 錯誤：$\frac{f(x)}{(x-2{)}^2}=\frac{f(x)}{x-2}\cdot \frac{1}{x-2}$，前一個因子趨近 $5$，後一個的絕對值越來越大，極限不存在，不是 $0$。

(A)(D)(E) 都不一定成立。反例：令 $f(x)=5(x-2)$（$x\ne 2$ 且 $x\ne 3$），另外規定 $f(2)=1$、$f(3)=0$。這個 $f$ 滿足題目的極限式。

(A) 若 $f(x)=(x-2)g(x)$ 且 $g$ 是多項式，代 $x=2$ 會得 $f(2)=0$，但反例的 $f(2)=1$，所以 (A) 不一定成立。

(D) 反例中 $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=\frac{5}{1}=5$，但 $f(3)=0$。

(E) 反例的 $f$ 在 $x=2$ 不連續（極限是 $0$、函數值是 $1$），所以不可微分，$f^{\prime }(2)$ 不存在。

答案 (E)。$f^{\prime }(x)=3x^2+6x+k$。三次函數沒有極值，就是 $f^{\prime }(x)$ 不會由正變負或由負變正，也就是開口向上的二次式 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恆成立，判別式

$$36-12k\le 0\Rightarrow k\ge 3$$

$k>3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$ 恆成立；$k=3$ 時 $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2$，只在 $x=-1$ 等於 $0$，兩側都是正的，$x=-1$ 不是極值點，$f$ 仍然沒有極值。所以完整的範圍是 $k\ge 3$。選項中只有 (E) $k>3$ 範圍內的 $k$ 全都使 $f$ 沒有極值（其餘選項都含有讓 $f$ 有極值的 $k$，例如 $k=0$），故選 (E)。

答案 (E)。先看連續：$g(1)=3-2=1$，左極限

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(2x^3-2x)=2-2=0\ne 1$$

$g$ 在 $x=1$ 不連續，所以不可微分，導數不存在。

答案 (B)。$f^{\prime }(x)=(x+3)(x-2)$：$x\le -3$ 時 $f^{\prime }(x)\ge 0$，$f$ 遞增；$-3\le x\le 2$ 時 $f^{\prime }(x)\le 0$，$f$ 遞減；$x\ge 2$ 時 $f^{\prime }(x)\ge 0$，$f$ 遞增。

(A) 對：$f$ 在 $[-4,-3]$ 遞增，$f(-4)<f(-3)$。

(B) 非：$f$ 在 $[0,2]$ 遞減，$f(0)>f(2)$。

(C) 對：$f$ 在 $[-2,2]$ 遞減，$f(-2)>f(2)$。

(D) 對：$f$ 在 $[2,3]$ 遞增，$f(3)>f(2)$。

(E) 對：$f$ 在 $[3,5]$ 遞增，$f(3)<f(5)$。

錯的只有 (B)。

答案 (C)。

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x+1)(x-4)$$

$f^{\prime }(x)$ 在 $x=-1$、$0$、$4$ 各變號一次（三個都是一次因式），所以這三處都是極值點：$-1$、$4$ 是極小、$0$ 是極大。$f^{\prime }(1)=4\cdot 1\cdot 2\cdot (-3)=-24\ne 0$，$x=1$ 不是極值點。

$f^{\prime }(x)=3x^2(2x^2-3x+2)+(x^3-1)(4x-3)$。代 $x=1$：第二項有因式 $x^3-1=0$，

$$f^{\prime }(1)=3\times (2-3+2)+0=3$$

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$，在 $[-4,3]$ 內的臨界點是 $x=-3$、$x=1$。比較臨界點與端點的函數值：

$f(-4)=-64+48+36-10=10$

$f(-3)=-27+27+27-10=17$

$f(1)=1+3-9-10=-15$

$f(3)=27+27-27-10=17$

最大值為 $17$（在 $x=-3$ 與 $x=3$），最小值為 $-15$（在 $x=1$）。

入水時高度為 $0$：

$$14.7+9.8t-4.9t^2=0\Rightarrow t^2-2t-3=0\Rightarrow (t-3)(t+1)=0$$

$t>0$，所以 $t=3$。速度是高度對時間的導數：$h^{\prime }(t)=9.8-9.8t$，

$$h^{\prime }(3)=9.8-29.4=-19.6$$

入水時的速度為 $-19.6$ 公尺／秒。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。$f$ 在 $x\le -1$ 遞增、在 $-1\le x\le 3$ 遞減、在 $x\ge 3$ 遞增，所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=-1$ 與 $x=3$ 由正變負、由負變正，$-1$ 與 $3$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的兩根：

$$3x^2+2ax+b=3(x+1)(x-3)=3x^2-6x-9$$

比較係數 $a=-3$，$b=-9$，$a+b=-12$。

令 $u(x)=(x^2+x+1{)}^{20}$，$g(x)=(x-1{)}^{10}u(x)$。

$$g^{\prime }(x)=10(x-1{)}^{9}u(x)+(x-1{)}^{10}{u}^{\prime }(x)=(x-1{)}^9\left[10u(x)+(x-1)u^{\prime }(x)\right]$$

令 $v(x)=10u(x)+(x-1)u^{\prime }(x)$，它是多項式，則 $g^{\prime }(x)=(x-1{)}^{9}v(x)$，

$$g^{\prime \prime }(x)=9(x-1{)}^{8}v(x)+(x-1{)}^9{v}^{\prime }(x)$$

兩項都有因式 $x-1$，所以 $g^{\prime \prime }(1)=0$。

$f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$。在 $x=1$ 有極值，$f^{\prime }(1)=6+2a+b=0$；極大值為 $6$，$f(1)=2+a+b+1=6$，即 $a+b=3$。兩式相減得 $a+6=-3$，$a=-9$，$b=12$。

檢查：$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$，在 $x=1$ 左邊為正、右邊為負，確實是極大。$(a,b)=(-9,12)$。

令 $k(x)=\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{x-5}$，則 $f(x)=(x-2)k(x)$，$f(2)=0$。$k(x)$ 是有理函數，分母在 $x=2$ 不為 $0$，在 $x=2$ 連續。由導數的定義：

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{hk(2+h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }k(2+h)=k(2)$$

$$k(2)=\frac{1\times (-1)\times (-2)}{-3}=-\frac{2}{3}$$

所以 $f^{\prime }(2)=-\frac{2}{3}$。

由導數的定義（分子有理化）：

$$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h\left(\sqrt{1+h}+1\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}$$

切點 $(1,f(1))=(1,1)$，切線為 $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$，整理得 $x-2y+1=0$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$，臨界點 $x=\pm 2$ 都在 $[-4,5]$ 內。比較：

$f(-4)=-64+48+6=-10$

$f(-2)=-8+24+6=22$

$f(2)=8-24+6=-10$

$f(5)=125-60+6=71$

最大值 $m=71$，發生在 $x=5$，$n=5$，$m-n=66$。

因為 $f(2)=0$，

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)}{3h}=\frac{1}{3}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{1}{3}{f}^{\prime }(2)=\frac{1}{3}\times 6=2$$