明倫高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答 B（否）。極大值、極小值只和附近的函數值比較，極大值可以比極小值小。反例：$f(x)=3x^5-25x^3+60x$，

$$f^{\prime }(x)=15x^4-75x^2+60=15(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)$$

$f^{\prime }$ 在 $x=-2$ 由正變負，$f$ 在 $x=-2$ 有極大值 $f(-2)=-96+200-120=-16$；$f^{\prime }$ 在 $x=2$ 由負變正，$f$ 在 $x=2$ 有極小值 $f(2)=96-200+120=16$。極大值 $-16$ 小於極小值 $16$。

答案 (B)。$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax$。

圖形過 $A(1,1)$：$f(1)=1+a+b=1$，得 $a+b=0$。

切線斜率 $5$：$f^{\prime }(1)=3+2a=5$，得 $a=1$，於是 $b=-1$。

逐項看：$a+b=0\ne 6$；$a=1$ 正確；$b=-1\ne 3$；$a-b=2\ne 0$；$a=1\ne 3$。

答案 (E)。用導數的定義：

$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{|h|}{h}$$

$h\to 0^{+}$ 時等於 $1$，$h\to 0^{-}$ 時等於 $-1$，左右極限不相等，所以 $f(x)$ 在 $x=2$ 不可微分。圖形在 $(2,0)$ 是一個尖點。

答案 (D)。逐項求導函數：

(A) $3x^2+8x+1$，而且它是三次函數，不是二次函數。

(B) $12x+8$。

(C) $12x-8$。

(D) $6x+8$，符合。

(E) $6x-8$。

只有 (D) 的導函數是 $6x+8$。（事實上 $f(x)=3x^2+8x+k$，$k$ 可以是任何常數。）

答案 (B)。$f^{\prime }(x)=14x^6-28x^3$，

$$f^{\prime \prime }(x)=84x^5-84x^2=84x^2(x^3-1)=84x^2(x-1)(x^2+x+1)$$

$x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，$x^2\ge 0$，所以 $f^{\prime \prime }(x)$ 的正負只由 $x-1$ 決定（$x=0$ 時等於 $0$）：

$x<1$ 且 $x\ne 0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，$x>1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$。

凹向只在 $x=1$ 改變，所以只有一個反曲點 $(1,f(1))=(1,-5)$。$x=0$ 雖然 $f^{\prime \prime }(0)=0$，但兩側 $f^{\prime \prime }$ 都是負的，凹向沒變，不是反曲點。

答案 (D)。令 $g(x)=x^3-12x+6$，$g^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$。

$g$ 在 $x=-2$ 有極大值 $g(-2)=-8+24+6=22>0$，在 $x=2$ 有極小值 $g(2)=8-24+6=-10<0$。

極大值為正、極小值為負，圖形與 $x$ 軸交三次：$(-\infty ,-2)$、$(-2,2)$、$(2,\infty )$ 各有一個實根，共 $3$ 個。

答案 (C)。

$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-6x-9)=-\frac{3}{4}(x-3)(x+1)$$

在 $1<x<3$ 時 $(x-3)(x+1)<0$，$f^{\prime }(x)>0$，$f$ 遞增；在 $3<x<4$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 遞減。

比較端點與極值點：$f(1)=-\frac{1}{4}(1-3-9+11)=0$，$f(3)=-\frac{1}{4}(27-27-27+11)=4$，$f(4)=-\frac{1}{4}(64-48-36+11)=\frac{9}{4}$。

最小值為 $0$（在 $x=1$）。

答案 (C)。在分子中間加減 $f(1)$：

$$\frac{f(1-2h)-f(1+h)}{h}=(-2)\cdot \frac{f(1-2h)-f(1)}{-2h}-\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$

$h\to 0$ 時兩個差商都趨近 $f^{\prime }(1)$，極限為 $-2f^{\prime }(1)-f^{\prime }(1)=-3f^{\prime }(1)$。

$f^{\prime }(x)=2x-3$，$f^{\prime }(1)=-1$，所以極限為 $3$。

答案 (B)。$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$。在 $-3\le x\le 0$ 內只有 $x=-2$ 使 $f^{\prime }(x)=0$：$-3<x<-2$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$-2<x<0$ 時 $f^{\prime }(x)<0$。

$f(-3)=-27+36+3=12$，$f(-2)=-8+24+3=19$，$f(0)=3$。

最小值為 $3$（在 $x=0$）。

答案 (B)。邊際成本函數就是成本函數的導函數：

$$C^{\prime }(x)=\frac{3}{10000}{x}^2-\frac{3}{10}x+170$$

$C^{\prime }(100)=\frac{3}{10000}\times 10000-\frac{3}{10}\times 100+170=3-30+170=143$（元）。

答案 (A)。$C^{\prime }(x)$ 是開口向上的二次函數，配方：

$$C^{\prime }(x)=\frac{3}{10000}(x^2-1000x)+170=\frac{3}{10000}(x-500{)}^2-75+170=\frac{3}{10000}(x-500{)}^2+95$$

所以 $x=500$ 時邊際成本最小，最小值為 $95$（元）。

錯誤。$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ 只在 $-2\le x\le 2$ 有定義，$x=2$ 是定義域的端點，右邊沒有函數值，$f^{\prime }(2)$ 不存在。即使只看左邊，$h<0$ 時

$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\sqrt{-4h-h^2}}{h}=-\sqrt{\frac{-4h-h^2}{h^2}}=-\sqrt{-\frac{4}{h}-1}$$

$h\to 0^{-}$ 時趨向負無限大，也不存在，所以不會是 $0$。

由圖，圖形先上升、再下降、再上升，兩個極值點的 $x$ 坐標 $\alpha <\beta$ 都在 $y$ 軸左側，即 $\alpha <\beta <0$，且圖形與 $y$ 軸交在原點上方。$\alpha$、$\beta$ 是 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ 的兩根，由根與係數關係：

$$\alpha +\beta =-\frac{2b}{3a},\alpha \beta =\frac{c}{3a}$$

把方程式改寫成 $x^3+x^2-x=-a$。令 $g(x)=x^3+x^2-x$，方程式的實根就是曲線 $y=g(x)$ 與水平線 $y=-a$ 交點的 $x$ 坐標。

$g^{\prime }(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$，$g$ 在 $x=-1$ 有極大值 $g(-1)=1$，在 $x=\frac{1}{3}$ 有極小值 $g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{27}$。

$g(x)=x(x^2+x-1)=0$ 的根是 $x=0$ 與 $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$（約 $-1.618$ 與 $0.618$）。題目說 $a\ne 0$，所以水平線 $y=-a$ 不是 $x$ 軸。