南山高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)。

① 向量的減法：$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$（同起點的兩向量相減，得到從 $A$ 指向 $C$ 的向量）。

② $\overrightarrow{AC}=(3-1,2-4)=(2,-2)$。

③ $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{8}$。

所以選 (1)。

答案 (1)。

① 單點透視中，實際上與畫面垂直、向遠方退去的平行線（天花板與牆的交線、地板與牆的交線、長椅的邊），畫出來都會交於同一點，這一點就是消失點。

② 把左上、右上兩條天花板與牆的交線，以及左下、右下兩條地板與牆的交線往裡延長（下圖虛線），四條線約交於同一點。

③ 交點落在 $A$ 的位置。

所以選 (1)。

答案 (4)。

① 第一列：$\left[\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right]$ 乘兩行，得 $1\cdot 2+3\cdot 1=5$、$1\cdot 0+3\cdot 3=9$。

② 第二列：$\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$ 乘兩行，得 $0\cdot 2+1\cdot 1=1$、$0\cdot 0+1\cdot 3=3$。

$$AB=\left[\begin{array}{cc}5& 9\\ 1& 3\end{array}\right]$$

所以選 (4)。

答案 (4)（照學校答案；原卷未附圖，以下用本站補畫的示意圖說明作法）。

① 設正六邊形邊長 $1$，以 $A$ 為原點放上坐標。由題目下的示意圖讀出

$$\overrightarrow{AP}=\left(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{3}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{AB}=\left(\frac{5}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

② 代入 $\overrightarrow{AB}=x\overrightarrow{AP}+y\overrightarrow{AC}$，比較橫坐標：$-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y=\frac{5}{2}$，即 $x+y=-\frac{5}{3}$。

③ 比較縱坐標：$-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{5\sqrt{3}}{2}y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 $x+5y=1$。

④ 兩式相減：$4y=1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$，$y=\frac{2}{3}$；$x=-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$。

所以 $(x,y)=\left(-\frac{7}{3},\frac{2}{3}\right)$，選 (4)。

答案 (1)(5)。

① 先算 $A$ 的乘冪：

$$A^2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=-I_2$$

② $A^3=A^{2}A=-A\ne I_2$，$A^4={\left(A^2\right)}^2=I_2$。所以 $A^n$ 每 $4$ 次一循環，$A^n=I_2$ 恰好在 $n$ 為 $4$ 的倍數時成立。

(1) 正確。 $2020=4\times 505$，$A^{2020}=I_2$。

(2) 錯誤。 $2021$ 除以 $4$ 餘 $1$，$A^{2021}=A\ne I_2$。

(3) 錯誤。 $2022$ 除以 $4$ 餘 $2$，$A^{2022}=-I_2$。

(4) 錯誤。 $2023$ 除以 $4$ 餘 $3$，$A^{2023}=-A$。

(5) 正確。 $2024=4\times 506$，$A^{2024}=I_2$。

答案 (3)(5)。

① 平分夾角的向量要沿著兩個「等長」向量的和：$3\vec{a}$ 與 $2\vec{b}$ 的長度都是 $12$，以它們為兩邊的平行四邊形是菱形，對角線 $3\vec{a}+2\vec{b}$ 平分夾角（下圖）。

② 所以平分夾角的向量是 $k\left(3\vec{a}+2\vec{b}\right)$，$k>0$，也就是 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的係數比要是 $3:2$。

(1) 錯誤。 係數比 $1:1$，$\vec{a}$、$\vec{b}$ 不等長，偏向較長的 $\vec{b}$。

(2) 錯誤。 係數比 $2:3$。

(3) 正確。 係數比 $3:2$。

(4) 錯誤。 $\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=2:3$。

(5) 正確。 $\frac{3}{2}:1=3:2$，$\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b}=\frac{1}{2}\left(3\vec{a}+2\vec{b}\right)$。

答案 (5)。

① $\overline{DE}:\overline{EC}=3:2$，$\overline{DC}$ 與 $\overline{AB}$ 平行且等長，所以

$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$$

② $F$ 是 $\overline{BE}$ 的中點：

$$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$

所以 $(x,y)=\left(\frac{4}{5},\frac{1}{2}\right)$，選 (5)。

答案 $3:1$。

① 在 $\overline{AC}$ 上取 $Q$ 使 $\overrightarrow{AQ}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}$，則 $\overrightarrow{QP}=\frac{1}{7}\overrightarrow{AB}$，$\overline{QP}$ 與 $\overline{AB}$ 平行（下圖）。

② $P$ 到直線 $AB$ 的距離等於 $Q$ 到直線 $AB$ 的距離，是 $C$ 到直線 $AB$ 距離的 $\frac{3}{7}$，所以 $△ABP$ 面積是 $△ABC$ 面積的 $\frac{3}{7}$。

③ 同理，$P$ 到直線 $AC$ 的距離是 $B$ 到直線 $AC$ 距離的 $\frac{1}{7}$，所以 $△ACP$ 面積是 $△ABC$ 面積的 $\frac{1}{7}$。

④ $△ABP$ 面積：$△ACP$ 面積＝$\frac{3}{7}:\frac{1}{7}=3:1$。

答案 $\sqrt{2}:1$。

① 設 A4 的寬為 $1$。寬長比 $1:\sqrt{2}$，且下一號的長＝上一號的寬，所以

$$\text{A4：}1\times \sqrt{2},\text{A3：}\sqrt{2}\times 2,\text{A2：}2\times 2\sqrt{2},\text{A1：}2\sqrt{2}\times 4$$

（每一欄是「寬 × 長」）。A3 的面積是 $2\sqrt{2}$。

② 設 B4 的寬為 $t$，B2 的長為 $l$、寬為 $w$。由題目的兩個公式：

$$t^2=1\times \sqrt{2}=\sqrt{2},l^2=2\sqrt{2}\times 4=8\sqrt{2}$$

所以 $l^2=8t^2$，$l=2\sqrt{2}t$。

③ B 系列也是對半裁切（下圖）：B2（$w\times l$）裁成 B3（$\frac{l}{2}\times w$），B3 再裁成 B4（$\frac{w}{2}\times \frac{l}{2}$），所以 B4 的寬 $t=\frac{w}{2}$，$w=2t$。

④ B3 的面積 $=w\cdot \frac{l}{2}=2t\cdot \sqrt{2}t=2\sqrt{2}{t}^2=2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=4$。

⑤ B3 面積：A3 面積＝$4:2\sqrt{2}=\sqrt{2}:1$。

答案 $15-5\sqrt{5}$。

① $\overline{OB}<\overline{AB}$，長段是 $\overline{AB}$、短段是 $\overline{OB}$。設 $B$ 的坐標為 $b$（$0<b<5$），則 $\overline{OB}=b$，$\overline{AB}=10-b$。

② 黃金分割：長段長：短段長＝全長：長段長，

$$\frac{10-b}{b}=\frac{10}{10-b}\Rightarrow (10-b{)}^2=10b$$

③ 展開：$b^2-30b+100=0$，$b=\frac{30\pm \sqrt{900-400}}{2}=15\pm 5\sqrt{5}$。

④ $15+5\sqrt{5}>10$ 不合；$15-5\sqrt{5}\approx 3.82$ 在 $0$ 與 $5$ 之間。

所以 $B$ 點坐標為 $15-5\sqrt{5}$。

答案 $0.4$ 公尺。

① 由上視圖，$A$ 是箱子最靠近屏風的角，距屏風 $0.3$ 公尺；由側視圖，$C$ 在 $A$ 的正下方的地面上。所以 $C$ 到畫家的水平距離是 $0.9+0.3=1.2$ 公尺。

② 眼睛到 $C$ 的視線與屏風的交點，就是 $C$ 在屏風上的位置。設它的高度為 $h$。

③ 視線從眼睛（高 $1.6$）往下到 $C$（高 $0$），水平走 $1.2$ 公尺下降 $1.6$ 公尺；走到屏風時水平走了 $0.9$ 公尺，由相似三角形

$$\frac{1.6-h}{0.9}=\frac{1.6}{1.2}\Rightarrow 1.6-h=1.2$$

④ $h=0.4$ 公尺。

答案 $-4$。

① 矩陣相乘後比較對應元素：

$$\{\begin{array}{l}3x-y+3=6\\ 2x+4y-1=-6\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x-y=3\\ 2x+4y=-5\end{array}$$

② 第一式乘 $4$ 加第二式：$14x=7$，$x=\frac{1}{2}$。

③ 代回第一式：$y=3x-3=-\frac{3}{2}$。

④ $x+3y=\frac{1}{2}-\frac{9}{2}=-4$。

答案 $\left(2,\frac{1}{8}\right)$。

① $\det A=2x-(2)(-2)=2x+4$，$A$ 有反方陣，所以 $2x+4\ne 0$，且

$$A^{-1}=\frac{1}{2x+4}\left[\begin{array}{cc}x& -2\\ 2& 2\end{array}\right]$$

② $A^{-1}=cB=\left[\begin{array}{cc}2c& -2c\\ 2c& cx\end{array}\right]$，比較第二列第一行：$\frac{2}{2x+4}=2c$，$c=\frac{1}{2x+4}$。

③ 比較第一列第一行：$\frac{x}{2x+4}=2c=\frac{2}{2x+4}$，所以 $x=2$。

④ $c=\frac{1}{2\cdot 2+4}=\frac{1}{8}$。

⑤ 驗算其餘兩格：$\frac{-2}{8}=-2c=-\frac{1}{4}$ ✓，$\frac{2}{8}=cx=\frac{1}{4}$ ✓。

所以 $(x,c)=\left(2,\frac{1}{8}\right)$。

答案 $\left(-\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)$。

① $\left|\vec{a}\right|=5$，$\left|\vec{b}\right|=10$，兩個單位向量是

$$\vec{u}=\frac{\vec{a}}{5}=\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right),\vec{v}=\frac{\vec{b}}{10}=\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$$

② $\vec{c}$ 與 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 的夾角相同，就是 $\vec{c}\cdot \vec{u}=\vec{c}\cdot \vec{v}$，即 $\vec{c}\cdot \left(\vec{u}-\vec{v}\right)=0$。

③ $\vec{u}-\vec{v}=\left(-\frac{1}{5},\frac{7}{5}\right)$，所以 $\vec{c}$ 與 $(-1,7)$ 垂直，$\vec{c}$ 平行於 $\vec{u}+\vec{v}=\left(-\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)$，即 $\vec{c}=k(-7,-1)$。

④ $\left|\vec{c}\right|=\left|k\right|\sqrt{50}=\sqrt{2}$，$k=\pm \frac{1}{5}$。

⑤ $k=\frac{1}{5}$ 時 $\vec{c}\cdot \vec{b}=\frac{42+8}{5}=10>0$，$\vec{c}$ 與 $\vec{b}$ 夾銳角，在 $\vec{b}$ 這一側；$k=-\frac{1}{5}$ 時 $\vec{c}\cdot \vec{b}<0$，夾鈍角。

所以 $\vec{c}=\left(-\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)$。

答案 $4$。

① 平分 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 夾角的向量，係數比等於長度的反比（第 6 題）。$\vec{a}+2\vec{b}$ 平分夾角，所以 $\frac{1}{|\vec{a}|}:\frac{1}{|\vec{b}|}=1:2$，$\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{b}\right|$。

② $\vec{a}\perp \vec{b}$，放上坐標：$\vec{a}=(2,0)$，$\vec{b}=(0,1)$。則 $\vec{a}+2\vec{b}=(2,2)$ 在直線 $y=x$ 上，$\vec{a}+\vec{b}=(2,1)$，$\vec{a}+t\vec{b}=(2,t)$。

③ 直線 $y=x$ 平分 $(2,1)$ 與 $(2,t)$ 的夾角，所以 $(2,t)$ 要在 $(2,1)$ 對直線 $y=x$ 的對稱方向 $(1,2)$ 上（下圖）。

④ $(2,t)=k(1,2)$，$k=2$，$t=4$。

答案 $2\sqrt{19}$。

① 半徑 $1$ 的圓互相外切，相切兩圓的圓心距是 $2$。同一列相鄰的圓心相距 $2$；上下兩列相鄰的三個圓心連成邊長 $2$ 的正三角形，所以相鄰兩列的高度差是 $\sqrt{3}$。

② 從題目的圖數：$A$ 在最下列第一個圓，$B$ 在最上列最後一個圓；最上列與最下列的圓左右對齊，$B$ 在 $A$ 右邊 $4$ 個圓的位置、上面兩列。

③ 以 $A$ 為原點，$\overrightarrow{AB}=\left(4\times 2,2\sqrt{3}\right)=\left(8,2\sqrt{3}\right)$。

④ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{64+12}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$。

答案 $11.8$ 公分。

① 穿上 $h$ 公分的高跟鞋後，頭頂到肚臍仍是 $100$ 公分，肚臍到腳底變成 $50+h$ 公分，身高變成 $150+h$ 公分（下圖）。

② 設 $u=50+h$，黃金比例的條件：

$$\frac{100}{u}=\frac{100+u}{100}\Rightarrow u^2+100u-10000=0$$

③ $u=\frac{-100+\sqrt{10000+40000}}{2}=\frac{-100+100\sqrt{5}}{2}=50\left(\sqrt{5}-1\right)$（負根不合）。

④ $u\approx 50\times 1.236=61.8$。

⑤ $h=u-50\approx 11.8$。

所以她可以穿 $11.8$ 公分的高跟鞋。