段考詳解範圍：2-2～3-1（對數與對數函數、指數與對數的應用、平面向量）

南山高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 南山高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 南山高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要分清首數、尾數、小數點後連續幾個 0 與第一個不為 0 的數字各看哪一個，負的對數要先改寫成負整數加上 0 到 1 之間的尾數；選填 E 的分期還款要把每期還款折算到同一時間點，列出等比級數後取對數，月數再換成年；第 6 題要由圖形凹口向上判斷弦的中點在圖形上方；混合題第 3 題要先由向量式看出三邊長的比。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

卷首註明本卷使用對數值 log2＝0.3010、log3＝0.4771、log7＝0.8451。單選題 4 題（每題 5 分）、多選題 4 題（每題 5 分，答錯 1 個選項得 3 分，答錯 2 個選項得 1 分，答錯 3 個選項以上得 0 分）、選填題 10 題（每題 5 分）、混合題 3 題（第 1 題 4 分，第 2、3 題各 3 分），共 100 分。本頁第 1～8 題是卷面第 1～8 題，第 9～18 題是選填 A～J，第 19～21 題是混合題 1～3。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(每題5分，共20分)

lo g_{3} 7 + \frac{1}{2} lo g_{3} 25 + lo g_{3} \frac{9}{11} - lo g_{3} \frac{35}{33} =

(1) $0$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $6$
(5) $9$

函數

y = a + lo g_{b} (x + c)

之圖形，如圖所示，

x = - 1

為其漸近線，下列何者正確？

(1) $a > 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c < 0$
(2) $a > 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c > 0$
(3) $a > 0$ ， $b > 1$ ， $c < 0$
(4) $a < 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c > 0$
(5) $a < 0$ ， $b > 1$ ， $c > 0$

載入中...

若自然數

n

滿足

lo g_{10} (lo g_{5} n) = 2

，則

n

是幾位數？

(1) $11$
(2) $14$
(3) $26$
(4) $70$
(5) $101$ 位數

設

P

為

△ A B C

內部一點，若

3 P A + 2 P B + 4 P C = 0

，則

△ P B C

面積：

△ P C A

面積：

△ P A B

面積＝

(1) $6 : 7 : 5$
(2) $4 : 6 : 3$
(3) $4 : 3 : 2$
(4) $6 : 4 : 3$
(5) $3 : 2 : 4$

二、多選題(每題5分，答錯1個選項得3分，答錯2個選項得1分，答錯3個選項以上者得0分，共20分)

已知

lo g_{c} a = 4

，

lo g_{c} b = 3

，則下列計算結果何者是錯誤的？

(1) $lo g_{b} a = \frac{4}{3}$
(2) $a + b = c^{7}$
(3) $lo g_{c} (ab) = 7$
(4) $(lo g_{c} b)^{4} = 12$
(5) $lo g_{c} (3 a + 4 b) = 49$

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = lo g_{a} x

，選出正確的選項：

(1) $f (2) > 0$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 與任何 $1$ 條水平線皆有交點
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $lo g_{a} (\frac{α + β}{2}) < \frac{l o g _{a} α + l o g _{a} β}{2}$

設

x = (\frac{5}{21})^{10}

，則下列何者正確？

(1) $1 0^{- 8} < x < 1 0^{- 7}$
(2) $lo g x$ 首數為 $- 6$
(3) $lo g x$ 尾數為 $0.232$
(4) $x$ 從小數點後開始有連續 $7$ 個 $0$
(5) $x$ 的第一個不為 $0$ 的數字為 $5$

如圖所示，

O

為正方形

A B C D

對角線的交點，且

E

，

F

，

G

，

H

分別為線段

\overline{O A}

，

\overline{O B}

，

\overline{O C}

，

\overline{O D}

的中點，試問下列何者為真？

(1) $A B = 2 E F$
(2) $A B - B C = D B$
(3) $A B + B C = A E + E F + F G + GC$
(4) $A B + B F + F E = GC$
(5) $O B + A B = O A$

載入中...

三、選填題(每題5分，共50分)

設

lo g_{a} α = lo g_{b} β = lo g_{ab} 5

，已知

α \neq = β

，則

α β =

____。

設

2^{a} = 5

，

lo g_{5} 3 = b

，若

lo g_{50} 135 = \frac{a + k ab}{1 + 2 a}

，則

k =

____。

解

lo g_{2} x - lo g_{x} 64 = 1

得解

x

，則所有解

x

之和為 ____。

不等式

lo g_{3} (x - 3) < 1 - lo g_{3} (x - 5)

之解區間為

a < x < b

，則

b - a =

____。

某甲向銀行貸款

100

萬元，約定從次月開始每月還給銀行

1

萬元，依月利率

0.5%

複利計算，則某甲至少需要 ____ 年才可還清。（答案為整數，而

lo g 1.005 \approx 0.0022

）

傳染病的感染率

I (t)

定義為

\frac{在時間 t （月）時被感染的人數}{城市總人數}

。據傳染病學的理論，其數學模型為

I (t) = \frac{1}{1 + k \times 7 ^{- a t}}

，其中

k

，

a

均為常數。同時，定義當感染率

I (t) = \frac{1}{2}

，代表是傳染病的傳染高峰。現有一未知傳染病在總人口數為

400

萬人的

A

城市蔓延。已知一開始（

t = 0

）有

8

萬人被傳染；第

4

個月時，有

50

萬人被傳染。試問第 ____ 個月時，是此傳染病的傳染高峰。

設

P (0, 1)

，

Q (1, 2)

，

R (- 3, - 4)

，

S (0, 3)

為平面上四點，且

A B = t P Q + R S

，

t

為實數，則當

A B

有最小值時，

t =

____。

已知

A (- 3, 1)

，

B (1, - 1)

，

C (9, - 3)

為坐標平面上的三點，且

P A + 2 P B + P C = 0

，則

P

點坐標為 ____。

已知

a = (3, 4)

，

b = (2, 1)

，

c = (- 3, 1)

，若

(a + t b) ∥ c

，則

t =

____。

設

O

為原點，點

A (4, 0)

，

B (3, - 3)

，若

O P = x O A + y O B

且

- 2 \leq x \leq 1

，

\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}

，求

P

點所成圖形面積為 ____。

四、混合題(第1題4分，第2、3題各3分，共10分)

四、混合題（第 19～21 題）（第 19～21 題）　設

I

為

△ A B C

的內心，已知

2 I A + 3 I B + 4 I C = 0

，今延長

\overline{A I}

交

\overline{B C}

於

D

點，若

A I = s A B + t A C

，

則

(s, t) =

(1) $(\frac{1}{3}, \frac{4}{9})$
(2) $(\frac{2}{9}, \frac{1}{3})$
(3) $(\frac{3}{7}, \frac{4}{7})$
(4) $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7})$
(5) $(\frac{4}{7}, \frac{3}{7})$

承(1)，求

\overline{B D} : \overline{C D} =

____。

承(1)，若

△ A B C

之周長為

36

，則

△ A B C

的面積為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(4)

第 4 題(5)

第 5 題(2)(4)(5)

第 6 題(3)(4)(5)

第 7 題(5)

第 8 題(1)(2)(3)(4)

第 9 題

25

第 10 題

3

第 11 題

\frac{33}{4}

第 12 題

1

第 13 題

12

第 14 題

8

第 15 題

- 5

第 16 題

(2, - 1)

第 17 題

- 3

第 18 題

36

第 19 題(1)

第 20 題

4 : 3

第 21 題

1215

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：單選題

第 1 題

答案 (3)。

① $\frac{1}{2} lo g_{3} 25 = lo g_{3} 2 5^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 5$ 。

② 前三項合併： $lo g_{3} 7 + lo g_{3} 5 + lo g_{3} \frac{9}{11} = lo g_{3} (7 \times 5 \times \frac{9}{11}) = lo g_{3} \frac{315}{11}$ 。

③ 再減去最後一項：

$lo g_{3} \frac{315}{11} - lo g_{3} \frac{35}{33} = lo g_{3} (\frac{315}{11} \times \frac{33}{35}) = lo g_{3} 27 = 3$

所以答案 (3)。

係數

\frac{1}{2}

要先搬進真數變成次方，才能和其他項用乘除合併。

第 2 題

答案 (2)。

① 漸近線： $lo g_{b} (x + c)$ 的真數為 $0$ 時， $x = - c$ 是漸近線。題目說漸近線是 $x = - 1$ ，所以 $- c = - 1$ ， $c = 1 > 0$ 。

② 底數：圖形從左上往右下，是遞減函數，所以 $0 < b < 1$ 。

③ 截距：令 $x = 0$ ， $y = a + lo g_{b} 1 = a$ ，圖形與 $y$ 軸交點就是 $(0, a)$ 。圖上這一點在 $0$ 與 $1$ 之間，所以 $a > 0$ 。

三者合起來是 $a > 0$ ， $0 < b < 1$ ， $c > 0$ ，答案 (2)。

載入中...

第 3 題

答案 (4)。

① 由 $lo g_{10} (lo g_{5} n) = 2$ 得 $lo g_{5} n = 1 0^{2} = 100$ ，所以 $n = 5^{100}$ 。

② $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - 0.3010 = 0.6990$ 。

③ $lo g n = 100 lo g 5 = 69.90$ ，首數是 $69$ 。

④ 首數為 $69$ 的正數整數部分有 $69 + 1 = 70$ 位。

所以 $n$ 是 $70$ 位數，答案 (4)。

第 4 題

答案 (5)。

① 把各向量改寫成從 $A$ 出發： $P A = - A P$ ， $P B = A B - A P$ ， $P C = A C - A P$ 。

② 代入得 $- 3 A P + 2 (A B - A P) + 4 (A C - A P) = 0$ ，即 $A P = \frac{2 A B + 4 A C}{9}$ 。

③ 改寫成 $A P = \frac{6}{9} \cdot \frac{2 A B + 4 A C}{6}$ 。設 $A D = \frac{2 A B + 4 A C}{6}$ ，由分點公式， $D$ 在 $\overline{B C}$ 上且 $\overline{B D} : \overline{D C} = 4 : 2 = 2 : 1$ 。

④ $A P = \frac{2}{3} A D$ ，所以 $\overline{A P} : \overline{P D} = 2 : 1$ 。

⑤ 設 $△ A B C$ 面積為 $9$ 份。 $△ P B C$ 與 $△ A B C$ 同底 $\overline{B C}$ ，高的比為 $\overline{P D} : \overline{A D} = 1 : 3$ ，面積 $3$ 份。

⑥ $△ A B D$ 占 $\frac{2}{3}$ ，即 $6$ 份； $△ P A B$ 再占它的 $\frac{2}{3}$ ，是 $4$ 份。同理 $△ A C D$ 占 $3$ 份， $△ P C A$ 是 $2$ 份。

面積比為 $3 : 2 : 4$ ，答案 (5)。

載入中...

結論可以記成：若

p P A + q P B + r P C = 0

（係數皆正），則

△ P B C : △ P C A : △ P A B = p : q : r

。

對數圖形題先找漸近線（真數為

0

），再看增減定底數，最後代

x = 0

看截距。

02第 5～8 題：多選題

第 5 題

答案 (2)(4)(5)（本題選「錯誤」的）。

由 $lo g_{c} a = 4$ ， $lo g_{c} b = 3$ 得 $a = c^{4}$ ， $b = c^{3}$ 。

(1) 正確。 $lo g_{b} a = \frac{l o g _{c} a}{l o g _{c} b} = \frac{4}{3}$ 。

(2) 錯誤。 $ab = c^{4} \cdot c^{3} = c^{7}$ ，但 $a + b = c^{4} + c^{3}$ ，一般不等於 $c^{7}$ （例如 $c = 2$ 時 $a + b = 24$ ， $c^{7} = 128$ ）。

(3) 正確。 $lo g_{c} (ab) = lo g_{c} a + lo g_{c} b = 4 + 3 = 7$ 。

(4) 錯誤。 $(lo g_{c} b)^{4} = 3^{4} = 81$ ，不是 $12$ ； $12$ 是 $lo g_{c} b^{4} = 4 lo g_{c} b$ 的值。

(5) 錯誤。 對數沒有「和的對數等於對數的和」這種性質。 $3 a + 4 b = 3 c^{4} + 4 c^{3}$ ，例如 $c = 2$ 時為 $80$ ， $lo g_{2} 80 \neq = 49$ 。

所以錯誤的是 (2)(4)(5)。

第 6 題

答案 (3)(4)(5)。

$0 < a < 1$ 時， $y = lo g_{a} x$ 是遞減函數，圖形通過 $(1, 0)$ ，凹口向上。

(1) 錯誤。 $2 > 1$ ，遞減，所以 $f (2) < f (1) = 0$ 。

(2) 錯誤。 $0 < x < 1$ 時 $f (x) > 0$ ，但 $x > 1$ 時 $f (x) < 0$ ，圖形有一部分在 $x$ 軸下方。

(3) 正確。 對數函數的值域是全體實數，任何水平線 $y = k$ 都可解 $x = a^{k}$ ，恰有一個交點。

(4) 正確。 底數在 $0$ 與 $1$ 之間的對數函數圖形凹口向上。

(5) 正確。 真數要為正，所以 $0 < α < β$ 。在圖形上取 $P (α, f (α))$ 、 $Q (β, f (β))$ ，弦 $\overline{P Q}$ 中點 $M$ 的縱坐標是 $\frac{l o g _{a} α + l o g _{a} β}{2}$ 。

圖形凹口向上，弦在圖形上方，所以橫坐標 $\frac{α + β}{2}$ 處的函數值 $lo g_{a} \frac{α + β}{2}$ 比 $M$ 的縱坐標小，不等式成立。

所以答案 (3)(4)(5)。

載入中...

(5) 也可以用算幾不等式：

\frac{α + β}{2} > α β

，底數小於

1

時取對數不等號反向，得

lo g_{a} \frac{α + β}{2} < lo g_{a} α β = \frac{l o g _{a} α + l o g _{a} β}{2}

。

第 7 題

答案 (5)。

① $lo g 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$ ， $lo g 21 = lo g 3 + lo g 7 = 0.4771 + 0.8451 = 1.3222$ 。

② $lo g x = 10 (lo g 5 - lo g 21) = 10 \times (- 0.6232) = - 6.232$ 。

③ 改寫成首數加尾數： $- 6.232 = - 7 + 0.768$ ，首數 $- 7$ ，尾數 $0.768$ 。

(1) 錯誤。 $- 7 < lo g x < - 6$ ，所以 $1 0^{- 7} < x < 1 0^{- 6}$ 。

(2) 錯誤。 首數是 $- 7$ 。

(3) 錯誤。 尾數是 $0.768$ （尾數必須在 $0$ 與 $1$ 之間， $0.232$ 是小數部分取錯號）。

(4) 錯誤。 首數 $- 7$ ，表示 $x$ 從小數點後第 $7$ 位才出現不為 $0$ 的數字，連續的 $0$ 只有 $6$ 個。

(5) 正確。 $lo g 5 = 0.6990$ ， $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 = 0.7781$ ，尾數 $0.768$ 在兩者之間，所以 $x = 5. \dots \times 1 0^{- 7}$ ，第一個不為 $0$ 的數字是 $5$ 。

所以答案 (5)。

x \approx 5.85 \times 1 0^{- 7} = 0.000000585 \dots

，可以直接數出小數點後有

6

個

0

。

第 8 題

答案 (1)(2)(3)(4)。

$E$ 、 $F$ 分別為 $\overline{O A}$ 、 $\overline{O B}$ 中點，所以 $\overline{E F} ∥ \overline{A B}$ 且 $\overline{E F} = \frac{1}{2} \overline{A B}$ ，方向相同。同理 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 是 $O$ 到四頂點的中點。

(1) 正確。 由中點連線性質， $E F = \frac{1}{2} A B$ ，即 $A B = 2 E F$ 。

(2) 正確。 $B C = A D$ ，所以 $A B - B C = A B - A D = D B$ 。

(3) 正確。 左邊首尾相接得 $A C$ ；右邊 $A \to E \to F \to G \to C$ 首尾相接也得 $A C$ 。

(4) 正確。 左邊 $A \to B \to F \to E$ 首尾相接得 $A E$ 。 $A E = \frac{1}{2} A O$ ， $GC = \frac{1}{2} O C$ ，而 $O$ 是 $\overline{A C}$ 中點， $A O = O C$ ，所以 $A E = GC$ 。

(5) 錯誤。 $O B + A B$ 不能首尾相接；改寫 $O A + A B = O B$ 才對。實際上 $O B + A B - O A = 2 A B \neq = 0$ 。

所以答案 (1)(2)(3)(4)。

載入中...

(5) 的計算：

O B - O A = A B

，所以

O B + A B - O A = A B + A B

。

負的常用對數一定先寫成「負整數＋

0

到

1

之間的尾數」，首數看位置、尾數看最高位數字。

03第 9～14 題：選填 A～F（對數）

第 9 題

答案 25。

① 設三個對數的公共值為 $k$ ： $α = a^{k}$ ， $β = b^{k}$ ， $5 = (ab)^{k} = (ab)^{\frac{k}{2}}$ 。

② 把 ① 的第三式平方： $(ab)^{k} = 25$ 。

③ 所以 $α β = a^{k} \cdot b^{k} = (ab)^{k} = 25$ 。

答案 25。

條件

α \neq = β

只是排除

a = b

這種特殊情形，計算時用不到。

第 10 題

答案 3。

① 由 $2^{a} = 5$ 得 $lo g_{2} 5 = a$ 。

② $lo g_{2} 3 = lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 3 = ab$ （換底公式）。

③ 換成以 $2$ 為底： $lo g_{50} 135 = \frac{l o g _{2} 135}{l o g _{2} 50}$ 。

④ 分子 $lo g_{2} (5 \times 3^{3}) = lo g_{2} 5 + 3 lo g_{2} 3 = a + 3 ab$ ；分母 $lo g_{2} (2 \times 5^{2}) = 1 + 2 a$ 。

⑤ 所以 $lo g_{50} 135 = \frac{a + 3 ab}{1 + 2 a}$ ，對照得 $k = 3$ 。

答案 3。

第 11 題

答案 $\frac{33}{4}$ 。

① 條件： $x > 0$ 且 $x \neq = 1$ 。

② $lo g_{x} 64 = \frac{l o g _{2} 64}{l o g _{2} x} = \frac{6}{l o g _{2} x}$ 。令 $u = lo g_{2} x$ （ $u \neq = 0$ ）。

③ 方程式變成 $u - \frac{6}{u} = 1$ ，即 $u^{2} - u - 6 = 0$ ， $(u - 3) (u + 2) = 0$ 。

④ $u = 3$ 得 $x = 8$ ； $u = - 2$ 得 $x = \frac{1}{4}$ ，兩者都符合條件。

⑤ 所有解之和 $8 + \frac{1}{4} = \frac{33}{4}$ 。

答案 $\frac{33}{4}$ 。

第 12 題

答案 1。

① 真數條件： $x - 3 > 0$ 且 $x - 5 > 0$ ，即 $x > 5$ 。

② 移項： $lo g_{3} (x - 3) + lo g_{3} (x - 5) < 1$ ，即 $lo g_{3} [(x - 3) (x - 5)] < lo g_{3} 3$ 。

③ 底數 $3 > 1$ ，函數遞增： $(x - 3) (x - 5) < 3$ ， $x^{2} - 8 x + 12 < 0$ ， $(x - 2) (x - 6) < 0$ ， $2 < x < 6$ 。

④ 與真數條件取交集： $5 < x < 6$ ，所以 $a = 5$ ， $b = 6$ 。

$b - a = 1$ ，答案 1。

載入中...

第 13 題

答案 12。

① 設還了 $n$ 個月。把每筆金額都折算到第 $n$ 個月底（單位：萬元）：借款 $100$ 萬變成 $100 \times 1.00 5^{n}$ 。

② 第 $1$ 個月還的 $1$ 萬再生息 $n - 1$ 個月，第 $2$ 個月的生息 $n - 2$ 個月，……，最後一筆不生息。

③ 還款總值 $1 + 1.005 + \dots + 1.00 5^{n - 1} = \frac{1.00 5 ^{n} - 1}{0.005} = 200 (1.00 5^{n} - 1)$ 。

④ 還清的條件： $200 (1.00 5^{n} - 1) \geq 100 \times 1.00 5^{n}$ ，整理得 $1.00 5^{n} \geq 2$ 。

⑤ 取常用對數： $n lo g 1.005 \geq lo g 2$ ， $n \geq \frac{0.3010}{0.0022} \approx 136.8$ ，所以至少 $137$ 個月。

⑥ $137$ 個月是 $11$ 年又 $5$ 個月，以整數年計至少要 $12$ 年。

答案 12。

\frac{0.3010}{0.0022} = 136.81 \dots

；

11

年只有

132

個月，不夠。若用更精確的

lo g 1.005

逐月計算，需要

139

個月，仍是

12

年內。

第 14 題

答案 8。

① $t = 0$ ： $I (0) = \frac{8}{400} = \frac{1}{50}$ ，而 $I (0) = \frac{1}{1 + k}$ ，所以 $1 + k = 50$ ， $k = 49$ 。

② $t = 4$ ： $I (4) = \frac{50}{400} = \frac{1}{8}$ ，所以 $1 + 49 \times 7^{- 4 a} = 8$ ， $7^{- 4 a} = \frac{1}{7}$ ， $a = \frac{1}{4}$ 。

③ 高峰： $I (t) = \frac{1}{2}$ ，即 $1 + 49 \times 7^{- \frac{t}{4}} = 2$ ， $7^{- \frac{t}{4}} = \frac{1}{49} = 7^{- 2}$ 。

④ $\frac{t}{4} = 2$ ， $t = 8$ 。

第 $8$ 個月是傳染高峰，答案 8。

分期還款把所有金額都折算到同一個時間點，還款那一側是等比級數；最後取對數解指數不等式。

04第 15～18 題：選填 G～J（平面向量）

第 15 題

答案 $- 5$ 。

① $P Q = (1, 1)$ ， $R S = (0 - (- 3), 3 - (- 4)) = (3, 7)$ 。

② $A B = t (1, 1) + (3, 7) = (t + 3, t + 7)$ 。

③ $A B^{2} = (t + 3)^{2} + (t + 7)^{2} = 2 t^{2} + 20 t + 58 = 2 (t + 5)^{2} + 8$ 。

④ $t = - 5$ 時有最小值 $8$ ，此時 $A B = (- 2, 2)$ ，長度 $22$ 。

答案 $t = - 5$ 。

載入中...

幾何意義：把

A B

從原點畫起，終點

(t + 3, t + 7)

都在直線

y = x + 4

上；最短的是原點到這條直線的垂線段，垂足

(- 2, 2)

。

第 16 題

答案 $(2, - 1)$ 。

① 以 $P$ 為起點的向量都改成坐標相減： $P A = A - P$ ，依此類推。

② $(A - P) + 2 (B - P) + (C - P) = 0$ ，得 $P = \frac{A + 2 B + C}{4}$ 。

③ 代入坐標：

$P = (\frac{- 3 + 2 + 9}{4}, \frac{1 - 2 - 3}{4}) = (2, - 1)$

答案 $(2, - 1)$ 。

載入中...

幾何意義：

\frac{A + C}{2} = M (3, - 1)

是

\overline{A C}

的中點，

P = \frac{B + M}{2}

是

\overline{B M}

的中點。

第 17 題

答案 $- 3$ 。

① $a + t b = (3 + 2 t, 4 + t)$ 。

② 與 $c = (- 3, 1)$ 平行：對應坐標成比例， $(3 + 2 t) \times 1 - (4 + t) \times (- 3) = 0$ 。

③ $3 + 2 t + 12 + 3 t = 0$ ， $5 t = - 15$ ， $t = - 3$ 。

④ 驗證： $a - 3 b = (- 3, 1) = c$ ，確實平行。

答案 $- 3$ 。

載入中...

第 18 題

答案 36。

① 先看 $0 \leq x \leq 1$ ， $0 \leq y \leq 1$ 的情形： $P$ 所成區域是以 $\overline{O A}$ 、 $\overline{O B}$ 為兩邊的平行四邊形。

以 $\overline{O A}$ 為底，底長 $4$ ； $B (3, - 3)$ 到 $x$ 軸的距離 $3$ 是高，面積 $4 \times 3 = 12$ 。

② 本題 $x$ 的範圍長度是 $1 - (- 2) = 3$ ， $y$ 的範圍長度是 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ 。

③ 區域是以 $3 O A$ 、 $1 \cdot O B$ 為兩邊的平行四邊形（平移過的），面積是 $12 \times 3 \times 1 = 36$ 。

答案 36。

載入中...

四個頂點：

(- 6.5, - 1.5)

、

(5.5, - 1.5)

、

(8.5, - 4.5)

、

(- 3.5, - 4.5)

，底

12

、高

3

，面積

36

。

O P = x O A + y O B

的區域面積＝（

x

範圍長）×（

y

範圍長）×（

O A

、

O B

張成的平行四邊形面積）。

05第 19～21 題：混合題

第 19 題

答案 (1)。

① 改成從 $A$ 出發： $2 (- A I) + 3 (A B - A I) + 4 (A C - A I) = 0$ 。

② 整理： $9 A I = 3 A B + 4 A C$ ， $A I = \frac{1}{3} A B + \frac{4}{9} A C$ 。

③ $A B$ 、 $A C$ 不平行，係數唯一，所以 $s = \frac{1}{3}$ ， $t = \frac{4}{9}$ 。

答案 (1)。

載入中...

第 20 題

答案 $4 : 3$ 。

① $A I = \frac{3 A B + 4 A C}{9} = \frac{7}{9} \cdot \frac{3 A B + 4 A C}{7}$ 。

② 令 $A D = \frac{3 A B + 4 A C}{7}$ ，係數和為 $1$ ，所以 $D$ 在直線 $B C$ 上，就是 $A I$ 延長線與 $\overline{B C}$ 的交點。

③ 由分點公式， $D$ 把 $\overline{B C}$ 分成 $\overline{B D} : \overline{D C} = 4 : 3$ 。

答案 $\overline{B D} : \overline{C D} = 4 : 3$ 。

載入中...

另外得到

\overline{A I} : \overline{I D} = 7 : 2

。

第 21 題

答案 $1215$ 。

① $I$ 是內心， $\overline{A D}$ 是 $∠ A$ 的角平分線，由角平分線性質 $\overline{A B} : \overline{A C} = \overline{B D} : \overline{D C} = 4 : 3$ 。

② 同理，從 $B$ 出發改寫： $9 B I = 2 B A + 4 B C$ ，延長 $B I$ 交 $\overline{C A}$ 於 $E$ ，得 $\overline{C E} : \overline{E A} = 2 : 4 = 1 : 2$ ，所以 $\overline{B C} : \overline{B A} = 1 : 2$ 。

③ 合起來： $\overline{B C} : \overline{C A} : \overline{A B} = 2 : 3 : 4$ 。

④ 周長 $36$ ，三邊為 $\overline{B C} = 8$ ， $\overline{C A} = 12$ ， $\overline{A B} = 16$ 。

⑤ 海龍公式： $s = 18$ ，面積 $= 18 \times 10 \times 6 \times 2 = 2160 = 1215$ 。

答案 $1215$ 。

載入中...

規律：內心滿足

a I A + b I B + c I C = 0

（

a, b, c

為對邊長），所以係數

2 : 3 : 4

就是三邊長的比。

含

I A

、

I B

、

I C

的向量式，先改成從同一頂點出發，再把係數湊成和為

1

，就能讀出分點位置。

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第 7 題要分清首數、尾數、小數點後連續幾個 0 與第一個不為 0 的數字各看哪一個，負的對數要先改寫成負整數加上 0 到 1 之間的尾數；選填 E 的分期還款要把每期還款折算到同一時間點，列出等比級數後取對數，月數再換成年；第 6 題要由圖形凹口向上判斷弦的中點在圖形上方；混合題第 3 題要先由向量式看出三邊長的比。

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03第 9～14 題：選填 A～F（對數）

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05第 19～21 題：混合題

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