段考詳解範圍：指數與對數函數（指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、常用對數與應用）

明倫高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 明倫高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 明倫高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要記得實數指數只在底數為正時有定義；第 6 題 (E) 要看出兩組圖形同時對稱於 y=x；第 7 題要由兩條漸近線的位置推出 a 的範圍；第 14 題用立方和公式並先把根號化成 1 加根號 2；第 16 題代換後要注意 t 至少是 2；第 17 題最左端數字用題目給的近似值得 6，但實際是 7；第 20 題用指數與對數函數圖形的對稱。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

選擇題 8 題（每題 5 分，全對才給分，共 40 分）、填充題 12 題共 15 格（每格 4 分，共 60 分），合計 100 分；原卷填充題 1～12 在本頁為第 9～20 題，格號（甲）～（辰）照原卷。答案已與學校公布的答案逐題核對；第 17 題（子）照學校答案寫 6，是用題目給的近似值算出的，8 的 600 次方實際的最左端數字是 7，詳解寫明。

一選擇題(每題 5 分全對才給分)

設

(π, r)

為函數

y = lo g_{2} x

圖形上一點，其中

π

為圓周率，

r

為一實數。請問下列哪些選項是正確的？

(A) $(r, π)$ 為函數 $y = 2^{x}$ 圖形上一點
(B) $(- r, π)$ 為函數 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 圖形上一點
(C) $(\frac{1}{π}, r)$ 為函數 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 圖形上一點
(D) $(r, π^{2})$ 為函數 $y = 4^{x}$ 圖形上一點

下列哪些選項為真？

(A) $((- 3)^{4})^{- 1} = (- 3)^{- 4}$
(B) $((- 3)^{5})^{\frac{1}{2}} = (- 3)^{\frac{5}{2}}$
(C) $((- 3)^{\frac{1}{2}})^{4} = (- 3)^{2}$
(D) $((- 3)^{4})^{\frac{1}{2}} = (- 3)^{2}$
(E) $((- 3)^{2})^{2} = (- 3)^{22}$

下列各數何者為正？

(A) $lo g_{3} 7 - 2 lo g_{3} 3$
(B) $lo g_{0.3} 5 - lo g_{0.3} 3$
(C) $lo g_{2} \frac{1}{6}$
(D) $lo g_{\frac{1}{7}} 3$
(E) $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$

曲線

y = a^{x}

的部分圖形與

x

軸的關係如圖所示，其中

A

，

B

，

C

為

x

軸上的相異三點，且

\overline{A B} = \overline{B C}

，過

A

，

B

，

C

三點分別作

x

軸的垂線，並交曲線

y = a^{x}

圖形於

D

，

E

，

F

三點．下列選項哪些正確？

(A) $0 < a < 1$
(B) $\overline{A D} + \overline{C F} > 2 \times \overline{B E}$
(C) $\overline{A D}$ ， $\overline{B E}$ ， $\overline{C F}$ 三線段長度成等差數列
(D) $\overline{A D} \times \overline{C F} = \overline{B E}^{2}$
(E) 若 $B$ 為原點，則 $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{2}$

載入中...

設

a

是不為

1

的正數，下列哪些特性是對數函數

y = lo g_{a} x

的特性？

(A) 函數圖形通過點 $(1, 0)$
(B) 函數是一個遞增函數
(C) 函數 $y = lo g_{a} x$ 與 $y = lo g_{a} (\frac{1}{x})$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(D) 函數圖形與任何一條水平線 $y = k$ 都有一交點
(E) 函數圖形與任何一條鉛直線 $x = h$ 都有一交點

若

a

為大於

1

的實數，兩函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $f (3) = 5$ ，則 $g (10) = 6$
(B) $\frac{f ( 146 )}{f ( 123 )} = \frac{f ( 46 )}{f ( 23 )}$
(C) $g (246) - g (123) = g (46) - g (23)$
(D) 若 $P$ ， $Q$ 為 $y = g (x)$ 的圖形上兩相異點，則直線 $P Q$ 之斜率必為正數
(E) 若直線 $y = 3 x$ 與 $y = f (x)$ 的圖形有兩個交點，則直線 $y = \frac{1}{3} x$ 與 $y = g (x)$ 的圖形也有兩個交點

圖為兩函數

f (x) = lo g_{2} (a x + b)

，

g (x) = lo g_{2} (c x + d)

的函數圖形，試問下列哪些選項是正確的？

(A) $2 a + b = 1$
(B) $3 a + b > 3 c + d$
(C) $3 a + b < 3 c + d$
(D) $a > c$
(E) $b > d$

載入中...

下圖為

y = a + lo g_{b} (c + x)

的圖形，且當

x

值愈接近

- 1

時，

y

值愈大，則下列選項何者正確？

(A) $a < 0$ ， $0 0$
(B) $a > 0$ ， $0 0.7$
(C) $a > 0$ ， $b > 1$ ， $c > 0$
(D) $a > 0$ ， $0 0$
(E) $a > 0$ ， $b > 1$ ， $c < 0$

載入中...

二填充題(每格 4 分)

填充題（第 9～20 題）　［常用對數的近似值：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

］

設

x = lo g 5

，求

10 0^{x} + 0. 1^{x}

的值為（甲）____。

\frac{\frac{1}{2} lo g 5 + lo g 2 - lo g 128 - lo g \frac{25}{32}}{1 + 2 lo g 8 + lo g 45 - lo g 16 + lo g 15 - 3 lo g 3}

的值為（乙）____。

若

lo g a

的首數比

lo g b

的首數大

4

，且

lo g a

的尾數比

lo g b

的尾數小

lo g 5

，則

\frac{a}{b} =

（丙）____。

設

α

，

β

為方程式

(lo g 3 x) (lo g 5 x) = 2

的兩根，則

α \times β

之值為（丁）____。

若

f (x) = \frac{3 ^{x} + 3 ^{- x}}{3 ^{x} - 3 ^{- x}}

，

x

是不為零的實數且

f (a) = 3

，

f (b) = 2

則

f (a + b)

之值為（戊）____。

已知

a > 0

，且

a^{2 x} = 3 + 22

，則

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}}

的值為（己）____。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W/ m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）；當測得的聲音強度為

I

（

W/ m^{2}

）時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

． (1) 一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為

1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

），求其產生的噪音為（庚）____ 分貝． (2) 汽車製造廠測試發現，某新車以每小時

60

公里速度行駛時，測得的聲音強度為

1 0^{- 4}

（

W/ m^{2}

），試問此聲音強度產生的噪音為（辛）____ 分貝。

設

x

為任意實數，求

f (x) = 2 (4^{x} + 4^{- x}) - 4 (2^{x} + 2^{- x}) + 8

的最小值為（壬）____．

8^{600}

總共有（癸）____ 位數，此最左端的數字為（子）____。

將

(\frac{2}{5})^{100}

表為純小數時，試問小數點後第（丑）____ 位才開始出現不為

0

的數字，此不為

0

的數字為（寅）____。

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{7} 3

，則

3^{a - \frac{2}{b} + 1} =

（卯）____。

已知

α

為

6 - x = lo g_{2} x

之解，

β

為

2^{x} + x = 6

之解，則

α + β =

（辰）____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(E)

第 4 題(B)(D)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題(B)(C)(D)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(D)

第 9 題

\frac{126}{5}

第 10 題

- \frac{1}{2}

第 11 題

2000

第 12 題

\frac{1}{15}

第 13 題

\frac{7}{5}

第 14 題

3 + 2

第 15 題（庚）

0

；（辛）

80

第 16 題

4

第 17 題（癸）

542

；（子）

6

（照學校公布的答案，依題目給的近似值；實際為

7

，見詳解）

第 18 題（丑）

40

；（寅）

1

第 19 題

\frac{6}{49}

第 20 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇第 1～3 題：反函數圖形上的點、指數律的底數條件、對數的正負

第 1 題

答案 (A)(B)(C)(D)。

$(π, r)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，所以 $r = lo g_{2} π$ ，也就是 $2^{r} = π$ 。

(A) 正確。 $x = r$ 代入 $y = 2^{x}$ 得 $2^{r} = π$ ，所以 $(r, π)$ 在圖形上。 $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 對稱於 $y = x$ ， $(π, r)$ 的對稱點正是 $(r, π)$ 。

(B) 正確。 $(\frac{1}{2})^{- r} = 2^{r} = π$ 。

(C) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} = \frac{lo g \frac{1}{π}}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{- lo g π}{- lo g 2} = lo g_{2} π = r$ 。

(D) 正確。 $4^{r} = (2^{r})^{2} = π^{2}$ 。

載入中...

第 2 題

答案 (A)(D)。

實數指數 $a^{r}$ （ $r$ 不是整數時）只在底數 $a > 0$ 時有定義，指數律 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ 也是在這個條件下才能用。 $r$ 是整數時底數可以是負數。

(A) 正確。 指數都是整數：左邊 $= 8 1^{- 1} = \frac{1}{81}$ ，右邊 $= \frac{1}{( - 3 ) ^{4}} = \frac{1}{81}$ 。

(B) 錯誤。 $(- 3)^{5} = - 243 < 0$ ， $(- 243)^{\frac{1}{2}}$ 沒有定義；右邊 $(- 3)^{\frac{5}{2}}$ 也沒有定義。

(D) 正確。 左邊 $= 8 1^{\frac{1}{2}} = 9$ ，右邊 $= (- 3)^{2} = 9$ 。

(E) 錯誤。 左邊 $= 9^{2}$ 有意義，但右邊底數 $- 3 < 0$ 、指數 $22$ 不是整數，沒有定義。

負數的整數次方可以算；指數只要不是整數，底數就必須為正，指數律

(a^{m})^{n} = a^{mn}

也才能用。(D) 兩邊相等是先各自算出

9

才比較的。

第 3 題

答案 (E)。

(A) 錯誤。 $lo g_{3} 7 - 2 lo g_{3} 3 = lo g_{3} 7 - lo g_{3} 9 = lo g_{3} \frac{7}{9}$ ，真數小於 $1$ 、底數大於 $1$ ，值為負。

(B) 錯誤。 $lo g_{0.3} 5 - lo g_{0.3} 3 = lo g_{0.3} \frac{5}{3}$ ，底數 $0.3 < 1$ 、真數大於 $1$ ，值為負。

(D) 錯誤。 底數 $\frac{1}{7} < 1$ 、真數 $3 > 1$ ，值為負。

(E) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} = lo g_{2} 3 > 0$ 。

判斷

lo g_{a} b

的正負：

a

、

b

同在

1

的同一側（都大於

1

或都介於

0

、

1

之間）時為正，分在兩側時為負。

02選擇第 4～6 題：指數函數上的等比、對數函數的特性、反函數的對稱

第 4 題

答案 (B)(D)。

① 圖形往右上升，所以 $a > 1$ 。(A) 錯誤。

② 設 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的 $x$ 坐標為 $b - h$ 、 $b$ 、 $b + h$ （ $h > 0$ ，因為 $\overline{A B} = \overline{B C}$ ），則 $\overline{A D} = a^{b - h}, \overline{B E} = a^{b}, \overline{C F} = a^{b + h} .$

③ $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{b - h} \cdot a^{b + h} = a^{2 b} = \overline{B E}^{2}$ ，三線段長成等比數列。(D) 正確。

④ 由算幾不等式， $\overline{A D} + \overline{C F} \geq 2 \overline{A D} \cdot \overline{C F} = 2 \overline{B E}$ ，等號只在 $\overline{A D} = \overline{C F}$ 時成立；但 $a > 1$ 、 $h > 0$ ， $a^{b - h} < a^{b + h}$ ，所以是嚴格大於。(B) 正確。

⑤ 若成等差，則 $\overline{A D} + \overline{C F} = 2 \overline{B E}$ ，與 ④ 矛盾。(C) 錯誤。

⑥ $B$ 為原點時 $b = 0$ ， $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{0} = 1$ ，而 $a \neq = 1$ ，所以不等於 $a^{2}$ 。(E) 錯誤。

載入中...

第 5 題

答案 (A)(C)(D)。

(A) 正確。 $lo g_{a} 1 = 0$ ，所以圖形通過 $(1, 0)$ 。

(B) 錯誤。 $a > 1$ 時遞增， $0 < a < 1$ 時遞減（例如 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ ）。

(D) 正確。 對任何實數 $k$ ， $x = a^{k} > 0$ 滿足 $lo g_{a} x = k$ ，而且只有這一個，所以恰有一交點。

(E) 錯誤。 定義域是 $x > 0$ ；當 $h \leq 0$ 時，鉛直線 $x = h$ 與圖形沒有交點。

載入中...

第 6 題

答案 (B)(C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 $a^{3} = 5$ ，則 $a^{6} = 25$ ，所以 $g (25) = 6$ ；而 $10 \neq = 25$ ， $g$ 是一對一的， $g (10) \neq = 6$ 。

(B) 正確。 $\frac{f ( 146 )}{f ( 123 )} = a^{146 - 123} = a^{23}$ ， $\frac{f ( 46 )}{f ( 23 )} = a^{46 - 23} = a^{23}$ 。

(C) 正確。 $g (246) - g (123) = lo g_{a} \frac{246}{123} = lo g_{a} 2$ ， $g (46) - g (23) = lo g_{a} \frac{46}{23} = lo g_{a} 2$ 。

(D) 正確。 $a > 1$ ， $g$ 是遞增函數。設 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，則 $y_{1} < y_{2}$ ，斜率 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} > 0$ 。

(E) 正確。 $y = f (x)$ 與 $y = g (x)$ 的圖形對稱於 $y = x$ ，直線 $y = 3 x$ 與 $y = \frac{1}{3} x$ 也對稱於 $y = x$ 。

點 $(t, 3 t)$ 是 $y = 3 x$ 與 $y = a^{x}$ 的交點 $⟺ a^{t} = 3 t$ $⟺ lo g_{a} (3 t) = t$ $⟺$ 點 $(3 t, t)$ 是 $y = \frac{1}{3} x$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的交點。

交點一一對應，所以前者有兩個交點時，後者也恰有兩個。

載入中...

圖中以

a = 2

為例：

2^{x} = 3 x

有兩個解，對應的兩組交點對稱於

y = x

。

03選擇第 7～8 題：由圖形判斷對數函數的係數

第 7 題

答案 (A)(C)(E)。

① $g$ 的圖形以 $x = 1$ 為漸近線，所以 $c + d = 0$ ；又過 $(2, 0)$ ， $lo g_{2} (2 c + d) = 0$ ， $2 c + d = 1$ 。解得 $c = 1$ ， $d = - 1$ ，即 $g (x) = lo g_{2} (x - 1)$ 。

② $f$ 過 $(2, 0)$ ： $2 a + b = 1$ 。(A) 正確。

③ $f$ 的圖形往右上升且有鉛直漸近線 $x = - \frac{b}{a}$ ，由圖知 $a > 0$ ，且漸近線在 $y$ 軸與 $x = 1$ 之間： $0 < - \frac{b}{a} < 1$ ，即 $- a < b < 0$ 。

④ 把 $b = 1 - 2 a$ 代入 $- a \frac{1}{2}$ 。所以 $\frac{1}{2} < a < 1$ ， $b = 1 - 2 a$ 介於 $- 1$ 與 $0$ 之間。

⑤ $3 a + b = 3 a + (1 - 2 a) = a + 1 < 2 = 3 c + d$ 。(C) 正確，(B) 錯誤。

⑥ $a < 1 = c$ ，(D) 錯誤。 $b > - 1 = d$ ，(E) 正確。

載入中...

(B)(C) 也可以直接從圖看：

x = 3

時

g

的點比

f

的點高，而

lo g_{2}

遞增，所以真數

3 a + b < 3 c + d

。

第 8 題

答案 (B)(D)。

① 鉛直漸近線是 $x = - 1$ ，而 $y = a + lo g_{b} (c + x)$ 的漸近線是 $c + x = 0$ ，所以 $c = 1$ 。

② $x$ 愈接近 $- 1$ （ $c + x$ 愈接近 $0$ ）時 $y$ 愈大，函數遞減，所以 $0 < b < 1$ 。

③ 圖形和 $y$ 軸交在正半軸。 $x = 0$ 時 $y = a + lo g_{b} c = a + lo g_{b} 1 = a$ ，所以 $a > 0$ 。

④ 得 $a > 0$ ， $0 0$ 、 $0 0.7$ 都對；(C)、(E) 的 $b > 1$ 錯；(D) 都對。

所以 (B) 正確、(D) 正確，(A)(C)(E) 錯誤。

載入中...

圖上標的

(0, 1)

、

(1, 0)

不必用到：只要知道漸近線是

x = - 1

、函數遞減、圖形和

y

軸交在正半軸（交點的

y

坐標是

a + lo g_{b} 1 = a

），就能定出

a > 0

、

0 < b < 1

、

c = 1

。原卷的曲線畫得不精確，沒有真的通過這兩點；若把它們當成曲線通過的點，可再算出

a = 1

、

b = \frac{1}{2}

，結論相同。

04填充第 1～4 題：指對互換、對數律、首數尾數、對數方程式

第 9 題

$x = lo g 5$ 表示 $1 0^{x} = 5$ 。

$10 0^{x} = (1 0^{x})^{2} = 25$ ， $0. 1^{x} = (1 0^{- 1})^{x} = \frac{1}{1 0 ^{x}} = \frac{1}{5}$ 。

所以 $10 0^{x} + 0. 1^{x} = 25 + \frac{1}{5} = \frac{126}{5}$ 。

答案（甲）126/5。

第 10 題

① 分子： $\frac{1}{2} lo g 5 + \frac{1}{2} lo g 2 - 7 lo g 2 - (2 lo g 5 - 5 lo g 2)$

$= \frac{1}{2} (lo g 5 + lo g 2) - 2 lo g 2 - 2 lo g 5 = \frac{1}{2} - 2 (lo g 2 + lo g 5) = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}$ 。

② 分母： $1 + 6 lo g 2 + lo g 45 - 4 lo g 2 + lo g 15 - 3 lo g 3$

$= 1 + 2 lo g 2 + lo g \frac{45 \times 15}{27} = 1 + lo g 4 + lo g 25 = 1 + lo g 100 = 3$ 。

③ 所求 $= \frac{- \frac{3}{2}}{3} = - \frac{1}{2}$ 。

答案（乙）−1/2。

第 11 題

設 $lo g a = m + α$ ， $lo g b = n + β$ （ $m$ 、 $n$ 為首數， $0 \leq α, β < 1$ 為尾數）。

由題意 $m - n = 4$ ， $α - β = - lo g 5$ 。

$lo g \frac{a}{b} = lo g a - lo g b = (m - n) + (α - β) = 4 - lo g 5 = lo g \frac{1 0 ^{4}}{5} = lo g 2000$ 。

答案（丙）2000。

第 12 題

令 $t = lo g x$ ，方程式化為 $(lo g 3 + t) (lo g 5 + t) = 2$ ，即 $t^{2} + (lo g 3 + lo g 5) t + lo g 3 \cdot lo g 5 - 2 = 0.$

判別式 $= (lo g 3 + lo g 5)^{2} - 4 lo g 3 lo g 5 + 8 = (lo g 5 - lo g 3)^{2} + 8 > 0$ ，有兩相異實根 $t_{1} = lo g α$ 、 $t_{2} = lo g β$ 。

由根與係數關係： $lo g α + lo g β = - (lo g 3 + lo g 5) = - lo g 15$ 。

所以 $lo g (α β) = lo g \frac{1}{15}$ ， $α β = \frac{1}{15}$ 。

答案（丁）1/15。

05填充第 5～8 題：指數分式、立方和、分貝、代換求最小值

第 13 題

分子分母同乘 $3^{x}$ ： $f (x) = \frac{9 ^{x} + 1}{9 ^{x} - 1}$ 。

$f (a) = 3$ ： $\frac{9 ^{a} + 1}{9 ^{a} - 1} = 3$ ， $9^{a} + 1 = 3 \cdot 9^{a} - 3$ ，得 $9^{a} = 2$ 。

$f (b) = 2$ ： $\frac{9 ^{b} + 1}{9 ^{b} - 1} = 2$ ， $9^{b} + 1 = 2 \cdot 9^{b} - 2$ ，得 $9^{b} = 3$ 。

$9^{a + b} = 9^{a} \cdot 9^{b} = 6$ ，所以 $f (a + b) = \frac{6 + 1}{6 - 1} = \frac{7}{5}$ 。

答案（戊）7/5。

第 14 題

① $3 + 22 = (1 + 2)^{2}$ ，所以 $a^{2 x} = 1 + 2$ 。

② 令 $u = a^{x} > 0$ ， $u^{2} = 1 + 2$ 。由立方和公式 $\frac{u ^{3} + u ^{- 3}}{u - u ^{- 1}} = \frac{( u + u ^{- 1} ) ( u ^{2} - 1 + u ^{- 2} )}{u - u ^{- 1}} .$

③ 分子分母同乘 $u$ ： $\frac{u + u ^{- 1}}{u - u ^{- 1}} = \frac{u ^{2} + 1}{u ^{2} - 1} = \frac{2 + 2}{2} = 2 + 1$ 。

④ $u^{- 2} = \frac{1}{1 + 2} = 2 - 1$ ，所以 $u^{2} - 1 + u^{- 2} = (1 + 2) - 1 + (2 - 1) = 22 - 1$ 。

⑤ 所求 $= (2 + 1) (22 - 1) = 4 - 2 + 22 - 1 = 3 + 2$ 。

答案（己） $3 + 2$ 。

第 15 題

(1) $I = 1 0^{- 12} = I_{0}$ ： $d = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 12}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 = 0$ 。

答案（庚）0。

(2) $I = 1 0^{- 4}$ ： $\frac{I}{I _{0}} = \frac{1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{8}$ ， $d = 10 lo g 1 0^{8} = 10 \times 8 = 80$ 。

答案（辛）80。

第 16 題

① 令 $t = 2^{x} + 2^{- x}$ 。由算幾不等式 $t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2$ ， $x = 0$ 時 $t = 2$ 。

② $4^{x} + 4^{- x} = (2^{x} + 2^{- x})^{2} - 2 = t^{2} - 2$ 。

③ $f (x) = 2 (t^{2} - 2) - 4 t + 8 = 2 t^{2} - 4 t + 4 = 2 (t - 1)^{2} + 2$ 。

④ 這是開口向上、頂點在 $t = 1$ 的拋物線，但 $t$ 只能取 $t \geq 2$ ；在 $t \geq 2$ 上函數遞增，所以 $t = 2$ 時最小，值為 $2 \times 1^{2} + 2 = 4$ 。

答案（壬）4。

載入中...

頂點

t = 1

取不到，不能直接說最小值是

2

。

06填充第 9～12 題：位數與最高位、純小數、指數上的對數、反函數的對稱

第 17 題

$lo g 8^{600} = 600 \times 3 lo g 2 \approx 1800 \times 0.3010 = 541.8$ 。

首數 $541$ ，所以 $8^{600}$ 是 $542$ 位數。答案（癸）542。

尾數 $0.8$ ： $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ ， $lo g 7 \approx 0.8451$ ， $0.7781 < 0.8 < 0.8451$ 。

所以 $8^{600} = 1 0^{541} \times 1 0^{0.8}$ ， $6 < 1 0^{0.8} < 7$ ，依題目給的近似值，最左端的數字是 $6$ 。答案（子）6（學校公布的答案）。

（用更精確的 $lo g 2$ 計算，最左端的數字其實是 $7$ ，見下方說明。）

這一格要小心：

lo g 2 \approx 0.3010

只有四位，乘上

1800

後誤差被放大。用更精確的

lo g 2 \approx 0.30103

算，

1800 lo g 2 \approx 541.854

，尾數約

0.854

，比

lo g 7 \approx 0.8451

大，所以

8^{600}

實際的最左端數字是

7

（

8^{600} = 7.14 \dots \times 1 0^{541}

）。位數

542

不受影響。學校答案

6

是照題目給的近似值算出的結果。

第 18 題

$lo g (\frac{2}{5})^{100} = 100 (lo g 2 - lo g 5) = 100 (2 lo g 2 - 1) \approx 100 \times (- 0.398) = - 39.8$ 。

$- 39.8 = - 40 + 0.2$ ，首數 $- 40$ 、尾數 $0.2$ ，所以 $(\frac{2}{5})^{100} = 1 0^{0.2} \times 1 0^{- 40}$ 。

首數為 $- 40$ ，小數點後第 $40$ 位才開始出現不為 $0$ 的數字。答案（丑）40。

$lo g 1 = 0 < 0.2 < 0.3010 = lo g 2$ ，所以 $1 < 1 0^{0.2} < 2$ ，這個數字是 $1$ 。答案（寅）1。

第 19 題

$a = lo g_{3} 2$ 表示 $3^{a} = 2$ 。

$b = lo g_{7} 3$ ，所以 $\frac{1}{b} = lo g_{3} 7$ ， $3^{\frac{1}{b}} = 7$ ， $3^{\frac{2}{b}} = 49$ 。

$3^{a - \frac{2}{b} + 1} = 3^{a} \cdot 3^{- \frac{2}{b}} \cdot 3 = 2 \times \frac{1}{49} \times 3 = \frac{6}{49}$ 。

答案（卯）6/49。

第 20 題

① $α$ 是 $y = lo g_{2} x$ 與直線 $y = 6 - x$ 交點 $P$ 的 $x$ 坐標， $P (α, 6 - α)$ 。

② $2^{x} + x = 6$ 即 $2^{x} = 6 - x$ ， $β$ 是 $y = 2^{x}$ 與直線 $y = 6 - x$ 交點 $Q$ 的 $x$ 坐標， $Q (β, 6 - β)$ 。

③ $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{2} x$ 對稱於 $y = x$ ，直線 $y = 6 - x$ 本身也對稱於 $y = x$ （與 $y = x$ 垂直），所以 $P$ 、 $Q$ 對稱於 $y = x$ ，中點 $M$ 是 $y = 6 - x$ 與 $y = x$ 的交點 $(3, 3)$ 。

④ 由中點公式 $\frac{α + β}{2} = 3$ ，所以 $α + β = 6$ 。

答案（辰）6。

載入中...

本題其實可以直接看出：

β = 2

時

2^{2} + 2 = 6

，

α = 4

時

lo g_{2} 4 = 2 = 6 - 4

；兩個方程式左右兩邊各是遞增與遞減，解都只有一個。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 2 題要記得實數指數只在底數為正時有定義；第 6 題 (E) 要看出兩組圖形同時對稱於 y=x；第 7 題要由兩條漸近線的位置推出 a 的範圍；第 14 題用立方和公式並先把根號化成 1 加根號 2；第 16 題代換後要注意 t 至少是 2；第 17 題最左端數字用題目給的近似值得 6，但實際是 7；第 20 題用指數與對數函數圖形的對稱。詳解逐題寫在本頁。

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05填充第 5～8 題：指數分式、立方和、分貝、代換求最小值

06填充第 9～12 題：位數與最高位、純小數、指數上的對數、反函數的對稱

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