段考詳解範圍：第二章 2-1～2-4（指數與指數函數、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

明倫高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多重選擇題 10 題（每題 5 分；所有選項均答對者得 5 分，答錯 1 個選項者得 3 分，答錯 2 個選項者得 1 分，答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算）、選填題 10 題（每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分），合計 100 分。本站題號：多重選擇 1～10，選填 A～J 為第 11～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：50%（註：log2≈0.3010，log3≈0.4771）

關於函數

y = lo g x

的圖形，下列哪些選項正確？

(1) 函數圖形通過點 $(1, 0)$
(2) 函數圖形通過點 $(0, 1)$
(3) 函數圖形和直線 $y = 5$ 恰有一個交點
(4) 函數圖形和直線 $y = - 100$ 沒有交點
(5) 函數圖形和直線 $x = 3$ 的交點在第四象限

若

a > 0

，

a \neq = 1

，下列哪些選項是正確的？

(1) $y = lo g_{a} x$ 的圖形恆在 $y$ 軸右方
(2) 任一鉛直線都恰與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形交於一點
(3) $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口向上
(4) $y = lo g_{a} x$ 的圖形與 $y = lo g_{\frac{1}{a}} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(5) $y = lo g_{a} x$ 與 $y = a^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$

下列何者為真？

(1) $lo g_{5} 125 = 3$
(2) $lo g_{25} \frac{1}{5} = - \frac{1}{2}$
(3) $lo g_{3} 43 > \frac{1}{3}$
(4) $lo g_{4} 2 = \frac{2}{4}$
(5) $(lo g_{\frac{1}{2}} 5) (lo g_{\frac{1}{5}} 2) = lo g_{\frac{1}{10}} 10$

已知

a

，

b

，

c

為大於

1

的實數，且

lo g_{c} a = 2.1

，

lo g_{c} b = 3.5

，則下列哪些選項是正確的？

(1) $c^{2.1} = a$
(2) $a \times b = 5.6$
(3) $lo g_{c} (a b^{2}) = 7.7$
(4) $\frac{a}{b} = c^{- 1.4}$
(5) $lo g_{b} a = 0.6$

設

2^{x} = 3

，

3^{y} = 4

。試選出正確的選項。

(1) $x < \frac{3}{2}$
(2) $y < \frac{3}{2}$
(3) $x < y$
(4) $x y = 2$
(5) $x + y < 22$

若函數

Γ

的圖形與直線

y = x

恰有一個交點，則

Γ

可能是下列哪一個選項？

(1) $y = lo g_{2} x$
(2) $y = lo g_{0.5} x$
(3) $y = 2^{x}$
(4) $y = x^{2}$
(5) $y = - lo g x$

以下各數何者為正？

(1) $lo g_{2} 5 - lo g_{2} 3$
(2) $lo g_{0.5} 5 - lo g_{0.5} 3$
(3) $lo g_{2} \frac{1}{3}$
(4) $lo g_{\frac{1}{2}} 3$
(5) $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$

已知

a > 0

，

a \neq = 1

，

b > 0

，

n

、

m

為非零任意實數，則下列敘述何者正確？

(1) $a^{\frac{l o g b}{l o g a}} = b$
(2) $lo g (a + b) = lo g a + lo g b$
(3) $lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a^{m}} b^{m}$
(4) $lo g (- a)^{2} = 2 lo g (- a)$
(5) $\frac{l o g a}{l o g b} = lo g (a - b)$

下列敘述何者正確？（註：自然對數

ln x = lo g_{e} x

，

e = 2.71828 \dots

）

(1) $(\frac{2}{3})^{- 1} = - \frac{2}{3}$
(2) $(\frac{81}{16})^{0.25} = \frac{3}{2}$
(3) $(- 2)^{0} = 1$
(4) $3^{- l o g_{3} 5} = - 5$
(5) $\frac{l n 2 + l n 6}{2} > ln 4$

下列哪一個數值同時大於

1

又小於

2

？

(1) $lo g_{5} 30$
(2) $lo g_{3} 8$
(3) $lo g_{2} 3$
(4) $lo g_{7} 6$
(5) $lo g_{0.5} 0.4$

二、選填題：50%，每題 5 分

研究鮭魚迴游現象的科學家發現，鮭魚的游速

v

（公尺／秒）與其耗氧量單位數

x

有以下的關係：

v = \frac{lo g \frac{x}{100}}{2 lo g 3}

，試求當鮭魚的耗氧量是

2700

個單位時，此時牠的游速是 ____ 公尺／秒。

化簡

lo g 63 - 2 lo g 6 + 5 lo g 2 - lo g \frac{7}{125}

之值為 ____ 。

化簡

lo g (1 + \frac{1}{2})^{2} + lo g (1 + \frac{1}{3})^{2} + lo g (1 + \frac{1}{4})^{2} + \dots + lo g (1 + \frac{1}{1999})^{2} =

____ 。

化簡

(lo g_{3} 25 + lo g_{9} 125) (lo g_{5} 81 - lo g_{5} 3) =

____ 。

滿足

lo g_{3} (3 x - 9) \leq 4

的整數

x

有 ____ 個。

由電腦科學的理論知道，若要將

n

筆資料按小到大進行排序，只要作大約

(2.3025) \cdot (n \cdot lo g n)

次比較即可。已知作一次比較需要

1 0^{- 7}

秒，則將十億筆資料排序需要 ____ 秒。（四捨五入至整數位）

台灣奧運金牌選手可以獲得獎金

2000

萬元，若羽球金牌選手李洋將

1000

萬元以定期存款存入銀行，年利率為

2.5%

，每年複利計算一次，則至少 ____ 年後本利和才會超過

2000

萬元。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 1.025 \approx 0.0107

）

附圖為

y = \frac{1}{4} a + lo g_{\frac{1}{2}} (x + b)

的部分圖形，已經知道此圖向左延伸會非常靠近直線

x = - 2

，但不會碰觸到，且圖中

A

點坐標為

(0, - \frac{3}{2})

，求數對

(a, b) =

____ 。

載入中...

假設電腦打字輸入每分鐘

x

字時所需的練習時間符合函數

f (x) = - 144 lo g (1 - \frac{x}{100})

，其中練習時間的單位為分鐘，

0 < x < 100

，則想要達到打字速度每分鐘

40

字約需 ____ 分鐘的練習時間。（四捨五入至整數位）

目前國際上通用芮氏規模（

M

）來描述地震強度。若（

E

）代表地震所釋放出來的能量（單位爾格），我們根據地震學家所提出的公式會有：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

，已知民國

88

年集集大地震的規模是

7.6

，而日本

311

大地震的規模是

9.0

，若日本

311

大地震所釋出的能量是集集大地震的

1 0^{T}

倍，則

T =

____ 。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)

第 2 題(1)(4)(5)

第 3 題(1)(2)(4)

第 4 題(1)(4)(5)

第 5 題(2)(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題(1)(3)

第 9 題(2)(3)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題

1.5

第 12 題

3

第 13 題

6

第 14 題

7

第 15 題

27

第 16 題

2072

第 17 題

29

第 18 題

(- 2, 2)

第 19 題

32

第 20 題

2.1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇第 1～5 題：對數函數的圖形、對數求值、比較大小

第 1 題

$y = lo g x$ 的定義域是 $x > 0$ ，值域是全體實數，圖形由左下往右上一路上升。

(1) 正確。 $lo g 1 = 0$ ，所以通過 $(1, 0)$ 。

(2) 錯誤。 $x = 0$ 不在定義域內， $lo g 0$ 沒有意義，圖形不通過 $(0, 1)$ 。

(3) 正確。 $lo g x = 5$ 恰有一解 $x = 1 0^{5}$ ，所以和 $y = 5$ 恰有一個交點。

(4) 錯誤。 $lo g x = - 100$ 有解 $x = 1 0^{- 100}$ ，所以有一個交點。

(5) 錯誤。 $x = 3$ 時 $y = lo g 3 \approx 0.4771 > 0$ ，交點 $(3, lo g 3)$ 在第一象限。

答案 (1)(3)。

載入中...

值域是全體實數，所以任何一條水平線

y = k

都恰與

y = lo g x

交於一點，

k

再大或再小都一樣。

第 2 題

下圖以 $a = 2$ 為例，畫出 $y = lo g_{2} x$ 、 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 、 $y = 2^{x}$ 與 $y = x$ 。

(1) 正確。 定義域是 $x > 0$ ，圖形全部在 $y$ 軸右方。

(2) 錯誤。 鉛直線 $x = k$ 當 $k \leq 0$ 時與圖形沒有交點，例如 $x = - 1$ 。

(3) 錯誤。 凹口方向要看底數： $a > 1$ 時（例如 $y = lo g_{2} x$ ）圖形凹口向下； $0 < a < 1$ 時才凹口向上。

(4) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{a}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{a}} = \frac{lo g x}{- lo g a} = - lo g_{a} x$ 。

把 $y$ 換成 $- y$ 就得到另一個圖形，所以兩圖形對稱於 $x$ 軸。

(5) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數：點 $(p, q)$ 在其中一個圖形上， $(q, p)$ 就在另一個上，所以對稱於 $y = x$ 。

答案 (1)(4)(5)。

載入中...

第 3 題

(1) 正確。 $5^{3} = 125$ ，所以 $lo g_{5} 125 = 3$ 。

(2) 正確。 $2 5^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5}$ ，所以 $lo g_{25} \frac{1}{5} = - \frac{1}{2}$ 。

(3) 錯誤。 $43 = 3^{\frac{1}{4}}$ ，所以 $lo g_{3} 43 = \frac{1}{4}$ ，而 $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ 。

(4) 正確。 $4^{\frac{1}{2}} = 2$ ，所以 $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ 。

(5) 錯誤。 換底： $lo g_{\frac{1}{2}} 5 = \frac{lo g 5}{- lo g 2}$ ， $lo g_{\frac{1}{5}} 2 = \frac{lo g 2}{- lo g 5}$ ，相乘得 $1$ 。

而 $lo g_{\frac{1}{10}} 10 = \frac{lo g 10}{lo g \frac{1}{10}} = \frac{1}{- 1} = - 1$ ，左右不相等。

答案 (1)(2)(4)。

第 4 題

由對數的定義： $a = c^{2.1}$ ， $b = c^{3.5}$ 。

(1) 正確。 就是定義本身： $c^{2.1} = a$ 。

(2) 錯誤。 $a \times b = c^{2.1} \cdot c^{3.5} = c^{5.6}$ ，不是 $5.6$ 。

(3) 錯誤。 $lo g_{c} (a b^{2}) = lo g_{c} a + 2 lo g_{c} b = 2.1 + 7 = 9.1$ 。

(4) 正確。 $\frac{a}{b} = \frac{c ^{2.1}}{c ^{3.5}} = c^{2.1 - 3.5} = c^{- 1.4}$ 。

(5) 正確。 換底： $lo g_{b} a = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b} = \frac{2.1}{3.5} = 0.6$ 。

答案 (1)(4)(5)。

常見錯誤是把 (2) 的「乘積」直接當成兩個對數值相加。對數律是

lo g_{c} (ab) = lo g_{c} a + lo g_{c} b = 5.6

，所以是

ab = c^{5.6}

。

第 5 題

由對數的定義： $x = lo g_{2} 3$ ， $y = lo g_{3} 4$ ，兩個都是正數。

(1) 錯誤。 比較 $2^{x} = 3$ 與 $2^{\frac{3}{2}} = 22$ ： $(22)^{2} = 8 < 9 = 3^{2}$ ，所以 $22 < 3$ 。

底數 $2 > 1$ ，次方大的值大，所以 $x > \frac{3}{2}$ 。

(2) 正確。 比較 $3^{y} = 4$ 與 $3^{\frac{3}{2}} = 33$ ： $(33)^{2} = 27 > 16 = 4^{2}$ ，所以 $33 > 4$ ，得 $y < \frac{3}{2}$ 。

(3) 錯誤。 由 (1)(2)： $y < \frac{3}{2} < x$ 。

(4) 正確。 換底： $x y = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} = \frac{lo g 4}{lo g 2} = 2$ 。

(5) 錯誤。 $x$ 、 $y$ 都是正數，由算幾不等式 $x + y \geq 2 x y = 22$ 。

等號只在 $x = y$ 時成立，而 $x \neq = y$ ，所以 $x + y > 22$ 。

答案 (2)(4)。

用題目給的近似值檢查：

x = \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585

，

y = \frac{0.6020}{0.4771} \approx 1.262

，

x + y \approx 2.847

，比

22 \approx 2.828

大。

對數函數的圖形要分底數大於 1 與小於 1；比較對數大小時，回到指數去比往往最乾淨。

02多重選擇第 6～10 題：交點個數、正負、對數律、指數律、估計範圍

第 6 題

把每個函數與 $y = x$ 畫在一起，數交點。

(1) 錯誤。 $y = 2^{x}$ 的圖形整個在 $y = x$ 上方，而 $y = lo g_{2} x$ 是它對 $y = x$ 的鏡射，整個在 $y = x$ 下方，沒有交點。

(2) 正確。 $y = lo g_{0.5} x$ 遞減， $y = x$ 遞增，至多交一次。

又 $x = \frac{1}{2}$ 時 $lo g_{0.5} \frac{1}{2} = 1 > \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 時 $lo g_{0.5} 1 = 0 < 1$ ，曲線從直線上方跑到下方，恰有一個交點。

(3) 錯誤。 理由同 (1)， $y = 2^{x}$ 與 $y = x$ 沒有交點。

(4) 錯誤。 $x^{2} = x$ 得 $x = 0$ 或 $x = 1$ ，有兩個交點。

(5) 正確。 $y = - lo g x$ 遞減，至多與 $y = x$ 交一次。

$x = \frac{1}{10}$ 時 $- lo g \frac{1}{10} = 1 > \frac{1}{10}$ ， $x = 1$ 時 $- lo g 1 = 0 < 1$ ，恰有一個交點。

答案 (2)(5)。

載入中...

題目寫「哪一個選項」，但本題屬多重選擇，學校答案是 (2)(5) 兩個選項。

第 7 題

判斷正負的原則：底數大於 $1$ 時，真數大於 $1$ 才是正；底數在 $0$ 與 $1$ 之間時，真數小於 $1$ 才是正。

(1) 正確。 $lo g_{2} 5 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{5}{3}$ ，底數 $2 > 1$ 且真數 $\frac{5}{3} > 1$ ，為正。

(2) 錯誤。 $lo g_{0.5} 5 - lo g_{0.5} 3 = lo g_{0.5} \frac{5}{3}$ ，底數小於 $1$ 而真數大於 $1$ ，為負。

(3) 錯誤。 底數 $2 > 1$ ，真數 $\frac{1}{3} < 1$ ，為負。

(4) 錯誤。 底數 $\frac{1}{2} < 1$ ，真數 $3 > 1$ ，為負。

(5) 正確。 底數 $\frac{1}{3} < 1$ ，真數 $\frac{1}{2} < 1$ ，為正；事實上 $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{- lo g 2}{- lo g 3} = lo g_{3} 2 > 0$ 。

答案 (1)(5)。

載入中...

第 8 題

(1) 正確。 換底： $\frac{lo g b}{lo g a} = lo g_{a} b$ ，所以 $a^{\frac{l o g b}{l o g a}} = a^{l o g_{a} b} = b$ 。

(2) 錯誤。 對數律是 $lo g a + lo g b = lo g (ab)$ ，不是 $lo g (a + b)$ 。

反例： $a = b = 10$ 時左邊 $lo g 20$ ，右邊 $lo g 10 + lo g 10 = 2 = lo g 100$ ，不相等。

(3) 正確。 換底： $lo g_{a^{n}} b^{n} = \frac{n lo g b}{n lo g a} = lo g_{a} b$ ，同理 $lo g_{a^{m}} b^{m} = lo g_{a} b$ ，兩者相等。

(4) 錯誤。 $a > 0$ ，所以 $- a < 0$ ， $lo g (- a)$ 的真數是負數，沒有意義。

左邊的 $(- a)^{2} = a^{2} > 0$ 有意義，正確的寫法是 $lo g (- a)^{2} = lo g a^{2} = 2 lo g a$ 。

(5) 錯誤。 對數律是 $lo g a - lo g b = lo g \frac{a}{b}$ ，沒有「兩個對數相除」的規則。

反例： $a = 100$ ， $b = 10$ 時左邊 $\frac{2}{1} = 2$ ，右邊 $lo g 90 \neq = 2$ 。

答案 (1)(3)。

第 9 題

(1) 錯誤。 負指數是取倒數，不是變號： $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ 。

(2) 正確。 $\frac{81}{16} = (\frac{3}{2})^{4}$ ， $0.25 = \frac{1}{4}$ ，所以 $(\frac{81}{16})^{0.25} = \frac{3}{2}$ 。

(3) 正確。 不為 $0$ 的數的 $0$ 次方都是 $1$ ， $- 2 \neq = 0$ 。

(4) 錯誤。 $3^{- l o g_{3} 5} = 3^{l o g_{3} \frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$ ；而且 $3$ 的任何次方都大於 $0$ ，不可能是 $- 5$ 。

(5) 錯誤。 左邊 $= \frac{ln 12}{2} = ln 12$ ，右邊 $ln 4 = ln 16$ 。

底數 $e > 1$ ，真數大的對數值大，而 $12 < 16$ ，所以左邊小於右邊。

答案 (2)(3)。

第 10 題

$lo g_{a} b$ 介於 $1$ 與 $2$ 之間（底數 $a > 1$ 時），等於說 $a < b < a^{2}$ 。

(1) 錯誤。 $5^{2} = 25 < 30$ ，所以 $lo g_{5} 30 > 2$ 。

(2) 正確。 $3 < 8 < 9 = 3^{2}$ ，所以 $1 < lo g_{3} 8 < 2$ 。

(3) 正確。 $2 < 3 < 4 = 2^{2}$ ，所以 $1 < lo g_{2} 3 < 2$ 。

(4) 錯誤。 $6 < 7$ ，所以 $lo g_{7} 6 < 1$ 。

(5) 正確。 換底： $lo g_{0.5} 0.4 = \frac{lo g 0.4}{lo g 0.5} = \frac{lo g \frac{2}{5}}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{lo g \frac{5}{2}}{lo g 2} = lo g_{2} \frac{5}{2}$ 。

$2 < \frac{5}{2} < 4$ ，所以 $1 < lo g_{0.5} 0.4 < 2$ 。

答案 (2)(3)(5)。

用題目給的近似值：

lo g_{0.5} 0.4 = lo g_{2} \frac{5}{2} = \frac{1 - 2 lo g 2}{lo g 2} \approx \frac{0.398}{0.301} \approx 1.32

。

對數律只把乘積拆成和、次方拉到前面；真數必須大於 0。估計對數值，就找真數夾在底數的哪兩個次方之間。

03選填 A～E：代公式、對數律化簡、解對數不等式

第 11 題

① 代入 $x = 2700$ ： $\frac{x}{100} = 27 = 3^{3}$ 。

② $lo g 27 = 3 lo g 3$ ，所以

$v = \frac{3 lo g 3}{2 lo g 3} = \frac{3}{2} = 1.5$

答案 1.5 公尺／秒。

第 12 題

① 用對數律把四項併成一個對數：

$lo g (\frac{63 \times 2 ^{5}}{6 ^{2}} \times \frac{125}{7})$

② 分子 $63 \times 32 \times 125$ ，分母 $36 \times 7$ 。 $63 = 7 \times 9$ ，約去 $7$ 與 $9$ 後剩 $\frac{32 \times 125}{4}$ 。

③ $\frac{32 \times 125}{4} = 8 \times 125 = 1000$ ， $lo g 1000 = 3$ 。

答案 3。

第 13 題

① 每一項： $lo g (1 + \frac{1}{k})^{2} = 2 lo g \frac{k + 1}{k}$ ， $k$ 從 $2$ 到 $1999$ 。

② 全部相加，真數相乘：

$2 lo g (\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{2000}{1999})$

③ 相鄰的分子分母一路約掉，括號內只剩 $\frac{2000}{2} = 1000$ 。

④ 所以原式 $= 2 lo g 1000 = 2 \times 3 = 6$ 。

答案 6。

第 14 題

① 全部換成以 $3$ 為底與以 $5$ 為底： $lo g_{3} 25 = 2 lo g_{3} 5$ ， $lo g_{9} 125 = \frac{3 lo g _{3} 5}{2}$ 。

② 第一個括號 $= 2 lo g_{3} 5 + \frac{3}{2} lo g_{3} 5 = \frac{7}{2} lo g_{3} 5$ 。

③ $lo g_{5} 81 = 4 lo g_{5} 3$ ， $lo g_{5} 3 = \frac{lo g _{5} 3}{\frac{1}{2}} = 2 lo g_{5} 3$ 。

④ 第二個括號 $= 4 lo g_{5} 3 - 2 lo g_{5} 3 = 2 lo g_{5} 3$ 。

⑤ 相乘： $\frac{7}{2} lo g_{3} 5 \times 2 lo g_{5} 3 = 7 \times (lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 3) = 7 \times 1 = 7$ 。

答案 7。

第 15 題

① 真數要大於 $0$ ： $3 x - 9 > 0$ ，即 $x > 3$ 。

② $4 = lo g_{3} 81$ ，底數 $3 > 1$ ，對數值小的真數也小： $3 x - 9 \leq 81$ ，即 $x \leq 30$ 。

③ 合起來 $3 < x \leq 30$ （下圖數線上 $3$ 是空心點、 $30$ 是實心點）。

④ 整數 $x = 4, 5, \dots, 30$ ，共 $30 - 4 + 1 = 27$ 個。

答案 27。

載入中...

常見錯誤是忘了真數條件，把

x \leq 30

的所有正整數都算進去，或把

x = 3

也算進去（

x = 3

時真數是

0

，沒有意義）。

化簡對數先用對數律併成一個對數；解對數不等式別忘了真數大於 0。

04選填 F～J：排序時間、複利、由圖求參數、練習時間、地震能量

第 16 題

① 十億筆 $n = 1 0^{9}$ ， $lo g n = 9$ 。

② 比較次數約 $2.3025 \times 1 0^{9} \times 9 = 20.7225 \times 1 0^{9}$ 次。

③ 每次 $1 0^{- 7}$ 秒，總時間 $20.7225 \times 1 0^{9} \times 1 0^{- 7} = 20.7225 \times 100 = 2072.25$ 秒。

④ 四捨五入至整數位： $2072$ 秒。

答案 2072。

第 17 題

① $n$ 年後本利和 $1000 \times 1.02 5^{n}$ 萬元，要超過 $2000$ 萬元： $1.02 5^{n} > 2$ 。

② 兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）： $n lo g 1.025 > lo g 2$ 。

③ $n > \frac{0.3010}{0.0107} \approx 28.13$ 。

④ $n$ 是整數，至少 $29$ 年。

答案 29。

若只存

28

年，

28 \times 0.0107 = 0.2996 < 0.3010

，本利和還不到

2000

萬元。

第 18 題

① 真數 $x + b > 0$ ，即 $x > - b$ 。圖形向左越來越靠近直線 $x = - b$ 而碰不到。

② 題目說靠近的是 $x = - 2$ ，所以 $- b = - 2$ ， $b = 2$ 。

③ 函數成為 $y = \frac{1}{4} a + lo g_{\frac{1}{2}} (x + 2)$ 。代入 $A (0, - \frac{3}{2})$ ：

$- \frac{3}{2} = \frac{1}{4} a + lo g_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{1}{4} a - 1$

④ 所以 $\frac{1}{4} a = - \frac{1}{2}$ ， $a = - 2$ 。

所以數對 $(a, b) = (- 2, 2)$ 。

載入中...

檢查：

y = - \frac{1}{2} + lo g_{\frac{1}{2}} (x + 2)

遞減，

x

接近

- 2

時

y

變得很大，與題目的圖相符。

第 19 題

① 代入 $x = 40$ ： $1 - \frac{40}{100} = 0.6$ ，所以 $f (40) = - 144 lo g 0.6$ 。

② $lo g 0.6 = lo g \frac{2 \times 3}{10} = lo g 2 + lo g 3 - 1 \approx 0.3010 + 0.4771 - 1 = - 0.2219$ 。

③ $f (40) \approx - 144 \times (- 0.2219) = 31.9536$ 。

④ 四捨五入至整數位：約 $32$ 分鐘。

答案 32。

lo g 2

、

lo g 3

的近似值是卷首第一大題標題旁給的。

第 20 題

① 設集集大地震的能量 $E_{1}$ 、日本 $311$ 大地震的能量 $E_{2}$ ：

$lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 7.6$ ， $lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 9.0$ 。

② 相減： $lo g E_{2} - lo g E_{1} = 1.5 \times (9.0 - 7.6) = 1.5 \times 1.4 = 2.1$ 。

③ 即 $lo g \frac{E _{2}}{E _{1}} = 2.1$ ， $\frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{2.1}$ ，所以 $T = 2.1$ 。

答案 2.1。

規模每差

1

，能量差

1 0^{1.5} \approx 31.6

倍；不必算出兩個能量本身，相減就把

11.8

消掉了。

應用題的關鍵是把題意寫成指數式，再取常用對數；比較兩個量的倍數時，對數相減最省事。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

明倫高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題對數函數的凹口方向要看底數大於 1 或小於 1；第 5 題 x 與 3/2 比大小要回到 2 的次方去比，x＋y 用算幾不等式；第 6 題要分別看五個函數與 y＝x 的交點個數；第 8 題第 (4) 項 log(−a) 的真數是負數，沒有意義；選填 C 是一串相鄰分數相乘的消去；選填 H 由漸近線讀出 b，再代 A 點求 a。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自明倫高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

明倫高中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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03選填 A～E：代公式、對數律化簡、解對數不等式

04選填 F～J：排序時間、複利、由圖求參數、練習時間、地震能量

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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