段考詳解範圍：指數與對數、指數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

明誠高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

數B 組作答 A、B、D 三區共 100 分：A 區填充第 1～9 題（原卷第 1 題兩小題各 3 分，其餘每題 6 分）與連連看第 10～17 題（每格 3 分）；B 區第 18、19 題各 4 分；D 區第 20～23 題共 20 分。原卷 C 區僅數A 組作答，不在本卷。卷末附參考數值 log 1.1 ≈ 0.0414，log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

A區：基本分區：共72分　此區數A、B組的同學都要寫　一、填充題：每題6分，共48分

(1)

lo g_{4} 2 =

？

(2)

lo g_{9} \frac{1}{81} =

？

試解

5^{x - 8} = (5)^{x}

。

試求

2 lo g 5 - lo g 3 + lo g 9

。

試解

(0.3)^{x} < 0.09

。

試解

lo g_{2} x < lo g_{2} (x^{2} + 2)

。

藥物的“半衰期”是指藥物經由體內吸收之後，分布到血液中，達到最高濃度後，經由代謝之後，血液中濃度下降至一半所需時間。設某種藥物經由人體吸收後，達到的最大濃度為

10

(mg / L)，已知此藥物的半衰期為

3

小時，試問達到最高濃度後的

12

小時，藥物的濃度為多少？

在心理學測試中，給受測者展示一組沒意義的符號，例如

P O K

，

R T Z

，

P D Q

等，然後每隔

1

秒鐘詢問一次是否還記得這些符號。

t

秒鐘後，受測者記得這些符號的百分比

P (t)

(%) 可用對數函數來描述：

P (t) = a - b lo g_{2} t

，其中

t \geq 1

。已知

2

秒，

8

秒後，記得這些符號的的百分比分別為

62%

，

26%

，根據這兩筆資料，求出數對

(a, b) =

？

某商品的廣告效應的模型可用對數函數來表示：

N (x) = 1000 + 500 lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

為銷售數量 (單位：個)，

x

為廣告費用 (單位：萬元)。若希望銷售量達到

2000

個的時候，試問要花費多少廣告費？

二、連連看：請將正確的圖形連接正確的函數，每個3分，共24分

二、連連看（第 10～17 題，原卷 (1)～(8)）（第 10～17 題）　（本站補註：原卷的函數表旁並排兩張圖；本頁把曲線 A～D 的圖放在第 10 題下方，曲線甲～丁的圖放在第 14 題下方。）

(1)

y = 2^{x}

載入中...

(2)

y = 3^{x}

(3)

y = 0. 2^{x}

(4)

y = 0. 7^{x}

(5)

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

載入中...

(6)

y = lo g_{\frac{1}{7}} x

(7)

y = lo g_{2} x

(8)

y = lo g_{4} x

B 區：綜合區：共8分，請寫出詳細過程。此區數A、B組的同學都要寫

B 區綜合區（第 18、19 題，原卷 B 區 (1)(2)）（第 18～19 題）　兩千多年前希臘天文學家帕克斯(Hipparchus)，把所觀察的

1022

顆恆星按照亮度分類

1

等星到

6

等星。到了

1850

年，英國天文學家普森(Pogson)發現

1

等星的亮度是

6

等星的

100

倍，且隨著星等增加，亮度成等比數列遞減。若

k

等星的亮度為

F

，則

k = - 2.5 lo g \frac{F}{F _{0}}

，其中

F_{0}

為參考基準織女星的亮度，請利用下表，求：

x 1 0^{x} 0.1 1.26 0.2 1.58 0.3 2.00 0.4 2.51 0.5 3.16 0.6 3.98 0.7 5.01 0.8 6.31 0.9 7.94

(1) 若兩顆星等相差一個星等，較亮星的亮度是較暗星的幾倍？

(2) 滿月約為

- 12

星等，太陽約為

- 26

星等，則太陽的亮度大約是滿月的幾倍？

(A) 超過4百萬倍
(B) 一百萬倍
(C) 40萬倍
(D) 25萬倍
(E) 14萬倍

D區：共20分，此區僅數B的同學需作答

已知三實數

lo g_{2} a

、

lo g_{4} b

、

lo g_{8} c

成等差數列，可得到

a

、

b

、

c

之關係式為

b = a^{x} \cdot c^{y}

，則數對

(x, y) =

？

若

\frac{1}{lo g _{32} a} - \frac{1}{lo g _{16} a} + \frac{1}{lo g _{8} a} - \frac{1}{lo g _{4} a} + \frac{1}{lo g _{2} a} = 1

，則

a =

？

求

∣ lo g_{2} x ∣ + x = 3

有幾個實數解？

已知

lo g_{5} [lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z)] = lo g_{3} [lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{3} y)] = lo g_{2} [lo g_{\frac{1}{2}} (lo g_{2} x)] = 0

，則

x

、

y

、

z

三數大小關係為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{1}{4}

第 2 題

- 2

第 3 題

x = 16

第 4 題

lo g 75

第 5 題

x > 2

第 6 題

x > 0

第 7 題

0.625

(mg / L)

第 8 題

(a, b) = (80, 18)

第 9 題

3

萬元

第 10 題D

第 11 題C

第 12 題B

第 13 題A

第 14 題丁

第 15 題丙

第 16 題甲

第 17 題乙

第 18 題

1 0^{0.4} \approx 2.51

倍

第 19 題(C)

第 20 題

(x, y) = (1, \frac{1}{3})

第 21 題

a = 8

第 22 題

2

個

第 23 題

y > x > z

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～4 題（原卷填充 1～3）：對數求值、指數方程式、對數律

第 1 題

① 設 $lo g_{4} 2 = t$ ，則 $4^{t} = 2$ 。

② 兩邊都寫成 $2$ 的次方： $2^{2 t} = 2^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $2 t = \frac{1}{2}$ 。

答案 $t = \frac{1}{4}$ 。

也可以用換底：

lo g_{4} 2 = \frac{lo g _{2} 2}{lo g _{2} 4} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

。

第 2 題

① 設 $lo g_{9} \frac{1}{81} = s$ ，則 $9^{s} = \frac{1}{81}$ 。

② $81 = 9^{2}$ ，所以 $\frac{1}{81} = 9^{- 2}$ ，得 $s = - 2$ 。

答案 $- 2$ 。

真數小於

1

、底數大於

1

，對數值是負的，可以先用來檢查正負號。

第 3 題

① $5 = 5^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $(5)^{x} = 5^{\frac{x}{2}}$ 。

② 兩邊同底，指數相等： $x - 8 = \frac{x}{2}$ 。

③ 移項得 $\frac{x}{2} = 8$ ， $x = 16$ 。

答案 $x = 16$ 。

代回檢查：左邊

5^{8}

，右邊

(5)^{16} = 5^{8}

，相等。

第 4 題

① $2 lo g 5 = lo g 5^{2} = lo g 25$ 。

② $- lo g 3 + lo g 9 = lo g \frac{9}{3} = lo g 3$ 。

③ 合起來： $lo g 25 + lo g 3 = lo g 75$ 。

答案 $lo g 75$ 。

用卷末參考數值可算出近似值：

lo g 75 = lo g \frac{300}{4} = lo g 3 + 2 - 2 lo g 2 \approx 1.8751

。

對數求值先把底數與真數寫成同一個數的次方；對數律把「係數、加減」變成「次方、乘除」。

02填充第 5、6 題（原卷填充 4、5）：指數不等式與對數不等式

第 5 題

① $0.09 = (0.3)^{2}$ ，不等式改寫成 $(0.3)^{x} < (0.3)^{2}$ 。

② 底數 $0.3$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (0.3)^{x}$ 是遞減函數： $x$ 愈大，函數值愈小。

③ 所以函數值比較小的一邊，指數反而比較大： $x > 2$ 。

答案 $x > 2$ 。

載入中...

常見錯誤是照抄成

x < 2

。看圖：曲線在直線

y = 0.09

下方的部分，正好是

x > 2

那一段。

第 6 題

① 先寫真數的限制： $x > 0$ 且 $x^{2} + 2 > 0$ 。後者對所有實數都成立，所以限制是 $x > 0$ 。

② 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 是遞增函數，不等式等價於 $x < x^{2} + 2$ ，即 $x^{2} - x + 2 > 0$ 。

③ $x^{2} - x + 2$ 的判別式 $(- 1)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = - 7 < 0$ ，首項係數為正，所以對所有實數都大於 $0$ 。

④ 與真數限制取交集，得 $x > 0$ 。

答案 $x > 0$ 。

載入中...

拋物線

y = x^{2} + 2

整條都在直線

y = x

上方，所以第 ② 步永遠成立；真正限制答案的是第 ① 步的真數條件。

指數、對數不等式：先寫定義域，再看底數與

1

的大小——底數大於

1

不等號方向不變，介於

0

與

1

之間不等號反向。

03填充第 7～9 題（原卷填充 6～8）：指數與對數的應用

第 7 題

① 半衰期 $3$ 小時：每過 $3$ 小時，濃度變成原來的 $\frac{1}{2}$ 。

② $12$ 小時是 $\frac{12}{3} = 4$ 個半衰期。

③ 濃度 $= 10 \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{10}{16} = 0.625$ (mg / L)。

答案 $0.625$ (mg / L)。

載入中...

寫成函數就是

C (t) = 10 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}

，

t

以小時計。

第 8 題

① 代 $t = 2$ ： $lo g_{2} 2 = 1$ ，得 $a - b = 62$ 。

② 代 $t = 8$ ： $lo g_{2} 8 = 3$ ，得 $a - 3 b = 26$ 。

③ 兩式相減： $2 b = 36$ ， $b = 18$ ；代回得 $a = 80$ 。

答案 $(a, b) = (80, 18)$ 。

檢查：

P (8) = 80 - 18 \times 3 = 26

，符合。

第 9 題

① 令 $N (x) = 2000$ ： $1000 + 500 lo g_{2} (x + 1) = 2000$ 。

② $500 lo g_{2} (x + 1) = 1000$ ，所以 $lo g_{2} (x + 1) = 2$ 。

③ $x + 1 = 2^{2} = 4$ ， $x = 3$ 。

答案：要花費 $3$ 萬元廣告費。

x

的單位是萬元，答案要帶單位。

應用題先把文字翻成式子：半衰期是「每過固定時間乘

\frac{1}{2}

」；對數模型給兩筆資料，就是兩個未知數的聯立方程式。

04連連看第 10～17 題（原卷 (1)～(8)）：由底數辨認圖形

第 10 題

第 10～13 題比的是圖形 A、B、C、D。

① 四條曲線都通過 $(0, 1)$ 。底數大於 $1$ 的遞增，底數介於 $0$ 與 $1$ 之間的遞減：C、D 是 $y = 2^{x}$ 、 $y = 3^{x}$ ，A、B 是 $y = 0. 2^{x}$ 、 $y = 0. 7^{x}$ 。

② 畫鉛直線 $x = 1$ ： $y = 3^{x}$ 高 $3$ ， $y = 2^{x}$ 高 $2$ 。在 $x > 0$ 那一側 C 比 D 高，所以 C 是 $y = 3^{x}$ ，D 是 $y = 2^{x}$ 。

答案 $y = 2^{x}$ 連 D。

載入中...

遞增的指數函數，底數愈大，在

x > 0

那一側愈陡、愈高。

第 11 題

同第 10 題的比較：在 $x = 1$ 處 $3^{1} = 3 > 2^{1} = 2$ ，較高的 C 是 $y = 3^{x}$ 。

答案 $y = 3^{x}$ 連 C。

第 12 題

① A、B 遞減，比 $x < 0$ 那一側。代 $x = - 1$ ： $0. 2^{- 1} = 5$ ， $0. 7^{- 1} = \frac{10}{7} \approx 1.43$ 。

② 往左升得快、貼近 $y$ 軸的 B，在 $x = - 1$ 時比較高，所以 B 是 $y = 0. 2^{x}$ 。

答案 $y = 0. 2^{x}$ 連 B。

遞減的指數函數，底數愈小（離

1

愈遠），往左升得愈快。

第 13 題

同第 12 題：在 $x = - 1$ 處 $y = 0. 7^{x}$ 只有 $\frac{10}{7}$ ，升得慢，是離 $y$ 軸較遠的 A。

答案 $y = 0. 7^{x}$ 連 A。

第 14 題

第 14～17 題比的是圖形甲、乙、丙、丁。

① 四條曲線都通過 $(1, 0)$ 。 $y = lo g_{2} x$ 、 $y = lo g_{4} x$ 遞增，是甲、乙； $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 、 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 遞減，是丙、丁。

② 畫水平線 $y = - 1$ ： $lo g_{\frac{1}{3}} x = - 1$ 在 $x = 3$ ， $lo g_{\frac{1}{7}} x = - 1$ 在 $x = 7$ 。

③ 丁先碰到這條線（ $x = 3$ ），所以丁是 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 。

答案 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 連丁。

載入中...

底數小於

1

時，底數愈小的曲線在

x > 1

反而愈靠近

x

軸；不要只看底數大小，代同一個函數值去比最穩。

第 15 題

同第 14 題： $lo g_{\frac{1}{7}} x = - 1$ 要到 $x = 7$ 才成立，比丁晚碰到 $y = - 1$ ，下降得慢，是丙。

答案 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 連丙。

第 16 題

① 畫水平線 $y = 1$ ： $lo g_{2} x = 1$ 在 $x = 2$ ， $lo g_{4} x = 1$ 在 $x = 4$ 。

② 甲先碰到這條線，所以甲是 $y = lo g_{2} x$ 。

答案 $y = lo g_{2} x$ 連甲。

第 17 題

同第 16 題： $lo g_{4} x = 1$ 要到 $x = 4$ 才成立，上升得慢，是乙。

答案 $y = lo g_{4} x$ 連乙。

也可以在同一個

x

比：

x = 4

時

lo g_{2} 4 = 2

、

lo g_{4} 4 = 1

，甲比乙高。

認圖形先看「過哪個定點、遞增或遞減」分兩組，再畫一條鉛直線或水平線比高低。

05B 區第 18、19 題：星等與亮度

第 18 題

① 設較亮星為 $k$ 等、亮度 $F_{1}$ ，較暗星為 $k + 1$ 等、亮度 $F_{2}$ 。

② 由公式： $k = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{0}}$ ， $k + 1 = - 2.5 lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}$ 。

③ 兩式相減： $- 1 = - 2.5 (lo g \frac{F _{1}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ 。

④ 所以 $lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = 0.4$ ， $\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{0.4}$ ，查表得約 $2.51$ 。

答案： $1 0^{0.4} \approx 2.51$ 倍。

用題目的資料檢查：相差

5

個星等時

lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = \frac{5}{2.5} = 2

，亮度比

100

倍，與普森的發現一致。

第 19 題

① 太陽與滿月相差 $- 12 - (- 26) = 14$ 個星等，太陽較亮。

② 同第 18 題的相減方法： $14 = 2.5 lo g \frac{F _{日}}{F _{月}}$ ，所以 $lo g \frac{F _{日}}{F _{月}} = 5.6$ 。

③ $1 0^{5.6} = 1 0^{5} \times 1 0^{0.6}$ ，查表 $1 0^{0.6} \approx 3.98$ ，約 $3.98 \times 1 0^{5}$ ，也就是約 $40$ 萬倍。

答案 (C)。

星等數字愈小（愈負）的愈亮；相差的星等數除以

2.5

，就是亮度比的常用對數。

星等公式兩式相減，基準

F_{0}

會消掉：星等差

= 2.5 \times lo g

（亮度比）。

06D 區第 20～23 題：對數律、換底、圖形與大小比較

第 20 題

① 換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} b = \frac{lo g _{2} b}{2}$ ， $lo g_{8} c = \frac{lo g _{2} c}{3}$ 。

② 成等差數列，中項的 $2$ 倍等於兩端的和： $2 \cdot \frac{lo g _{2} b}{2} = lo g_{2} a + \frac{lo g _{2} c}{3}$ 。

③ 即 $lo g_{2} b = lo g_{2} a + lo g_{2} c^{\frac{1}{3}} = lo g_{2} (a \cdot c^{\frac{1}{3}})$ ，所以 $b = a \cdot c^{\frac{1}{3}}$ 。

答案 $(x, y) = (1, \frac{1}{3})$ 。

a

、

b

、

c

都要是正數，對數才有意義；兩邊同底的對數相等，真數就相等。

第 21 題

① 換底公式： $\frac{1}{lo g _{n} a} = lo g_{a} n$ 。

② 原式變成 $lo g_{a} 32 - lo g_{a} 16 + lo g_{a} 8 - lo g_{a} 4 + lo g_{a} 2 = 1$ 。

③ 用對數律合併： $lo g_{a} \frac{32 \times 8 \times 2}{16 \times 4} = lo g_{a} 8 = 1$ 。

④ 所以 $a = 8$ 。

答案 $a = 8$ 。

也可以全部寫成

lo g_{a} 2

的倍數：

(5 - 4 + 3 - 2 + 1) lo g_{a} 2 = 3 lo g_{a} 2 = lo g_{a} 8

。

第 22 題

① 改寫成 $∣ lo g_{2} x ∣ = 3 - x$ ，實數解的個數就是 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 與直線 $y = 3 - x$ 的交點個數（ $x > 0$ ）。

② $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ ：把 $y = lo g_{2} x$ 在 $x$ 軸下方的部分（ $0 < x < 1$ ）翻到上方，在 $(1, 0)$ 碰到 $x$ 軸。

③ $x \geq 1$ 時曲線 $y = lo g_{2} x$ 遞增、直線遞減，最多一個交點；代 $x = 2$ 兩邊都是 $1$ ，交點是 $(2, 1)$ 。

④ $0 < x < 1$ 時： $x = \frac{1}{8}$ 曲線高 $3$ 、直線高 $\frac{23}{8}$ ，曲線在上； $x = \frac{1}{4}$ 曲線高 $2$ 、直線高 $\frac{11}{4}$ ，直線在上。曲線往右一路下降到 $(1, 0)$ ，由圖可見與直線只交一次。

答案：共 $2$ 個實數解。

載入中...

0 < x < 1

這段，曲線從很高的地方一路下降到

(1, 0)

，直線只從

3

緩緩降到

2

；由圖可見

0 < x < 1

只交一次，這個交點約在

x \approx 0.14

。

第 23 題

① 外層對數等於 $0$ ，真數就是 $1$ ： $lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z) = 1$ 。

② 所以 $lo g_{5} z = \frac{1}{5}$ ， $z = 5^{\frac{1}{5}}$ 。同理 $y = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $x = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

③ 三數都是正數，同時取 $30$ 次方比較： $x^{30} = 2^{15} = 32768$ ， $y^{30} = 3^{10} = 59049$ ， $z^{30} = 5^{6} = 15625$ 。

④ $59049 > 32768 > 15625$ ，所以 $y > x > z$ 。

答案 $y > x > z$ 。

30

是

2

、

3

、

5

的最小公倍數，取它可以把三個分數指數都化成整數。

對數式層層剝開：

lo g_{a} b = c

就是

b = a^{c}

；比較

a^{\frac{1}{m}}

型的數，取指數分母的公倍數次方化成整數。

同一次段考的其他學校

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常見問題

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本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

明誠高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題底數零點三小於一，比較指數時不等號要反向；第 6 題要先寫真數大於零的限制，答案不是全體實數；第 14、15 題底數小於一的兩條對數曲線，要代同一個函數值去比，不能只看底數大小；第 22 題在零與一之間還有一個交點，容易只找到二這個根。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自明誠高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數、指數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

A區：基本分區：共72分　此區數A、B組的同學都要寫　一、填充題：每題6分，共48分

(1)

lo g_{4} 2 =

？

(2)

lo g_{9} \frac{1}{81} =

？

試解

5^{x - 8} = (5)^{x}

。

試求

2 lo g 5 - lo g 3 + lo g 9

。

試解

(0.3)^{x} < 0.09

。

試解

lo g_{2} x < lo g_{2} (x^{2} + 2)

。

10

(mg / L)，已知此藥物的半衰期為

3

小時，試問達到最高濃度後的

12

小時，藥物的濃度為多少？

在心理學測試中，給受測者展示一組沒意義的符號，例如

P O K

，

R T Z

，

P D Q

等，然後每隔

1

秒鐘詢問一次是否還記得這些符號。

t

秒鐘後，受測者記得這些符號的百分比

P (t)

(%) 可用對數函數來描述：

P (t) = a - b lo g_{2} t

，其中

t \geq 1

。已知

2

秒，

8

秒後，記得這些符號的的百分比分別為

62%

，

26%

，根據這兩筆資料，求出數對

(a, b) =

？

某商品的廣告效應的模型可用對數函數來表示：

N (x) = 1000 + 500 lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

為銷售數量 (單位：個)，

x

為廣告費用 (單位：萬元)。若希望銷售量達到

2000

個的時候，試問要花費多少廣告費？

二、連連看：請將正確的圖形連接正確的函數，每個3分，共24分

(1)

y = 2^{x}

載入中...

(2)

y = 3^{x}

(3)

y = 0. 2^{x}

(4)

y = 0. 7^{x}

(5)

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

載入中...

(6)

y = lo g_{\frac{1}{7}} x

(7)

y = lo g_{2} x

(8)

y = lo g_{4} x

B 區：綜合區：共8分，請寫出詳細過程。此區數A、B組的同學都要寫

B 區綜合區（第 18、19 題，原卷 B 區 (1)(2)）（第 18～19 題）　兩千多年前希臘天文學家帕克斯(Hipparchus)，把所觀察的

1022

顆恆星按照亮度分類

1

等星到

6

等星。到了

1850

年，英國天文學家普森(Pogson)發現

1

等星的亮度是

6

等星的

100

倍，且隨著星等增加，亮度成等比數列遞減。若

k

等星的亮度為

F

，則

k = - 2.5 lo g \frac{F}{F _{0}}

，其中

F_{0}

為參考基準織女星的亮度，請利用下表，求：

x 1 0^{x} 0.1 1.26 0.2 1.58 0.3 2.00 0.4 2.51 0.5 3.16 0.6 3.98 0.7 5.01 0.8 6.31 0.9 7.94

(1) 若兩顆星等相差一個星等，較亮星的亮度是較暗星的幾倍？

(2) 滿月約為

- 12

星等，太陽約為

- 26

星等，則太陽的亮度大約是滿月的幾倍？

(A) 超過4百萬倍
(B) 一百萬倍
(C) 40萬倍
(D) 25萬倍
(E) 14萬倍

D區：共20分，此區僅數B的同學需作答

已知三實數

lo g_{2} a

、

lo g_{4} b

、

lo g_{8} c

成等差數列，可得到

a

、

b

、

c

之關係式為

b = a^{x} \cdot c^{y}

，則數對

(x, y) =

？

若

\frac{1}{lo g _{32} a} - \frac{1}{lo g _{16} a} + \frac{1}{lo g _{8} a} - \frac{1}{lo g _{4} a} + \frac{1}{lo g _{2} a} = 1

，則

a =

？

求

∣ lo g_{2} x ∣ + x = 3

有幾個實數解？

已知

lo g_{5} [lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z)] = lo g_{3} [lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{3} y)] = lo g_{2} [lo g_{\frac{1}{2}} (lo g_{2} x)] = 0

，則

x

、

y

、

z

三數大小關係為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{1}{4}

第 2 題

- 2

第 3 題

x = 16

第 4 題

lo g 75

第 5 題

x > 2

第 6 題

x > 0

第 7 題

0.625

(mg / L)

第 8 題

(a, b) = (80, 18)

第 9 題

3

萬元

第 10 題D

第 11 題C

第 12 題B

第 13 題A

第 14 題丁

第 15 題丙

第 16 題甲

第 17 題乙

第 18 題

1 0^{0.4} \approx 2.51

倍

第 19 題(C)

第 20 題

(x, y) = (1, \frac{1}{3})

第 21 題

a = 8

第 22 題

2

個

第 23 題

y > x > z

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充第 1～4 題（原卷填充 1～3）：對數求值、指數方程式、對數律

第 1 題

① 設 $lo g_{4} 2 = t$ ，則 $4^{t} = 2$ 。

② 兩邊都寫成 $2$ 的次方： $2^{2 t} = 2^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $2 t = \frac{1}{2}$ 。

答案 $t = \frac{1}{4}$ 。

也可以用換底：

lo g_{4} 2 = \frac{lo g _{2} 2}{lo g _{2} 4} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

。

第 2 題

① 設 $lo g_{9} \frac{1}{81} = s$ ，則 $9^{s} = \frac{1}{81}$ 。

② $81 = 9^{2}$ ，所以 $\frac{1}{81} = 9^{- 2}$ ，得 $s = - 2$ 。

答案 $- 2$ 。

真數小於

1

、底數大於

1

，對數值是負的，可以先用來檢查正負號。

第 3 題

① $5 = 5^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $(5)^{x} = 5^{\frac{x}{2}}$ 。

② 兩邊同底，指數相等： $x - 8 = \frac{x}{2}$ 。

③ 移項得 $\frac{x}{2} = 8$ ， $x = 16$ 。

答案 $x = 16$ 。

代回檢查：左邊

5^{8}

，右邊

(5)^{16} = 5^{8}

，相等。

第 4 題

① $2 lo g 5 = lo g 5^{2} = lo g 25$ 。

② $- lo g 3 + lo g 9 = lo g \frac{9}{3} = lo g 3$ 。

③ 合起來： $lo g 25 + lo g 3 = lo g 75$ 。

答案 $lo g 75$ 。

用卷末參考數值可算出近似值：

lo g 75 = lo g \frac{300}{4} = lo g 3 + 2 - 2 lo g 2 \approx 1.8751

。

對數求值先把底數與真數寫成同一個數的次方；對數律把「係數、加減」變成「次方、乘除」。

02填充第 5、6 題（原卷填充 4、5）：指數不等式與對數不等式

第 5 題

① $0.09 = (0.3)^{2}$ ，不等式改寫成 $(0.3)^{x} < (0.3)^{2}$ 。

② 底數 $0.3$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (0.3)^{x}$ 是遞減函數： $x$ 愈大，函數值愈小。

③ 所以函數值比較小的一邊，指數反而比較大： $x > 2$ 。

答案 $x > 2$ 。

載入中...

常見錯誤是照抄成

x < 2

。看圖：曲線在直線

y = 0.09

下方的部分，正好是

x > 2

那一段。

第 6 題

① 先寫真數的限制： $x > 0$ 且 $x^{2} + 2 > 0$ 。後者對所有實數都成立，所以限制是 $x > 0$ 。

② 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 是遞增函數，不等式等價於 $x < x^{2} + 2$ ，即 $x^{2} - x + 2 > 0$ 。

③ $x^{2} - x + 2$ 的判別式 $(- 1)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = - 7 < 0$ ，首項係數為正，所以對所有實數都大於 $0$ 。

④ 與真數限制取交集，得 $x > 0$ 。

答案 $x > 0$ 。

載入中...

拋物線

y = x^{2} + 2

整條都在直線

y = x

上方，所以第 ② 步永遠成立；真正限制答案的是第 ① 步的真數條件。

指數、對數不等式：先寫定義域，再看底數與

1

的大小——底數大於

1

不等號方向不變，介於

0

與

1

之間不等號反向。

03填充第 7～9 題（原卷填充 6～8）：指數與對數的應用

第 7 題

① 半衰期 $3$ 小時：每過 $3$ 小時，濃度變成原來的 $\frac{1}{2}$ 。

② $12$ 小時是 $\frac{12}{3} = 4$ 個半衰期。

③ 濃度 $= 10 \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{10}{16} = 0.625$ (mg / L)。

答案 $0.625$ (mg / L)。

載入中...

寫成函數就是

C (t) = 10 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}

，

t

以小時計。

第 8 題

① 代 $t = 2$ ： $lo g_{2} 2 = 1$ ，得 $a - b = 62$ 。

② 代 $t = 8$ ： $lo g_{2} 8 = 3$ ，得 $a - 3 b = 26$ 。

③ 兩式相減： $2 b = 36$ ， $b = 18$ ；代回得 $a = 80$ 。

答案 $(a, b) = (80, 18)$ 。

檢查：

P (8) = 80 - 18 \times 3 = 26

，符合。

第 9 題

① 令 $N (x) = 2000$ ： $1000 + 500 lo g_{2} (x + 1) = 2000$ 。

② $500 lo g_{2} (x + 1) = 1000$ ，所以 $lo g_{2} (x + 1) = 2$ 。

③ $x + 1 = 2^{2} = 4$ ， $x = 3$ 。

答案：要花費 $3$ 萬元廣告費。

x

的單位是萬元，答案要帶單位。

應用題先把文字翻成式子：半衰期是「每過固定時間乘

\frac{1}{2}

」；對數模型給兩筆資料，就是兩個未知數的聯立方程式。

04連連看第 10～17 題（原卷 (1)～(8)）：由底數辨認圖形

第 10 題

第 10～13 題比的是圖形 A、B、C、D。

① 四條曲線都通過 $(0, 1)$ 。底數大於 $1$ 的遞增，底數介於 $0$ 與 $1$ 之間的遞減：C、D 是 $y = 2^{x}$ 、 $y = 3^{x}$ ，A、B 是 $y = 0. 2^{x}$ 、 $y = 0. 7^{x}$ 。

② 畫鉛直線 $x = 1$ ： $y = 3^{x}$ 高 $3$ ， $y = 2^{x}$ 高 $2$ 。在 $x > 0$ 那一側 C 比 D 高，所以 C 是 $y = 3^{x}$ ，D 是 $y = 2^{x}$ 。

答案 $y = 2^{x}$ 連 D。

載入中...

遞增的指數函數，底數愈大，在

x > 0

那一側愈陡、愈高。

第 11 題

同第 10 題的比較：在 $x = 1$ 處 $3^{1} = 3 > 2^{1} = 2$ ，較高的 C 是 $y = 3^{x}$ 。

答案 $y = 3^{x}$ 連 C。

第 12 題

① A、B 遞減，比 $x < 0$ 那一側。代 $x = - 1$ ： $0. 2^{- 1} = 5$ ， $0. 7^{- 1} = \frac{10}{7} \approx 1.43$ 。

② 往左升得快、貼近 $y$ 軸的 B，在 $x = - 1$ 時比較高，所以 B 是 $y = 0. 2^{x}$ 。

答案 $y = 0. 2^{x}$ 連 B。

遞減的指數函數，底數愈小（離

1

愈遠），往左升得愈快。

第 13 題

同第 12 題：在 $x = - 1$ 處 $y = 0. 7^{x}$ 只有 $\frac{10}{7}$ ，升得慢，是離 $y$ 軸較遠的 A。

答案 $y = 0. 7^{x}$ 連 A。

第 14 題

第 14～17 題比的是圖形甲、乙、丙、丁。

① 四條曲線都通過 $(1, 0)$ 。 $y = lo g_{2} x$ 、 $y = lo g_{4} x$ 遞增，是甲、乙； $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 、 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 遞減，是丙、丁。

② 畫水平線 $y = - 1$ ： $lo g_{\frac{1}{3}} x = - 1$ 在 $x = 3$ ， $lo g_{\frac{1}{7}} x = - 1$ 在 $x = 7$ 。

③ 丁先碰到這條線（ $x = 3$ ），所以丁是 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 。

答案 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 連丁。

載入中...

底數小於

1

時，底數愈小的曲線在

x > 1

反而愈靠近

x

軸；不要只看底數大小，代同一個函數值去比最穩。

第 15 題

同第 14 題： $lo g_{\frac{1}{7}} x = - 1$ 要到 $x = 7$ 才成立，比丁晚碰到 $y = - 1$ ，下降得慢，是丙。

答案 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 連丙。

第 16 題

① 畫水平線 $y = 1$ ： $lo g_{2} x = 1$ 在 $x = 2$ ， $lo g_{4} x = 1$ 在 $x = 4$ 。

② 甲先碰到這條線，所以甲是 $y = lo g_{2} x$ 。

答案 $y = lo g_{2} x$ 連甲。

第 17 題

同第 16 題： $lo g_{4} x = 1$ 要到 $x = 4$ 才成立，上升得慢，是乙。

答案 $y = lo g_{4} x$ 連乙。

也可以在同一個

x

比：

x = 4

時

lo g_{2} 4 = 2

、

lo g_{4} 4 = 1

，甲比乙高。

認圖形先看「過哪個定點、遞增或遞減」分兩組，再畫一條鉛直線或水平線比高低。

05B 區第 18、19 題：星等與亮度

第 18 題

① 設較亮星為 $k$ 等、亮度 $F_{1}$ ，較暗星為 $k + 1$ 等、亮度 $F_{2}$ 。

② 由公式： $k = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{0}}$ ， $k + 1 = - 2.5 lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}$ 。

③ 兩式相減： $- 1 = - 2.5 (lo g \frac{F _{1}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ 。

④ 所以 $lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = 0.4$ ， $\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{0.4}$ ，查表得約 $2.51$ 。

答案： $1 0^{0.4} \approx 2.51$ 倍。

用題目的資料檢查：相差

5

個星等時

lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = \frac{5}{2.5} = 2

，亮度比

100

倍，與普森的發現一致。

第 19 題

① 太陽與滿月相差 $- 12 - (- 26) = 14$ 個星等，太陽較亮。

② 同第 18 題的相減方法： $14 = 2.5 lo g \frac{F _{日}}{F _{月}}$ ，所以 $lo g \frac{F _{日}}{F _{月}} = 5.6$ 。

③ $1 0^{5.6} = 1 0^{5} \times 1 0^{0.6}$ ，查表 $1 0^{0.6} \approx 3.98$ ，約 $3.98 \times 1 0^{5}$ ，也就是約 $40$ 萬倍。

答案 (C)。

星等數字愈小（愈負）的愈亮；相差的星等數除以

2.5

，就是亮度比的常用對數。

星等公式兩式相減，基準

F_{0}

會消掉：星等差

= 2.5 \times lo g

（亮度比）。

06D 區第 20～23 題：對數律、換底、圖形與大小比較

第 20 題

① 換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} b = \frac{lo g _{2} b}{2}$ ， $lo g_{8} c = \frac{lo g _{2} c}{3}$ 。

② 成等差數列，中項的 $2$ 倍等於兩端的和： $2 \cdot \frac{lo g _{2} b}{2} = lo g_{2} a + \frac{lo g _{2} c}{3}$ 。

③ 即 $lo g_{2} b = lo g_{2} a + lo g_{2} c^{\frac{1}{3}} = lo g_{2} (a \cdot c^{\frac{1}{3}})$ ，所以 $b = a \cdot c^{\frac{1}{3}}$ 。

答案 $(x, y) = (1, \frac{1}{3})$ 。

a

、

b

、

c

都要是正數，對數才有意義；兩邊同底的對數相等，真數就相等。

第 21 題

① 換底公式： $\frac{1}{lo g _{n} a} = lo g_{a} n$ 。

② 原式變成 $lo g_{a} 32 - lo g_{a} 16 + lo g_{a} 8 - lo g_{a} 4 + lo g_{a} 2 = 1$ 。

③ 用對數律合併： $lo g_{a} \frac{32 \times 8 \times 2}{16 \times 4} = lo g_{a} 8 = 1$ 。

④ 所以 $a = 8$ 。

答案 $a = 8$ 。

也可以全部寫成

lo g_{a} 2

的倍數：

(5 - 4 + 3 - 2 + 1) lo g_{a} 2 = 3 lo g_{a} 2 = lo g_{a} 8

。

第 22 題

① 改寫成 $∣ lo g_{2} x ∣ = 3 - x$ ，實數解的個數就是 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 與直線 $y = 3 - x$ 的交點個數（ $x > 0$ ）。

② $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ ：把 $y = lo g_{2} x$ 在 $x$ 軸下方的部分（ $0 < x < 1$ ）翻到上方，在 $(1, 0)$ 碰到 $x$ 軸。

③ $x \geq 1$ 時曲線 $y = lo g_{2} x$ 遞增、直線遞減，最多一個交點；代 $x = 2$ 兩邊都是 $1$ ，交點是 $(2, 1)$ 。

答案：共 $2$ 個實數解。

載入中...

0 < x < 1

這段，曲線從很高的地方一路下降到

(1, 0)

，直線只從

3

緩緩降到

2

；由圖可見

0 < x < 1

只交一次，這個交點約在

x \approx 0.14

。

第 23 題

① 外層對數等於 $0$ ，真數就是 $1$ ： $lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z) = 1$ 。

② 所以 $lo g_{5} z = \frac{1}{5}$ ， $z = 5^{\frac{1}{5}}$ 。同理 $y = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $x = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

③ 三數都是正數，同時取 $30$ 次方比較： $x^{30} = 2^{15} = 32768$ ， $y^{30} = 3^{10} = 59049$ ， $z^{30} = 5^{6} = 15625$ 。

④ $59049 > 32768 > 15625$ ，所以 $y > x > z$ 。

答案 $y > x > z$ 。

30

是

2

、

3

、

5

的最小公倍數，取它可以把三個分數指數都化成整數。

對數式層層剝開：

lo g_{a} b = c

就是

b = a^{c}

；比較

a^{\frac{1}{m}}

型的數，取指數分母的公倍數次方化成整數。

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明誠高中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 7～9 題（原卷填充 6～8）：指數與對數的應用

04連連看第 10～17 題（原卷 (1)～(8)）：由底數辨認圖形

05B 區第 18、19 題：星等與亮度

06D 區第 20～23 題：對數律、換底、圖形與大小比較

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明誠高中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

明誠高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

明誠高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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