段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律與對數律、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、應用）

明誠高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

卷末附參考數值 log1.1≈0.0414、log2≈0.3010、log3≈0.4771。原卷為數A、數B 合卷，本頁收數A組作答的 A、B、C 三區：填充題 8 題每題 6 分（答案卷註明第 1 題兩小題各 3 分）、連連看 8 格每格 3 分、B 區兩小題各 4 分、C 區 4 題共 20 分（原卷未印每題配分），合計 100 分。本頁第 1、2 題是填充第 1 題的 (1)(2)，第 3～9 題是填充第 2～8 題，第 10～17 題是連連看 (1)～(8)，第 18、19 題是 B 區 (1)(2)，第 20～23 題是 C 區第 1～4 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

A區：基本分區：共72分　此區數A、B組的同學都要寫　一、填充題：每題6分，共48分

(1)

lo g_{4} 2 = ?

(2)

lo g_{9} \frac{1}{81} = ?

試解

5^{x - 8} = (5)^{x}

試求

2 lo g 5 - lo g 3 + lo g 9

試解

(0.3)^{x} < 0.09

試解

lo g_{2} x < lo g_{2} (x^{2} + 2)

藥物的“半衰期”是指藥物經由體內吸收之後，分布到血液中，達到最高濃度後，經由代謝之後，血液中濃度下降至一半所需時間。設某種藥物經由人體吸收後，達到的最大濃度為

10

(mg / L)，已知此藥物的半衰期為

3

小時，試問達到最高濃度後的

12

小時，藥物的濃度為多少？

在心理學測試中，給受測者展示一組沒意義的符號，例如

P O K

，

R T Z

，

P D Q

等，然後每隔

1

秒鐘詢問一次是否還記得這些符號。

t

秒鐘後，受測者記得這些符號的百分比

P (t)

(%)可用對數函數來描述：

P (t) = a - b lo g_{2} t

，其中

t \geq 1

。已知

2

秒，

8

秒後，記得這些符號的的百分比分別為

62%

，

26%

，根據這兩筆資料，求出數對

(a, b) = ?

某商品的廣告效應的模型可用對數函數來表示：

N (x) = 1000 + 500 lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

為銷售數量 (單位：個)，

x

為廣告費用 (單位：萬元)。若希望銷售量達到

2000

個的時候，試問要花費多少廣告費？

二、連連看：請將正確的圖形連接正確的函數，每個3分，共24分

二、連連看（第 10～17 題）（第 10～17 題）　請將正確的圖形連接正確的函數。（本站補註：原卷兩張圖並排在函數表旁；本頁把圖形 A～D 放在第 10 題下方，圖形甲～丁放在第 14 題下方。）

(1)

y = 2^{x}

載入中...

(2)

y = 3^{x}

(3)

y = 0. 2^{x}

(4)

y = 0. 7^{x}

(5)

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

載入中...

(6)

y = lo g_{\frac{1}{7}} x

(7)

y = lo g_{2} x

(8)

y = lo g_{4} x

B 區：綜合區：共8分，請寫出詳細過程。此區數A、B組的同學都要寫

B 區：綜合區（第 18、19 題）（第 18～19 題）　兩千多年前希臘天文學家帕克斯(Hipparchus)，把所觀察的

1022

顆恆星按照亮度分類

1

等星到

6

等星。到了

1850

年，英國天文學家普森(Pogson)發現

1

等星的亮度是

6

等星的

100

倍，且隨著星等增加，亮度成等比數列遞減。若

k

等星的亮度為

F

，則

k = - 2.5 lo g \frac{F}{F _{0}}

，其中

F_{0}

為參考基準織女星的亮度，請利用下表，求：

x 1 0^{x} 0.1 1.26 0.2 1.58 0.3 2.00 0.4 2.51 0.5 3.16 0.6 3.98 0.7 5.01 0.8 6.31 0.9 7.94

(1)若兩顆星等相差一個星等，較亮星的亮度是較暗星的幾倍？ (4分)

(2)滿月約為

- 12

星等，太陽約為

- 26

星等，則太陽的亮度大約是滿月的幾倍？ (4分)

(A) 超過4百萬倍
(B) 一百萬倍
(C) 40萬倍
(D) 25萬倍
(E) 14萬倍

C區：共20分，此區僅數A組的同學需作答

若

\frac{1}{lo g _{32} a} - \frac{1}{lo g _{16} a} + \frac{1}{lo g _{8} a} - \frac{1}{lo g _{4} a} + \frac{1}{lo g _{2} a} = 1

，則

a = ?

已知

lo g_{5} [lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z)] = lo g_{3} [lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{3} y)] = lo g_{2} [lo g_{\frac{1}{2}} (lo g_{2} x)] = 0

，則

x

、

y

、

z

三數大小關係為何？

已知三實數

lo g_{2} a

、

lo g_{4} b

、

lo g_{8} c

成等差數列，可得到

a

、

b

、

c

之關係式為

b = a^{x} \cdot c^{y}

，則數對

(x, y) = ?

已知

x - 10 + 1 0^{x} = 0

的解為

x = α

，

x - 10 + lo g x = 0

的解為

x = β

，則

1 0^{α} + lo g β

為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{1}{4}

第 2 題

- 2

第 3 題

x = 16

第 4 題

lo g 75

（約

1.8751

）

第 5 題

x > 2

第 6 題

x > 0

第 7 題

0.625

(mg / L)

第 8 題

(80, 18)

第 9 題

3

萬元

第 10 題D

第 11 題C

第 12 題B

第 13 題A

第 14 題丁

第 15 題丙

第 16 題甲

第 17 題乙

第 18 題

1 0^{0.4} \approx 2.51

倍

第 19 題(C)

第 20 題

8

第 21 題

y > x > z

第 22 題

(1, \frac{1}{3})

第 23 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：對數值、指數方程式與對數律

第 1 題

答案 $\frac{1}{4}$ 。

① 把底數與真數都化成 $2$ 的次方： $4 = 2^{2}$ ， $2 = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

② 設 $lo g_{4} 2 = t$ ，則 $4^{t} = 2$ ，即 $2^{2 t} = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

③ 比較指數： $2 t = \frac{1}{2}$ ， $t = \frac{1}{4}$ 。

答案 $lo g_{4} 2 = \frac{1}{4}$ 。

第 2 題

答案 $- 2$ 。

① $\frac{1}{81} = \frac{1}{9 ^{2}} = 9^{- 2}$ 。

② 所以 $lo g_{9} \frac{1}{81} = lo g_{9} 9^{- 2} = - 2$ 。

答案 $- 2$ 。

第 3 題

答案 $x = 16$ 。

① 右邊化成以 $5$ 為底： $(5)^{x} = (5^{\frac{1}{2}})^{x} = 5^{\frac{x}{2}}$ 。

② 方程式變成 $5^{x - 8} = 5^{\frac{x}{2}}$ 。底數相同且 $5 \neq = 1$ ，指數必相等： $x - 8 = \frac{x}{2}$ 。

③ 解得 $\frac{x}{2} = 8$ ， $x = 16$ 。

答案 $x = 16$ 。

第 4 題

答案 $lo g 75$ 。

① 係數搬進真數： $2 lo g 5 = lo g 5^{2} = lo g 25$ 。

② 加的乘、減的除：

$lo g 25 - lo g 3 + lo g 9 = lo g \frac{25 \times 9}{3} = lo g 75$

答案 $lo g 75$ 。

若要化成小數：

lo g 75 = lo g 3 + 2 lo g 5 = lo g 3 + 2 (1 - lo g 2) \approx 0.4771 + 1.3980 = 1.8751

。

求對數值先把底數與真數化成同一個數的次方；指數方程式也一樣，化成同底數後比較指數。

02第 5、6 題：指數與對數不等式

第 5 題

答案 $x > 2$ 。

① $0.09 = (0.3)^{2}$ ，不等式變成 $(0.3)^{x} < (0.3)^{2}$ 。

② 底數 $0 < 0.3 < 1$ ，函數 $y = (0.3)^{x}$ 是遞減函數： $x$ 越大，函數值越小。

③ 函數值比 $(0.3)^{2}$ 小，代表 $x$ 比 $2$ 大（不等號要變向）。

答案 $x > 2$ 。

載入中...

常見錯誤是照抄成

x < 2

。底數小於

1

時，比較指數要把不等號反過來。

第 6 題

答案 $x > 0$ 。

① 真數條件： $x > 0$ ，且 $x^{2} + 2 > 0$ （對所有實數都成立），所以先要 $x > 0$ 。

② 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增，不等式等價於 $x < x^{2} + 2$ ，即 $x^{2} - x + 2 > 0$ 。

③ $x^{2} - x + 2$ 的判別式 $(- 1)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = - 7 < 0$ ，且領導係數為正，所以 $x^{2} - x + 2 > 0$ 對所有實數 $x$ 都成立。

④ 兩個條件取交集，只剩真數條件 $x > 0$ 。

答案 $x > 0$ 。

載入中...

由下圖也看得出來：拋物線

y = x^{2} + 2

永遠在直線

y = x

的上方，所以只要真數有意義，不等式就成立。

指數、對數不等式先看底數決定不等號要不要變向；對數不等式還要先寫真數條件，最後取交集。

03第 7～9 題：指數與對數的應用

第 7 題

答案 $0.625$ (mg / L)。

① 每經過一個半衰期 $3$ 小時，濃度變成原來的 $\frac{1}{2}$ 。

② $12$ 小時是 $12 \div 3 = 4$ 個半衰期，所以濃度乘上 $4$ 次 $\frac{1}{2}$ 。

③ 濃度為

$10 \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{10}{16} = 0.625$

答案 $0.625$ (mg / L)。

載入中...

寫成函數：

t

小時後濃度為

C (t) = 10 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}

，代

t = 12

得同一個結果。

第 8 題

答案 $(a, b) = (80, 18)$ 。

① 代 $t = 2$ ： $lo g_{2} 2 = 1$ ，得 $a - b = 62$ 。

② 代 $t = 8$ ： $lo g_{2} 8 = 3$ ，得 $a - 3 b = 26$ 。

③ 兩式相減： $2 b = 36$ ， $b = 18$ ；代回 $a = 62 + 18 = 80$ 。

答案 $(a, b) = (80, 18)$ 。

載入中...

得到

P (t) = 80 - 18 lo g_{2} t

，代回

t = 2

、

t = 8

分別得

62

、

26

，與題目相符。

第 9 題

答案 $3$ 萬元。

① 令 $N (x) = 2000$ ： $1000 + 500 lo g_{2} (x + 1) = 2000$ 。

② 移項： $500 lo g_{2} (x + 1) = 1000$ ， $lo g_{2} (x + 1) = 2$ 。

③ 由對數定義： $x + 1 = 2^{2} = 4$ ， $x = 3$ 。

答案要花費 $3$ 萬元廣告費。

載入中...

應用題先把文字翻成式子：半衰期是每段時間乘一次

\frac{1}{2}

；對數模型代已知數據列方程式，再用對數定義把

lo g

拿掉。

04第 10～17 題：連連看

第 10 題

答案 D。

① 先分兩類：底數大於 $1$ 的 $y = 2^{x}$ 、 $y = 3^{x}$ 遞增，是圖形 C、D；底數在 $0$ 與 $1$ 之間的 $y = 0. 2^{x}$ 、 $y = 0. 7^{x}$ 遞減，是圖形 A、B。

② 遞增的兩條比較 $x = 1$ 的函數值： $2^{1} = 2$ ， $3^{1} = 3$ 。所以在 $y$ 軸右側， $y = 3^{x}$ 在上方、上升得較快， $y = 2^{x}$ 在下方。

③ 圖形 C 在 $y$ 軸右側較靠近 $y$ 軸（上升較快），圖形 D 在它的右下方，所以 $y = 2^{x}$ 是 D。

答案 D。

載入中...

第 11 題

答案 C。

見第 10 題的圖。

由第 10 題的比較， $x = 1$ 時 $3^{x} = 3$ 大於 $2^{x} = 2$ ， $y = 3^{x}$ 在 $y$ 軸右側上升較快，是較靠近 $y$ 軸的圖形 C。

答案 C。

第 12 題

答案 B。

見第 10 題的圖。

① 遞減的兩條比較 $x = - 1$ 的函數值： $0. 2^{- 1} = 5$ ， $0. 7^{- 1} = \frac{10}{7} \approx 1.43$ 。

② 所以在 $y$ 軸左側， $y = 0. 2^{x}$ 在上方、往左上升得較快，是較靠近 $y$ 軸的圖形 B。

答案 B。

第 13 題

答案 A。

見第 10 題的圖。

由第 12 題的比較， $y = 0. 7^{x}$ 在 $y$ 軸左側較低、上升較慢，是離 $y$ 軸較遠、較平緩的圖形 A。

答案 A。

另一種看法：

0. 7^{x} = (\frac{10}{7})^{- x}

、

0. 2^{x} = 5^{- x}

，它們分別是

y = (\frac{10}{7})^{x}

、

y = 5^{x}

對

y

軸的鏡射；底數越大的上升越快，鏡射後在左側也越陡。

第 14 題

答案丁。

① 先分兩類：底數大於 $1$ 的 $y = lo g_{2} x$ 、 $y = lo g_{4} x$ 遞增，是甲、乙；底數在 $0$ 與 $1$ 之間的 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 、 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 遞減，是丙、丁。

② 遞減的兩條比較函數值等於 $- 1$ 的位置： $lo g_{\frac{1}{3}} x = - 1$ 時 $x = 3$ ； $lo g_{\frac{1}{7}} x = - 1$ 時 $x = 7$ 。

③ 也就是 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 在 $x = 3$ 就降到 $- 1$ ，比 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 降得快；在 $x > 1$ 的部分它在較下方，是丁。

答案丁。

載入中...

第 15 題

答案丙。

見第 14 題的圖。

由第 14 題的比較， $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 要到 $x = 7$ 才降到 $- 1$ ，下降較慢；在 $x > 1$ 的部分它在丁的上方，是丙。

答案丙。

第 16 題

答案甲。

見第 14 題的圖。

① 遞增的兩條比較函數值等於 $1$ 的位置： $lo g_{2} x = 1$ 時 $x = 2$ ； $lo g_{4} x = 1$ 時 $x = 4$ 。

② $y = lo g_{2} x$ 在 $x = 2$ 就升到 $1$ ，上升較快；在 $x > 1$ 的部分它在較上方，是甲。

答案甲。

第 17 題

答案乙。

見第 14 題的圖。

由第 16 題的比較， $y = lo g_{4} x$ 要到 $x = 4$ 才升到 $1$ ，上升較慢；在 $x > 1$ 的部分它在甲的下方，是乙。

答案乙。

檢查：

lo g_{4} x = \frac{1}{2} lo g_{2} x

，所以同一個

x > 1

，乙的高度剛好是甲的一半。

同一類的指數或對數函數，先用底數大於

1

或小於

1

分成遞增、遞減兩組，再挑一個好算的位置（指數看

x = \pm 1

，對數看函數值

\pm 1

）比較高低。

05第 18、19 題：B 區綜合題（星等與亮度）

第 18 題

答案約 $2.51$ 倍。

① 設較亮星的星等為 $k_{1}$ 、亮度 $F_{1}$ ，較暗星的星等為 $k_{2}$ 、亮度 $F_{2}$ 。較亮星的星等較小，所以 $k_{1} = k_{2} - 1$ 。

② 由公式：

$k_{1} - k_{2} = - 2.5 (lo g \frac{F _{1}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$

③ 代入 $k_{1} - k_{2} = - 1$ ： $- 1 = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ ，所以 $lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = 0.4$ 。

④ $\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{0.4}$ ，查表得 $1 0^{0.4} \approx 2.51$ 。

答案較亮星的亮度約是較暗星的 $2.51$ 倍。

與題目敘述對照：

1

等星與

6

等星差

5

個星等，亮度比為

(1 0^{0.4})^{5} = 1 0^{2} = 100

，正是普森發現的

100

倍。

第 19 題

答案 (C)。

① 太陽的星等 $k_{1} = - 26$ ，滿月的星等 $k_{2} = - 12$ ，相差 $k_{1} - k_{2} = - 14$ 。

② 由第 18 題的式子： $- 14 = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ ，所以 $lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = \frac{14}{2.5} = 5.6$ 。

③ $\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{5.6} = 1 0^{5} \times 1 0^{0.6}$ ，查表 $1 0^{0.6} \approx 3.98$ 。

④ 亮度比約 $3.98 \times 1 0^{5}$ ，大約 $40$ 萬倍。

答案 (C)。

星等差乘上

- \frac{1}{2.5}

就是亮度比的常用對數；把對數拆成整數部分加小數部分，小數部分查表。

06第 20～23 題：C 區

第 20 題

答案 $a = 8$ 。

① 換底公式： $\frac{1}{l o g _{b} a} = lo g_{a} b$ 。所以 $\frac{1}{l o g _{2^{n}} a} = lo g_{a} 2^{n} = n lo g_{a} 2$ 。

② 左邊五項依序是 $5 lo g_{a} 2$ 、 $- 4 lo g_{a} 2$ 、 $3 lo g_{a} 2$ 、 $- 2 lo g_{a} 2$ 、 $lo g_{a} 2$ 。

③ 相加： $(5 - 4 + 3 - 2 + 1) lo g_{a} 2 = 3 lo g_{a} 2 = 1$ ，所以 $lo g_{a} 2 = \frac{1}{3}$ 。

④ 由對數定義 $a^{\frac{1}{3}} = 2$ ， $a = 2^{3} = 8$ （滿足 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）。

答案 $a = 8$ 。

第 21 題

答案 $y > x > z$ 。

① 由最外層： $lo g_{5} [\dots] = 0$ ，所以括號內 $lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z) = 5^{0} = 1$ 。

② 再一層： $lo g_{5} z = (\frac{1}{5})^{1} = \frac{1}{5}$ ，所以 $z = 5^{\frac{1}{5}}$ 。

③ 同理 $lo g_{3} y = \frac{1}{3}$ ， $y = 3^{\frac{1}{3}}$ ； $lo g_{2} x = \frac{1}{2}$ ， $x = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

④ 三數都是正數，同時取 $30$ 次方（ $2$ 、 $3$ 、 $5$ 的最小公倍數），大小順序不變：

$x^{30} = 2^{15} = 32768, y^{30} = 3^{10} = 59049, z^{30} = 5^{6} = 15625$

⑤ $59049 > 32768 > 15625$ ，所以 $y > x > z$ 。

答案 $y > x > z$ 。

也可以取常用對數比較：

lo g x = \frac{l o g 2}{2} \approx 0.1505

，

lo g y = \frac{l o g 3}{3} \approx 0.1590

，

lo g z = \frac{1 - l o g 2}{5} \approx 0.1398

，順序相同。

第 22 題

答案 $(x, y) = (1, \frac{1}{3})$ 。

① 等差中項： $2 lo g_{4} b = lo g_{2} a + lo g_{8} c$ 。

② 都換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} b = \frac{1}{2} lo g_{2} b$ ， $lo g_{8} c = \frac{1}{3} lo g_{2} c$ 。

③ 代入： $lo g_{2} b = lo g_{2} a + \frac{1}{3} lo g_{2} c = lo g_{2} (a \cdot c^{\frac{1}{3}})$ 。

④ 對數函數是一對一的，所以 $b = a \cdot c^{\frac{1}{3}} = a^{1} \cdot c^{\frac{1}{3}}$ 。

答案 $(x, y) = (1, \frac{1}{3})$ 。

第 23 題

答案 $10$ 。

① 改寫兩個方程式： $1 0^{α} = 10 - α$ ， $lo g β = 10 - β$ 。

② 所以 $(α, 1 0^{α})$ 是 $y = 1 0^{x}$ 與直線 $x + y = 10$ 的交點， $(β, lo g β)$ 是 $y = lo g x$ 與同一條直線的交點。

③ $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ；直線 $x + y = 10$ 也對稱於 $y = x$ 。所以兩個交點對稱於 $y = x$ ，即 $β = 1 0^{α}$ ， $lo g β = α$ 。

④ 因此

$1 0^{α} + lo g β = 1 0^{α} + α = 10$

答案 $10$ 。

載入中...

不看圖也能說明：

y = x + lo g x

在

x > 0

時遞增，方程式只有一個解。把

x = 1 0^{α}

代入，得

1 0^{α} + α = 10

成立，所以

β = 1 0^{α}

。

\frac{1}{l o g _{b} a} = lo g_{a} b

能把分母的對數翻上來；遇到

1 0^{x}

與

lo g x

配同一條直線

x + y = k

，想到反函數圖形對稱於

y = x

。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

明誠高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

明誠高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

連連看要在同一類函數裡比大小：指數函數看 x＝1 與 x＝−1 的函數值，對數函數看函數值等於 1 與 −1 時的 x；C 區第 4 題要看出兩個方程式的解是互為反函數的兩條圖形與同一條直線的交點，對稱於直線 y＝x，才會得到 α＋β＝10；B 區第 2 小題要把星等差換成亮度比的對數再查表。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自明誠高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律與對數律、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、應用）

明誠高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

A區：基本分區：共72分　此區數A、B組的同學都要寫　一、填充題：每題6分，共48分

(1)

lo g_{4} 2 = ?

(2)

lo g_{9} \frac{1}{81} = ?

試解

5^{x - 8} = (5)^{x}

試求

2 lo g 5 - lo g 3 + lo g 9

試解

(0.3)^{x} < 0.09

試解

lo g_{2} x < lo g_{2} (x^{2} + 2)

10

(mg / L)，已知此藥物的半衰期為

3

小時，試問達到最高濃度後的

12

小時，藥物的濃度為多少？

在心理學測試中，給受測者展示一組沒意義的符號，例如

P O K

，

R T Z

，

P D Q

等，然後每隔

1

秒鐘詢問一次是否還記得這些符號。

t

秒鐘後，受測者記得這些符號的百分比

P (t)

(%)可用對數函數來描述：

P (t) = a - b lo g_{2} t

，其中

t \geq 1

。已知

2

秒，

8

秒後，記得這些符號的的百分比分別為

62%

，

26%

，根據這兩筆資料，求出數對

(a, b) = ?

某商品的廣告效應的模型可用對數函數來表示：

N (x) = 1000 + 500 lo g_{2} (x + 1)

，其中

N (x)

為銷售數量 (單位：個)，

x

為廣告費用 (單位：萬元)。若希望銷售量達到

2000

個的時候，試問要花費多少廣告費？

二、連連看：請將正確的圖形連接正確的函數，每個3分，共24分

(1)

y = 2^{x}

載入中...

(2)

y = 3^{x}

(3)

y = 0. 2^{x}

(4)

y = 0. 7^{x}

(5)

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

載入中...

(6)

y = lo g_{\frac{1}{7}} x

(7)

y = lo g_{2} x

(8)

y = lo g_{4} x

B 區：綜合區：共8分，請寫出詳細過程。此區數A、B組的同學都要寫

B 區：綜合區（第 18、19 題）（第 18～19 題）　兩千多年前希臘天文學家帕克斯(Hipparchus)，把所觀察的

1022

顆恆星按照亮度分類

1

等星到

6

等星。到了

1850

年，英國天文學家普森(Pogson)發現

1

等星的亮度是

6

等星的

100

倍，且隨著星等增加，亮度成等比數列遞減。若

k

等星的亮度為

F

，則

k = - 2.5 lo g \frac{F}{F _{0}}

，其中

F_{0}

為參考基準織女星的亮度，請利用下表，求：

x 1 0^{x} 0.1 1.26 0.2 1.58 0.3 2.00 0.4 2.51 0.5 3.16 0.6 3.98 0.7 5.01 0.8 6.31 0.9 7.94

(1)若兩顆星等相差一個星等，較亮星的亮度是較暗星的幾倍？ (4分)

(2)滿月約為

- 12

星等，太陽約為

- 26

星等，則太陽的亮度大約是滿月的幾倍？ (4分)

(A) 超過4百萬倍
(B) 一百萬倍
(C) 40萬倍
(D) 25萬倍
(E) 14萬倍

C區：共20分，此區僅數A組的同學需作答

若

\frac{1}{lo g _{32} a} - \frac{1}{lo g _{16} a} + \frac{1}{lo g _{8} a} - \frac{1}{lo g _{4} a} + \frac{1}{lo g _{2} a} = 1

，則

a = ?

已知

lo g_{5} [lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z)] = lo g_{3} [lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{3} y)] = lo g_{2} [lo g_{\frac{1}{2}} (lo g_{2} x)] = 0

，則

x

、

y

、

z

三數大小關係為何？

已知三實數

lo g_{2} a

、

lo g_{4} b

、

lo g_{8} c

成等差數列，可得到

a

、

b

、

c

之關係式為

b = a^{x} \cdot c^{y}

，則數對

(x, y) = ?

已知

x - 10 + 1 0^{x} = 0

的解為

x = α

，

x - 10 + lo g x = 0

的解為

x = β

，則

1 0^{α} + lo g β

為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{1}{4}

第 2 題

- 2

第 3 題

x = 16

第 4 題

lo g 75

（約

1.8751

）

第 5 題

x > 2

第 6 題

x > 0

第 7 題

0.625

(mg / L)

第 8 題

(80, 18)

第 9 題

3

萬元

第 10 題D

第 11 題C

第 12 題B

第 13 題A

第 14 題丁

第 15 題丙

第 16 題甲

第 17 題乙

第 18 題

1 0^{0.4} \approx 2.51

倍

第 19 題(C)

第 20 題

8

第 21 題

y > x > z

第 22 題

(1, \frac{1}{3})

第 23 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：對數值、指數方程式與對數律

第 1 題

答案 $\frac{1}{4}$ 。

① 把底數與真數都化成 $2$ 的次方： $4 = 2^{2}$ ， $2 = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

② 設 $lo g_{4} 2 = t$ ，則 $4^{t} = 2$ ，即 $2^{2 t} = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

③ 比較指數： $2 t = \frac{1}{2}$ ， $t = \frac{1}{4}$ 。

答案 $lo g_{4} 2 = \frac{1}{4}$ 。

第 2 題

答案 $- 2$ 。

① $\frac{1}{81} = \frac{1}{9 ^{2}} = 9^{- 2}$ 。

② 所以 $lo g_{9} \frac{1}{81} = lo g_{9} 9^{- 2} = - 2$ 。

答案 $- 2$ 。

第 3 題

答案 $x = 16$ 。

① 右邊化成以 $5$ 為底： $(5)^{x} = (5^{\frac{1}{2}})^{x} = 5^{\frac{x}{2}}$ 。

② 方程式變成 $5^{x - 8} = 5^{\frac{x}{2}}$ 。底數相同且 $5 \neq = 1$ ，指數必相等： $x - 8 = \frac{x}{2}$ 。

③ 解得 $\frac{x}{2} = 8$ ， $x = 16$ 。

答案 $x = 16$ 。

第 4 題

答案 $lo g 75$ 。

① 係數搬進真數： $2 lo g 5 = lo g 5^{2} = lo g 25$ 。

② 加的乘、減的除：

$lo g 25 - lo g 3 + lo g 9 = lo g \frac{25 \times 9}{3} = lo g 75$

答案 $lo g 75$ 。

若要化成小數：

lo g 75 = lo g 3 + 2 lo g 5 = lo g 3 + 2 (1 - lo g 2) \approx 0.4771 + 1.3980 = 1.8751

。

求對數值先把底數與真數化成同一個數的次方；指數方程式也一樣，化成同底數後比較指數。

02第 5、6 題：指數與對數不等式

第 5 題

答案 $x > 2$ 。

① $0.09 = (0.3)^{2}$ ，不等式變成 $(0.3)^{x} < (0.3)^{2}$ 。

② 底數 $0 < 0.3 < 1$ ，函數 $y = (0.3)^{x}$ 是遞減函數： $x$ 越大，函數值越小。

③ 函數值比 $(0.3)^{2}$ 小，代表 $x$ 比 $2$ 大（不等號要變向）。

答案 $x > 2$ 。

載入中...

常見錯誤是照抄成

x < 2

。底數小於

1

時，比較指數要把不等號反過來。

第 6 題

答案 $x > 0$ 。

① 真數條件： $x > 0$ ，且 $x^{2} + 2 > 0$ （對所有實數都成立），所以先要 $x > 0$ 。

② 底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增，不等式等價於 $x < x^{2} + 2$ ，即 $x^{2} - x + 2 > 0$ 。

③ $x^{2} - x + 2$ 的判別式 $(- 1)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = - 7 < 0$ ，且領導係數為正，所以 $x^{2} - x + 2 > 0$ 對所有實數 $x$ 都成立。

④ 兩個條件取交集，只剩真數條件 $x > 0$ 。

答案 $x > 0$ 。

載入中...

由下圖也看得出來：拋物線

y = x^{2} + 2

永遠在直線

y = x

的上方，所以只要真數有意義，不等式就成立。

指數、對數不等式先看底數決定不等號要不要變向；對數不等式還要先寫真數條件，最後取交集。

03第 7～9 題：指數與對數的應用

第 7 題

答案 $0.625$ (mg / L)。

① 每經過一個半衰期 $3$ 小時，濃度變成原來的 $\frac{1}{2}$ 。

② $12$ 小時是 $12 \div 3 = 4$ 個半衰期，所以濃度乘上 $4$ 次 $\frac{1}{2}$ 。

③ 濃度為

$10 \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{10}{16} = 0.625$

答案 $0.625$ (mg / L)。

載入中...

寫成函數：

t

小時後濃度為

C (t) = 10 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{3}}

，代

t = 12

得同一個結果。

第 8 題

答案 $(a, b) = (80, 18)$ 。

① 代 $t = 2$ ： $lo g_{2} 2 = 1$ ，得 $a - b = 62$ 。

② 代 $t = 8$ ： $lo g_{2} 8 = 3$ ，得 $a - 3 b = 26$ 。

③ 兩式相減： $2 b = 36$ ， $b = 18$ ；代回 $a = 62 + 18 = 80$ 。

答案 $(a, b) = (80, 18)$ 。

載入中...

得到

P (t) = 80 - 18 lo g_{2} t

，代回

t = 2

、

t = 8

分別得

62

、

26

，與題目相符。

第 9 題

答案 $3$ 萬元。

① 令 $N (x) = 2000$ ： $1000 + 500 lo g_{2} (x + 1) = 2000$ 。

② 移項： $500 lo g_{2} (x + 1) = 1000$ ， $lo g_{2} (x + 1) = 2$ 。

③ 由對數定義： $x + 1 = 2^{2} = 4$ ， $x = 3$ 。

答案要花費 $3$ 萬元廣告費。

載入中...

應用題先把文字翻成式子：半衰期是每段時間乘一次

\frac{1}{2}

；對數模型代已知數據列方程式，再用對數定義把

lo g

拿掉。

04第 10～17 題：連連看

第 10 題

答案 D。

① 先分兩類：底數大於 $1$ 的 $y = 2^{x}$ 、 $y = 3^{x}$ 遞增，是圖形 C、D；底數在 $0$ 與 $1$ 之間的 $y = 0. 2^{x}$ 、 $y = 0. 7^{x}$ 遞減，是圖形 A、B。

② 遞增的兩條比較 $x = 1$ 的函數值： $2^{1} = 2$ ， $3^{1} = 3$ 。所以在 $y$ 軸右側， $y = 3^{x}$ 在上方、上升得較快， $y = 2^{x}$ 在下方。

③ 圖形 C 在 $y$ 軸右側較靠近 $y$ 軸（上升較快），圖形 D 在它的右下方，所以 $y = 2^{x}$ 是 D。

答案 D。

載入中...

第 11 題

答案 C。

見第 10 題的圖。

由第 10 題的比較， $x = 1$ 時 $3^{x} = 3$ 大於 $2^{x} = 2$ ， $y = 3^{x}$ 在 $y$ 軸右側上升較快，是較靠近 $y$ 軸的圖形 C。

答案 C。

第 12 題

答案 B。

見第 10 題的圖。

① 遞減的兩條比較 $x = - 1$ 的函數值： $0. 2^{- 1} = 5$ ， $0. 7^{- 1} = \frac{10}{7} \approx 1.43$ 。

② 所以在 $y$ 軸左側， $y = 0. 2^{x}$ 在上方、往左上升得較快，是較靠近 $y$ 軸的圖形 B。

答案 B。

第 13 題

答案 A。

見第 10 題的圖。

由第 12 題的比較， $y = 0. 7^{x}$ 在 $y$ 軸左側較低、上升較慢，是離 $y$ 軸較遠、較平緩的圖形 A。

答案 A。

另一種看法：

0. 7^{x} = (\frac{10}{7})^{- x}

、

0. 2^{x} = 5^{- x}

，它們分別是

y = (\frac{10}{7})^{x}

、

y = 5^{x}

對

y

軸的鏡射；底數越大的上升越快，鏡射後在左側也越陡。

第 14 題

答案丁。

② 遞減的兩條比較函數值等於 $- 1$ 的位置： $lo g_{\frac{1}{3}} x = - 1$ 時 $x = 3$ ； $lo g_{\frac{1}{7}} x = - 1$ 時 $x = 7$ 。

③ 也就是 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 在 $x = 3$ 就降到 $- 1$ ，比 $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 降得快；在 $x > 1$ 的部分它在較下方，是丁。

答案丁。

載入中...

第 15 題

答案丙。

見第 14 題的圖。

由第 14 題的比較， $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 要到 $x = 7$ 才降到 $- 1$ ，下降較慢；在 $x > 1$ 的部分它在丁的上方，是丙。

答案丙。

第 16 題

答案甲。

見第 14 題的圖。

① 遞增的兩條比較函數值等於 $1$ 的位置： $lo g_{2} x = 1$ 時 $x = 2$ ； $lo g_{4} x = 1$ 時 $x = 4$ 。

② $y = lo g_{2} x$ 在 $x = 2$ 就升到 $1$ ，上升較快；在 $x > 1$ 的部分它在較上方，是甲。

答案甲。

第 17 題

答案乙。

見第 14 題的圖。

由第 16 題的比較， $y = lo g_{4} x$ 要到 $x = 4$ 才升到 $1$ ，上升較慢；在 $x > 1$ 的部分它在甲的下方，是乙。

答案乙。

檢查：

lo g_{4} x = \frac{1}{2} lo g_{2} x

，所以同一個

x > 1

，乙的高度剛好是甲的一半。

同一類的指數或對數函數，先用底數大於

1

或小於

1

分成遞增、遞減兩組，再挑一個好算的位置（指數看

x = \pm 1

，對數看函數值

\pm 1

）比較高低。

05第 18、19 題：B 區綜合題（星等與亮度）

第 18 題

答案約 $2.51$ 倍。

① 設較亮星的星等為 $k_{1}$ 、亮度 $F_{1}$ ，較暗星的星等為 $k_{2}$ 、亮度 $F_{2}$ 。較亮星的星等較小，所以 $k_{1} = k_{2} - 1$ 。

② 由公式：

$k_{1} - k_{2} = - 2.5 (lo g \frac{F _{1}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{2}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$

③ 代入 $k_{1} - k_{2} = - 1$ ： $- 1 = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ ，所以 $lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = 0.4$ 。

④ $\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{0.4}$ ，查表得 $1 0^{0.4} \approx 2.51$ 。

答案較亮星的亮度約是較暗星的 $2.51$ 倍。

與題目敘述對照：

1

等星與

6

等星差

5

個星等，亮度比為

(1 0^{0.4})^{5} = 1 0^{2} = 100

，正是普森發現的

100

倍。

第 19 題

答案 (C)。

① 太陽的星等 $k_{1} = - 26$ ，滿月的星等 $k_{2} = - 12$ ，相差 $k_{1} - k_{2} = - 14$ 。

② 由第 18 題的式子： $- 14 = - 2.5 lo g \frac{F _{1}}{F _{2}}$ ，所以 $lo g \frac{F _{1}}{F _{2}} = \frac{14}{2.5} = 5.6$ 。

③ $\frac{F _{1}}{F _{2}} = 1 0^{5.6} = 1 0^{5} \times 1 0^{0.6}$ ，查表 $1 0^{0.6} \approx 3.98$ 。

④ 亮度比約 $3.98 \times 1 0^{5}$ ，大約 $40$ 萬倍。

答案 (C)。

星等差乘上

- \frac{1}{2.5}

就是亮度比的常用對數；把對數拆成整數部分加小數部分，小數部分查表。

06第 20～23 題：C 區

第 20 題

答案 $a = 8$ 。

① 換底公式： $\frac{1}{l o g _{b} a} = lo g_{a} b$ 。所以 $\frac{1}{l o g _{2^{n}} a} = lo g_{a} 2^{n} = n lo g_{a} 2$ 。

② 左邊五項依序是 $5 lo g_{a} 2$ 、 $- 4 lo g_{a} 2$ 、 $3 lo g_{a} 2$ 、 $- 2 lo g_{a} 2$ 、 $lo g_{a} 2$ 。

③ 相加： $(5 - 4 + 3 - 2 + 1) lo g_{a} 2 = 3 lo g_{a} 2 = 1$ ，所以 $lo g_{a} 2 = \frac{1}{3}$ 。

④ 由對數定義 $a^{\frac{1}{3}} = 2$ ， $a = 2^{3} = 8$ （滿足 $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）。

答案 $a = 8$ 。

第 21 題

答案 $y > x > z$ 。

① 由最外層： $lo g_{5} [\dots] = 0$ ，所以括號內 $lo g_{\frac{1}{5}} (lo g_{5} z) = 5^{0} = 1$ 。

② 再一層： $lo g_{5} z = (\frac{1}{5})^{1} = \frac{1}{5}$ ，所以 $z = 5^{\frac{1}{5}}$ 。

③ 同理 $lo g_{3} y = \frac{1}{3}$ ， $y = 3^{\frac{1}{3}}$ ； $lo g_{2} x = \frac{1}{2}$ ， $x = 2^{\frac{1}{2}}$ 。

④ 三數都是正數，同時取 $30$ 次方（ $2$ 、 $3$ 、 $5$ 的最小公倍數），大小順序不變：

$x^{30} = 2^{15} = 32768, y^{30} = 3^{10} = 59049, z^{30} = 5^{6} = 15625$

⑤ $59049 > 32768 > 15625$ ，所以 $y > x > z$ 。

答案 $y > x > z$ 。

也可以取常用對數比較：

lo g x = \frac{l o g 2}{2} \approx 0.1505

，

lo g y = \frac{l o g 3}{3} \approx 0.1590

，

lo g z = \frac{1 - l o g 2}{5} \approx 0.1398

，順序相同。

第 22 題

答案 $(x, y) = (1, \frac{1}{3})$ 。

① 等差中項： $2 lo g_{4} b = lo g_{2} a + lo g_{8} c$ 。

② 都換成以 $2$ 為底： $lo g_{4} b = \frac{1}{2} lo g_{2} b$ ， $lo g_{8} c = \frac{1}{3} lo g_{2} c$ 。

③ 代入： $lo g_{2} b = lo g_{2} a + \frac{1}{3} lo g_{2} c = lo g_{2} (a \cdot c^{\frac{1}{3}})$ 。

④ 對數函數是一對一的，所以 $b = a \cdot c^{\frac{1}{3}} = a^{1} \cdot c^{\frac{1}{3}}$ 。

答案 $(x, y) = (1, \frac{1}{3})$ 。

第 23 題

答案 $10$ 。

① 改寫兩個方程式： $1 0^{α} = 10 - α$ ， $lo g β = 10 - β$ 。

② 所以 $(α, 1 0^{α})$ 是 $y = 1 0^{x}$ 與直線 $x + y = 10$ 的交點， $(β, lo g β)$ 是 $y = lo g x$ 與同一條直線的交點。

④ 因此

$1 0^{α} + lo g β = 1 0^{α} + α = 10$

答案 $10$ 。

載入中...

不看圖也能說明：

y = x + lo g x

在

x > 0

時遞增，方程式只有一個解。把

x = 1 0^{α}

代入，得

1 0^{α} + α = 10

成立，所以

β = 1 0^{α}

。

\frac{1}{l o g _{b} a} = lo g_{a} b

能把分母的對數翻上來；遇到

1 0^{x}

與

lo g x

配同一條直線

x + y = k

，想到反函數圖形對稱於

y = x

。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

明誠高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

明誠高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自明誠高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

明誠高中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～4 題：對數值、指數方程式與對數律

02第 5、6 題：指數與對數不等式

03第 7～9 題：指數與對數的應用

04第 10～17 題：連連看

05第 18、19 題：B 區綜合題（星等與亮度）

06第 20～23 題：C 區

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明誠高中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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每一題，錯在哪一步

01第 1～4 題：對數值、指數方程式與對數律

02第 5、6 題：指數與對數不等式

03第 7～9 題：指數與對數的應用

04第 10～17 題：連連看

05第 18、19 題：B 區綜合題（星等與亮度）

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明誠高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

明誠高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

明誠高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

明誠高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

明誠高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

明誠高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？