南山高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)。用長方體的稜來想：$L$、$N$ 是互相平行的兩條稜，$M$ 是和 $L$ 歪斜的一條稜。

(1) 正確。 若 $M//N$，又 $N//L$，則 $M//L$，與「$M$、$L$ 歪斜」矛盾，所以 $M$ 與 $N$ 不可能平行。

(2) 錯誤。 $M$ 可以和 $N$ 相交，例如圖中 $M$ 與 $N$ 交於一點。

(3) 錯誤。 把 $N$ 換成與 $L$ 平行、但和 $M$ 錯開的另一條稜，$M$ 與 $N$ 就是歪斜線。

(4) 錯誤。 圖中 $M$ 與 $L$ 的方向垂直，所以 $M$ 也和 $N$ 垂直。

只有 (1) 正確。

答案 (4)。用正方體的稜與面舉例。

(1) 錯誤。 以圖中的鉛直稜當 $L$，底面從同一頂點出發的兩條稜 $L_1$、$L_2$ 都垂直 $L$，但 $L_1$ 與 $L_2$ 相交，不平行。

(2) 錯誤。 兩歪斜線的正射影也可能是兩平行線，或一條直線與一個點。例如底面的前稜與頂面的左稜歪斜，投影到左側面上，前稜與左側面垂直，縮成一個點。

(3) 錯誤。 左後方的鉛直稜與正方體的前面、右側面都平行，但這兩個面相交。

(4) 正確。 垂直於同一直線的兩平面互相平行（或重合）。例如正方體的頂面與底面都垂直於鉛直稜。

(5) 錯誤。 頂面上的兩條相鄰稜都與底面平行，但它們相交。

只有 (4) 正確。

答案 (4)。方程組是

$$\{\begin{array}{l}ax+3y=3\\ x+(a-2)y=1\end{array}$$

① 係數行列式 $a(a-2)-3=a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$。不為 $0$ 時恰有一解，所以無解只可能在 $a=3$ 或 $a=-1$。

② $a=3$：兩式都是 $x+y=1$，兩直線重合，無限多解，不合。

③ $a=-1$：第一式 $-x+3y=3$ 即 $x-3y=-3$，第二式 $x-3y=1$，兩直線平行不重合，無解。

所以 $a=-1$。

答案 (2)(3)(5)。平行四邊形中 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$。

(1) 錯誤。 $\overrightarrow{CD}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 長度相同但方向相反，$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$。

(2) 正確。 由 (1)，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$。

(3) 正確。 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$（平行四邊形法則）。

(4) 錯誤。 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$。

(5) 正確。 $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$。

答案 (1)(2)(4)。直圓柱對它的中心點 $O$ 對稱，通過 $O$ 的平面把圓柱分成全等的兩塊，所以一刀平分的截面都通過 $O$。

(1) 正確。 刀面垂直軸、通過中心，截面是圓。

(2) 正確。 刀面包含中心軸，截面是長方形。

(3) 錯誤。 梯形的四邊都是直線段。截面上的直邊只有兩種來源：上下底的弦（兩條一定互相平行），或刀面與軸平行時側面上的直線。

斜切時除了兩條弦，其餘的邊是橢圓弧，不是直線；刀面與軸平行（又要過中心，就是含軸）時截面是長方形。所以不會是梯形。

(4) 正確。 刀面斜斜通過中心、沒碰到上下底，截面是橢圓。

斜得更多、碰到上下底時，截面是橢圓被上下底的兩條弦截去兩端剩下的部分：直邊只有這兩條弦，另外兩邊仍是橢圓弧。

(5) 錯誤。 平面截圓柱側面只會得到圓、橢圓或直線，不會出現雙曲線。

答案 (1)(3)(4)(5)。$P(1,-2,5)$。

(1) 正確。 在 $y$ 軸上的投影點只保留 $y$ 坐標：$(0,-2,0)$。

(2) 錯誤。 在 $xz$ 平面的投影點是把 $y$ 坐標改成 $0$：$(1,0,5)$，不是 $(1,2,5)$。

(3) 正確。 關於 $z$ 軸對稱，$x$、$y$ 變號、$z$ 不變：$(-1,2,5)$。

(4) 正確。 關於 $yz$ 平面對稱，只有 $x$ 變號：$(-1,-2,5)$。

(5) 正確。 $P$ 到 $y$ 軸的距離是 $P$ 到投影點 $(0,-2,0)$ 的距離：

$$\sqrt{1^2+0^2+5^2}=\sqrt{26}$$

答案 $4$。

$\overrightarrow{AC}=(x-2,1-5)=(x-2,-4)$，$\overrightarrow{BD}=(5-3,3-2)=(2,1)$。

兩向量垂直，內積為 $0$：

$$2(x-2)+(-4)\times 1=0$$

所以 $2x-8=0$，$x=4$。

答案 $\frac{3}{7}$。

① $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4+4+1}=3$，$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{36+4+9}=7$。

② 兩個單位向量 $\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$、$\frac{1}{7}\overrightarrow{b}$ 圍成菱形，菱形的對角線平分夾角，所以平分夾角的向量與 $\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{7}\overrightarrow{b}$ 同方向。

③ 把它乘以 $3$：$\overrightarrow{a}+\frac{3}{7}\overrightarrow{b}$，與 $\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ 比較，得 $k=\frac{3}{7}$。

答案 $3$。

① 正射影公式：$\overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}$。

② $3\overrightarrow{a}$ 在 $5\overrightarrow{b}$ 上的正射影：

$$\frac{(3\overrightarrow{a})\cdot (5\overrightarrow{b})}{{\left|5\overrightarrow{b}\right|}^2}(5\overrightarrow{b})=\frac{15\cdot 5}{25}\cdot \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{c}$$

所以 $k=3$。

答案 $(-89,-43,93)$。

① $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{4+1+4}=3$。

② $15$ 分鐘爬了 $9\times 15=135$ 公分，是 $\overrightarrow{v}$ 長度的 $\frac{135}{3}=45$ 倍，位移向量為

$$45\overrightarrow{v}=(-90,-45,90)$$

③ 位置 $=(1,2,3)+(-90,-45,90)=(-89,-43,93)$。

答案 $\frac{2}{3}$。

① $2\overline{AG}=\overline{GC}$，$G$ 把 $\overline{AC}$ 分成 $1:2$，所以 $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

② $\overline{BD}:\overline{DC}=2:1$，由分點公式

$$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$

③ $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

所以 $r=s=\frac{1}{3}$，$r+s=\frac{2}{3}$。

答案 $4$。左邊相加後逐格比較：

$$\left[\begin{array}{cc}a+4b& 3+bc\\ 5-2b& 1-b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 7& 2\end{array}\right]$$

① 右下：$1-b=2$，$b=-1$；左下 $5-2b=7$ 也成立。

② 左上：$a+4b=-1$，$a=3$。

③ 右上：$3+bc=1$，$-c=-2$，$c=2$。

所以 $a+b+c=3-1+2=4$。

答案 $9363$。令 $M=\left[\begin{array}{cc}3& -3\\ -6& 9\end{array}\right]$，等式是 $M\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=9I$。

① $\det M=27-18=9$，所以 $M^{-1}=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{cc}9& 3\\ 6& 3\end{array}\right]$。

② 兩邊左乘 $M^{-1}$：

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=9M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}9& 3\\ 6& 3\end{array}\right]$$

所以 $a=9$，$b=3$，$c=6$，$d=3$，密碼是 $9363$。

答案 $\left[\begin{array}{cc}9& 8\\ 3& 2\end{array}\right]$。

① 乘積第 $i$ 列第 $j$ 行，是左矩陣第 $i$ 列與右矩陣第 $j$ 行的內積。左矩陣三列是 $(a,b)$、$(c,d)$、$(e,f)$，右矩陣三行是 $(u,x)$、$(v,y)$、$(w,z)$。

② 新的乘積中，$(e,f)$ 是原來的第 $3$ 列，$(a,b)$ 是原來的第 $1$ 列；$(w,z)$ 是原來的第 $3$ 行，$(v,y)$ 是原來的第 $2$ 行。

③ 所以新乘積四格依序是原乘積的 $(3,3)$、$(3,2)$、$(1,3)$、$(1,2)$ 格：$9$、$8$、$3$、$2$。

答案 $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$。

① $A^2=\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$。

② $A^3=A^{2}A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I$。

③ $17=3\times 5+2$，所以 $A^{17}={\left(A^3\right)}^5{A}^2=A^2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$。

答案 $6$。

① 把 $\left[\begin{array}{ccc}4& 9& a\\ 3& b& -4\end{array}\right]$ 看成方程組 $\{\begin{array}{l}4x+9y=a\\ 3x+by=-4\end{array}$ 的增廣矩陣。

② 列運算不改變方程組的解；化成 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$ 表示方程組恰有一解 $x=1$，$y=1$。

③ 代回：$4+9=a$，$a=13$；$3+b=-4$，$b=-7$。

所以 $a+b=6$。

答案 $\frac{1}{10}$。

① 把兩個條件並排成一個矩陣等式：

$$A\left[\begin{array}{cc}11& 9\\ 9& 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right]$$

② 右邊正好是題目中的 $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right]$，令 $N=\left[\begin{array}{cc}11& 9\\ 9& 11\end{array}\right]$，$\det N=121-81=40$，得

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right]N^{-1}$$

③ 和 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$ 比較（$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right]$ 的行列式 $9\ne 0$，可以左乘它的反方陣消去），

$$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]=N^{-1}=\frac{1}{40}\left[\begin{array}{cc}11& -9\\ -9& 11\end{array}\right]$$

所以 $a+b+c+d=\frac{11-9-9+11}{40}=\frac{1}{10}$。

答案 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 9\end{array}\right]$。

① 分配律：$PQ-PR=P(Q-R)$，

$$P\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-4& 4-(-1)\\ 5-14& 11-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& 5\\ -9& 9\end{array}\right]$$

② $Q-R$ 的行列式 $-2+4=2$，反方陣 $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& -2\end{array}\right]$。

③ 右乘反方陣：

$$P=\left[\begin{array}{cc}-3& 5\\ -9& 9\end{array}\right]\cdot \frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& -2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 18\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 9\end{array}\right]$$

答案 $\frac{4\pi }{3}$。

① 球面上兩點的最短路徑，是通過這兩點與球心的大圓上較短的那段弧。$A$、$B$ 的 $y$ 坐標都是 $0$，這個大圓就在 $xz$ 平面上，是半徑 $2$ 的圓。

② 求圓心角：

$$\cos \angle AOB=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{0+0-2}{2\times 2}=-\frac{1}{2}$$

所以 $\angle AOB=\frac{2\pi }{3}$。

③ 弧長 $=2\times \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$。

答案 $900\pi$ 平方公分。

① 把前視圖的等腰梯形兩腰延長，交於頂點 $V$，補成一個等腰三角形（整個圓錐的前視圖）。上底半徑 $20$，下底半徑 $10$。

② 設小圓錐的母線長為 $x$，由相似三角形

$$\frac{x}{x+30}=\frac{10}{20}$$

得 $x=30$，大圓錐的母線長 $60$。

③ 圓錐側面展開是扇形，面積 $=\frac{1}{2}\times \text{弧長}\times \text{母線}=\pi \times \text{底半徑}\times \text{母線}$。

大圓錐側面積 $=\pi \times 20\times 60=1200\pi$，小圓錐側面積 $=\pi \times 10\times 30=300\pi$。

④ 圓錐臺側面積 $=1200\pi -300\pi =900\pi$（平方公分）。