南山高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。

① 正八面體可以看成兩個正四角錐底面貼在一起（如圖）。

② 頂點：中間的正方形 $4$ 個，上下各 $1$ 個，$a=6$。

③ 邊：正方形 $4$ 條，上下錐各 $4$ 條側稜，$b=12$。

④ 面：上下錐各 $4$ 個三角形，$c=8$。

所以 $a-b+c=6-12+8=2$。

答案 (1)。

① 以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 表示兩條對角線：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$。

② 相乘：$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}={\left|\overrightarrow{AD}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$。

③ 平行四邊形對邊相等，$\left|\overrightarrow{AD}\right|=\overline{BC}=3$，所以

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=9-36=-27$$

答案 (5)。

① 移項：$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$。

② 兩邊取長度的平方，三個向量長度都是 $1$：

$$1+2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}+1=1$$

③ 得 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-\frac{1}{2}$，即 $\cos \angle BOC=-\frac{1}{2}$。

所以 $\angle BOC=120^{\circ }$。

答案 (2)。

① 取 $\overline{AB}$ 中點 $M$、$\overline{CD}$ 中點 $N$。

② $\overline{CM}$、$\overline{DM}$ 都是正三角形的中線，長 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，所以 $△MCD$ 等腰，中線 $\overline{MN}\perp \overline{CD}$。

③ 同理 $\overline{AN}=\overline{BN}$，$\overline{MN}\perp \overline{AB}$。$\overline{MN}$ 是兩歪斜線的公垂線段。

④ 在直角 $△MNC$ 中：

$${\overline{MN}}^2={\overline{CM}}^2-{\overline{CN}}^2=\frac{3}{4}{a}^2-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{1}{2}{a}^2$$

所以距離 $\overline{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

答案 (2)。由條件 $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$、$\left|\overrightarrow{b}\right|=1$、$\left|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right|=2$。

先求內積：${\left|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right|}^2=4\times 4+12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+9\times 1=4$，得 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{7}{4}$。

(1) $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-\frac{7}{4}$，不是 $-\frac{7}{2}$，錯誤。

(2) $\cos \theta =\frac{-\frac{7}{4}}{2\times 1}=-\frac{7}{8}$，正確。

(3) ${\left|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|}^2=4+4\times \left(-\frac{7}{4}\right)+4=1$，長度是 $1$，錯誤。

(4) $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$，面積 $=2\times 1\times \frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，錯誤。

(5) 正射影長 $=\frac{\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{7}{4}$，錯誤。

答案 (1)(3)(4)。直線 $L$ 過點 $(1,2,0)$，方向向量 $(2,-3,-1)$；$E_1$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}=(2,-3,-1)$，$E_2$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=(1,1,-1)$。

(1) 參數式 $(1+2t,2-3t,-t)$，取 $t=2$ 得 $(5,-4,-2)$，正確。

(2) $2\times 2-3\times (-3)-(-1)=14\ne 0$，不在 $E_1$ 上，錯誤。

(3) 兩平面的常數項都是 $0$，都過原點；法向量不平行，所以兩平面相交於一條過原點的直線，正確。

(4) $L$ 的方向向量就是 $\overrightarrow{n_1}$，所以 $L\perp E_1$，正確。

(5) 方向向量與 $\overrightarrow{n_2}$ 的內積 $2-3+1=0$，且 $(1,2,0)$ 代入 $E_2$ 得 $3\ne 0$，所以 $L$ 與 $E_2$ 平行。距離 $=\frac{|1+2-0|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，錯誤。

答案 $(3,-2,0)$。

① 過 $A$ 作垂直 $E$ 的直線，方向是法向量 $(1,-1,-3)$：$(1+t,-t,6-3t)$。

② 代入 $E$：$(1+t)+t-3(6-3t)+6=11t-11=0$，$t=1$，垂足 $H(2,-1,3)$。

③ $H$ 是 $A$ 與對稱點 $A^{\prime }$ 的中點：$A^{\prime }=2H-A=(3,-2,0)$。

答案 $60$。

① 第二行減去第一行的 $\frac{4}{5}$ 倍，值不變：$\left|\begin{array}{cc}5a& 4a+3b\\ 5c& 4c+3d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}5a& 3b\\ 5c& 3d\end{array}\right|$。

② 兩行各提出 $5$ 與 $3$：$=15\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=15\times 4=60$。

答案 $18$。

① 四面體體積是同三向量所張平行六面體體積的 $\frac{1}{6}$，所以 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$ 張成的平行六面體體積 $=6$，即三階行列式的絕對值 $=6$。

② 把第三個向量 $\overrightarrow{c}$ 的 $2$ 倍加到第二個向量，行列式不變：

$$\det \left(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c},\overrightarrow{c}\right)=\det \left(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)$$

③ 再把 $\overrightarrow{b}$ 的 $-2$ 倍加到第一個：$=\det \left(3\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)=3\det \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)$。

所以體積 $=3\times 6=18$。

答案 $20$。

① $x$ 從 $-1$ 到 $3$、$y$ 從 $0$ 到 $\frac{1}{2}$，$P$ 點畫出以 $4\overrightarrow{OA}$ 與 $\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ 為兩邊的平行四邊形（如圖）。

② $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 張成的平行四邊形面積：$\left|\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right|\right|=|2-12|=10$。

③ 兩邊各乘 $4$ 與 $\frac{1}{2}$，面積 $=4\times \frac{1}{2}\times 10=20$。

答案 $16$。

① $x^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2$ 是點 $(x,y,z)$ 到 $Q(0,-1,3)$ 的距離的平方，而 $(x,y,z)$ 在平面 $x-2y+2z+4=0$ 上。

② 最小值是 $Q$ 到平面距離的平方：

$$d=\frac{|0+2+6+4|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{12}{3}=4$$

所以最小值 $=4^2=16$。

答案 $3:4$。

① 兩個三角形都以 $\overline{AB}$ 為底，面積比等於 $P$、$C$ 到直線 $AB$ 的距離比。

② $\overrightarrow{AP}$ 中 $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ 這一段沿著 $AB$ 方向，不改變到 $AB$ 的距離；$\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ 使 $P$ 到 $AB$ 的距離是 $C$ 的 $\frac{3}{4}$。

所以 $△ABP:△ABC=3:4$。

答案 $3x-2y+7z=0$。

① $E$ 與 $E_1$、$E_2$ 都垂直，$E$ 的法向量同時垂直 $\overrightarrow{n_1}=(1,-2,-1)$ 與 $\overrightarrow{n_2}=(3,1,-1)$，取外積：

$$\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=(3,-2,7)$$

② 過點 $(-1,-5,-1)$：$3(x+1)-2(y+5)+7(z+1)=0$。

③ 展開：$3x-2y+7z+3-10+7=0$，即 $3x-2y+7z=0$。

答案 $(-1,2,0)$。

① $\overrightarrow{u}$ 是 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的正射影：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6+4+8=18$，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=9$。

② $\overrightarrow{u}=\frac{18}{9}\overrightarrow{b}=(4,2,4)$。

③ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{u}=(-1,2,0)$。

檢查：$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{b}=-2+2+0=0$，確實垂直。

答案 $3$。

① 直線 $L$ 在平面 $z=1$ 上，參數式 $(t,4-t,1)$。

② 原點到 $L$ 上一點距離的平方：

$$t^2+(4-t{)}^2+1=2(t-2{)}^2+9$$

③ $t=2$ 時最小，最小值 $9$，最近點 $(2,2,1)$。

所以距離 $=\sqrt{9}=3$。

答案 $28$。

① 依第三列展開：

$$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -3& 2& 6\\ a& b& c\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 6\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ -3& 6\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 2\end{array}\right|=2a-6b+3c$$

② 柯西不等式：$(2a-6b+3c{)}^2\le \left(2^2+6^2+3^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=49\times 16$。

③ 所以 $2a-6b+3c\le 28$；當 $(a,b,c)=\frac{4}{7}(2,-6,3)$ 時等號成立。

最大值為 $28$。

答案 $108$。

① 設 $E$ 的三個截距為 $p$、$q$、$r$（都為正，才在第一卦限圍出四面體）：$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$。

② 過 $A(2,3,4)$：$\frac{2}{p}+\frac{3}{q}+\frac{4}{r}=1$。體積 $V=\frac{1}{6}pqr$。

③ 算幾不等式：

$$1=\frac{2}{p}+\frac{3}{q}+\frac{4}{r}\ge 3\sqrt[3]{\frac{24}{pqr}}$$

④ 得 $pqr\ge 27\times 24=648$，$V\ge 108$；當 $\frac{2}{p}=\frac{3}{q}=\frac{4}{r}=\frac{1}{3}$，即 $p=6$、$q=9$、$r=12$ 時等號成立。

最小體積為 $108$。

答案 $96$。

① 取 $\overline{BC}$ 中點 $M$。$\overline{AB}=\overline{AC}$，所以 $\overline{AM}\perp \overline{BC}$。

② 對 $\overline{BC}$ 上任一點 $P_i$：${\overline{A{P}_i}}^2={\overline{AM}}^2+{\overline{M{P}_i}}^2$。

③ $\overline{B{P}_i}\times \overline{P_{i}C}=\left(\overline{BM}-\overline{M{P}_i}\right)\left(\overline{BM}+\overline{M{P}_i}\right)={\overline{BM}}^2-{\overline{M{P}_i}}^2$（$P_i$ 在 $M$ 的哪一側都成立）。

④ 相加：$m_i={\overline{AM}}^2+{\overline{BM}}^2={\overline{AB}}^2=16$，每一個 $m_i$ 都一樣。

所以 $m_1+m_2+\cdots +m_6=6\times 16=96$。

答案 $6$。設正三角形為 $ABC$（$BC$ 在下），過 $P$ 平行 $BC$ 的直線交 $\overline{AB}$ 於 $F$、交 $\overline{AC}$ 於 $G$；過 $P$ 平行 $AB$、$AC$ 的直線交 $\overline{BC}$ 於 $D$、$E$。

① 以 $P$ 為頂點的三個小三角形，三邊各平行大三角形的三邊，都是正三角形，邊長分別是 $\overline{FP}$、$\overline{DE}$、$\overline{PG}$。

② $FBDP$ 兩組對邊平行，是平行四邊形，$\overline{BD}=\overline{FP}$；同理 $PECG$ 是平行四邊形，$\overline{EC}=\overline{PG}$。

③ 所以 $x+y+z=\overline{FP}+\overline{DE}+\overline{PG}=\overline{BD}+\overline{DE}+\overline{EC}=\overline{BC}=6$。

答案 $891$ 元。

① 邊長 $s$ 的正三角形面積是 $\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$，總金額：

$$100\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+200\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{y}^2+400\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{z}^2=25\sqrt{3}\left(x^2+2y^2+4z^2\right)$$

② 柯西不等式，配合第 19 題的 $x+y+z=6$：

$$\left[1^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]\left[x^2+{\left(\sqrt{2}y\right)}^2+(2z{)}^2\right]\ge (x+y+z{)}^2=36$$

③ 所以 $x^2+2y^2+4z^2\ge 36÷\frac{7}{4}=\frac{144}{7}$；等號在 $x:y:z=4:2:1$，即 $x=\frac{24}{7}$、$y=\frac{12}{7}$、$z=\frac{6}{7}$ 時成立（三個都是正數，$P$ 確實在內部）。

④ 最低費用 $=25\sqrt{3}\times \frac{144}{7}=\frac{3600\sqrt{3}}{7}\approx \frac{3600\times 1.732}{7}\approx 890.7$。

四捨五入，最低費用約 $891$ 元。