段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、算幾不等式、常用對數）

正義高中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題（每題 4 分，共 20 分）、多重選擇題 5 題（每題 5 分，共 25 分；學校答案卷註明每答對一選項得 1 分，答錯不倒扣）、填充題 10 題（共 45 分，學校答案卷的量尺：答對 1 至 10 題依序得 6、12、18、24、30、33、36、39、42、45 分）、混合題或非選擇題 2 題（共 10 分，第 21 題兩小題各 3 分、第 22 題 4 分）；本頁題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對：21 題一致；第 7 題學校答案為 (1)(3)，本站判斷選項 (2) 也正確，答案列 (1)(2)(3)，理由寫在該題詳解。

第一部分：單一選擇題 (每題 4 分，共 20 分)

下列敘述何者錯誤？

(1) 所有循環小數必為有理數
(2) $2$ 與 $3$ 之間有無限多個有理數
(3) 若 $a$ ， $b$ 皆為無理數，則 $a + b$ 亦為無理數
(4) 若 $a - b$ 、 $a + b$ 為有理數，則 $a$ 、 $b$ 都是有理數
(5) 若 $p$ 為質數，則 $p$ 必為無理數

試問與

\frac{3 + 2}{3 - 2} - \frac{3 - 2}{3 + 2}

最接近的整數為下列何者？

(1) $6$
(2) $7$
(3) $8$
(4) $9$
(5) $10$

設不等式

∣ a x + 8∣ \leq b

之解為

- 3 \leq x \leq 11

，則

a + b

之值為何？

(1) $12$
(2) $14$
(3) $16$
(4) $18$
(5) $20$

下列各方程式或不等式中，整數解的個數何者最少？

(1) $∣3 x + 1∣ < 4$
(2) $7 \leq ∣3 x - 5∣ < 10$
(3) $∣ x + 1∣ + ∣ x - 7∣ = 8$
(4) $2∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ < 7$
(5) $∣ x ∣ + ∣ x - 5∣ = 2$

若

n

為自然數，且

3^{n}

為

49

位數，符合上述條件的

n

值有兩個，則這兩個

n

值的總和為何？

(1) $199$
(2) $201$
(3) $203$
(4) $205$
(5) $207$

第二部分：多重選擇題 (每題 5 分，共 25 分)

選出下列哪些是有理數？

(1) $2$
(2) $7 + 26$
(3) $lo g 1000$
(4) $8 + 27 - 8 - 27$
(5) $π$

下列關於實數的敘述哪些是正確的？

(1) $0. \overline{3} + 0. \overline{6} = 1$
(2) $\frac{1}{7} = 0. \overline{142857}$ 的小數點後第 $50$ 位數字為 $4$
(3) $2^{- 50} \times 5^{20}$ 可化成有限小數
(4) 若 $x, y$ 為實數且 $x < y$ ，則 $\frac{3 x + y}{4} < \frac{3 x - y}{2}$
(5) 若 $x, y$ 為實數且 $x < y$ ，則 $x^{2} < y^{2}$

已知

x = 2 - 3

，試選出正確的選項

(1) $x^{- 1} = 2 + 3$
(2) $x^{\frac{1}{2}} = \frac{6 - 2}{2}$
(3) $x + x^{- 1} = 4$
(4) $x^{2} + x^{- 2} = 14$
(5) $x^{3} + x^{- 3} = 52$

已知

0 < a < b

，若

x = \frac{1015}{2026} a + \frac{1011}{2026} b

，

y = \frac{1011}{2026} a + \frac{1015}{2026} b

，

z = \frac{a + b}{2}

，

w = ab

，則下列哪些敘述一定正確？

(1) $x > y$
(2) $y > z$
(3) $z > w$
(4) $y > w$
(5) $x > w$

下列哪些實數

x

能滿足不等式

∣ x - 2 ∣ < 1.5

？

(1) $x = lo g 1$
(2) $x = lo g 10$
(3) $x = lo g 100$
(4) $x = lo g 2500$
(5) $x = lo g 99999$

第三部分：填充題 (共45分)

若

m

，

n

是有理數且

(3 - 2) m + (42) n = 6 + 22

，試求

(m, n) =

____。

化簡

(1 + 3)^{4} (1 - 3)^{3} =

____。

試比較大小：

a = 5^{2}

，

b = 12 5^{\frac{1}{4}}

，

c = (\frac{1}{5})^{- \frac{5}{2}}

：____。

設

a = 1 2^{x} = 1 8^{y} = 2 4^{z}

，其中

x, y, z

皆為不為零的實數，且

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2

，則

a

值為 ____。

已知

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，試求

10 0^{a} + (\frac{1}{100})^{b}

之值為 ____。

設

P (x, y)

為直線

L : x + 2 y = 8

上之動點，則

3^{x} + 3^{y}

的最小值為 ____。

設

y = ∣ x + 2∣ + ∣ x - 4∣

，則

y

的最小值為 ____。

承第

17

題，此時

x

之範圍為 ____。

已知

a^{2 x} = 5

，則

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}} =

____。

實數

p

，

q (q \geq 0)

滿足不等式

∣ x - p ∣ \leq q

至少有一個整數解且所有的整數解總和為

0

。設滿足上列條件的

p

值之範圍為

a < p < b

，試問

b - a

的最大值為 ____。

第四部分：混合題或非選擇題 (佔 10 分，此部分請寫出詳細計算過程)｜說明：本部分共有 2 小題，每一組配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。請由左而右橫式書寫試，作答時需寫出計過程或理由，否則將酌予扣分。

阿珍不慎感冒，依醫生指示服感冒藥。假設在服藥

k

小時後，殘留在胃裡的藥量尚有

M = 450 \times (0.64)^{k}

毫克，根據此關係式回答下列問題： (1) 經過

1.5

小時後，殘留在胃裡的藥量有 ____ 毫克。(3%) (2) 自

2

到

3

小時這

1

小時內吸收的藥量，與

3

小時後殘留在胃裡的藥量的比值為 ____。(3%)

量度聲音大小的單位是分貝（dB），dB 值的計算公式是

dB = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I

是聲音強度，

I_{0}

是固定值。若強度變成原來的

100

倍，聲音增加 ____ 分貝。(4%)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(5)

第 5 題(3)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(1)(2)(3)（學校答案為 (1)(3)；依題意 (2) 也正確：50＝6×8＋2，第 50 位是循環節第 2 位數字 4）

第 8 題(1)(2)(3)(4)(5)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題(1)(2)(3)

第 11 題

(2, 1)

第 12 題

- 8 - 83

第 13 題

c > a > b

第 14 題

72

第 15 題

\frac{37}{9}

第 16 題

18

第 17 題

6

第 18 題

- 2 \leq x \leq 4

第 19 題

\frac{31}{5}

第 20 題

1

第 21 題(1)

230.4

毫克；(2)

\frac{9}{16}

第 22 題

20

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題 1～5：有理數與無理數、有理化、絕對值不等式、位數

第 1 題答案 (3)。(1) 正確：循環小數都可以化成分數，例如

0. \overline{12} = \frac{12}{99}

。(2) 正確：例如

1.42, 1.421, 1.4211, \dots

都是介於

2 \approx 1.414

與

3 \approx 1.732

之間的有限小數，有無限多個。(3) 錯誤：取

a = 2

、

b = - 2

，兩者都是無理數，但

a + b = 0

是有理數。(4) 正確：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

、

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

，有理數相加減、除以

2

仍是有理數。(5) 正確：若

p = \frac{m}{n}

（最簡分數），則

p n^{2} = m^{2}

，

p

整除

m

；令

m = p k

，得

n^{2} = p k^{2}

，

p

也整除

n

，與最簡分數矛盾。

要說明「不一定」只需要一個反例；(3) 的反例取互為相反數的兩個無理數最快。

第 2 題分母有理化：

\frac{3 + 2}{3 - 2} = \frac{( 3 + 2 ) ^{2}}{3 - 2} = 5 + 26

；

\frac{3 - 2}{3 + 2} = 5 - 26

。相減得

46 = 96

。因為

9. 5^{2} = 90.25 < 96 < 100 = 1 0^{2}

，所以

9.5 < 96 < 10

，最接近的整數是

10

，答案 (5)。

判斷最接近哪個整數，要和「中間值」

9.5

比，不是只看落在

9

與

10

之間。

96 \approx 9.80

。

第 3 題解

- 3 \leq x \leq 11

的中點是

4

，半長是

7

，所以這個解可以寫成

∣ x - 4∣ \leq 7

。

∣ a x + 8∣ \leq b

的解區間以使

a x + 8 = 0

的

x = - \frac{8}{a}

為中點，所以

- \frac{8}{a} = 4

，

a = - 2

。此時

∣ - 2 x + 8∣ = 2∣ x - 4∣ \leq b

，即

∣ x - 4∣ \leq \frac{b}{2}

，得

\frac{b}{2} = 7

，

b = 14

。所以

a + b = - 2 + 14 = 12

，答案 (1)。

驗算：

∣ - 2 x + 8∣ \leq 14

即

- 14 \leq - 2 x + 8 \leq 14

，

- 3 \leq x \leq 11

，與題目相同。

第 4 題逐一數整數解。(1)

- 4 < 3 x + 1 < 4

，

- \frac{5}{3} < x < 1

，整數

- 1, 0

，共

2

個。(2)

7 \leq 3 x - 5 < 10

得

4 \leq x < 5

，整數

4

；

- 10 < 3 x - 5 \leq - 7

得

- \frac{5}{3} < x \leq - \frac{2}{3}

，整數

- 1

；共

2

個。(3)

∣ x + 1∣ + ∣ x - 7∣

是

x

到

- 1

與到

7

的距離和，最小是

8

，在

- 1 \leq x \leq 7

時成立，整數

9

個。(4) 分段：

x \geq 1

時

x + 5 < 7

，

x < 2

，整數

1

；

- 2 \leq x < 1

時

3 x + 3 < 7

，

x < \frac{4}{3}

，整數

- 2, - 1, 0

；

x < - 2

時

- x - 5 < 7

，

x > - 12

，整數

- 11, \dots, - 3

共

9

個；合計

13

個。(5)

x

到

0

與到

5

的距離和最小是

5

，不可能等於

2

，無解，

0

個。最少的是 (5)。

(3)(5) 都用「距離和」的意義：兩點距離和的最小值是兩點間的距離，等於最小值時解是整段，小於最小值時無解。

第 5 題

3^{n}

為

49

位數

\Leftrightarrow 1 0^{48} \leq 3^{n} < 1 0^{49} \Leftrightarrow 48 \leq n lo g 3 < 49

。用

lo g 3 \approx 0.4771

：

n \geq \frac{48}{0.4771} \approx 100.6

，

n < \frac{49}{0.4771} \approx 102.7

，所以

n = 101

或

102

。和為

203

，答案 (3)。

題目沒有給

lo g 3

的值，這裡用常用的近似值

0.4771

。直接驗算：

101 \times 0.4771 = 48.1871

、

102 \times 0.4771 = 48.6642

，整數部分都是

48

，都是

49

位數；

100 \times 0.4771 = 47.71

、

103 \times 0.4771 = 49.1413

則不是。

02多重選擇題 6～10：有理數判斷、循環小數、指數、算幾不等式、log 值

第 6 題答案 (3)(4)。(1) 錯誤。

2

是無理數。(2) 錯誤。

7 + 26 = (6 + 1)^{2}

，所以

7 + 26 = 6 + 1

，是無理數。(3) 正確。

lo g 1000 = lo g 1 0^{3} = 3

。(4) 正確。

8 \pm 27 = (7 \pm 1)^{2}

，所以原式

= (7 + 1) - (7 - 1) = 2

。(5) 錯誤。

π

是無理數。

雙重根號

a + 2 b

：找兩數和為

a

、積為

b

。(4) 的

8 - 27

要寫成

7 - 1

（大減小），開根號的結果必須是正數。

第 7 題答案 (1)(2)(3)。(1) 正確。

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

、

0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，和為

1

。(2) 正確。 循環節

142857

有

6

位，

50 = 6 \times 8 + 2

，第

50

位是循環節的第

2

個數字

4

。(3) 正確。

2^{- 50} \times 5^{20} = \frac{5 ^{20}}{2 ^{50}} = \frac{5 ^{20} \times 5 ^{50}}{2 ^{50} \times 5 ^{50}} = \frac{5 ^{70}}{1 0 ^{50}}

，是整數除以

1 0^{50}

，可化成有限小數。(4) 錯誤。 兩邊同乘

4

：

3 x + y < 6 x - 2 y \Leftrightarrow 3 y < 3 x \Leftrightarrow y < x

，與

x < y

矛盾；例如

x = 0

、

y = 1

，左邊

\frac{1}{4}

、右邊

- \frac{1}{2}

，不成立。(5) 錯誤。 取

x = - 2

、

y = 1

，

x < y

但

x^{2} = 4 > 1 = y^{2}

。

(3) 的判斷原則：最簡分數的分母只含質因數

2

或

5

，就能化成有限小數。學校答案卷印 (1)(3)。但

\frac{1}{7} = 0. \overline{142857}

的第

50

位確實是

4

，(2) 是正確敘述，本站答案列 (1)(2)(3)。

第 8 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)。(1) 正確。

x^{- 1} = \frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = 2 + 3

。(2) 正確。

(\frac{6 - 2}{2})^{2} = \frac{8 - 2 12}{4} = \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3

，且

\frac{6 - 2}{2} > 0

，所以它就是

x^{\frac{1}{2}} = 2 - 3

。(3) 正確。

x + x^{- 1} = (2 - 3) + (2 + 3) = 4

。(4) 正確。

x^{2} + x^{- 2} = (x + x^{- 1})^{2} - 2 = 16 - 2 = 14

。(5) 正確。

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 64 - 12 = 52

。

x^{\frac{1}{2}}

是正的平方根，所以 (2) 除了平方相等，還要確認右邊是正數。

第 9 題答案 (2)(3)(4)。注意

1015 + 1011 = 2026

，所以

x, y

都是

a, b

的加權平均。

y - z = \frac{1011 a + 1015 b - 1013 a - 1013 b}{2026} = \frac{2 ( b - a )}{2026} > 0

；同理

z - x = \frac{2 ( b - a )}{2026} > 0

。所以

x < z < y

。又

a \neq = b

，由算幾不等式

z = \frac{a + b}{2} > ab = w

。(1) 錯誤。

x < y

。(2) 正確。

y > z

。(3) 正確。

z > w

。(4) 正確。

y > z > w

。(5) 錯誤。

x

比

z

小，不一定大於

w

。例如

a = 100 0^{2} = 1000000

、

b = 100 1^{2} = 1002001

，則

w = 1000 \times 1001 = 1001000

，而

x = \frac{1015 \times 1000000 + 1011 \times 1002001}{2026} = \frac{2028023011}{2026}

，因為

2026 \times 1001000 = 2028026000 > 2028023011

，所以

x < w

。

(5) 的反例要讓

a, b

很接近：這時

z - w = \frac{( b - a ) ^{2}}{2}

非常小，比

z - x = \frac{b - a}{1013}

還小。若

a, b

差很多（例如

a = 1

、

b = 4

），則

x > w

，所以 (5) 只是「不一定」。

第 10 題答案 (1)(2)(3)。

∣ x - 2 ∣ < 1.5 \Leftrightarrow 2 - 1.5 < x < 2 + 1.5

。因為

1. 5^{2} = 2.25 > 2

，所以

2 < 1.5

，左端

2 - 1.5 < 0

，右端

2 + 1.5 < 3

；又

2 > 1.4

，右端

> 2.9

。(1) 正確。

lo g 1 = 0

，而

2 - 1.5 < 0 < 2 + 1.5

。(2) 正確。

lo g 10 = 1

，

∣1 - 2 ∣ = 2 - 1 < 1.5

。(3) 正確。

lo g 100 = 2

，

∣2 - 2 ∣ = 2 - 2 < 1.5

（因

2 > 0.5

）。(4) 錯誤。

lo g 2500 > lo g 1000 = 3 > 2 + 1.5

。(5) 錯誤。

lo g 99999 > lo g 10000 = 4 > 2 + 1.5

。

不必算出

lo g 2500 \approx 3.40

：只要知道它大於

3

，而右端小於

3

，就能判斷。

03填充 11～15：有理數係數比較、根式化簡、指數比大小、指數律、log 求值

第 11 題展開左邊：

3 m + (- m + 4 n) 2 = 6 + 22

。

m, n

是有理數，

3 m

、

- m + 4 n

都是有理數，而

2

是無理數，所以對應比較：

3 m = 6

、

- m + 4 n = 2

。得

m = 2

、

n = 1

，

(m, n) = (2, 1)

。

若

p + q 2 = r + s 2

（

p, q, r, s

為有理數），則

p = r

且

q = s

；否則

2 = \frac{r - p}{q - s}

會是有理數。

第 12 題拆成

(1 + 3)^{3} (1 - 3)^{3} \times (1 + 3) = [(1 + 3) (1 - 3)]^{3} (1 + 3) = (1 - 3)^{3} (1 + 3) = - 8 (1 + 3) = - 8 - 83

。

先湊出共軛相乘

(1 + 3) (1 - 3) = - 2

，比直接展開四次方、三次方省很多計算。

第 13 題全部化成以

5

為底：

b = 12 5^{\frac{1}{4}} = (5^{3})^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{4}}

；

c = (5^{- 1})^{- \frac{5}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}

；

a = 5^{2}

。因為

\frac{3}{4} < 1 < 2 < 1.5 < \frac{5}{2}

，且底數

5 > 1

，指數越大值越大，所以

c > a > b

。

c

的底數是

\frac{1}{5} < 1

、指數是負的，化成

5^{\frac{5}{2}}

後就與另外兩個同底，可以直接比指數。

第 14 題

a = 1 2^{x} > 0

。由

a = 1 2^{x}

得

a^{\frac{1}{x}} = 1 2^{x \cdot \frac{1}{x}} = 12

；同理

a^{\frac{1}{y}} = 18

、

a^{\frac{1}{z}} = 24

。三式相乘：

a^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = 12 \times 18 \times 24 = 5184

，即

a^{2} = 5184 = 7 2^{2}

，又

a > 0

，所以

a = 72

。

12 \times 18 \times 24 = (2^{2} \cdot 3) (2 \cdot 3^{2}) (2^{3} \cdot 3) = 2^{6} \cdot 3^{4}

，開平方得

2^{3} \cdot 3^{2} = 72

。

第 15 題

10 0^{a} = 1 0^{2 a} = 1 0^{2 l o g 2} = 1 0^{l o g 4} = 4

；

(\frac{1}{100})^{b} = 1 0^{- 2 b} = 1 0^{- 2 l o g 3} = 1 0^{l o g \frac{1}{9}} = \frac{1}{9}

。所以和為

4 + \frac{1}{9} = \frac{37}{9}

。

1 0^{l o g t} = t

（

t > 0

）；

2 lo g 2 = lo g 2^{2} = lo g 4

、

- 2 lo g 3 = lo g 3^{- 2} = lo g \frac{1}{9}

。

04填充 16～20：算幾不等式、距離和、指數式的乘法公式、絕對值不等式的整數解

第 16 題

3^{x} = 3^{\frac{x}{2}}

。

3^{\frac{x}{2}}

與

3^{y}

都是正數，由算幾不等式

3^{\frac{x}{2}} + 3^{y} \geq 2 3^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{y} = 2 3^{\frac{x + 2 y}{2}} = 2 3^{4} = 18

。等號成立於

3^{\frac{x}{2}} = 3^{y}

，即

\frac{x}{2} = y

，配合

x + 2 y = 8

得

x = 4

、

y = 2

，這一點在直線上，所以最小值是

18

。

驗算：

x = 4

、

y = 2

時

3^{4} + 3^{2} = 9 + 9 = 18

。關鍵是兩項的乘積

3^{\frac{x + 2 y}{2}} = 3^{4}

是定值。

第 17 題

y = ∣ x + 2∣ + ∣ x - 4∣

是數線上

x

到

- 2

與到

4

的距離和。

x

在

- 2

與

4

之間時，距離和等於兩點間的距離

6

；

x

在兩點之外時，距離和大於

6

。所以

y

的最小值為

6

。

也可分段：

x < - 2

時

y = 2 - 2 x > 6

；

- 2 \leq x \leq 4

時

y = 6

；

x > 4

時

y = 2 x - 2 > 6

。

第 18 題由第

17

題，

y = 6

恰在

x

位於

- 2

與

4

之間（含端點）時成立，所以

- 2 \leq x \leq 4

。

端點也要包含：

x = - 2

時

y = 0 + 6 = 6

，

x = 4

時

y = 6 + 0 = 6

。

第 19 題令

t = a^{x} > 0

，則

t^{2} = a^{2 x} = 5

。由立方差公式

t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1}) (t^{2} + 1 + t^{- 2})

，而

t^{2} = 5 \neq = 1

，所以

t - t^{- 1} \neq = 0

，可以約分：原式

= t^{2} + 1 + t^{- 2} = 5 + 1 + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}

。

另解：分子分母同乘

a^{3 x}

，原式

= \frac{a ^{6 x} - 1}{a ^{4 x} - a ^{2 x}} = \frac{125 - 1}{25 - 5} = \frac{124}{20} = \frac{31}{5}

。

第 20 題

∣ x - p ∣ \leq q

的解是

p - q \leq x \leq p + q

，其中的整數是一串連續整數。連續整數的和為

0

，只可能是

0

本身，或

- k, - k + 1, \dots, k

（

k

為正整數）；也就是整數解為

- k, \dots, k

（

k \geq 0

），以

0

為中心左右對稱。條件是：區間含

- k

與

k

，但不含

- k - 1

與

k + 1

，即

- k - 1 < p - q \leq - k

且

k \leq p + q < k + 1

。兩式相加：

- 1 < 2 p < 1

，所以

- \frac{1}{2} < p < \frac{1}{2}

，

p

的範圍長度不超過

1

。反過來，取

q = k + \frac{1}{2}

（例如

q = \frac{1}{2}

），對每個

- \frac{1}{2} < p < \frac{1}{2}

：

p - q

介於

- k - 1

與

- k

之間、

p + q

介於

k

與

k + 1

之間，整數解恰為

- k, \dots, k

，和為

0

。所以

p

的範圍為

- \frac{1}{2} < p < \frac{1}{2}

，

b - a

的最大值為

\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2}) = 1

。

若把

q

固定來看：

q

的小數部分為

f

時，

p

的範圍是

∣ p ∣ \leq f

且

∣ p ∣ < 1 - f

，長度最大在

f = \frac{1}{2}

時取得，為

- \frac{1}{2} < p < \frac{1}{2}

，長度同樣是

1

。

05混合題或非選擇題 21～22：指數衰減、分貝

第 21 題

(1) $k = 1.5$ ： $0.64 = 0. 8^{2}$ ，所以 $(0.64)^{1.5} = (0. 8^{2})^{\frac{3}{2}} = 0. 8^{3} = 0.512$ ， $M = 450 \times 0.512 = 230.4$ 毫克。

(2) $2$ 小時後殘留 $450 \times 0.6 4^{2}$ ， $3$ 小時後殘留 $450 \times 0.6 4^{3}$ 。這 $1$ 小時內吸收的藥量是兩者之差 $450 \times 0.6 4^{2} \times (1 - 0.64) = 450 \times 0.6 4^{2} \times 0.36$ 。所求比值 $= \frac{450 \times 0.6 4 ^{2} \times 0.36}{450 \times 0.6 4 ^{3}} = \frac{0.36}{0.64} = \frac{9}{16}$ 。

(2) 不必算出藥量：吸收量與殘留量都含

450 \times 0.6 4^{2}

，約掉後只剩

\frac{0.36}{0.64}

。實際數值為吸收

66.3552

毫克、殘留

117.9648

毫克。

第 22 題原來強度

I

時為

10 lo g \frac{I}{I _{0}}

分貝；變成

100 I

後為

10 lo g \frac{100 I}{I _{0}} = 10 (lo g 100 + lo g \frac{I}{I _{0}}) = 20 + 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

分貝。所以聲音增加

20

分貝。

強度每變成

10

倍，分貝增加

10

；

100 = 1 0^{2}

，所以增加

2 \times 10 = 20

。

指數與對數的應用題，先把所求寫成同一個式子的比或差，共同的因數會消掉，計算量就小很多。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《數與式》單元冊 01・高一上

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正義高中 115 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

正義高中 115 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要和 9.5 比才知道最接近 10；第 9 題選項 5 要舉 a、b 很接近的反例；第 20 題要看出整數解必須以 0 為中心對稱，再由區間端點推出 p 的範圍；第 21 題第 2 小題要分清楚吸收量是 2 小時與 3 小時殘留量的差。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自正義高中 115 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

正義高中 115 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單一選擇題 1～5：有理數與無理數、有理化、絕對值不等式、位數

02多重選擇題 6～10：有理數判斷、循環小數、指數、算幾不等式、log 值

03填充 11～15：有理數係數比較、根式化簡、指數比大小、指數律、log 求值

04填充 16～20：算幾不等式、距離和、指數式的乘法公式、絕對值不等式的整數解

05混合題或非選擇題 21～22：指數衰減、分貝

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正義高中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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