段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

新竹高中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 2 題、填充題 12 題、計算題 2 題，原卷未印配分。本頁第 1～2 題是原卷多選題第 1～2 題，第 3～14 題是填充題第 1～12 題，第 15～16 題是計算題第 1～2 題。學校尚未公布答案與配分，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題

設

a, b

為實數，下列選項哪些是正確的？

(1) 設 $a + b$ 是有理數且 $a$ 是無理數，則 $b$ 是無理數
(2) 設 $ab$ 、 $\frac{a}{b}$ 均為無理數且 $b$ 不為 $0$ ，則 $a$ 與 $b$ 均為無理數
(3) 設 $a$ 與 $b$ 均為正無理數，則 $a + b + ab$ 為無理數
(4) 設 $a^{4}$ 與 $a^{7}$ 均為有理數，則 $a$ 為有理數
(5) 設 $2 a + b$ 和 $4 a + 2 b$ 均為有理數，則 $a$ 與 $b$ 均為有理數

已知

lo g a = 10 + 46

，其中

a

是實數，下列選項那些是正確的？

(1) $lo g a$ 的整數部分是 $2$
(2) $lo g a$ 的小數部分為 $0.449$
(3) $a$ 的整數部分為 $3$ 位數
(4) $lo g a^{2} = 4 + 26$
(5) $a^{2}$ 的整數部分為 $9$ 位數

二、填充題

設

a > 0

且

a \neq = 1

，若

3 a^{\frac{9}{2}} \times a^{- 5} \times (3 a^{- 7})^{\frac{3}{4}} \times a = a^{r}

則

r =

____

數線上兩點

A (2. \overline{54})

、

B (12. \overline{93})

，點

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 4

，試求點

P

的座標為 ____

若

∣ a x + 7∣ \geq b

之解為

x \leq 2

或

x \geq 6

，則

a + b =

____

方程式

∣2 x - 1∣ + 3 x = 15

的解為 ____

設

a, b, c

為實數，

ab \neq = 0

，

7^{a} = 9^{b} = 2 1^{c}

，則

\frac{c}{a} + \frac{c}{2 b} =

____

已知

3^{50}

為

m

位數，且最高位數字為

n

，則

m + n =

____

設

x > 0

，若

x + \frac{1}{x} = 5

，則

x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} =

____

設

a = \frac{1}{7 + 48}

、

b = \frac{1}{7 - 48}

，則

\frac{a - b}{a + b} =

____

已知

x > 1

，當

x = a

時，

1 0^{l o g (x + 1)} + 10 0^{l o g \frac{2}{x - 1}}

有最小值

b

，則

a + b =

____

設

E (r)

為芮氏地震規模

r

的地震震央所釋放出來的能量，規模與能量的關係式為

lo g E (r) = 1.5 r + 11

。2026 年 10 月 10 日在

A

地區的芮氏規模為

6.5

，2016 年 10 月 10 日在

B

地區的芮氏規模為

5.9

，試問

A

地區地震所釋放能量是

B

地區地震所釋放能量的 ____ 倍。（已知

1 0^{0.4} \approx 2.51

、

1 0^{0.5} \approx 3.16

、

1 0^{0.6} \approx 3.98

，四捨五入到小數點後第一位）

放射性物質的半衰期

T

定義為「每經過時間

T

，該物質質量會衰退成原來的一半」。今有

A

、

B

兩種物質，開始記錄時

A

物質的質量是

B

物質質量的

3

倍，經過

60

天後，

A

物質質量是

B

物質質量的

12

倍。設

A

物質的半衰期為

a

天，

B

物質的半衰期為

b

天，則

\frac{a - b}{ab} =

____

設

a

為正實數，若

a^{30}

的整數部分為

19

位數，且

a^{- 100}

在小數點後第

n

位開始出現不為

0

的數字，則

n

值所有可能之總和為 ____

三、計算題

解不等式

∣ x - 3∣ + 2∣ x + 4∣ \leq 11

設

a, b

為正實數，

b

是

a

的小數部分，

0 \leq b < 1

，且滿足

a^{2} + 2 b^{2} = 17

，試求

b

值？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(4)

第 2 題(4)(5)（若把選項 (2) 的

0.449

當成近似值，則為 (2)(4)(5)）

第 3 題

\frac{19}{24}

第 4 題

7

第 5 題

\frac{7}{4}

第 6 題

x = \frac{16}{5}

第 7 題

2

第 8 題

31

第 9 題

47

第 10 題

- \frac{3}{3}

第 11 題

3 + 32

第 12 題

7.9

第 13 題

\frac{1}{30}

第 14 題

310

第 15 題

- \frac{16}{3} \leq x \leq 0

第 16 題

b = \frac{33 - 3}{3}

或

b = \frac{19 - 4}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：有理數與無理數、雙重根號與首數

第 1 題答案 (1)(4)。 (1) 正確。 若

b

是有理數，則

a = (a + b) - b

是兩個有理數相減，也是有理數，與「

a

是無理數」矛盾，所以

b

是無理數。 (2) 錯誤。 反例：

a = 2

、

b = 1

。

ab = 2

、

\frac{a}{b} = 2

都是無理數，但

b = 1

是有理數。 (3) 錯誤。

a + b + ab = (a + 1) (b + 1) - 1

。取

a = b = 2 - 1

（正無理數），得

2 \cdot 2 - 1 = 1

，是有理數。 (4) 正確。 若

a = 0

顯然成立。若

a \neq = 0

，

a^{8} = (a^{4})^{2}

是有理數，且

a^{7} \neq = 0

，所以

a = \frac{a ^{8}}{a ^{7}}

是兩個有理數相除，為有理數。 (5) 錯誤。

4 a + 2 b = 2 (2 a + b)

，兩個條件其實只有一個。反例：

a = 2

、

b = - 22

，

2 a + b = 0

、

4 a + 2 b = 0

都是有理數，但

a

、

b

都是無理數。

判斷「一定是有理數／無理數」的敘述，正確的用反證法說明，錯誤的舉一個反例即可。

第 2 題答案 (4)(5)。先化雙重根號：

10 + 46 = 10 + 224

，找和為

10

、積為

24

的兩數

6

、

4

，得

lo g a = 6 + 4 = 2 + 6

因為

2. 4^{2} = 5.76 < 6 < 6.25 = 2. 5^{2}

，所以

6 = 2.4 \dots

，

lo g a = 4.4 \dots

。 (1) 錯誤。

4 < lo g a < 5

，整數部分是

4

。 (2) 錯誤。

lo g a

的小數部分是

6 - 2

，為無理數，不會恰好等於

0.449

（

6 - 2 = 0.4494 \dots

）。 (3) 錯誤。

lo g a

的整數部分是

4

，所以

1 0^{4} \leq a < 1 0^{5}

，

a

的整數部分是

5

位數。 (4) 正確。

lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 (2 + 6) = 4 + 26

。 (5) 正確。

26 = 24

，而

4. 8^{2} = 23.04 < 24 < 25 = 5^{2}

，所以

4 + 26

介於

8.8

與

9

之間，整數部分是

8

。於是

1 0^{8} \leq a^{2} < 1 0^{9}

，

a^{2}

的整數部分是

9

位數。

卷面寫「小數部分為

0.449

」，沒有寫「約」或「

\approx

」（同卷填充 10 要用近似值時有寫

\approx

），所以照字面判斷不成立；若出題時把它當成近似值，選項 (2) 就成立，答案變成 (2)(4)(5)。(2) 的

0.449

只是近似值；選項寫「為

0.449

」是恰好相等的說法，所以不成立。

02填充 1～5：指數律、循環小數與分點、絕對值、連等式

第 3 題全部化成分數指數。

3 a^{\frac{9}{2}} \times a^{- 5} = (a^{\frac{9}{2}} \cdot a^{- \frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} = (a^{2})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}

(3 a^{- 7})^{\frac{3}{4}} = (a^{- \frac{7}{6}})^{\frac{3}{4}} = a^{- \frac{7}{8}}

所以

r = \frac{2}{3} - \frac{7}{8} + 1 = \frac{16 - 21 + 24}{24} = \frac{19}{24}

。

a \neq = 1

的條件讓

a^{r}

的指數唯一，才能直接比較指數。

第 4 題

2. \overline{54} = 2 + \frac{54}{99} = 2 + \frac{6}{11} = \frac{28}{11}

，

12. \overline{93} = 12 + \frac{93}{99} = 12 + \frac{31}{33} = \frac{427}{33}

。

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 4

，由分點公式

P = \frac{4 \times \frac{28}{11} + 3 \times \frac{427}{33}}{7} = \frac{\frac{112}{11} + \frac{427}{11}}{7} = \frac{539}{77} = 7

分點公式中，靠近

A

的比例數字

3

乘在

B

的坐標上。

第 5 題解是「

x \leq 2

或

x \geq 6

」，不是全體實數，所以

b > 0

；又

a \neq = 0

（否則解不會是這種形狀）。

∣ a x + 7∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{7}{a}

，所以不等式等價於

x + \frac{7}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

，也就是

x

到

- \frac{7}{a}

的距離至少

\frac{b}{∣ a ∣}

。解的兩個端點

2

、

6

的中點是

4

，距離中點

2

，所以

- \frac{7}{a} = 4

、

\frac{b}{∣ a ∣} = 2

。得

a = - \frac{7}{4}

，

b = 2 \times \frac{7}{4} = \frac{7}{2}

。

a + b = - \frac{7}{4} + \frac{7}{2} = \frac{7}{4}

。

驗算：

- \frac{7}{4} x + 7 = \frac{7}{4} ∣ x - 4∣ \geq \frac{7}{2}

，即

∣ x - 4∣ \geq 2

，得

x \leq 2

或

x \geq 6

。

第 6 題以

x = \frac{1}{2}

分段。當

x \geq \frac{1}{2}

時：

(2 x - 1) + 3 x = 15

，

5 x = 16

，

x = \frac{16}{5}

，符合

x \geq \frac{1}{2}

。當

x < \frac{1}{2}

時：

(1 - 2 x) + 3 x = 15

，

x = 14

，不符合

x < \frac{1}{2}

，捨去。所以解為

x = \frac{16}{5}

。

第 7 題設

7^{a} = 9^{b} = 2 1^{c} = k

，則

k > 0

。因為

a \neq = 0

，

k = 7^{a} \neq = 1

。由

7^{a} = k

得

7 = k^{\frac{1}{a}}

；由

9^{b} = k

得

9 = k^{\frac{1}{b}}

，所以

3 = k^{\frac{1}{2 b}}

；由

2 1^{\frac{c}{2}} = k

知

c \neq = 0

（否則

k = 1

），得

21 = k^{\frac{2}{c}}

。因為

7 \times 3 = 21

，所以

k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}} = k^{\frac{2}{c}}

。又

k > 0

且

k \neq = 1

，指數必相等：

\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = \frac{2}{c}

兩邊乘以

c

，得

\frac{c}{a} + \frac{c}{2 b} = 2

。

也可以兩邊取 log：

a lo g 7 = 2 b lo g 3 = \frac{c}{2} lo g 21

，同樣得到

\frac{c}{a} + \frac{c}{2 b} = \frac{2 ( l o g 7 + l o g 3 )}{l o g 21} = 2

。

03填充 6～9：位數與最高位數字、分數指數、雙重根號、算幾不等式

第 8 題用

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

、

lo g 8 = 3 lo g 2 \approx 0.9031

（題目未附，用常用的近似值）。

lo g 3^{50} = 50 lo g 3 \approx 23.855

，整數部分是

23

，所以

3^{50}

是

24

位數，

m = 24

。

3^{50} = 1 0^{0.855} \times 1 0^{23}

，而

lo g 7 < 0.855 < lo g 8

，所以

7 < 1 0^{0.855} < 8

，最高位數字

n = 7

。

m + n = 24 + 7 = 31

。

位數看 log 的整數部分加 1；最高位數字看小數部分落在哪兩個

lo g k

之間。

第 9 題設

t = x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}

，因

x > 0

，

t > 0

。

t^{2} = x + 2 + \frac{1}{x} = 5 + 2 = 7

，所以

t = 7

。

x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}})^{3} - 3 (x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}) = 77 - 37 = 47

。

立方和公式：

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，這裡

pq = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = 1

。

第 10 題

48 = 43 = 212

，

7 + 212

找和為

7

、積為

12

的兩數

4

、

3

：

7 + 48 = 2 + 3

，

7 - 48 = 2 - 3

。所以

a = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

，

b = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

，

a + b = 4

、

ab = 1

、

a - b = - 23

。分子分母同乘

a - b

：

\frac{a - b}{a + b} = \frac{( a - b ) ^{2}}{a - b} = \frac{a + b - 2 ab}{a - b} = \frac{4 - 2}{- 2 3} = - \frac{3}{3}

a < b

，所以分子

a - b < 0

，答案是負的。

第 11 題由對數的定義，

1 0^{l o g (x + 1)} = x + 1

。

10 0^{l o g \frac{2}{x - 1}} = 1 0^{2 l o g \frac{2}{x - 1}} = 1 0^{l o g \frac{2}{x - 1}} = \frac{2}{x - 1}

。所以原式

= (x + 1) + \frac{2}{x - 1} = (x - 1) + \frac{2}{x - 1} + 2

。因

x > 1

，

x - 1 > 0

，由算幾不等式

(x - 1) + \frac{2}{x - 1} \geq 2 (x - 1) \cdot \frac{2}{x - 1} = 22

等號在

x - 1 = \frac{2}{x - 1}

，即

x - 1 = 2

時成立。所以

a = 1 + 2

，最小值

b = 2 + 22

，

a + b = 3 + 32

。

把

x + 1

拆成

(x - 1) + 2

，讓兩項相乘成為定值

2

。

04填充 10～12：地震規模、半衰期、位數與小數點後第幾位

第 12 題

lo g E (6.5) - lo g E (5.9) = 1.5 \times (6.5 - 5.9) = 0.9

，所以

\frac{E ( 6.5 )}{E ( 5.9 )} = 1 0^{0.9} = 1 0^{0.4} \times 1 0^{0.5} \approx 2.51 \times 3.16 = 7.9316

四捨五入到小數點後第一位，約

7.9

倍。

題目給的是

1 0^{0.4}

、

1 0^{0.5}

，把

0.9

拆成

0.4 + 0.5

就能用。

第 13 題設開始時

B

的質量為

M

，則

A

為

3 M

。經過

60

天，

A

剩

3 M \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{60}{a}}

，

B

剩

M \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{60}{b}}

。依題意

3 M \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{60}{a}} = 12 M \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{60}{b}}

，整理得

2^{\frac{60}{b} - \frac{60}{a}} = 4 = 2^{2}

所以

\frac{60}{b} - \frac{60}{a} = 2

，

\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{30}

。而

\frac{a - b}{ab} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{30}

。

\frac{a - b}{ab}

拆成

\frac{1}{b} - \frac{1}{a}

，不必分別求

a

、

b

。

第 14 題

a^{30}

的整數部分是

19

位數，所以

1 0^{18} \leq a^{30} < 1 0^{19}

，即

18 \leq 30 lo g a < 19

，得

0.6 \leq lo g a < \frac{19}{30}

乘以

- 100

（不等號反向）：

- \frac{190}{3} < lo g a^{- 100} \leq - 60

，也就是

- 63.33 \dots < lo g a^{- 100} \leq - 60

。若

- n \leq lo g a^{- 100} < - n + 1

，則

a^{- 100}

從小數點後第

n

位開始出現不為

0

的數字。

lo g a^{- 100}

可能落在：恰為

- 60

（

n = 60

）、

[- 61, - 60)

（

n = 61

）、

[- 62, - 61)

（

n = 62

）、

[- 63, - 62)

（

n = 63

）、

(- \frac{190}{3}, - 63)

（

n = 64

）。所以

n

可能為

60

、

61

、

62

、

63

、

64

，總和為

310

。

端點要小心：

lo g a = 0.6

可以取到，此時

a^{- 100} = 1 0^{- 60}

，從第

60

位開始不為

0

。

05計算 1～2

第 15 題以

x = - 4

、

x = 3

分段。當

x \geq 3

時：

(x - 3) + 2 (x + 4) = 3 x + 5 \leq 11

，得

x \leq 2

，與

x \geq 3

不合，無解。當

- 4 \leq x < 3

時：

(3 - x) + 2 (x + 4) = x + 11 \leq 11

，得

x \leq 0

，所以

- 4 \leq x \leq 0

。當

x < - 4

時：

(3 - x) - 2 (x + 4) = - 3 x - 5 \leq 11

，得

x \geq - \frac{16}{3}

，所以

- \frac{16}{3} \leq x < - 4

。合併得解為

- \frac{16}{3} \leq x \leq 0

。

檢查端點：

x = 0

時

3 + 8 = 11

，

x = - \frac{16}{3}

時

\frac{25}{3} + \frac{8}{3} = 11

，等號都成立。

第 16 題設

a

的整數部分為

k

（

k

為非負整數），則

a = k + b

，

0 \leq b < 1

。因

k \leq a < k + 1

且

0 \leq 2 b^{2} < 2

：

k^{2} \leq a^{2} + 2 b^{2} = 17 < (k + 1)^{2} + 2

由

k^{2} \leq 17

得

k \leq 4

；由

(k + 1)^{2} > 15

得

k \geq 3

。所以

k = 3

或

k = 4

。

k = 4

：

(4 + b)^{2} + 2 b^{2} = 17

，

3 b^{2} + 8 b - 1 = 0

，

b = \frac{- 8 \pm 76}{6} = \frac{- 4 \pm 19}{3}

。取

0 \leq b < 1

的根：

b = \frac{19 - 4}{3}

（因

4 < 19 < 7

）。

k = 3

：

(3 + b)^{2} + 2 b^{2} = 17

，

3 b^{2} + 6 b - 8 = 0

，

b = \frac{- 6 \pm 132}{6} = \frac{- 3 \pm 33}{3}

。取

0 \leq b < 1

的根：

b = \frac{33 - 3}{3}

（因

5 < 33 < 6

，

0 < b < 1

）。所以

b = \frac{33 - 3}{3}

或

b = \frac{19 - 4}{3}

。

容易只想到

k = 4

（因

16 \leq 17 < 25

）而漏掉

k = 3

；

k

的範圍要用整個式子

a^{2} + 2 b^{2}

夾，不能只看

a^{2}

。

小數部分的題目先設整數部分為

k

，用

0 \leq b < 1

夾出

k

的可能值，再逐一解方程式。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

新竹高中 115 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹高中 115 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題要先化雙重根號再判讀首數與位數、填充第 3 題要由解的對稱中心反求係數、填充第 12 題要注意 log 值恰為整數的端點，以及計算第 2 題整數部分有兩種可能，容易漏掉一組。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹高中 115 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

找不到？我帶你去

新竹高中 115 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～2：有理數與無理數、雙重根號與首數

02填充 1～5：指數律、循環小數與分點、絕對值、連等式

03填充 6～9：位數與最高位數字、分數指數、雙重根號、算幾不等式

04填充 10～12：地震規模、半衰期、位數與小數點後第幾位

05計算 1～2

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

新竹高中 115 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹高中 115 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

新竹高中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

新竹高中 115 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹高中 115 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？