高雄中學 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)(D)。獎學金要「(1) 且 (2)」都成立；(1) 是「物理 $\ge 75$ 或化學 $\ge 75$」，(2) 是「數學 $\ge 75$ 且歷史及格」。伊寧寺數學 $75$ 分，所以 (2) 只剩「歷史及格」要看。

(A) 正確。 歷史不及格，(2) 不成立，一定拿不到。

(B) 錯誤。 化學不及格，但物理可能 $\ge 75$，(1) 仍可成立；歷史又及格，可能拿到獎學金，不能說「無法獲得」。

(C) 錯誤。 (1) 成立，但不知道歷史有沒有及格，(2) 不一定成立，不能確定拿得到。

(D) 正確。 拿到獎學金只需物理或化學其中一科 $\ge 75$；例如化學 $80$ 分、物理 $50$ 分、歷史及格，也拿得到，所以物理可能不及格。

(E) 錯誤。 拿不到獎學金，表示 (1) 不成立「或」歷史不及格，只要其中一件就夠，不必兩件同時發生。例如物理 $90$ 分但歷史不及格，也拿不到。

答案 (A)(C)(E)。有限小數與循環小數都可化成分數，是有理數；無限不循環小數是無理數。

(A) 正確。 由上面的說明。

(B) 錯誤。 反例：$c=\sqrt{2}$、$d=-\sqrt{2}$，$c+d=0$ 是有理數。

(C) 正確。 若 $a+c=r$ 是有理數，則 $c=r-a$ 是兩個有理數的差，也是有理數，矛盾。所以 $a+c$ 是無理數。

(D) 錯誤。 反例：$c=d=\sqrt{2}$，$cd=2$ 是有理數。

(E) 正確。 若 $bd=r$ 是有理數，因為 $b\ne 0$，$d=\frac{r}{b}$ 是有理數，矛盾。所以 $bd$ 是無理數。

答案 (D)。

(A) 錯誤。 兩邊都是正數，比平方：$(\sqrt{5}+\sqrt{12}{)}^2=17+2\sqrt{60}$，$(\sqrt{6}+\sqrt{11}{)}^2=17+2\sqrt{66}$。$60<66$，所以左邊比較小。

(B) 錯誤。 $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2$，開根號得 $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$。當 $a<b$ 時等號不成立，例如 $a=1$、$b=4$：左邊 $=\sqrt{1}=1$，右邊 $=1-2=-1$。

(C) 錯誤。 題目只說 $a$、$b$ 是實數，沒說是有理數。例如 $a=5+\sqrt{3}$、$b=1$ 也滿足 $a+b\sqrt{3}=5+2\sqrt{3}$。

(D) 正確。 $-11\le 4x-9\le 11$，$-2\le 4x\le 20$，$-\frac{1}{2}\le x\le 5$，長度 $5-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{2}$。

(E) 錯誤。 算幾不等式要求兩數為正。$a$ 是負數時 $a+\frac{1}{a}<0$，例如 $a=-1$ 時值為 $-2$，比 $2$ 小，所以 $2$ 不是最小值。

答案 (B)(E)。$A$ 的元素有四個：$\{\varnothing \}$、$1$、$\{2\}$、$\{1,2\}$。

(A) 錯誤。 $\varnothing$ 不在這四個元素之中（$\{\varnothing \}$ 才是）。

(B) 正確。 $\{2\}$ 是 $A$ 的元素。

(C) 錯誤。 $2$ 不是 $A$ 的元素，它只是元素 $\{2\}$ 裡面的東西。

(D) 錯誤。 $\{\varnothing \}\subset A$ 要求 $\varnothing \in A$，由 (A) 知不成立。

(E) 正確。 $\{\{1,2\}\}$ 的唯一元素 $\{1,2\}$ 屬於 $A$，所以 $\{\{1,2\}\}\subset A$。

分界點 $x=-3$、$x=2$。

$x\ge 2$：$(x-2)-2(x+3)=-x-8\le 2$，$x\ge -10$，與 $x\ge 2$ 取交集得 $x\ge 2$。

$-3\le x<2$：$(2-x)-2(x+3)=-3x-4\le 2$，$x\ge -2$，得 $-2\le x<2$。

$x<-3$：$(2-x)+2(x+3)=x+8\le 2$，$x\le -6$，得 $x\le -6$。

合起來：$x\le -6$ 或 $x\ge -2$。

$|x-2|<3$ 得 $A=(-1,5)$。$A\cup B=[-2,5)$ 而 $A$ 只到 $-1$（不含），所以 $B$ 在 $A$ 之外的部分恰好是 $[-2,-1]$；又 $A\cap B=[2,3]$，所以 $B=[-2,-1]\cup [2,3]$。

$a=0$ 時 $|ax-1|=1$，$B$ 是空集合，不合。$3\le |ax-1|\le b$ 即 $3\le ax-1\le b$ 或 $-b\le ax-1\le -3$，也就是 $4\le ax\le b+1$ 或 $1-b\le ax\le -2$。

若 $a>0$：兩段解為 $\frac{4}{a}\le x\le \frac{b+1}{a}$ 與 $\frac{1-b}{a}\le x\le -\frac{2}{a}$。正的那段是 $[2,3]$：$\frac{4}{a}=2$，$a=2$；$\frac{b+1}{2}=3$，$b=5$。檢查負的那段：$\left[\frac{1-5}{2},-1\right]=[-2,-1]$，相符。

若 $a<0$：正的那段由 $1-b\le ax\le -2$ 得 $-\frac{2}{a}\le x\le \frac{1-b}{a}$，要等於 $[2,3]$，得 $a=-1$、$b=4$；此時另一段由 $4\le -x\le 5$ 得 $[-5,-4]$，與 $[-2,-1]$ 不符，不合。

故 $(a,b)=(2,5)$。

$\sqrt{3(z-3{)}^2}=\sqrt{3}|z-3|$，$\sqrt{(z-2{)}^2}=|z-2|$。原式化為 $\left(|x-1|+2|y-2|+|z-2|\right)+|z-3|\sqrt{3}=4+\sqrt{3}$。左邊括號內與 $|z-3|$ 都是整數，$\sqrt{3}$ 是無理數，所以 $|z-3|=1$ 且 $|x-1|+2|y-2|+|z-2|=4$。

$z=4$：$|z-2|=2$，$|x-1|+2|y-2|=2$。$|y-2|=0$ 時 $|x-1|=2$，$2$ 組；$|y-2|=1$ 時 $|x-1|=0$，$y$ 有 $2$ 種，$2$ 組。共 $4$ 組。

$z=2$：$|z-2|=0$，$|x-1|+2|y-2|=4$。$|y-2|=0$：$|x-1|=4$，$2$ 組；$|y-2|=1$：$|x-1|=2$，$2\times 2=4$ 組；$|y-2|=2$：$|x-1|=0$，$2$ 組。共 $8$ 組。

合計 $4+8=12$ 組。

令 $t=\sqrt{103}-10$。因為 $10^2=100<103<121=11^2$，$0<t<1$。

$\sqrt{103}-9=t+1$，所以第一個根號內 $=t+1-2\sqrt{t}={\left(\sqrt{t}-1\right)}^2$，第二個根號內 $=t+1+2\sqrt{t}={\left(\sqrt{t}+1\right)}^2$。

由 $0<t<1$ 得 $\sqrt{t}<1$，所以第一項 $=\left|\sqrt{t}-1\right|=1-\sqrt{t}$，第二項 $=\sqrt{t}+1$。相加得 $2$。

(1) $n$ 為正整數，$n^2<n^2+1$ 顯然成立；又 $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$，而 $2n\ge 2>0$，所以 $n^2+1<(n+1{)}^2$。得 $n^2<n^2+1<(n+1{)}^2$，三數都是正數，開平方大小關係不變：$n<\sqrt{n^2+1}<n+1$。

(2) 用反證法。假設 $\sqrt{n^2+1}$ 是有理數，因為它是正數，可寫成 $\sqrt{n^2+1}=\frac{p}{q}$，$p,q$ 為互質的正整數。平方得 $\frac{p^2}{q^2}=n^2+1$，是整數。由提示，$q=1$，所以 $\sqrt{n^2+1}=p$ 是正整數。但由 (1)，$n<p<n+1$，兩個相鄰整數 $n$ 與 $n+1$ 之間沒有整數，矛盾。故 $\sqrt{n^2+1}$ 為無理數。