段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數、算幾不等式）

新竹女中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 新竹女中 115 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新竹女中 115 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (4) 要用指數輾轉相減推出有理數、選項 (5) 容易漏掉取零的反例；第 4 題只給距離比，內分點與外分點兩個都要寫；第 10 題最後一項是相減，值有正負兩種；第 13 題要先把根號化成絕對值再分三段討論。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多選題 3 題、填充題 11 題、計算題 1 題。學校尚未公布答案與配分，本頁答案為本站依題目計算

一、多選題（原題第 1 題至第 3 題，本頁第 1～3 題）

下列敘述哪些是正確的？

(1) 若 $a, b$ 為無理數，則 $a + b$ 也是無理數
(2) 若 $a$ 為有理數且 $b$ 為無理數，則 $a + b^{2}$ 是有理數
(3) 若 $a, b$ 為整數且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a \neq = b$
(4) 若 $a$ 為實數，且 $a^{18}$ 與 $a^{25}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數
(5) 若 $a, b$ 為非負有理數， $x, y$ 均為非負無理數，則 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y}$ 必為無理數

下列敘述哪些正確？

(1) $2 + 7 < 3 + 6$
(2) 若 $b > a > 0$ 且 $x$ 為正實數，則 $\frac{b + x}{a + x} > \frac{b}{a}$
(3) $0. \overline{9} - 1 < 0$
(4) $((- 2)^{4})^{\frac{1}{4}} < π^{0}$
(5) $(lo g 126 + lo g 128) - lo g 126 \times lo g 128 > 0$

已知

1 0^{x} = lo g 1 0^{2026}

，請問下列敘述何者正確？

(1) $100 0^{x} = 3 \times 2026$
(2) $0.0 1^{x} = \frac{1}{2026}$
(3) $x = lo g 2026$
(4) $1 0^{2 x} = 2026$
(5) $3 < lo g 2 x < 4$

二、填充題（原題第 1 題至第 11 題，本頁第 4～14 題）

設數線上

A, B

兩點的座標分別為

- 5, 9

，若

P

點滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，則數線上

P

點的座標為 ____。

求值：

481 \times 2^{- 1} \times lo g 1000 \times 1 0^{l o g 36} =

____。

解方程式

∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣ = 6

，得

x =

____。

在一個培養細菌的容器中，細菌的數目每隔

1

分鐘就增為

2

倍。已知開頭放入

1

個細菌，

1

小時後容器內細菌總數達到

N

個，若開頭放入

32

個細菌，則最少經過 ____ 分鐘容器內細菌總數會達到

N

個。

設

0 < m < n < 1

，

a = 1 0^{m}

，

b = 1 0^{n}

。若

p = \frac{a + 3 b}{4}

、

q = \frac{a + 2 b}{3}

、

r = ab

、

s = \frac{3 a + 3 b}{6}

，則

p, q, r, s

這四個數的大小關係為 ____。（請以代號

p, q, r, s

作答）

設

m, n

為正實數，若不等式

{∣ x - 3∣ \leq n ∣ x + 2∣ > m

的解為

- 5 \leq x < - 3

或

- 1 < x \leq 11

，則

\frac{n}{m} =

____。

設

x + \frac{1}{x} = 4

，則

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + x - \frac{1}{x} =

____。

若

k = \frac{1}{6 + 2} - \frac{5 - 2}{4} + \frac{1}{3 - 5}

，則有 ____ 個整數

x

滿足不等式

\frac{1}{4} x - k \leq 3

。

已知

lo g x = 11 + 72

，其中

lo g x

的小數部分為

a

，

x

的整數部分為

b

位數，則數對

(a, b) =

____。

滿足不等式

4∣ x + 3∣ - x + 4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 15

之解為 ____。

若正整數

n

滿足「

\frac{1}{n}

可表示為循環小數

0. \overline{ab}

，其中

a, b

為

1

位數的正整數或

0

，且

a \neq = b

」，則所有可能的正整數

n

之和為 ____。

三、計算題（原題第 1 題，本頁第 15 題）

設

x \neq = 3

且

x

為實數，若

x = k

時，

\frac{2∣ x - 3 ∣ ^{2} + 8}{∣ x - 3∣}

有最小值

m

，則

k =

____，

m =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)(5)

第 3 題(2)(3)

第 4 題

\frac{13}{3}

或

23

第 5 題

162

第 6 題

0

或

6

第 7 題

55

第 8 題

r < s < q < p

第 9 題

8

第 10 題

66 + 23

或

66 - 23

第 11 題

24

第 12 題

(2 - 1, 5)

第 13 題

- \frac{24}{7} \leq x \leq 0

第 14 題

143

第 15 題

k = 1

或

5

，

m = 8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：有理數與無理數、比大小、log 的定義

第 1 題答案 (4)。(1) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

是有理數。(2) 錯：取

a = 0

、

b = 1 + 2

，

a + b^{2} = 3 + 22

是無理數。(3) 錯：若

b \neq = 0

，則

2 = - \frac{a}{b}

是有理數，矛盾，所以

b = 0

，進而

a = 0

，得

a = b

。(4) 對：

a = 0

時成立。

a \neq = 0

時，

a^{7} = a^{25} \div a^{18}

是有理數；

a^{4} = a^{18} \div (a^{7})^{2}

是有理數；

a^{3} = a^{7} \div a^{4}

是有理數；

a = a^{4} \div a^{3}

是有理數。(5) 錯：取

a = b = 0

，值為

0

；或取

a = b = 1

、

x = 2 + 2

、

y = 2 - 2

，

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{( 2 - 2 ) + ( 2 + 2 )}{( 2 + 2 ) ( 2 - 2 )} = \frac{4}{2} = 2

，都是有理數。

(4) 的做法是把指數

25

和

18

輾轉相減：

25 - 18 = 7

、

18 - 2 \times 7 = 4

、

7 - 4 = 3

、

4 - 3 = 1

。有理數（除數不為

0

）相除仍是有理數，所以每一步都保持有理數。

第 2 題答案 (1)(5)。(1) 對：兩邊都是正數，平方後比較：左邊

9 + 214

、右邊

9 + 218

，左邊較小。(2) 錯：

\frac{b}{a} - \frac{b + x}{a + x} = \frac{b ( a + x ) - a ( b + x )}{a ( a + x )} = \frac{( b - a ) x}{a ( a + x )} > 0

，所以

\frac{b + x}{a + x} < \frac{b}{a}

。(3) 錯：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

，所以

0. \overline{9} - 1 = 0

，不小於

0

。(4) 錯：

(- 2)^{4} = 16

，

1 6^{\frac{1}{4}} = 2

，而

π^{0} = 1

，

2 < 1

不成立。(5) 對：

lo g 126

、

lo g 128

都大於

lo g 100 = 2

，是正數；由算幾不等式

lo g 126 + lo g 128 \geq 2 lo g 126 \times lo g 128 > lo g 126 \times lo g 128

。

(4) 不能寫成

(- 2)^{4 \times \frac{1}{4}} = - 2

：底數為負時指數律不能直接套用，要先算裡面的

(- 2)^{4} = 16

。

第 3 題答案 (2)(3)。先化簡：

lo g 1 0^{2026} = 2026

，所以

1 0^{x} = 2026

。(1) 錯：

100 0^{x} = (1 0^{x})^{3} = (2026)^{3} = 20262026

，不是

32026

。(2) 對：

0.0 1^{x} = (1 0^{- 2})^{x} = (1 0^{x})^{- 2} = \frac{1}{2026}

。(3) 對：由

1 0^{x} = 2026

及 log 的定義，

x = lo g 2026

。(4) 錯：

1 0^{2 x} = (1 0^{x})^{2} = 2026

。(5) 錯：

2 x = 2 lo g 2026 = lo g 2026

，而

1 0^{3} < 2026 < 1 0^{4}

，所以

3 < 2 x < 4

；於是

lo g 2 x < lo g 4 < 1

，不可能大於

3

。

(5) 要分清楚

2 x

與

lo g 2 x

：介於

3

和

4

之間的是

2 x = lo g 2026

，不是

lo g 2 x

。

2 x

大約是

3.3

，再取一次 log 之後不到

1

。

02填充 4～7（原題填充 1～4）：分點、指數與對數求值、絕對值方程式、指數成長

第 4 題題目只給距離比，沒有說

P

在

\overline{A B}

上，所以有兩種位置。設

P

的座標為

x

，

∣ x + 5∣ = 2∣ x - 9∣

。

P

在

A

、

B

之間（內分點）：

x + 5 = 2 (9 - x)

，

x = \frac{13}{3}

。

P

在

\overline{A B}

外：因為

\overline{A P} > \overline{B P}

，

P

離

B

較近，在

B

的右邊，

x + 5 = 2 (x - 9)

，

x = 23

。答案

\frac{13}{3}

或

23

。

驗算：

x = \frac{13}{3}

時

\overline{A P} = \frac{28}{3}

、

\overline{B P} = \frac{14}{3}

；

x = 23

時

\overline{A P} = 28

、

\overline{B P} = 14

，都是

2 : 1

。

第 5 題

481 = 3

；

2^{- 1} = \frac{1}{2}

；

lo g 1000 = 3

；

1 0^{l o g 36} = 36

。相乘：

3 \times \frac{1}{2} \times 3 \times 36 = 162

。

1 0^{l o g a} = a

（

a > 0

）：

lo g a

就是「

10

的幾次方會等於

a

」的那個次方。

第 6 題

∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣

是

x

到

1

與到

5

的距離和。

1 \leq x \leq 5

時距離和恆為

4

，不等於

6

。

x > 5

時：

(x - 1) + (x - 5) = 6

，

x = 6

。

x < 1

時：

(1 - x) + (5 - x) = 6

，

x = 0

。答案

x = 0

或

6

。

距離和比

4

多

2

，往兩端各多走

1

：

1 - 1 = 0

、

5 + 1 = 6

。解有兩個是因為左右兩側各有一個點。

第 7 題每分鐘變

2

倍，

1

個細菌經過

60

分鐘成為

N = 2^{60}

個。開頭放

32 = 2^{5}

個，經過

t

分鐘有

2^{5} \times 2^{t} = 2^{5 + t}

個；要達到

2^{60}

需

5 + t \geq 60

，

t \geq 55

。最少

55

分鐘。

32

個相當於

1

個細菌已經先長了

5

分鐘，所以省下

5

分鐘。

03填充 8～11（原題填充 5～8）：平均數比大小、絕對值不等式、乘法公式、有理化

第 8 題

0 < m < n

所以

1 < a < b

，

a, b

為相異正數。

s = \frac{3 a + 3 b}{6} = \frac{a + b}{2}

，由算幾不等式

\frac{a + b}{2} > ab

（

a \neq = b

，等號不成立），得

r < s

。

q - s = \frac{2 ( a + 2 b ) - 3 ( a + b )}{6} = \frac{b - a}{6} > 0

，得

s < q

。

p - q = \frac{3 ( a + 3 b ) - 4 ( a + 2 b )}{12} = \frac{b - a}{12} > 0

，得

q < p

。所以

r < s < q < p

。

s, q, p

分別是把

\overline{A B}

（

A (a)

、

B (b)

）分成

1 : 1

、

2 : 1

、

3 : 1

的內分點，

b

的比重

\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}

越大就越靠近較大的

b

。

第 9 題

∣ x - 3∣ \leq n

的解是

3 - n \leq x \leq 3 + n

；

∣ x + 2∣ > m

的解是

x < - 2 - m

或

x > - 2 + m

。兩者的共同部分是

3 - n \leq x < - 2 - m

或

- 2 + m < x \leq 3 + n

。對照

- 5 \leq x < - 3

或

- 1 < x \leq 11

：

3 - n = - 5

、

3 + n = 11

得

n = 8

；

- 2 - m = - 3

、

- 2 + m = - 1

得

m = 1

。所以

\frac{n}{m} = 8

。

有等號的端點（

- 5

、

11

）來自

\leq

那一式，沒有等號的端點（

- 3

、

- 1

）來自

>

那一式，用這點分辨哪個端點對哪個式子。

第 10 題

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 14

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。

(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 12

，所以

x - \frac{1}{x} = \pm 23

。合計

14 + 52 \pm 23 = 66 \pm 23

。

為什麼有兩個值：

x + \frac{1}{x} = 4

即

x^{2} - 4 x + 1 = 0

，

x = 2 \pm 3

，兩個都是正實數且互為倒數。

x = 2 + 3

時

x - \frac{1}{x} = 23

，所求為

66 + 23

；

x = 2 - 3

時

x - \frac{1}{x} = - 23

，所求為

66 - 23

。題目沒有限制

x > 1

，兩個都要寫。

第 11 題分別有理化：

\frac{1}{6 + 2} = \frac{6 - 2}{4}

；

\frac{1}{3 - 5} = \frac{3 + 5}{4}

。所以

k = \frac{( 6 - 2 ) - ( 5 - 2 ) + ( 3 + 5 )}{4} = \frac{3 + 6}{4}

。不等式兩邊同乘

4

：

∣ x - (3 + 6) ∣ \leq 12

，即

6 - 9 \leq x \leq 6 + 15

。因為

2 < 6 < 3

，所以

- 7 < 6 - 9 < - 6

、

17 < 6 + 15 < 18

，整數

x

為

- 6, - 5, \dots, 17

，共

17 - (- 6) + 1 = 24

個。

估端點只需要

6

落在哪兩個整數之間（

4 < 6 < 9

），不必算到小數。

04填充 12～14（原題填充 9～11）：首數與尾數、絕對值不等式、循環小數

第 12 題

11 + 72 = 11 + 218 = (9 + 2)^{2}

（

9 + 2 = 11

、

9 \times 2 = 18

），所以

lo g x = 3 + 2

。因為

1 < 2 < 2

，

4 < lo g x < 5

，整數部分是

4

，小數部分

a = (3 + 2) - 4 = 2 - 1

。又

4 < lo g x < 5

表示

1 0^{4} < x < 1 0^{5}

，

x

的整數部分是

5

位數，

b = 5

。答案

(2 - 1, 5)

。

lo g x

的整數部分是

4

，位數是

4 + 1 = 5

；位數比首數多

1

。

第 13 題

4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2} = ∣2 x - 3∣

，不等式為

4∣ x + 3∣ - x + ∣2 x - 3∣ \leq 15

，分界點是

- 3

與

\frac{3}{2}

。①

x < - 3

：

- 4 (x + 3) - x - (2 x - 3) \leq 15

，

- 7 x \leq 24

，

x \geq - \frac{24}{7}

，得

- \frac{24}{7} \leq x < - 3

。②

- 3 \leq x < \frac{3}{2}

：

4 (x + 3) - x - (2 x - 3) \leq 15

，

x \leq 0

，得

- 3 \leq x \leq 0

。③

x \geq \frac{3}{2}

：

4 (x + 3) - x + (2 x - 3) \leq 15

，

x \leq \frac{6}{5}

，與

x \geq \frac{3}{2}

沒有共同部分。合併 ①②：

- \frac{24}{7} \leq x \leq 0

。

A^{2} = ∣ A ∣

，不是

A

。驗算端點：

x = 0

時

12 - 0 + 3 = 15

；

x = - \frac{24}{7}

時

\frac{12}{7} + \frac{24}{7} + \frac{69}{7} = 15

，都恰好等於

15

。

第 14 題

0. \overline{ab} = \frac{10 a + b}{99}

，所以

\frac{1}{n} = \frac{10 a + b}{99}

，即

n \times (10 a + b) = 99

，

10 a + b

必須是

99

的正因數：

1, 3, 9, 11, 33, 99

。寫成兩位

ab

分別是

01, 03, 09, 11, 33, 99

，其中

a \neq = b

的只有

01, 03, 09

，對應

n = 99, 33, 11

。和為

99 + 33 + 11 = 143

。

驗算：

\frac{1}{11} = 0. \overline{09}

、

\frac{1}{33} = 0. \overline{03}

、

\frac{1}{99} = 0. \overline{01}

。被排除的

11, 33, 99

對應

\frac{1}{9} = 0. \overline{11}

、

\frac{1}{3} = 0. \overline{33}

、

1 = 0. \overline{99}

，都是

a = b

。

05計算題 15（原題計算 1）：算幾不等式求極小值

第 15 題令

t = ∣ x - 3∣

，因為

x \neq = 3

，所以

t > 0

。原式

= \frac{2 t ^{2} + 8}{t} = 2 t + \frac{8}{t}

。

2 t

與

\frac{8}{t}

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 t + \frac{8}{t}}{2} \geq 2 t \times \frac{8}{t} = 16 = 4

，得

2 t + \frac{8}{t} \geq 8

。等號成立於

2 t = \frac{8}{t}

，即

t^{2} = 4

，

t = 2

（

t > 0

）。

∣ x - 3∣ = 2

得

x = 5

或

x = 1

。所以最小值

m = 8

，此時

k = 1

或

5

。

k

有兩個值：

∣ x - 3∣ = 2

表示

x

與

3

的距離是

2

，在

3

的左右各有一點。代回驗算：

x = 1

或

5

時原式

= \frac{2 \times 4 + 8}{2} = 8

。

用算幾不等式求極值，要確認兩件事：乘積是定值、等號在題目允許的範圍內做得到。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

新竹女中 115 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹女中 115 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (4) 要用指數輾轉相減推出有理數、選項 (5) 容易漏掉取零的反例；第 4 題只給距離比，內分點與外分點兩個都要寫；第 10 題最後一項是相減，值有正負兩種；第 13 題要先把根號化成絕對值再分三段討論。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹女中 115 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

新竹女中 115 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 15 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選題：有理數與無理數、比大小、log 的定義

02填充 4～7（原題填充 1～4）：分點、指數與對數求值、絕對值方程式、指數成長

03填充 8～11（原題填充 5～8）：平均數比大小、絕對值不等式、乘法公式、有理化

04填充 12～14（原題填充 9～11）：首數與尾數、絕對值不等式、循環小數

05計算題 15（原題計算 1）：算幾不等式求極小值

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

新竹女中 115 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹女中 115 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

新竹女中 115 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

新竹女中 115 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹女中 115 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？