南山高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

① 燈罩是半個直圓錐面，頂點在 $A$。由圖，$\overline{AB}$ 是燈罩上緣的一條母線（$B$ 處的半圓弧是燈罩的截面，夾在上緣母線 $\overline{AB}$ 與往桌面斜下的下緣母線之間）。

② 燈光照亮的範圍，就是這個圓錐面（往外延伸）圍住的區域；它的邊界是圓錐面與桌面的交線。

③ 桌面與母線 $\overline{AB}$ 平行，且不通過頂點 $A$。

④ 平面不過頂點、且與圓錐的一條母線平行時，截痕是拋物線；燈光照亮的區域邊界就是這條拋物線的一部分。

答案 (3)。

① 矩陣乘法是「列乘行」：第一列 $(a_1,a_2)$ 乘行 $(b_1,b_2)$ 得 $a_1{b}_1+a_2{b}_2$，第二列也一樣。

② 而 $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ 正是內積 $\vec{A}\cdot \vec{B}=2$，所以

$$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_1& a_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$$

③ 二階方陣乘 $2\times 1$ 矩陣，結果是 $2\times 1$ 的行矩陣。

答案 (3)。

① 由 $A^2-5A+4I_2=0$（零矩陣）得 $A^2-5A=-4I_2$，提出 $A$：

$$A(A-5I_2)=-4I_2$$

② 兩邊同乘 $-\frac{1}{4}$：$\left(-\frac{1}{4}A\right)(A-5I_2)=I_2$。$A$ 與 $A-5I_2$ 可交換，所以另一邊的乘積也是 $I_2$。

③ 因此 $A-5I_2$ 的反方陣是 $-\frac{1}{4}A$。

答案 (4)。

① 令 $\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AB}$，則 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}$ 是以 $\overline{AE}$、$\overline{AC}$ 為鄰邊的平行四邊形的對角線。

② 對角線平分夾角，必須兩鄰邊等長，四邊形是菱形，所以 $\left|t\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$，且 $t>0$。

③ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}$，$\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。

④ $t\cdot 5\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，得 $t=\frac{3}{5}$。

答案 (2)。

① 定義域：$x-1>0$ 且 $7-x>0$，所以 $1<x<7$。

② 換底：${\log }_{100}(7-x)=\frac{\log (7-x)}{\log 100}=\frac{1}{2}\log (7-x)$。原式兩邊乘 $2$：

$$2\log (x-1)>\log (7-x)⟺\log (x-1{)}^2>\log (7-x)$$

③ 底數 $10>1$，真數大小同向：$(x-1{)}^2>7-x$，即 $x^2-x-6>0$，$(x-3)(x+2)>0$，得 $x>3$ 或 $x<-2$。

④ 與定義域取交集：$3<x<7$，整數 $x=4,5,6$，共 $3$ 個。

答案 (2)。

① 沿 $\overrightarrow{AO}$ 方向前進 $\overline{AO}$ 的距離，就是加上 $\overrightarrow{AO}=(2,-1)$：$P=(0,0)+(2,-1)=(2,-1)$。

② 沿 $\overrightarrow{BP}$ 方向前進 $2\overline{BP}$，就是加上 $2\overrightarrow{BP}$。$\overrightarrow{BP}=(2-1,-1-3)=(1,-4)$，所以 $Q=(2,-1)+(2,-8)=(4,-9)$。

③ 再加上 $3\overrightarrow{CQ}$ 回到原點：$\overrightarrow{OQ}+3\overrightarrow{CQ}=\vec{0}$。以坐標寫：$(4,-9)+3((4,-9)-(x,y))=(0,0)$。

④ 整理得 $4(4,-9)=3(x,y)$，$(x,y)=\left(\frac{16}{3},-12\right)$。

答案 (5)。

先求 $a$：圖形過 $(2,8)$，$a^2=8$，$a>0$，所以 $a=2\sqrt{2}$。

(1) 正確。 $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，而 $\sqrt{4}<\sqrt{8}<\sqrt{9}$，所以 $2<a<3$。

(2) 錯誤。 底數 $a>1$，$f(x)$ 是嚴格遞增函數。

(3) 正確。 $f(0)=a^0=1$，任何底數的指數函數都過 $(0,1)$。

(4) 錯誤。 $f(3)=(2\sqrt{2}{)}^3=16\sqrt{2}\ne 16$。

(5) 正確。 $a=2^{\frac{3}{2}}$，$a^x=2^{\frac{3}{2}x}=64=2^6$，得 $x=4$；遞增函數只有一個交點 $(4,64)$。

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 $L$ 的法向量是 $(2,-1)$，與它垂直的 $(1,2)$ 是方向向量（斜率 $\frac{2}{1}=2$）。

(2) 正確。 $y$ 軸是直線 $x=0$，法向量可以是 $(1,0)$。

(3) 錯誤。 $L$ 的方向向量 $(1,2)$ 與 $y$ 軸方向 $(0,1)$ 的夾角餘弦為

$$\frac{(1,2)\cdot (0,1)}{\sqrt{5}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

但兩直線的夾角有互補的兩個角 $\theta$ 與 $180^{\circ }-\theta$（見圖），$\cos \theta$ 可能是 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 也可能是 $-\frac{2}{\sqrt{5}}$，不一定等於 $\frac{2}{\sqrt{5}}$。

(4) 正確。 $y=2x+4$，斜率為 $2$。

(5) 錯誤。 距離為 $\frac{|2\cdot 0-(-6)+4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne 2$。

答案 (1)(2)(4)。

設正三角形邊長為 $s$，則 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{AB}=\overline{OC}=\overline{AC}=s$。

在 $△OBC$ 用餘弦定理：${\overline{BC}}^2=s^2+s^2-2s^2\cos 30^{\circ }=(2-\sqrt{3})s^2$。

(1) 正確。 $2-\sqrt{3}<1$，所以 $\overline{BC}<s=\overline{OC}$。

(2) 正確。 $\overline{OB}=\overline{OC}=s$。

(3) 正確。 $△ABC$ 中 $\overline{AB}=\overline{AC}=s$，第三邊也是 $\overline{BC}$，與 $△OBC$ 三邊對應相等（SSS 全等），所以 $\angle CAB=\angle BOC=30^{\circ }$。

(4) 錯誤。 $△OAC$ 面積 $\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$；$△ABC$ 面積 $\frac{1}{2}{s}^2\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}{s}^2$，不相等。

(5) 正確。 取 $\overline{OA}$ 中點 $M$，正三角形的中線垂直底邊，所以 $\overline{MB}\perp \overline{OA}$、$\overline{MC}\perp \overline{OA}$，$\angle BMC=\phi$ 就是兩平面的夾角，且 $\overline{MB}=\overline{MC}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$。

在 $△BMC$ 用餘弦定理：

$$\cos \phi =\frac{\frac{3}{4}{s}^2+\frac{3}{4}{s}^2-(2-\sqrt{3})s^2}{2\cdot \frac{3}{4}{s}^2}=\frac{2\sqrt{3}-1}{3}$$

比較：$\frac{2\sqrt{3}-1}{3}<\frac{\sqrt{3}}{2}⟺4\sqrt{3}-2<3\sqrt{3}⟺\sqrt{3}<2$，成立，所以 $\cos \phi <\cos 30^{\circ }$，$\phi >30^{\circ }$（$\phi$ 是銳角，因為 $\cos \phi >0$）。

答案 (1)(2)(3)(5)。

北緯 $60^{\circ }$ 的點離 $xy$ 平面的高度是 $r\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，到 $z$ 軸的距離是 $r\cos 60^{\circ }=\frac{r}{2}$。

(1) 正確。 東經 $30^{\circ }$：$A=\left(\frac{r}{2}\cos 30^{\circ },\frac{r}{2}\sin 30^{\circ },\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}r,\frac{1}{4}r,\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)$。

(2) 錯誤。 $20^{\circ }$ 是緯線圓（半徑 $\frac{r}{2}$）的圓心角，不是地心角。同一條弦 $\overline{AB}$ 在兩個圓中用餘弦定理：

$${\overline{AB}}^2=2{\left(\frac{r}{2}\right)}^2(1-\cos 20^{\circ })=2r^2(1-\cos \angle AOB)$$

得 $1-\cos \angle AOB=\frac{1}{4}(1-\cos 20^{\circ })<1-\cos 20^{\circ }$，所以 $\angle AOB<20^{\circ }$。

(3) 正確。 緯線圓在平面 $z=\frac{\sqrt{3}}{2}r$ 上，這個平面與 $z$ 軸（南北極連線）垂直。

(4) 正確。 $\overline{OA}$ 與赤道面夾 $60^{\circ }$，與垂直赤道面的南北極連線夾 $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。

(5) 正確。 過南北極與 $C$ 的經線大圓上，$\angle NOC=30^{\circ }$（同 (4)）。$\angle NSC$ 是同一弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{NC}}$ 的圓周角，等於圓心角的一半，為 $15^{\circ }$。

答案 (1)(3)(4)(5)。

條件：$|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$，$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$。

(1) 正確。 $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=|\vec{u}{|}^2-|\vec{v}{|}^2=0$。

(2) 正確。 $|\vec{u}\pm \vec{v}{|}^2=1\pm 0+1=2$，兩者都是 $\sqrt{2}$。

(3) 正確。 $|a\vec{u}+b\vec{v}{|}^2=a^2+2ab(\vec{u}\cdot \vec{v})+b^2=a^2+b^2$。

(4) 正確。 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 等長，以它們為鄰邊的平行四邊形是正方形，對角線 $\vec{u}+\vec{v}$ 平分夾角。

(5) 正確。 $(\vec{u}-\vec{v})\cdot \vec{v}=0-1=-1$，夾角餘弦為 $\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot 1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，夾角恰為 $135^{\circ }$（一定是，當然「可能」）。

答案 (1)(2)(3)(4)(5)。

(1) 正確。 $(-a{)}^5=-a^5$，$(-a{)}^9=-a^9$。$a>1$ 時 $a^9>a^5$，加負號後 $-a^5>-a^9$。

(2) 錯誤。 $b^{-5}={\left(\frac{1}{b}\right)}^5$，$b^{-9}={\left(\frac{1}{b}\right)}^9$，而 $\frac{1}{b}>1$，所以 $b^{-5}<b^{-9}$。

(3) 正確。 $\frac{1}{a}<1<\frac{1}{b}$，$\log$ 是遞增函數，所以 $\log \frac{1}{a}<\log \frac{1}{b}$。

(4) 錯誤。 ${\log }_{a}1={\log }_{b}1=0$，兩者相等。

(5) 錯誤。 舉例 $a=4$、$b=\frac{1}{2}$：${\log }_4\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，${\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$，而 $-\frac{1}{2}>-2$，不等式不成立。

答案 (1)(3)。

① 設 $E$ 為原點，$\overrightarrow{EH}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{EA}$ 分別為 $x$、$y$、$z$ 軸正向，則 $A(0,0,4)$、$D(6,0,4)$、$F(0,2,0)$、$G(6,2,0)$。

② $P$ 在 $\overline{AD}$ 上且 $\overline{PA}=4$：$P(4,0,4)$。$Q$ 在 $\overline{FG}$ 上且 $\overline{FQ}=2$：$Q(2,2,0)$。

③ 兩點距離：

$$\overline{PQ}=\sqrt{(4-2{)}^2+(0-2{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$

答案 $2\sqrt{6}$。

① 三階方陣有 $9$ 個位置，要放一個 $1$、四個 $3$、四個 $5$。不同的擺法就是不同的方陣。

② 先選 $1$ 的位置：$9$ 種；剩下 $8$ 個位置選 $4$ 個放 $3$：$C_4^8=70$ 種；其餘放 $5$。

③ 共 $9\times 70=630$ 個，也就是不盡相異物排列 $\frac{9!}{1!4!4!}=630$。

答案 630。

① 逐次相乘：

$$A^2=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

② 再乘一次：

$$A^3=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=-I$$

③ 所以 $A^6=(-I{)}^2=I$，乘冪每 $6$ 次循環一次。

④ $114=6\times 19$，$A^{114}=I$；$2025=6\times 337+3$，$A^{2025}=A^3=-I$。

⑤ $A^{114}-A^{2025}=I-(-I)=2I$。

答案 $\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$。

① 對應位置相加相等：

$$a+a^{-1}=3,x^2-x-3=-1,a^x+a^{-x}=b,\log (0.1x)+\log 5=c$$

② 由 $x^2-x-2=0$ 得 $(x-2)(x+1)=0$，$x>0$，所以 $x=2$。

③ $b=a^2+a^{-2}=(a+a^{-1}{)}^2-2=9-2=7$。

④ $c=\log 0.2+\log 5=\log (0.2\times 5)=\log 1=0$。

答案 (7,0)。

① 令 $t=2^x$，$0\le x\le 2$ 時 $1\le t\le 4$。又 $2^{x+2}=4t$，$4^x=t^2$。

② $f(x)=-t^2+4t+8=-(t-2{)}^2+12$。

③ 在 $1\le t\le 4$ 上，頂點 $t=2$ 時最大：$M=12$；離頂點最遠的 $t=4$ 時最小：$m=-4+12=8$。

④ $M+m=12+8=20$。

答案 20。

① 四點坐標：$A(5,\log 5)$、$B(5,3\log 5)$、$C(10,1)$、$D(10,3)$。

② $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 都是鉛直線段，互相平行，四邊形 $ABDC$ 是梯形，高為 $10-5=5$。

③ 上下底：$\overline{AB}=2\log 5$，$\overline{CD}=2$。

④ 面積：

$$\frac{(2\log 5+2)\times 5}{2}=5(1+\log 5)=5(2-\log 2)\approx 5\times 1.6990=8.495$$

⑤ 其中 $\log 5=\log \frac{10}{2}=1-\log 2$。四捨五入到小數點後第一位為 $8.5$。

答案 8.5。

① $\overrightarrow{AB}=(6-2,-2-1)=(4,-3)$。

② 直線 $L:2x+y=0$ 的法向量 $(2,1)$，方向向量取 $\vec{d}=(1,-2)$。

③ 正射影長：

$$\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{d}\right|}{|\vec{d}|}=\frac{|4+6|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$

答案 $2\sqrt{5}$。

① 橢圓上離頂點最近、最遠的點 $A$、$B$ 是長軸兩端，它們和軸 $L$ 在同一個過軸的平面上，所以 $△VAB$ 是過軸的剖面，$C$ 在 $\overline{AB}$ 上。

② 圓錐的兩條母線 $\overline{VA}$、$\overline{VB}$ 對軸對稱，所以 $\overline{VC}$ 平分 $\angle AVB$。

③ 角平分線分對邊成比例：$\overline{AC}:\overline{CB}=\overline{VA}:\overline{VB}=8:10$，又 $\overline{AB}=9$，得 $\overline{AC}=4$、$\overline{CB}=5$。

④ 在 $△VAB$ 求 $\cos A$：

$$\cos A=\frac{8^2+9^2-10^2}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{45}{144}=\frac{5}{16}$$

⑤ 在 $△VAC$ 用餘弦定理：

$${\overline{VC}}^2=8^2+4^2-2\cdot 8\cdot 4\cdot \frac{5}{16}=80-20=60$$

所以 $\overline{VC}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。

答案 $2\sqrt{15}$。