御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：導數與導函數、切線方程式、二階導函數、多項式函數的遞增遞減、極值、凹凸與反曲點、三次函數圖形、邊際成本

屏東高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 7 題每題 5 分（共 35 分）；多重選擇題 5 題每題 7 分（共 35 分），依 7、4、1、0 給分（錯一選項扣 3 分）；填充題 A～F 共 6 小題，每小題 5 分（共 30 分），每小題內空格須全對才給分；合計 100 分。卷頭試題內容說明寫單選題每題 4 分，與大題標題的每題 5 分不一致，本頁照大題標題。原卷填充 A～F 本頁編為第 13～18 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 5 分，未填答不計分，共 35 分
1
設函數 f(x)=x3−1，求 f(x) 在 x=−1 處的導函數 f′(−1)=？
  1. (1) −1
  2. (2) 0
  3. (3) 1
  4. (4) 2
  5. (5) 3
2
承上題，求以點 P(−1,−2) 為切點的切線方程式為何？
  1. (1) y=−x−2
  2. (2) y=−2x−2
  3. (3) y=3x+1
  4. (4) y=−3x−1
  5. (5) y=−x−2
3
若 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)，則 f′(1)=？
  1. (1) 0
  2. (2) 4
  3. (3) 14
  4. (4) 24
  5. (5) 34
4
函數 f(x)=x3−6x2+2 的圖形中（圖一），在哪一個區間凹口向上？
  1. (1) (3,5)
  2. (2) (−3,0)
  3. (3) (−1,2)
  4. (4) (1,3)
  5. (5) (−5,−3)
載入中...
5
已知二次函數 f(x) 的導函數為 f′(x)=6x−5，且 f(2)=1，求 f(x)？
  1. (1) f(x)=6x2−5x+1
  2. (2) f(x)=3x2−5x−1
  3. (3) f(x)=x2−5x+6
  4. (4) f(x)=12x−5x
  5. (5) f(x)=1
6
已知 (−1,2) 為三次函數 f(x)=2x3+ax2+bx 圖形的一個反曲點，求實數 a+b=？
  1. (1) −1
  2. (2) 1
  3. (3) −4
  4. (4) 8
  5. (5) −6
7
下列各函數圖形中，何者 f′(0) 存在？
  1. (1) 見圖 (1)
  2. (2) 見圖 (2)
  3. (3) 見圖 (3)
  4. (4) 見圖 (4)
  5. (5) 見圖 (5)
載入中...
二、多重選擇題：每題 7 分，依 7->4->1->0(錯一選項扣 3 分)，計 35 分
8
已知函數 f(x)=ax3+bx2+3 在 x=−1 處的切線為 y=−x+3，以下哪些選項是正確的？
  1. (1) f(x) 的導函數為 f′(x)=3ax2+2bx
  2. (2) f′(−1)=−1
  3. (3) 切點 (−1,f(−1))
  4. (4) a=1
  5. (5) b=2
9
已知生產 x 台冰箱的成本函數為 C(x)=0.001x3+15x（千元），試問以下敘述哪些是正確的？ 註：一般而言，在產量 a 件時，多生產一件產品所增加的成本，稱為產量 a 件時的邊際成本
  1. (1) 產量從 80 台增加到 81 台所增加的成本 =C(81)−C(80)
  2. (2) 產量從 80 台增加到 81 台所增加的成本 =C′(81)−C′(80)
  3. (3) 產量 80 台時的邊際成本 =C(81)−C(80)
  4. (4) C′(x)=0.003x2−15
  5. (5) C′(80)=0.003×802+15
10
如圖二為函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的部分圖形，且黑點處為 f(x) 圖形的反曲點，則下列哪些選項是正確的？
  1. (1) d>0
  2. (2) c>0
  3. (3) b>0
  4. (4) a<0
  5. (5) b2−3ac<0
載入中...
11
設 f′(x) 表示實係數多項式函數 f(x) 的導函數，已知 y=f′(x) 的圖形是一個通過點 (−3,0) 和點 (2,0) 且開口向上的拋物線，試問下列哪些選項是正確的？
  1. (1) f(x) 不一定是三次多項式
  2. (2) f(x) 在 −3<x<2 的範圍內必為遞增
  3. (3) f(x) 一定恰有兩個極值
  4. (4) f(x)=0 在 −3≤x≤2 的範圍內一定有實根
  5. (5) 若 f(−3)f(2)>0，則 f(x)=0 只有一個實根。
12
關於三次函數 y=f(x)=−x3+3x2+9x−15 圖形的描述，下列哪些選項是正確的？
  1. (1) y=f(x) 的圖形在區間 (1,5) 為凹口向下
  2. (2) y=f(x) 的圖形在區間 [−3,1] 為遞減
  3. (3) y=f(x) 圖形的對稱中心為 (1,−4)
  4. (4) f(x) 在 x=3 有極大值
  5. (5) y=f(x) 圖形的兩條水平切線距離為 22
三、填充題：每小題 5 分，該小題內圈圈號碼就是對應劃卡的題號，請留意。每小題內空格須全對才給分，計 30 分。
13
試問函數 f(x)=x5+x3+x+1 的圖形上，以點 P(1,4) 為切點的切線方程式為 y=ax+b，則 a+b= ____。
14
設函數 f(x)=2x4+x3−3x2+4x−8，其二階導函數 f′′(1)= ____。
15
試求 y=x3 的圖形上，以原點 O(0,0) 為切點的切線斜率 = ____。
16
設函數 f(x)=∣x−1∣，求導數 f′(0)= ____。
17
已知點 (−1,1) 為三次函數 f(x)=2x3−3ax2+2bx+1 的反曲點，則 a+b= ____。
18
設函數 f(x)=2x3+ax2+bx−5 在區間 [−2,1] 上為嚴格遞減函數，在區間 [1,∞) 與 (−∞,−2] 上為嚴格遞增函數，求 f(x) 的極小值為 ____。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)
第 2 題(3)
第 3 題(4)
第 4 題(1)
第 5 題(2)
第 6 題(4)
第 7 題(3)
第 8 題(1)(2)(3)(4)(5)
第 9 題(1)(3)(5)
第 10 題(1)(4)
第 11 題(3)(5)
第 12 題(1)(3)(4)
第 13 題4
第 14 題24
第 15 題0
第 16 題−1
第 17 題0
第 18 題−12
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～4 題：導數、切線、乘積的導數、凹口向上

第 1 題答案 (5)。f′(x)=3x2，所以 f′(−1)=3×(−1)2=3。
第 2 題答案 (3)。f(−1)=(−1)3−1=−2，P(−1,−2) 在圖形上；切線斜率是上題的 f′(−1)=3。切線為 y−(−2)=3(x+1)，即 y=3x+1。
卷面選項 (1) 與 (5) 印的是同一條直線 y=−x−2，斜率都是 −1，都不是切線，不影響答案。
第 3 題答案 (4)。令 g(x)=(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)，則 f(x)=(x−1)g(x)，f(1)=0。由導數的定義： f′(1)=x→1lim​x−1f(x)−f(1)​=x→1lim​g(x)=g(1) g(1)=(−1)(−2)(−3)(−4)=24。
第 4 題答案 (1)。f′(x)=3x2−12x，f′′(x)=6x−12。凹口向上要 f′′(x)>0，即 x>2。五個區間中只有 (3,5) 整段落在 x>2。
(1,3) 跨過反曲點 x=2，左半段凹口向下。

02單選第 5～7 題：反求函數、反曲點、導數存在的圖形

第 5 題答案 (2)。二次函數設為 f(x)=px2+qx+r，f′(x)=2px+q=6x−5，得 p=3、q=−5。再由 f(2)=12−10+r=1 得 r=−1。所以 f(x)=3x2−5x−1。
驗算：(3x2−5x−1)′=6x−5，f(2)=12−10−1=1。
第 6 題答案 (4)。f′(x)=6x2+2ax+b，f′′(x)=12x+2a。反曲點在 x=−1：f′′(−1)=−12+2a=0，a=6。又 (−1,2) 在圖形上：f(−1)=−2+a−b=2，b=a−4=2。a+b=8。
第 7 題答案 (3)。f′(0) 存在，圖形在 x=0 要有定義、連續而且平滑（沒有尖角）。(1) 在原點是尖角，左邊斜率為負、右邊為正，f′(0) 不存在。(2) f(0) 是上方的實心點，但曲線從兩側都趨近下方的空心點，在 x=0 不連續，f′(0) 不存在。(3) 是水平直線（常數函數），f′(0)=0，存在。(4) x=0 處只有空心點，f(0) 沒有定義，f′(0) 不存在。(5) 在 x=0 跳開，不連續，f′(0) 不存在。
不連續就不可微分；連續但有尖角也不可微分。

03多選第 8～9 題：由切線反求係數、邊際成本

第 8 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)。(1) 正確。 逐項微分，常數 3 的導數是 0，f′(x)=3ax2+2bx。(2) 正確。 切線 y=−x+3 的斜率是 −1，所以 f′(−1)=−1。(3) 正確。 「在 x=−1 處的切線」的切點就是圖形上橫坐標為 −1 的點 (−1,f(−1))；而且切點也在切線上，f(−1)=−(−1)+3=4。(4)(5) 正確。 由 f′(−1)=3a−2b=−1 與 f(−1)=−a+b+3=4（即 b=a+1），代入得 3a−2a−2=−1，a=1、b=2。
驗算：f(x)=x3+2x2+3，f(−1)=4，f′(x)=3x2+4x，f′(−1)=−1，切線 y−4=−(x+1) 即 y=−x+3。卷面選項 (3) 只印「切點 (−1,f(−1))」，句子沒有寫完；本站讀作「切點為 (−1,f(−1))」，敘述成立。本卷沒有學校公布的答案。
第 9 題答案 (1)(3)(5)。(1) 正確。 產量從 80 台到 81 台增加的成本就是兩個總成本的差 C(81)−C(80)。(2) 錯誤。 C′(81)−C′(80) 是兩個導數值的差，不是成本的差；實際算出 C(81)−C(80)=34.441，C′(81)−C′(80)=0.483。(3) 正確。 照題目的註，產量 80 台時的邊際成本是多生產一台所增加的成本，就是 C(81)−C(80)。(4) 錯誤。 C′(x)=0.003x2+15，常數倍的一次項 15x 微分後是 +15，不是 −15。(5) 正確。 代入 (4) 的正確式子：C′(80)=0.003×802+15（=34.2）。
C′(80)=34.2 與 C(81)−C(80)=34.441 很接近，所以常用導數來估計邊際成本；但本題的註把邊際成本定義成 C(81)−C(80) 本身，(3) 照定義是正確的。

04多選第 10～12 題：由圖形判斷係數、由導函數判斷原函數、三次函數的圖形

第 10 題答案 (1)(4)。由圖二：圖形往右一路下降到底、往左一路上升，極大點在 y 軸左邊，反曲點（黑點）也在 y 軸左邊，圖形與 y 軸交在 x 軸上方。f′(x)=3ax2+2bx+c，f′′(x)=6ax+2b。 (1) 正確。 d=f(0)，圖形與 y 軸交在原點上方，d>0。 (2) 錯誤。 c=f′(0)。極大點在 y 軸左邊，x=0 時圖形正在下降，f′(0)<0，所以 c<0。 (3) 錯誤。 反曲點的橫坐標是 f′′(x)=0 的解 x=−3ab​，它在 y 軸左邊，−3ab​<0，即 3ab​>0。由 (4) a<0，得 b<0。 (4) 正確。 x 往右愈來愈大時圖形往下，三次函數的首項係數 a<0。 (5) 錯誤。 圖形有極大和極小，f′(x)=0 有兩個相異實根，判別式 (2b)2−4⋅3a⋅c=4(b2−3ac)>0，所以 b2−3ac>0。
(2) 要放大看極大點的位置：卷面的圖中，最高點在 y 軸的左邊一點點，圖形穿過 y 軸時已經在往下走。
第 11 題答案 (3)(5)。f′(x) 是開口向上、通過 (−3,0) 與 (2,0) 的拋物線，所以 f′(x)=k(x+3)(x−2)，k>0。 (1) 錯誤。 f′(x) 是二次函數，f(x) 一定是三次多項式（首項係數 3k​>0）。 (2) 錯誤。 −3<x<2 時 f′(x)<0，f 遞減，不是遞增。 (3) 正確。 f′ 在 x=−3 由正變負、在 x=2 由負變正，f(−3) 是極大值、f(2) 是極小值，恰有兩個極值。 (4) 錯誤。 f(x) 加上任何常數，導函數都不變。例如 k=6 時取 f(x)=2x3+3x2−36x+100，它在 [−3,2] 遞減，最小值 f(2)=56>0，在這個範圍內沒有實根。 (5) 正確。 f 在 x≤−3 遞增、在 [−3,2] 遞減、在 x≥2 遞增，極大值 f(−3)、極小值 f(2)。若兩者同為正：x≥−3 時 f(x)≥f(2)>0，根只能在 x<−3，而那裡 f 嚴格遞增，只有一個。若兩者同為負：x≤2 時 f(x)≤f(−3)<0，根只能在 x>2，同理只有一個。
第 12 題答案 (1)(3)(4)。f′(x)=−3x2+6x+9=−3(x+1)(x−3)，f′′(x)=−6x+6。 (1) 正確。 x>1 時 f′′(x)<0，在 (1,5) 凹口向下。 (2) 錯誤。 −1<x<1 時 f′(x)>0，圖形在這一段遞增，所以在 [−3,1] 不是遞減。 (3) 正確。 反曲點 x=1，f(1)=−1+3+9−15=−4。三次函數的圖形對稱於反曲點：令 x=1+t，f(1+t)=−t3+12t−4，f(1+t)+4=−t3+12t 是奇函數，圖形對稱於 (1,−4)。 (4) 正確。 f′ 在 x=3 由正變負，f(3)=−27+27+27−15=12 是極大值。 (5) 錯誤。 水平切線在 f′(x)=0 處，即 x=−1 與 x=3：f(−1)=1+3−9−15=−20，f(3)=12。兩條水平切線 y=12 與 y=−20 的距離是 32，不是 22。

05填充 A～C（第 13～15 題）：切線、二階導函數、原點的切線斜率

第 13 題答案 4。f(1)=1+1+1+1=4，P 在圖形上。f′(x)=5x4+3x2+1，f′(1)=9。切線 y−4=9(x−1)，即 y=9x−5，a=9、b=−5，a+b=4。
第 14 題答案 24。f′(x)=8x3+3x2−6x+4，f′′(x)=24x2+6x−6，f′′(1)=24+6−6=24。
第 15 題答案 0。y′=3x2，在 x=0 時斜率為 3×02=0。
切線是 x 軸 y=0；原點也是 y=x3 的反曲點，切線穿過圖形。

06填充 D～F（第 16～18 題）：絕對值函數、反曲點、極小值

第 16 題答案 −1。x<1 時 x−1<0，f(x)=−(x−1)=1−x。x=0 附近都在 x<1 的範圍內，所以 f′(0)=x→0lim​x−0(1−x)−1​=x→0lim​(−1)=−1
f(x)=∣x−1∣ 只在 x=1 是尖角而不可微分；x=0 處圖形是斜率 −1 的直線段。卷面答案格為兩格（⑰⑱），填負號與 1。
第 17 題答案 0。f′(x)=6x2−6ax+2b，f′′(x)=12x−6a。反曲點在 x=−1：f′′(−1)=−12−6a=0，a=−2。又 (−1,1) 在圖形上：f(−1)=−2−3a−2b+1=1，代入 a=−2 得 5−2b=1，b=2。a+b=0。
第 18 題答案 −12。f′(x)=6x2+2ax+b。f 在 (−∞,−2] 遞增、在 [−2,1] 遞減、在 [1,∞) 遞增，所以 f′ 在 x=−2、x=1 變號，f′(−2)=f′(1)=0，f′(x)=6(x+2)(x−1)=6x2+6x−12，比較係數得 a=3、b=−12。f 在 x=1 由遞減轉為遞增，有極小值 f(1)=2+3−12−5=−12。
x=−2 處是極大值 f(−2)=−16+12+24−5=15。卷面答案格為三格（⑳㉑㉒），填負號、1、2。
由切線、反曲點、遞增遞減區間反求係數，都是把條件翻成 f、f′ 或 f′′ 在某點的值，再解聯立方程式。

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第 10 題要看出極大點在 y 軸左邊，所以 x 等於 0 時圖形正在下降，c 小於 0；反曲點在 y 軸左邊再配合 a 小於 0 才推得 b 小於 0。第 11 題 f 一定是三次函數，(4) 加減常數就能讓區間內沒有根，(5) 極大值與極小值同號只有一個實根。第 12 題兩條水平切線是 y 等於 12 與 y 等於負 20，距離 32。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自屏東高中 114 學年度上學期 高三第二次段考 數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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