平鎮高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)(5)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$。

(1) 錯誤。 圖形開口向下，所以 $3a<0$，$a<0$。

(2) 正確。 頂點的 $x$ 坐標 $-\frac{2b}{6a}=-\frac{b}{3a}$ 在 $y$ 軸右邊，為正；又 $a<0$，所以 $b>0$。

(3) 錯誤。 $c=f^{\prime }(0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的縱坐標，交在負半軸，$c<0$。

(4) 錯誤。 $d$ 是 $f(x)$ 的常數項，求導函數時消失，從 $f^{\prime }(x)$ 的圖形無法判斷 $d$ 的正負。

(5) 正確。 $f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2b{)}^2-4(3a)(c)=4(b^2-3ac)>0$，所以 $b^2-3ac>0$。

答案 (3)(4)(5)。$f^{\prime }(x)=4x^3+4x^2=4x^2(x+1)$。$x<-1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$；$x>-1$ 且 $x\ne 0$ 時 $f^{\prime }(x)>0$；$f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(0)=0$。

(1) 錯誤。 $[-3,-2]$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 遞減。

(2) 錯誤。 $(-2,-1)$ 內 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 遞減。

(3) 正確。 $(-1,0)$ 內 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上嚴格遞增。

(4) 正確。 $(0,1)$ 內 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上嚴格遞增。

(5) 正確。 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 與 $[0,\infty )$ 上都嚴格遞增，兩段在 $x=0$ 接起來，所以在 $x\ge -1$ 的範圍嚴格遞增。

答案 (2)(3)。看 $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 在 $h\to 0$ 時的極限是否存在。

(1) 錯誤。 $f(x)=\sqrt{x-1}$ 只在 $x\ge 1$ 有定義，左邊沒有函數值；右邊 $\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$ 在 $h\to 0^{+}$ 時趨近無限大，所以不可微分。

(2) 正確。 $\frac{h^2}{h}=h\to 0$，$f^{\prime }(1)=0$。

(3) 正確。 $\frac{h^3}{h}=h^2\to 0$，$f^{\prime }(1)=0$。

(4) 錯誤。 $\frac{|h|}{h}$ 的右極限是 $1$、左極限是 $-1$，不相等，不可微分。

(5) 錯誤。 $[]$ 為高斯符號，$f(1)=[0]=0$，但 $x$ 略小於 $1$ 時 $[x-1]=-1$，$f(x)$ 在 $x=1$ 不連續，所以不可微分。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。在 $x=-2$ 有極值，$f^{\prime }(-2)=12-4a+b=0$。$x\to 1$ 時分母趨近 $0$ 而極限存在，所以 $f(1)=1+a+b+c=0$；此時

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)=3+2a+b=3$$

所以 $b=-2a$。代入 $12-4a+b=0$ 得 $12-6a=0$，$a=2$，$b=-4$，$c=-1-a-b=1$。$(a,b,c)=(2,-4,1)$。

由除法的微分公式，

$$h^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$$

所以 $h^{\prime }(1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

由乘法與合成函數的微分，

$$h^{\prime }(x)=20(x-4{)}^{19}(2x-5{)}^{10}+(x-4{)}^{20}\cdot 10(2x-5{)}^9\cdot 2$$

$x=3$ 時 $x-4=-1$、$2x-5=1$：$h^{\prime }(3)=20\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 20\cdot 1=0$。

$f(3)=0$，所以

$$\frac{f(3-h)}{2h}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{f(3-h)-f(3)}{-h}$$

$h\to 0$ 時 $-h\to 0$，$\frac{f(3-h)-f(3)}{-h}\to f^{\prime }(3)=5$。原式 $=-\frac{1}{2}\cdot 5=-\frac{5}{2}$。

$a_1=7^{\frac{1}{2}}$，$a_2={\left(7\cdot 7^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}=7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$，$a_3=7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}$，依此類推

$$a_n=7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n}}=7^{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}$$

$n\to \infty$ 時 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$，指數趨近 $1$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=7^1=7$。

$f(1)=1-1+2-1+1=2$。$f^{\prime }(x)=4x^3-3x^2+4x-1$，$f^{\prime }(1)=4-3+4-1=4$。$f(x)$ 在 $x=1$ 附近的一次估計就是在 $x=1$ 的切線：

$$f(x)\approx f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=2+4(x-1)=4x-2$$

令 $t=x-1$，$x=t+1$，代入展開（也可用綜合除法連續除以 $x-1$）：

$$x^4=t^4+4t^3+6t^2+4t+1,x^3=t^3+3t^2+3t+1,x^2=t^2+2t+1$$

$$f=x^4-x^3+2x^2-x+1=t^4+3t^3+5t^2+4t+2$$

所以 $f(x)=2+4(x-1)+5(x-1{)}^2+3(x-1{)}^3+(x-1{)}^4$，$a_0=2$，$a_1=4$，$a_2=5$，$a_3=3$，$a_4=1$。

$x=1.02$ 時 $x-1=0.02$。

用 (1)：$f(1.02)\approx 2+4\times 0.02=2.080$。

用 (2)：$f(1.02)=2+4(0.02)+5(0.02{)}^2+3(0.02{)}^3+(0.02{)}^4=2+0.08+0.002+0.000024+0.00000016=2.08202416$，到小數點以下第三位為 $2.082$。

兩者不一樣：(1) 只取到一次項，少了 $5(0.02{)}^2=0.002$ 等高次項，所以在第三位小數就出現差距。