南山高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)。

① 真數要為正：$x-2>0$、$x+4>0$、$2x+3>0$，合起來是 $x>2$。

② 把底數 $\sqrt{3}$ 換成 $3$：${\log }_{\sqrt{3}}(x+4)=\frac{{\log }_3(x+4)}{{\log }_3\sqrt{3}}=2{\log }_3(x+4)={\log }_3(x+4{)}^2$。

③ 移項後兩邊都寫成以 $3$ 為底：

$${\log }_3[(x-2)(2x+3)]\le {\log }_3(x+4{)}^2$$

④ 底數 $3>1$，對數函數遞增，所以真數也同向：

$$2x^2-x-6\le x^2+8x+16$$

$$x^2-9x-22\le 0,(x-11)(x+2)\le 0$$

得 $-2\le x\le 11$。

⑤ 與真數條件 $x>2$ 取共同部分：$2<x\le 11$，整數 $x=3,4,\dots ,11$。

共 $9$ 個，選 (2)。

答案 (2)。

① 設 $t=\log x$，則 $\log (7x)=\log 7+t$，$\log (3x)=\log 3+t$。

② 原式變成 $(t+\log 7)(t+\log 3)=1$，展開：

$$t^2+(\log 21)t+\log 3\log 7-1=0$$

③ 兩根 $\alpha$、$\beta$ 對應這個二次方程式的兩根 $\log \alpha$、$\log \beta$，由根與係數的關係：

$$\log \alpha +\log \beta =-\log 21$$

④ 所以 $\log (\alpha \beta )=-\log 21=\log \frac{1}{21}$，得 $\alpha \beta =\frac{1}{21}$，選 (2)。

答案 (4)。

① $\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{PR}$ 都在平面上且不平行，外積 $\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}$ 垂直這個平面，所以與法向量 $(2,-1,3)$ 平行：設 $\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=k(2,-1,3)$，$k\ne 0$。

② 前兩列是 $\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{PR}$，第三列是 $(w_1,w_2,w_3)$ 的三階行列式，等於 $\left(\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}\right)\cdot (w_1,w_2,w_3)=k(2w_1-w_2+3w_3)$。

③ 逐項算 $2w_1-w_2+3w_3$：

(1) $(2,0,3)$：$4-0+9=13$。

(2) $(-1,1,1)$：$-2-1+3=0$。

(3) $(1,3,-1)$：$2-3-3=-4$。

(4) $(-2,1,-3)$：$-4-1-9=-14$。

(5) $(0,10,2)$：$0-10+6=-4$。

④ 行列式的絕對值是 $|k|$ 乘上這些數的絕對值，最大的是 (4)。

答案 (1)。

① 矩形中 $\overline{DA}\perp \overline{AB}$，摺的時候 $△ABD$ 不動，這個垂直關係不變。

② $\overline{C^{\prime }H}$ 垂直平面 $ABD$，所以 $\overline{C^{\prime }H}$ 也垂直平面上的 $\overline{DA}$。

③ $\overline{DA}$ 同時垂直平面 $C^{\prime }AB$ 上兩條相交於 $H$ 的直線 $AB$ 與 $C^{\prime }H$，所以 $\overline{DA}$ 垂直平面 $C^{\prime }AB$，因此 $\overline{DA}\perp \overline{A{C}^{\prime }}$。

④ 摺紙前後對應邊等長：$\overline{C^{\prime }D}=\overline{CD}=\overline{AB}=4$。

⑤ 在直角 $△DA{C}^{\prime }$ 中：

$$\overline{A{C}^{\prime }}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$$

選 (1)。

答案 (3)。

① $P$ 在 $\overline{AC}$ 上，設 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AC}=2t\overrightarrow{AB}+3t\overrightarrow{AD}$。

② $P$ 也在 $\overline{BD}$ 上，$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 的係數和為 $1$：$2t+3t=1$，$t=\frac{1}{5}$。

③ 所以 $\overline{AP}:\overline{PC}=1:4$；而 $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$，$P$ 把 $\overline{BD}$ 分成 $\overline{BP}:\overline{PD}=3:2$。

④ $\angle APB$ 與 $\angle CPD$ 是對頂角，兩三角形面積比等於夾這個角的兩邊乘積比：

$$\frac{△PAB}{△PCD}=\frac{\overline{PA}\cdot \overline{PB}}{\overline{PC}\cdot \overline{PD}}=\frac{1\times 3}{4\times 2}=\frac{3}{8}$$

選 (3)。

答案 (5)。

① 直線 $L$ 的方向向量 $\overrightarrow{d}=(2,1,2)$，參數式上的點 $H(-1+2t,1+t,1+2t)$。

② 設點 $A(1,4,2)$，則 $\overrightarrow{AH}=(2t-2,t-3,2t-1)$。

③ 距離最近時 $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{d}$：

$$2(2t-2)+(t-3)+2(2t-1)=9t-9=0$$

得 $t=1$。

④ 最近的點是 $H(1,2,3)$，選 (5)。

答案 (1)(2)。

下圖畫出 $y=10^x$、$y=\log x$、$y=x^2$、$y=-x$（虛線），點線是 $y=x$。

$y=10^x$ 與 $y=\log x$ 的圖形對稱於直線 $y=x$；$10^x$ 的圖形在 $y=x$ 上方，所以 $\log x$ 的圖形在 $y=x$ 下方：

$$\log x<x<10^x(x>0)$$

(1) 正確。 $10^x+x=0$ 即 $10^x=-x$。$x$ 從 $-1$ 到 $0$ 時，$10^x$ 從 $0.1$ 增加到 $1$，$-x$ 從 $1$ 減少到 $0$，兩圖形必定相交（圖中的點）。

(2) 正確。 $0<x<1$ 時 $\log x<0<x^2$；$x\ge 1$ 時 $\log x<x\le x^2$。兩圖形沒有交點。

(3) 錯誤。 $x>0$ 時 $\log x<x<10^x$，$\log x>10^x$ 永遠不成立。

(4) 錯誤。 取 $x=-1$：$3^{-1}=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}=2^{-1}$。

(5) 錯誤。 ${\log }_9{x}^2=\frac{{\log }_3{x}^2}{{\log }_{3}9}=\frac{1}{2}{\log }_3{x}^2={\log }_3|x|$，定義域是 $x\ne 0$；$y={\log }_{3}x$ 只有 $x>0$ 的部分，圖形不同。

答案 (3)。

① 用二階行列式（克拉瑪公式）：

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 1-a\\ 2& b\end{array}\right|=2a+b-2,{\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& c+1\end{array}\right|=c-9$$

② $\Delta \ne 0$（$2a+b\ne 2$）時恰有一組解，不論 $c$ 是多少。

③ $\Delta =0$ 時 $b=2(1-a)$，第二式變成 $2x+2(1-a)y=c+1$，而第一式乘 $2$ 是 $2x+2(1-a)y=10$：$c=9$ 時兩式相同，無限多解；$c\ne 9$ 時矛盾，無解。

逐項判斷：

(1) 錯誤。 $2a+b=2$ 且 $c=9$ 時有無限多解，也算有解。例如 $a=0$、$b=2$、$c=9$。

(2) 錯誤。 例如 $a=0$、$b=0$、$c=1$：$x+y=5$、$2x=2$，有解 $(1,4)$，但 $c\ne 9$。

(3) 正確。 無解只發生在 $\Delta =0$ 且 $c\ne 9$。

(4) 錯誤。 例如 $a=0$、$b=2$、$c=0$：$x+y=5$、$2x+2y=1$，無解。

(5) 錯誤。 例如 $a=0$、$b=0$、$c=9$：恰有一組解 $(5,0)$。

答案 (1)(2)(4)。

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4+36+9}=7$，設 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 的夾角為 $\theta$。

(1) 正確。 取 $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-49<0$。

(2) 正確。 $(-3,2,2)\cdot (2,6,-3)=-6+12-6=0$，與 $\overrightarrow{a}$ 垂直，可以是外積。實際取 $\overrightarrow{b}=\frac{1}{49}(-18,-5,-22)$，算得 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\frac{1}{49}(-147,98,98)=(-3,2,2)$。

(3) 錯誤。 $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$，兩者相等只能 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，即 $\overrightarrow{b}$ 平行 $\overrightarrow{a}$，與「不平行」矛盾。

(4) 正確。 $\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right|=7\left|\overrightarrow{b}\right||\cos \theta |=7\left|\overrightarrow{b}\right|$，得 $|\cos \theta |=1$，兩向量平行，外積為 $\overrightarrow{0}$。

(5) 錯誤。 $\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=7\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \theta =3\left|\overrightarrow{b}\right|$，得 $\sin \theta =\frac{3}{7}$。$\theta$ 可以是小於 $30^{\circ }$ 的銳角，也可以是它的補角（大於 $150^{\circ }$），不一定小於 $30^{\circ }$。

答案 (1)(4)(5)。

$L$ 過 $(2,1,-3)$，方向向量 $\overrightarrow{d}=(3,-2,6)$。

$E_1$ 的法向量 $(3,-2,6)$，$E_2$ 的法向量 $(0,3,1)$。

(1) 正確。 $\frac{-1-2}{3}=\frac{3-1}{-2}=\frac{-9+3}{6}=-1$，三個比值相等。

(2) 錯誤。 $3\times (-3)+0=-9\ne 0$。

(3) 錯誤。 $L$ 的方向向量就是 $E_1$ 的法向量，$L$ 垂直 $E_1$，不是平行。

(4) 正確。 $\overrightarrow{d}\cdot (0,3,1)=-6+6=0$，$L$ 與 $E_2$ 平行或在 $E_2$ 上；又 $L$ 上的點 $(2,1,-3)$ 代入 $3y+z=3-3=0$，在 $E_2$ 上，所以 $L$ 在 $E_2$ 上。

(5) 正確。 兩法向量 $(3,-2,6)$ 與 $(0,3,1)$ 不平行，兩平面交於一直線。

答案 −8/9。

① 設 $u=3^{-x}$，則 $9^{-x}=u^2$，$3^{1-x}=3u$，

$$f(x)=u^2-6u+1=(u-3{)}^2-8$$

② $0\le x\le 1$ 時 $3^{-x}$ 遞減，$\frac{1}{3}\le u\le 1$。

③ 這一段在頂點 $u=3$ 的左邊，函數值隨 $u$ 增加而減少，最大值在 $u=\frac{1}{3}$（即 $x=1$）：

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^2-6\cdot \frac{1}{3}+1=\frac{1}{9}-2+1=-\frac{8}{9}$$

最大值為 $-\frac{8}{9}$。

答案 11。

① 每加裝一塊擋掉 $2$ 成，剩下原來的 $0.8$ 倍；$n$ 塊後剩下 $0.8^n$。

② 要求 $0.8^n\le \frac{1}{10}$，兩邊取常用對數：$n\log 0.8\le -1$。

③ $\log 0.8=\log \frac{8}{10}=3\log 2-1=0.9030-1=-0.0970$。

④ 除以負數要變號：

$$n\ge \frac{1}{0.0970}\approx 10.31$$

$n$ 的最小值為 $11$。

答案 −2。

① $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{c}$ 上的正射影是 $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}{{|\overrightarrow{c}|}^2}\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$ 的也一樣，兩者相同就是 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$。

② $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=12-k$，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=24+5k$。

③ $12-k=24+5k$，$6k=-12$，$k=-2$。

答案 −2。

① 配方：$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=20$，圓心 $(1,-2)$，半徑 $2\sqrt{5}$。

② 設 $x-2y+3=k$，這是一族互相平行的直線；$(x,y)$ 在圓上，表示直線要與圓有交點。

③ 圓心到直線的距離不超過半徑：

$$\frac{|1+4+3-k|}{\sqrt{5}}\le 2\sqrt{5}\Rightarrow |8-k|\le 10\Rightarrow -2\le k\le 18$$

④ 最小值 $-2$，此時直線與圓相切於 $(-1,2)$。

答案 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

① $\overline{AB}=\overline{AD}=4$、$\angle A=60^{\circ }$，$△ABD$ 是正三角形，$\overline{BD}=4$。

② 取 $\overline{BD}$ 中點 $M$：$\overline{AM}\perp \overline{BD}$，$\overline{AM}=2\sqrt{3}$；$\overline{CB}=\overline{CD}$，所以 $\overline{CM}\perp \overline{BD}$，$\overline{CM}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$。

③ 兩條都垂直稜 $\overline{BD}$，所以 $\angle AMC=\theta$。

④ 摺起後在 $△ABC$ 中，由餘弦定理：

$${\overline{AC}}^2=4^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}\cos 30^{\circ }=16+12-24=4$$

$\overline{AC}=2$。

⑤ 在 $△AMC$ 中用餘弦定理：

$$\cos \theta =\frac{12+8-4}{2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{16}{8\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

答案 $\frac{6}{\sqrt{89}}$。

① 以 $D$ 為原點，$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DC}$ 為 $x$、$y$ 軸正向，往上為 $z$ 軸：$A(6,0,0)$、$C(0,6,0)$、$E(6,3,0)$、$F(3,0,0)$、$G(0,6,2)$。

② $\overrightarrow{FE}=(3,3,0)$，$\overrightarrow{FG}=(-3,6,2)$，法向量取外積：

$$\overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FG}=(6,-6,27)=3(2,-2,9)$$

③ 平面 $EFG$ 過 $F(3,0,0)$：$2(x-3)-2y+9z=0$，即 $2x-2y+9z=6$。

④ $D(0,0,0)$ 到平面的距離：

$$\frac{|0-0+0-6|}{\sqrt{4+4+81}}=\frac{6}{\sqrt{89}}$$

答案 (−1, −4, 3)。

① 外心 $O$ 在三角形所在的平面上，設 $\overrightarrow{AO}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$，其中 $\overrightarrow{AB}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,-2,-2)$。

② $\overline{OA}=\overline{OB}$ 表示 $O$ 在 $\overline{AB}$ 的中垂面上，等價於 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2=4$；同理 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=6$。

③ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=8$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-8$，$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}=12$，得

$$\{\begin{array}{l}8s-8t=4\\ -8s+12t=6\end{array}$$

④ 兩式相加 $4t=10$，$t=\frac{5}{2}$，$s=3$。

⑤ $\overrightarrow{AO}=3(-2,0,2)+\frac{5}{2}(2,-2,-2)=(-1,-5,1)$，$O=(0,1,2)+(-1,-5,1)=(-1,-4,3)$。

答案 (5)。

① $L_1$ 是兩平面的交線，方向向量垂直兩個法向量，取外積：

$$(3,-2,1)\times (1,1,0)=(-1,1,5)$$

記 $\overrightarrow{v_1}=(-1,1,5)$；$L_2$ 的方向向量 $\overrightarrow{v_2}=(1,-1,1)$。

② $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}|}{|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|}=\frac{|-1-1+5|}{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{3}$。

③ $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，選 (5)。

答案 $(a,b)=(-1,4)$ 或 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$。

① $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=3\sqrt{3}$，$\left|\overrightarrow{v_2}\right|=\sqrt{3}$，把 $\overrightarrow{v_2}$ 放大 $3$ 倍：$\left|3\overrightarrow{v_2}\right|=3\sqrt{3}=\left|\overrightarrow{v_1}\right|$。

② 兩個等長的向量張成菱形，兩條對角線平分夾角：

$$\overrightarrow{v_1}+3\overrightarrow{v_2}=(2,-2,8)\parallel (1,-1,4)$$

$$\overrightarrow{v_1}-3\overrightarrow{v_2}=(-4,4,2)\parallel \left(1,-1,-\frac{1}{2}\right)$$

③ 兩直線相交成兩組對頂角，有兩條角平分線，方向分別是上面兩個。

④ 把 $x$ 分量化成 $1$：$(a,b)=(-1,4)$ 或 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$。

答案 $\sqrt{6}$。

① $L_2$ 上的點 $P(2+t,-2-t,1+t)$，方向 $\overrightarrow{u}=(1,-1,1)$；$L_3$ 上的點 $Q(-2+3s,1+s,5-5s)$，方向 $\overrightarrow{w}=(3,1,-5)$。

② $\overrightarrow{PQ}=(3s-t-4,s+t+3,4-5s-t)$。$\overline{PQ}$ 最短時與兩直線都垂直：

$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{u}=-3-3s-3t=0$$

$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{w}=35s+3t-29=0$$

③ 由第一式 $t=-1-s$，代入第二式 $32s-32=0$，得 $s=1$、$t=-2$。

④ $P(0,0,-1)$、$Q(1,2,0)$，$\overrightarrow{PQ}=(1,2,1)$，$\overline{PQ}=\sqrt{6}$。