段考詳解範圍：數學甲上冊導數與微分（導數與導函數、微分公式、切線與一次估計、函數的增減與極值、凹凸與反曲點、最大值與最小值、最佳化）

屏東高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 114 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 114 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題函數限制在閉區間上，端點也要算進極值，而且有一個極大值和一個極小值同樣是 1，極大值不一定比極小值大；第 10 題三個敘述都要能舉出反例，二階導數為 0 不一定是反曲點、一階導數為 0 不一定有極值、有極大值時二階導數也可能等於 0；第 20 題要先看出每個角截去的四邊形是兩個全等的直角三角形，截去的寬度與容器的高之間差根號 3 倍，再把容積寫成一個變數的三次函數求最大值。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分）、多選題 5 題（每題 5 分，全對得 5 分，答錯 1 選項得 3 分，答錯 2 選項得 1 分，其餘不給分）、選填題 10 題（共 50 分，依答對格數給分：答對 1 至 10 格依序得 7、14、20、26、31、36、40、44、47、50 分），合計 100 分。原卷單選題 1～5、多選題 6～10、選填題 A～J，本頁依序編為第 1～20 題（選填 A～J 為本頁第 11～20 題）。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分，共 25 分）

設三次多項式函數

y = f (x)

的圖形如下圖，則其一階導函數

y = f^{'} (x)

的圖形最有可能是下列哪一個選項？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)

載入中...

已知函數

h (x) = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)

，則

h^{'} (- 1)

的值為下列何者？

(1) $- 12$
(2) $12$
(3) $- 20$
(4) $20$
(5) $9$

設

f (x) = \frac{x ^{2} + 5 x + 1}{3 x - 1}

，求

f^{'} (1) =

(1) $0$
(2) $- \frac{7}{2}$
(3) $- \frac{7}{4}$
(4) $\frac{7}{4}$
(5) $2$

將

f (x) = 2 x^{3} - 18 x^{2} + 46 x - 28

表成

a_{0} + a_{1} (x - 2) + a_{2} (x - 2)^{2} + a_{3} (x - 2)^{3}

的形式，選出下列正確的選項。

(1) $a_{0} = 2$
(2) $a_{1} = - 6$
(3) $a_{2} = 6$
(4) $a_{2} = \frac{1}{2} f^{''} (2)$
(5) $a_{3} = \frac{1}{3} f^{'''} (2)$

下圖是多項式函數

f (x)

在閉區間

[- 5, 4]

的圖形，關於

f (x)

的極大值、極小值、最大值與最小值，下列選項何者正確？

(1) $f (x)$ 的最大值是 $2$
(2) $f (x)$ 的最小值是 $- 1$
(3) 極大值都比極小值大
(4) $f (x)$ 的極大值有三處
(5) $f (x)$ 的極小值有四處

載入中...

二、多重選擇題（每題 5 分，共 25 分。每題至少一個正確選項）（全對得 5 分，答錯 1 選項得 3 分，答錯 2 選項得 1 分，其餘不給分）

下列哪些函數在

x = 0

處可微分？

(1) $f (x) = ∣ x ∣$
(2) $f (x) = [x]$
(3) $f (x) = x ∣ x ∣$
(4) $f (x) = \frac{1}{x}$
(5) $f (x) = x + 1$

關於函數

f (x) = x^{2} + x - 3

及其圖形，選出正確的選項：

(1) 點 $(2, 3)$ 在 $f (x)$ 的圖形上
(2) $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = 5$
(3) $f^{'} (2) = 5$
(4) 以點 $(2, f (2))$ 為切點的切線斜率為 $5$
(5) 以點 $(2, f (2))$ 為切點的切線方程式為 $5 x - y + 7 = 0$

已知函數

f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 20

，下列敘述何者正確？

(1) $f (x)$ 在區間 $[- 6, \infty)$ 上為嚴格遞增函數
(2) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, - 6]$ 上為嚴格遞減函數
(3) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, - 4)$ 與 $(0, \infty)$ 的圖形是凹口向上
(4) $f (x)$ 在區間 $(- 4, 0)$ 的圖形是凹口向下
(5) 點 $(0, 20)$ 與點 $(- 4, - 236)$ 都是反曲點

三次多項式函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形如下圖，請選出正確選項。

(1) $a < 0$
(2) $b < 0$
(3) $c < 0$
(4) $b^{2} - 3 a c > 0$
(5) $3 a < b < 9 a$

載入中...

已知

f (x)

為一個實係數多項式函數，下列敘述何者正確？

(1) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 處可微分，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 處連續
(2) 若 $f^{''} (a) = 0$ ，則點 $(a, f (a))$ 為 $y = f (x)$ 圖形上的一個反曲點
(3) 若 $f^{'} (a) = 0$ ，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 處必有極值
(4) 若 $f^{'} (a) = 0$ 且 $f (x)$ 在 $x = a$ 處有極大值，則 $f^{''} (a) < 0$
(5) 若三次多項式函數 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 在 $x = α$ 和 $x = β$ 有極值，則 $α + β = - \frac{2 b}{3 a}$

三、選填題（共 50 分）

已知

f (x) = 4 x^{2} - x + 1

與

g (x) = 5 x^{2} + 3 x

在

x = a

處的導數相等，試求實數

a

的值為

◯ ◯

。

設

f (x) = (x^{2} - x - 1)^{10}

，求

f^{'} (2) = ◯ ◯

。

已知函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

，利用函數

f (x)

在

x = 2

附近的一次估計，求

f (1.99)

的近似值

◯ . ◯ ◯

。

函數

f (x) = x^{3} - 12 x + 7

在閉區間

[- 3, 5]

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) = (◯ ◯, ◯ ◯)

。

已知函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + b

，在

x = 1

處有極小值

3

，求數對

(a, b) = (◯ ◯, ◯)

。

已知點

P (- 1, 3)

為三次函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

圖形的反曲點，且以

P

點為切點的切線斜率為

2

，求序組

(a, b, c) = (◯, ◯, ◯)

。

如下圖，已知

A (- 1, 0)

，

B (1, 0)

，

C

，

D

是拋物線

y = 1 - x^{2}

上的四點，且

A B C D

形成一個梯形，求此梯形的最大面積

\frac{◯ ◯}{◯ ◯}

。（化為最簡分數）

載入中...

已知

a

、

b

為實數，且在

f (x) = - 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 3

圖形上所有切線的斜率中，以

P (2, 5)

為切點的切線斜率最大，則數對

(a, b) = (◯ ◯, ◯ ◯ ◯)

。

設

k

為實數，已知曲線

y = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 15

與直線

y = 5 x + k

有三個相異交點，則

k

的範圍為

◯ ◯ ◯ < k < ◯ ◯

。

如下圖，有一邊長為

24

公分的正三角形鐵片，若要從三個角各截去相同形狀的四邊形，以便摺起而成一個無蓋的正三角柱容器，求此容器的最大容積（鐵片厚度不計）為

◯ ◯ ◯

立方公分。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(5)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(1)(2)(3)(4)

第 8 題(1)(2)(3)(4)(5)

第 9 題(4)(5)

第 10 題(1)(5)

第 11 題

- 2

第 12 題

30

第 13 題

0.97

第 14 題

(72, - 9)

第 15 題

(- 2, 3)

第 16 題

(3, 5, 6)

第 17 題

\frac{32}{27}

第 18 題

(12, - 15)

第 19 題

- 20 < k < 12

第 20 題

256

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：由圖形判讀導函數、微分公式

第 1 題答案 (4)。由圖，

f

在

x = - 1

有極大值、在

x = 5

有極小值，圖形先升、再降、再升。所以

f^{'} (- 1) = f^{'} (5) = 0

，且

f^{'} (x)

在

x < - 1

與

x > 5

為正、在

- 1 < x < 5

為負。三次函數的導函數是二次函數，故

f^{'} (x) = k (x + 1) (x - 5)

，其中

k > 0

：開口向上、與

x

軸交於

- 1

與

5

的拋物線，就是圖 (4)。

圖 (1) 零點對但開口向下，表示

f

先降後升再降；圖 (2) 零點位置不對；圖 (3) 開口對但零點是

0

與

6

。

第 2 題

答案 (2)。 $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ ， $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ ，所以 $h (x) = [(x - 2) (x + 2)]^{2} = (x^{2} - 4)^{2} = x^{4} - 8 x^{2} + 16$ 。

$h^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x$ ， $h^{'} (- 1) = - 4 + 16 = 12$ 。

也可以直接用乘積的微分：

h^{'} (x) = 2 (x - 2) (x + 2)^{2} + 2 (x + 2) (x - 2)^{2}

，代

x = - 1

得

2 \cdot (- 3) \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 9 = 12

。

第 3 題

答案 (3)。令 $g (x) = 3 x - 1$ ，則 $f (x) \cdot g (x) = x^{2} + 5 x + 1$ 。兩邊微分（乘積的微分）： $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) = 2 x + 5$ 。

$x = 1$ 時 $g (1) = 2$ ， $g^{'} (1) = 3$ ， $f (1) = \frac{7}{2}$ 。代入得 $2 f^{'} (1) + \frac{7}{2} \cdot 3 = 7$ ， $2 f^{'} (1) = - \frac{7}{2}$ ， $f^{'} (1) = - \frac{7}{4}$ 。

也可以直接用商的微分公式：

f^{'} (1) = \frac{( 2 \cdot 1 + 5 ) \cdot g ( 1 ) - ( 1 + 5 + 1 ) \cdot g ^{'} ( 1 )}{g ( 1 ) ^{2}} = \frac{14 - 21}{4} = - \frac{7}{4}

。

由原函數的圖形找導函數：極值點是導函數的零點，遞增段導函數為正、遞減段為負。

02單選 4～5：在一點展開、由圖形判讀極值

第 4 題

答案 (4)。把 $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 2) + a_{2} (x - 2)^{2} + a_{3} (x - 2)^{3}$ 逐次微分：

$f^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} (x - 2) + 3 a_{3} (x - 2)^{2}$ ， $f^{''} (x) = 2 a_{2} + 6 a_{3} (x - 2)$ ， $f^{'''} (x) = 6 a_{3}$ 。

代 $x = 2$ 得 $a_{0} = f (2)$ ， $a_{1} = f^{'} (2)$ ， $a_{2} = \frac{1}{2} f^{''} (2)$ ， $a_{3} = \frac{1}{6} f^{'''} (2)$ 。

由原式： $f (2) = 16 - 72 + 92 - 28 = 8$ ； $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 36 x + 46$ ， $f^{'} (2) = 24 - 72 + 46 = - 2$ ； $f^{''} (x) = 12 x - 36$ ， $f^{''} (2) = - 12$ ； $f^{'''} (x) = 12$ 。所以 $a_{0} = 8$ ， $a_{1} = - 2$ ， $a_{2} = - 6$ ， $a_{3} = 2$ 。

(1) 錯誤。 $a_{0} = 8$ 。

(2) 錯誤。 $a_{1} = - 2$ 。

(3) 錯誤。 $a_{2} = - 6$ 。

(4) 正確。 由上面的推導， $a_{2} = \frac{1}{2} f^{''} (2)$ 。

(5) 錯誤。 $a_{3} = \frac{1}{6} f^{'''} (2) = 2$ ，而 $\frac{1}{3} f^{'''} (2) = 4$ 。

也可以用綜合除法連續除以

x - 2

，餘數依序是

8

、

- 2

、

- 6

，最後的商是

2

，得到同樣的係數。

第 5 題

答案 (5)。由圖：最高點 $(1, 4)$ 、最低點 $(3, - 2)$ 。題目的函數限制在閉區間 $[- 5, 4]$ 上，端點也算極值： $x = - 5$ 時 $f (- 5) = - 1$ 比右側附近的值小，是極小； $x = 4$ 時 $f (4) = 2$ 比左側附近的值大，是極大。所以極大在 $x = - 4$ 、 $- 2$ 、 $1$ 、 $4$ 四處，極小在 $x = - 5$ 、 $- 3$ 、 $0$ 、 $3$ 四處。

(1) 錯誤。 最大值是 $4$ 。

(2) 錯誤。 最小值是 $- 2$ 。

(3) 錯誤。 極大值 $f (- 4) = 1$ 與極小值 $f (0) = 1$ 相等，並不是每個極大值都比每個極小值大。

(4) 錯誤。 極大值有 $x = - 4$ 、 $- 2$ 、 $1$ 、 $4$ 四處。

(5) 正確。 極小值有 $x = - 5$ 、 $- 3$ 、 $0$ 、 $3$ 四處。

若只計區間內部的點、端點不算極值，極大只剩 $x = - 4$ 、 $- 2$ 、 $1$ 三處，極小只剩 $x = - 3$ 、 $0$ 、 $3$ 三處，那就選 (4)。

極值是局部的比較：在定義域內該點附近最大（或最小）。函數限制在閉區間時，端點只和區間內的一側比較，也算極值；若函數的定義域不只到端點（例如圖只畫出一段），端點就不算。極大值可以比別處的極小值小，也可以相等。

最大最小值是整個區間的比較，極大極小值只和附近比較；函數限制在閉區間時，端點也算極值。

03多選 6～8：可微分、切線、增減與凹凸

第 6 題

答案 (3)(5)。 $f$ 在 $x = 0$ 可微分，要 $h \to 0 lim \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h}$ 存在。

(1) 錯誤。 $h \to 0^{+}$ 時 $\frac{∣ h ∣}{h} = 1$ ， $h \to 0^{-}$ 時 $\frac{∣ h ∣}{h} = - 1$ ，左右極限不相等。

(2) 錯誤。 $[x]$ 在 $x = 0$ 的左極限是 $- 1$ 、函數值是 $0$ ，不連續；不連續的點一定不可微分。

(3) 正確。 $\frac{h ∣ h ∣ - 0}{h} = ∣ h ∣ \to 0$ ， $f^{'} (0) = 0$ 。

(4) 錯誤。 $\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 沒有定義，談不上可微分。

(5) 正確。 $\frac{1 + h - 1}{h} = \frac{( 1 + h ) - 1}{h ( 1 + h + 1 )} = \frac{1}{1 + h + 1} \to \frac{1}{2}$ ， $f^{'} (0) = \frac{1}{2}$ 。

第 7 題

答案 (1)(2)(3)(4)。

(1) 正確。 $f (2) = 4 + 2 - 3 = 3$ 。

(2) 正確。 $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 2} = x + 3$ （ $x \neq = 2$ ）， $x \to 2$ 時趨近 $5$ 。

(3) 正確。 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ ， $f^{'} (2) = 5$ ；也就是 (2) 的極限。

(4) 正確。 切線斜率就是 $f^{'} (2) = 5$ 。

(5) 錯誤。 切線為 $y - 3 = 5 (x - 2)$ ，即 $5 x - y - 7 = 0$ ，不是 $5 x - y + 7 = 0$ 。

可以用代點檢查 (5)：

(2, 3)

代入

5 x - y + 7

得

14 \neq = 0

，切點不在這條直線上。

第 8 題

答案 (1)(2)(3)(4)(5)。 $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} = 4 x^{2} (x + 6)$ ， $f^{''} (x) = 12 x^{2} + 48 x = 12 x (x + 4)$ 。

(1) 正確。 $x > - 6$ 時 $x + 6 > 0$ 、 $x^{2} \geq 0$ ， $f^{'} (x) \geq 0$ ，只在 $x = - 6$ 與 $x = 0$ 兩個孤立點等於 $0$ ，所以在 $[- 6, \infty)$ 上嚴格遞增。

(2) 正確。 $x < - 6$ 時 $x + 6 < 0$ 、 $x^{2} > 0$ ， $f^{'} (x) < 0$ ，只在端點 $x = - 6$ 等於 $0$ ，所以在 $(- \infty, - 6]$ 上嚴格遞減。

(3) 正確。 $x < - 4$ 時 $x$ 與 $x + 4$ 都是負數， $f^{''} (x) > 0$ ； $x > 0$ 時兩者都是正數， $f^{''} (x) > 0$ 。凹口向上。

(4) 正確。 $- 4 < x < 0$ 時 $x < 0 < x + 4$ ， $f^{''} (x) < 0$ ，凹口向下。

(5) 正確。 $f^{''} (x)$ 在 $x = - 4$ 與 $x = 0$ 兩側都變號，凹口方向改變，是反曲點。 $f (0) = 20$ ， $f (- 4) = 256 - 512 + 20 = - 236$ ，所以反曲點是 $(0, 20)$ 與 $(- 4, - 236)$ 。

x = 0

雖然

f^{'} (0) = 0

，但

f^{'}

在

0

的兩側都是正的，

f

沒有極值，只是一個切線水平的反曲點。

可微分必連續；導函數只在孤立點等於 0 時，函數仍是嚴格遞增或遞減。

04多選 9～10：由圖形判斷係數、極值與反曲點的條件

第 9 題

答案 (4)(5)。由圖， $f$ 在 $x = - 3$ 有極大值、在 $x = - 1$ 有極小值，圖形先升、再降、再升，所以 $a > 0$ 。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 的兩根是 $- 3$ 與 $- 1$ ，故

$f^{'} (x) = 3 a (x + 3) (x + 1) = 3 a x^{2} + 12 a x + 9 a$

比較係數得 $2 b = 12 a$ ， $c = 9 a$ ，即 $b = 6 a$ ， $c = 9 a$ 。

(1) 錯誤。 $a > 0$ 。

(2) 錯誤。 $b = 6 a > 0$ 。

(3) 錯誤。 $c = 9 a > 0$ 。

(4) 正確。 $b^{2} - 3 a c = 36 a^{2} - 27 a^{2} = 9 a^{2} > 0$ （這正是 $f^{'} (x) = 0$ 有兩相異實根的條件）。

(5) 正確。 $a > 0$ ， $3 a < 6 a < 9 a$ ，即 $3 a < b < 9 a$ 。

也可以用根與係數：

f^{'} (x) = 0

的兩根和

- \frac{2 b}{3 a} = - 4

、兩根積

\frac{c}{3 a} = 3

。

第 10 題

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 若 $f^{'} (a)$ 存在，則 $x \to a lim [f (x) - f (a)] = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \cdot (x - a) = f^{'} (a) \cdot 0 = 0$ ，所以 $f$ 在 $x = a$ 連續。

(2) 錯誤。 反例： $f (x) = x^{4}$ ， $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ ， $f^{''} (0) = 0$ ，但 $f^{''} (x)$ 在 $0$ 的兩側都是正的，凹口方向沒有改變， $(0, 0)$ 不是反曲點。

(3) 錯誤。 反例： $f (x) = x^{3}$ ， $f^{'} (0) = 0$ ，但 $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ 在 $0$ 的兩側都是正的， $f$ 一直遞增，在 $x = 0$ 沒有極值。

(4) 錯誤。 反例： $f (x) = - x^{4}$ ， $f^{'} (0) = 0$ 且 $f (0) = 0$ 是極大值（其他地方都小於 $0$ ），但 $f^{''} (0) = 0$ ，不小於 $0$ 。

(5) 正確。 多項式函數的極值點一定使 $f^{'} (x) = 0$ 。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ，有兩個極值點 $α$ 、 $β$ ，它們就是 $3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ 的兩根，由根與係數的關係， $α + β = - \frac{2 b}{3 a}$ 。

「

f^{'} (a) = 0

且

f^{''} (a) < 0

則有極大值」是對的，但反過來不成立；(4) 是把二階檢驗法倒過來用。

二階導數為 0 只是反曲點的候選、一階導數為 0 只是極值的候選，都要看兩側是否變號。

05選填 A～C（本頁第 11～13 題）：微分公式與一次估計

第 11 題

f^{'} (x) = 8 x - 1

，

g^{'} (x) = 10 x + 3

。令

f^{'} (a) = g^{'} (a)

：

8 a - 1 = 10 a + 3

，

a = - 2

。

第 12 題

令 $u (x) = x^{2} - x - 1$ ，則 $f (x) = u (x)^{10}$ ， $f^{'} (x) = 10 u (x)^{9} \cdot u^{'} (x) = 10 (x^{2} - x - 1)^{9} (2 x - 1)$ 。

$x = 2$ 時 $u (2) = 4 - 2 - 1 = 1$ ， $u^{'} (2) = 3$ ，所以 $f^{'} (2) = 10 \cdot 1^{9} \cdot 3 = 30$ 。

第 13 題

$f (2) = 8 - 12 + 6 - 1 = 1$ 。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3$ ， $f^{'} (2) = 12 - 12 + 3 = 3$ 。在 $x = 2$ 附近用切線估計：

$f (1.99) \approx f (2) + f^{'} (2) \cdot (1.99 - 2) = 1 + 3 \cdot (- 0.01) = 0.97$

f (x) = (x - 1)^{3}

，實際值

f (1.99) = 0.9 9^{3} = 0.970299

，一次估計的誤差很小。

一次估計就是用切線代替曲線：f(a+h) 約等於 f(a)+f'(a)h。

06選填 D～F（本頁第 14～16 題）：最大最小值與由極值、反曲點求係數

第 14 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ ，臨界點 $x = - 2$ 、 $x = 2$ 都在 $[- 3, 5]$ 內。比較臨界點與兩端點的函數值：

$f (- 3) = - 27 + 36 + 7 = 16$ ， $f (- 2) = - 8 + 24 + 7 = 23$ ， $f (2) = 8 - 24 + 7 = - 9$ ， $f (5) = 125 - 60 + 7 = 72$ 。

所以 $M = 72$ ， $m = - 9$ ， $(M, m) = (72, - 9)$ 。

本題的最大值出現在端點

x = 5

，比極大值

23

大；閉區間的最大最小值一定要把端點一起比。

第 15 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + 1$ 。在 $x = 1$ 有極值， $f^{'} (1) = 3 + 2 a + 1 = 0$ ， $a = - 2$ 。極小值為 $3$ ： $f (1) = 1 + a + 1 + b = 3$ ， $b = 3$ 。

檢查： $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 = (3 x - 1) (x - 1)$ ， $\frac{1}{3} < x < 1$ 時 $f^{'} < 0$ ， $x > 1$ 時 $f^{'} > 0$ ， $f$ 在 $x = 1$ 由遞減轉為遞增，確實是極小值。所以 $(a, b) = (- 2, 3)$ 。

第 16 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{''} (x) = 6 x + 2 a

。反曲點在

x = - 1

：

f^{''} (- 1) = - 6 + 2 a = 0

，

a = 3

。切線斜率：

f^{'} (- 1) = 3 - 2 a + b = 3 - 6 + b = 2

，

b = 5

。點在圖形上：

f (- 1) = - 1 + a - b + c = - 1 + 3 - 5 + c = 3

，

c = 6

。所以

(a, b, c) = (3, 5, 6)

。

三次函數的

f^{''}

是一次式，只要

f^{''} (- 1) = 0

就一定在兩側變號，

(- 1, 3)

確實是反曲點。

由極值或反曲點求係數：先用導數條件列方程式，再用點在圖形上補最後一個條件。

07選填 G～H（本頁第 17～18 題）：最佳化、切線斜率的最大值

第 17 題

梯形以 $\overline{A B}$ 為下底， $\overline{C D}$ 為上底，且 $\overline{C D} ∥ \overline{A B}$ ；拋物線對稱於 $y$ 軸，設 $C (t, 1 - t^{2})$ ， $D (- t, 1 - t^{2})$ ， $0 < t < 1$ 。上底 $2 t$ 、下底 $2$ 、高 $1 - t^{2}$ ，面積

$S (t) = \frac{( 2 + 2 t ) ( 1 - t ^{2} )}{2} = (1 + t) (1 - t^{2}) = 1 + t - t^{2} - t^{3}$

$S^{'} (t) = 1 - 2 t - 3 t^{2} = - (3 t - 1) (t + 1)$ 。 $0 < t < \frac{1}{3}$ 時 $S^{'} (t) > 0$ ， $\frac{1}{3} < t < 1$ 時 $S^{'} (t) < 0$ ，所以 $t = \frac{1}{3}$ 時面積最大：

$S (\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{9} = \frac{32}{27}$

C

、

D

在拋物線上且

A B C D

是梯形，上底要與

\overline{A B}

平行，所以

C

、

D

等高，又都在拋物線上，故對稱於

y

軸。

第 18 題

切線斜率是 $f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 2 a x + b$ ，是開口向下的二次函數，在頂點 $x = \frac{2 a}{12} = \frac{a}{6}$ 時最大。以 $P$ 為切點的切線斜率最大，故 $\frac{a}{6} = 2$ ， $a = 12$ 。

$P (2, 5)$ 在圖形上： $f (2) = - 16 + 4 a + 2 b + 3 = - 16 + 48 + 2 b + 3 = 5$ ， $2 b = - 30$ ， $b = - 15$ 。所以 $(a, b) = (12, - 15)$ 。

斜率最大的切點就是

f^{''} (x) = - 12 x + 2 a = 0

的點，也就是反曲點；三次項係數為負時，反曲點的切線斜率最大。

最佳化問題：用一個變數表示所求，再用導數找極值，並確認變數的範圍。

08選填 I～J（本頁第 19～20 題）：交點個數、最大容積

第 19 題

聯立得 $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 15 = 5 x + k$ ，即 $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 15 = k$ 。三個相異交點，等於直線 $y = k$ 與 $y = g (x)$ 的圖形交三點。

$g^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x + 3) (x - 1)$ 。 $g$ 在 $x = - 3$ 有極大值 $g (- 3) = - 27 + 27 + 27 - 15 = 12$ ，在 $x = 1$ 有極小值 $g (1) = 1 + 3 - 9 - 15 = - 20$ 。

水平線 $y = k$ 要介於極小值與極大值之間（不含）才交三點，所以 $- 20 < k < 12$ 。

k = 12

或

k = - 20

時直線與圖形相切於極值點，只有兩個相異交點。

第 20 題

設容器的高為 $x$ 公分。每個角截去的四邊形由頂點、兩個垂足與內部一點組成，兩個角是直角，頂點的角是 $6 0^{\circ}$ ，連頂點與內部那一點的線段把它分成兩個全等的直角三角形，各有一個 $3 0^{\circ}$ 角。內部那一點到兩邊的距離都是 $x$ ，所以垂足到頂點的距離是 $\frac{x}{tan 3 0 ^{\circ}} = 3 x$ 。

容器的底是正三角形，邊長 $s = 24 - 23 x$ ， $0 < x < 43$ 。用 $s$ 表示： $x = \frac{24 - s}{2 3}$ ，容積

$V = \frac{3}{4} s^{2} \cdot \frac{24 - s}{2 3} = \frac{s ^{2} ( 24 - s )}{8} = \frac{24 s ^{2} - s ^{3}}{8}, 0 < s < 24$

$V^{'} (s) = \frac{48 s - 3 s ^{2}}{8} = \frac{3 s ( 16 - s )}{8}$ 。 $0 < s < 16$ 時 $V^{'} > 0$ ， $16 < s < 24$ 時 $V^{'} < 0$ ，所以 $s = 16$ 時容積最大：

$V = \frac{256 \cdot 8}{8} = 256$

所以最大容積為 $256$ 立方公分（此時高 $x = \frac{8}{2 3} = \frac{4 3}{3}$ ）。

也可以直接用

x

當變數：

V (x) = \frac{3}{4} (24 - 23 x)^{2} x

，令

V^{'} (x) = 0

得

x = \frac{4 3}{3}

或

x = 43

（此時底邊為

0

，不合），結果相同。

方程式實根個數化成水平線與三次函數圖形的交點，比較極大值與極小值即可。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 114 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題函數限制在閉區間上，端點也要算進極值，而且有一個極大值和一個極小值同樣是 1，極大值不一定比極小值大；第 10 題三個敘述都要能舉出反例，二階導數為 0 不一定是反曲點、一階導數為 0 不一定有極值、有極大值時二階導數也可能等於 0；第 20 題要先看出每個角截去的四邊形是兩個全等的直角三角形，截去的寬度與容器的高之間差根號 3 倍，再把容積寫成一個變數的三次函數求最大值。

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屏東高中 114 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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03多選 6～8：可微分、切線、增減與凹凸

04多選 9～10：由圖形判斷係數、極值與反曲點的條件

05選填 A～C（本頁第 11～13 題）：微分公式與一次估計

06選填 D～F（本頁第 14～16 題）：最大最小值與由極值、反曲點求係數

07選填 G～H（本頁第 17～18 題）：最佳化、切線斜率的最大值

08選填 I～J（本頁第 19～20 題）：交點個數、最大容積

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高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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