御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：多項式函數的微分（導數的定義、導函數與切線、二階導數、遞增遞減與凹向、反曲點、極值與最大最小值、邊際意涵）

平鎮高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題 20 分、多重選擇題 2 題 10 分、填充題 14 格 70 分（原卷填充 A～M，L 題有兩格，本頁編為第 7～19 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，第 12 題學校 854、856 都給分，其餘 18 題一致。

一、單選題 (每題 5 分)
1
函數 f(x)=∣x∣，則 f′(0)=
  1. (1) 0
  2. (2) 1
  3. (3) −1
  4. (4) 不存在
2
在函數 f(x)=x5−2x3+4x−1 的圖形上，以點 P(1,2) 為切點的切線斜率為下列何者？
  1. (1) −1
  2. (2) 2
  3. (3) 3
  4. (4) 7
  5. (5) 8
3
在函數 f(x)=x3−6x−3 的圖形上，以點 P 為切點的切線斜率為 6，則點 P 可能為下列何者？
  1. (1) (3,6)
  2. (2) (2,−7)
  3. (3) (1,−8)
  4. (4) (0,−3)
  5. (5) (−1,2)
4
關於函數 f(x)=x3−6x2+5 圖形的凹向，下列哪一個區間是凹口向上？
  1. (1) (−5,−3)
  2. (2) (−3,−1)
  3. (3) (−1,1)
  4. (4) (1,3)
  5. (5) (3,5)
二、多重選擇題　(每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，其餘情形皆 0 分)
5
如圖是多項式函數 f(x) 在閉區間 [−4,6] 的圖形，下列何者正確？
  1. (1) 有極大值 5，3，−1
  2. (2) 有極小值 1，−3，−2
  3. (3) 最大值為 5
  4. (4) 最小值為 −2
  5. (5) 沒有最小值
載入中...
6
函數 f(x)=x3−12x+1 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？
  1. (1) [−4,−3]
  2. (2) [−2,0]
  3. (3) [0,2]
  4. (4) [3,4]
  5. (5) [4,∞)
三、填充題　（每格 5 分）
7
（原卷填充 A）設函數 f(x)=x6−x3+x+2，求導數 f′(1)= ____。
8
（原卷填充 B）承上題，在 f(x) 的圖形上，以點 P(1,3) 為切點的切線方程式為 y= ____ x+ ____。
9
（原卷填充 C）已知點 P(1,3) 為三次函數 f(x)=x3+ax2+bx−2 圖形上一點，且以 P 點為切點的切線斜率為 4，求數對 (a,b)= ____。
10
（原卷填充 D）已知函數 f(x)=x3+ax2+bx 的圖形和直線 4x−y−1=0 相切於點 (1,3)，求數對 (a,b)= ____。
11
（原卷填充 E）已知生產 x 件產品的成本函數為 C(x)=7000+400x−0.2x2（元），請問：產量從 100 件增加到 101 件所增加的成本為 ____ 元（四捨五入至整數）
12
（原卷填充 F）已知某款手機賣出 x 支的利潤函數為 P(x)=0.02x3+800x（元），則賣出 30 支的邊際利潤為 ____ 元（四捨五入至整數）
13
（原卷填充 G）函數 f(x)=2x3−3x2−5x+4 的二階導數 f′′(2)= ____。
14
（原卷填充 H）函數 f(x)=x3+3x2−x−3 的反曲點為 ____。
15
（原卷填充 I）若函數 f(x)=x3+ax2+bx+2 圖形的反曲點為 (−1,2)，則數對 (a,b)= ____。
16
（原卷填充 J）函數 f(x)=3x5−5x3+1 的極大值為 M，極小值為 m，則數對 (M,m)= ____。
17
（原卷填充 K）函數 f(x)=x3−6x2+9x+4 在閉區間 [−1,4] 的最大值為 M，最小值為 m，則數對 (M,m)= ____。
18
（原卷填充 L）已知生產 x 件產品的收入函數為 f(x)=−x3+12x2+60x（元），請問：生產 ____ 件產品，可得最大收入 ____ 元。
19
（原卷填充 M）已知函數 f(x)=x3+ax2+bx+5 在 x=1 處有極小值 3，求數對 (a,b)= ____。
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)
第 2 題(3)
第 3 題(2)
第 4 題(5)
第 5 題(1)(2)(3)（端點也算極值）
第 6 題(1)(4)(5)
第 7 題4
第 8 題4，−1（即 y=4x−1）
第 9 題(−3,7)
第 10 題(−1,3)
第 11 題360
第 12 題854（學校也接受 856）
第 13 題18
第 14 題(−1,0)
第 15 題(3,2)
第 16 題(3,−1)
第 17 題(8,−12)
第 18 題10 件，800 元
第 19 題(0,−3)
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題（第 1～4 題）：導數的定義、切線斜率、凹向

第 1 題答案 (4)。用導數的定義：f′(0)=h→0lim​hf(0+h)−f(0)​=h→0lim​h∣h∣​。h→0+ 時 h∣h∣​=hh​=1，右極限為 1；h→0− 時 h∣h∣​=h−h​=−1，左極限為 −1。左右極限不相等，極限不存在，所以 f′(0) 不存在。
f(x)=∣x∣ 在 x=0 連續，但圖形在原點是尖角，左右兩側的斜率分別是 −1 與 1；連續不一定可微分。
第 2 題答案 (3)。先確認 P 在圖形上：f(1)=1−2+4−1=2。f′(x)=5x4−6x2+4，切線斜率 f′(1)=5−6+4=3。
第 3 題答案 (2)。f′(x)=3x2−6，令 3x2−6=6，x2=4，x=2 或 x=−2。f(2)=8−12−3=−7，f(−2)=−8+12−3=1，所以 P 是 (2,−7) 或 (−2,1)，選項中只有 (2,−7)。
選項 (1) 的 x 坐標是 3，但 f′(3)=21；(3)(4)(5) 的 x 坐標使 f′(x) 分別為 −3、−6、−3，斜率都不是 6。
第 4 題答案 (5)。f′(x)=3x2−12x，f′′(x)=6x−12。凹口向上要 f′′(x)>0，即 x>2。五個區間中只有 (3,5) 整段都在 x>2 的範圍內。
(1)(2)(3) 整段在 x<2，凹口向下；(4) (1,3) 跨過 x=2，前半凹口向下、後半凹口向上，不是整段凹口向上。x=2 是反曲點的 x 坐標。
切線斜率就是導函數在切點的值；凹向看二階導數的正負。

02多重選擇題（第 5、6 題）：由圖形判讀極值、遞增區間

第 5 題

答案 (1)(2)(3)。極值是和定義域內附近的點比較，閉區間的端點也可以是極值。圖形從 A(−4,5) 往下到 C(−1,1)，再往上到 D(2,3)，往下到 E(4,−3)，往上到 F(5,−1)，最後往下到 B(6,−2)。

(1) 正確。 D(2,3)、F(5,−1) 左右兩側附近的函數值都比它小，是極大值 3、−1；左端點 A(−4,5) 右側附近（定義域內）的函數值都比 5 小，所以 5 也是極大值。極大值有 5、3、−1。

(2) 正確。 C(−1,1)、E(4,−3) 是極小值 1、−3；右端點 B(6,−2) 左側附近（定義域內）的函數值都比 −2 大，所以 −2 也是極小值。極小值有 1、−3、−2。

(3) 正確。 整段圖形最高的點是 A(−4,5)，最大值為 5。

(4) 錯誤。 整段圖形最低的點是 E(4,−3)，最小值為 −3，不是 −2。

(5) 錯誤。 閉區間上的連續函數一定有最小值，就是 −3。

若極值的定義要求「在該點左右兩側的開區間內」比較（端點只有一側，不算極值），則極大值只有 3、−1，極小值只有 1、−3，(1)(2) 都不成立，只有 (3) 正確。本題依「端點也算極值」的定義作答；兩種定義下 (3)(4)(5) 的判斷都一樣。
第 6 題

答案 (1)(4)(5)。f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)。x<−2 或 x>2 時 f′(x)>0，f 嚴格遞增；−2<x<2 時 f′(x)<0，f 嚴格遞減。

(1) 正確。 [−4,−3] 整段在 x<−2，f′(x)>0。

(2) 錯誤。 [−2,0] 在 −2≤x≤2 的範圍內，是遞減，例如 f(−2)=17、f(0)=1。

(3) 錯誤。 [0,2] 同樣是遞減，f(0)=1、f(2)=−15。

(4) 正確。 [3,4] 整段在 x>2，f′(x)>0。

(5) 正確。 [4,∞) 整段在 x>2，f′(x)>0。

判斷某區間上遞增，要看整段區間內 f′(x) 是否都大於 0，不是只看端點的導數。
極值看「附近」，最大最小值看「整段」；判斷遞增遞減先把導函數因式分解，再看正負。

03填充 A～D（第 7～10 題）：導數與切線

第 7 題f′(x)=6x5−3x2+1，所以 f′(1)=6−3+1=4。
第 8 題f(1)=1−1+1+2=3，P(1,3) 在圖形上；切線斜率 f′(1)=4（上一題）。切線方程式為 y−3=4(x−1)，即 y=4x−1，兩格依序填 4、−1。
第 9 題P 在圖形上：f(1)=1+a+b−2=3，得 a+b=4。f′(x)=3x2+2ax+b，切線斜率 f′(1)=3+2a+b=4，得 2a+b=1。兩式相減得 a=−3，b=7。
檢查：f(x)=x3−3x2+7x−2，f(1)=3，f′(1)=3−6+7=4。
第 10 題直線 4x−y−1=0 即 y=4x−1，斜率 4，且 (1,3) 在直線上。相切於 (1,3) 表示 f(1)=3 且 f′(1)=4。f(1)=1+a+b=3，得 a+b=2；f′(1)=3+2a+b=4，得 2a+b=1。解得 a=−1，b=3。
檢查：f(x)=x3−x2+3x，f(1)=3，f′(1)=3−2+3=4。
「在某點相切」要用兩個條件：點在圖形上（函數值）與斜率相同（導數值）。

04填充 E、F（第 11、12 題）：導數的邊際意涵

第 11 題產量從 100 件增加到 101 件所增加的成本是 C(101)−C(100)=400×1−0.2×(1012−1002)=400−0.2×201=400−40.2=359.8，四捨五入為 360 元。
用邊際成本估計：C′(x)=400−0.4x，C′(100)=400−40=360，與實際增加的 359.8 元非常接近。
第 12 題邊際利潤是利潤函數的導數：P′(x)=0.06x2+800，所以賣出 30 支的邊際利潤為 P′(30)=0.06×900+800=54+800=854 元。
邊際利潤 854 元的意思是「賣出 30 支時，再多賣 1 支大約多賺 854 元」。若改算多賣第 31 支實際增加的利潤，P(31)−P(30)=0.02×(29791−27000)+800=855.82，四捨五入為 856，與 854 接近但不相同；題目問的是邊際利潤，依定義答案是 P′(30)=854；學校閱卷時算實際增量的 856 也給分。
邊際成本、邊際利潤就是導數值，表示再多生產或多賣一件時大約增加多少。

05填充 G～I（第 13～15 題）：二階導數與反曲點

第 13 題f′(x)=6x2−6x−5，f′′(x)=12x−6，所以 f′′(2)=24−6=18。
第 14 題f′(x)=3x2+6x−1，f′′(x)=6x+6。f′′(x)=0 得 x=−1，且 x<−1 時 f′′(x)<0、x>−1 時 f′′(x)>0，凹向在此改變。f(−1)=−1+3+1−3=0，所以反曲點為 (−1,0)。
第 15 題f′′(x)=6x+2a。反曲點的 x 坐標是 −1，所以 f′′(−1)=−6+2a=0，a=3。反曲點在圖形上：f(−1)=−1+a−b+2=2，代入 a=3 得 b=2。
檢查：f(x)=x3+3x2+2x+2，f′′(x)=6x+6 在 x=−1 由負變正，f(−1)=−1+3−2+2=2。
三次函數的反曲點就在 f′′(x)=0 的地方，反曲點也一定在圖形上。

06填充 J～M（第 16～19 題）：極值、最大最小值與最佳化

第 16 題

f′(x)=15x4−15x2=15x2(x+1)(x−1)，f′(x)=0 得 x=−1、0、1。

x<−1 時 f′(x)>0；−1<x<0 與 0<x<1 時 f′(x)<0；x>1 時 f′(x)>0。

所以 x=−1 處由增轉減，極大值 M=f(−1)=−3+5+1=3；x=1 處由減轉增，極小值 m=f(1)=3−5+1=−1。x=0 兩側導數都小於 0，不是極值。(M,m)=(3,−1)。

f′(0)=0 不代表 x=0 有極值；15x2 這個因式在 x=0 兩側都是正的，導數沒有變號。
第 17 題f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，在 [−1,4] 內的臨界點是 x=1、x=3。把臨界點與兩個端點的函數值都算出來：f(−1)=−1−6−9+4=−12，f(1)=1−6+9+4=8，f(3)=27−54+27+4=4，f(4)=64−96+36+4=8。最大值 M=8，最小值 m=−12，(M,m)=(8,−12)。
最大值 8 在 x=1 與 x=4 兩處都取到；最小值出現在左端點 x=−1，不是極小值 f(3)=4。
第 18 題f′(x)=−3x2+24x+60=−3(x2−8x−20)=−3(x−10)(x+2)。產量 x≥0，當 0≤x<10 時 f′(x)>0，收入遞增；x>10 時 f′(x)<0，收入遞減。所以生產 10 件時收入最大，最大收入為 f(10)=−1000+1200+600=800 元。
第 19 題f(1)=1+a+b+5=3，得 a+b=−3。x=1 處有極值，所以 f′(1)=0：f′(x)=3x2+2ax+b，3+2a+b=0，得 2a+b=−3。兩式相減得 a=0，b=−3。
檢查：f(x)=x3−3x+5，f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，在 x=1 由負變正，確實是極小值，f(1)=1−3+5=3。
導數為 0 只是候選點，要看導數有沒有變號；閉區間上的最大最小值要把端點一起比較。

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第 5 題要分清楚極值與最大最小值，區間端點也算極值，最小值是圖上最低的點而不是右端點；第 6 題要找導數大於 0 的區間，含負 2 到 0 的那段其實是遞減；填充 J（第 16 題）導數為 0 的點不一定是極值，x 等於 0 兩側導數同號；填充 K（第 17 題）閉區間的最大最小值要連端點一起比。詳解逐題寫在本頁。

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