段考詳解範圍：指數與對數（對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題第三個選項比的是 2 log x 與 log x，不是與 log x 平方，而且 log x 平方在 x 小於 0 時也有定義，所以不是遞增函數；第 9 題要注意 3 log(負 x) 的定義域在 y 軸左側；第 11 題左側的兩條曲線要用 x 等於負 1 的函數值比較底數的倒數；第 20 題兩個交點的橫坐標都用以 2 為底的對數表示，相減後剛好是負 1。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題 30 分、多選題 5 題 25 分、選填題 9 個答案 45 分（原卷選填 1～8，第 4 題有兩小題，本頁編為第 12～20 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題一致。

一、單選題：(每題 5 分，共 30 分)

下列各選項何者為真？

(1) $lo g_{1} 2 = 2$
(2) $lo g_{2} 8 = 4$
(3) $lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$
(4) $lo g_{4} 8 = 2$
(5) $lo g_{8} 4 = \frac{1}{2}$

已知

a, b, c

為實數，且滿足

1 < a < 10

、

b = lo g a

、

c = lo g b

，試選出正確的選項。

(1) $c < 0 < b < 1 < a$
(2) $0 < c < 1 < b < a$
(3) $0 < c < b < 1 < a$
(4) $1 < c < b < a$
(5) $c < b < 0 < a$

下列選項何者最接近

y = - 3 lo g x

的圖形？（五個選項的圖形見下圖，依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

關於兩函數

y = 2^{x}

與

y = 2^{- x}

圖形的敘述，下列哪一個選項錯誤？

(1) 兩圖形恰有一個交點
(2) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(3) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(4) $x > 0$ 時， $y = 2^{x}$ 的圖形恆在 $y = 2^{- x}$ 的圖形上方
(5) 兩圖形的交點為 $(0, 1)$

關於對數

lo g_{x - 1} (- x^{2} + 5 x - 4)

，下列哪一個數可使對數有意義？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

求

lo g 125 + 3 lo g 2

的值為何？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

二、多選題：(每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上得 0 分，共 25 分)

關於

y = lo g x^{2}

與

y = 2 lo g x

的圖形敘述，請選出所有正確的選項。

(1) 均過點 $(1, 0)$
(2) 均為嚴格遞增函數
(3) 當 $x > 1$ 時， $y = 2 lo g x$ 的圖形恆在 $y = lo g x$ 的圖形上方
(4) 均為凹口向上
(5) 均與 $y$ 軸無交點

設

a > 0

，

a \neq = 1

，下列圖形中，哪些可能是指數函數

y = a^{x}

的圖形？（五個選項的圖形見下圖，依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

已知函數

f (x)

的圖形與

g (x) = 3 lo g x

的圖形對稱於

x

軸，選出所有可能的

f (x)

(1) $f (x) = - 3 lo g x$
(2) $f (x) = 3 lo g (- x)$
(3) $f (x) = lo g_{0.1} x^{3}$
(4) $f (x) = - 3 lo g (- x)$
(5) $f (x) = - lo g_{0.1} x^{3}$

下圖為函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

與

y = lo g x

的圖形，且

y = b lo g x

與

y = lo g x

的圖形對稱於

x

軸。選出所有正確的選項

(1) $a > 1$
(2) $a < 1$
(3) $b = - 1$
(4) $c < - 1$
(5) $a > b > c$

載入中...

下圖為函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形，且

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於

y

軸，選出正確的選項。

(1) $a > 2$
(2) $1 < a < 2$
(3) $0 < a < 1$
(4) $b < \frac{1}{2}$
(5) $c = \frac{1}{2}$

載入中...

三、選填題：(每格 5 分，共 45 分)

lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 11 \times lo g_{11} \frac{1}{36} =

____。

解方程式

4^{x + 1} - 25 \times 2^{x} - 56 = 0

，

x =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 1) = 1 + lo g 3

，

x =

____。

選填 4（第 15～16 題）　求下列各式的值：

(1)

\frac{1}{lo g _{4} 216} + lo g_{216} 9 =

____。

(2)

lo g_{3} 27 =

____。

一個放射性元素的半衰期（half-life）是指該元素由原來的質量，衰退成原始的一半質量所需的時間。已知此元素一年後有

20

克，

9

年後有

5

克，試求這個放射性元素的半衰期為 ____ 年。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W/ m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）；當測得的聲音強度為

I

（

W/ m^{2}

）時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \times lo g \frac{I}{I _{0}}

棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為

70

分貝，則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大約為 ____ 分貝。

已知

a > 1

。若

f (x) = lo g_{a} x

的函數圖形與直線

x = 2

、

x = 5

分別交於

A

、

B

二點。

g (x) = lo g_{a^{3}} x

的函數圖形與直線

x = 2

、

x = 5

分別交於

C

、

D

二點，如圖。設

A

、

B

兩個點的斜率為

m_{1}

，

C

、

D

兩個點的斜率為

m_{2}

，則

\frac{m _{2}}{m _{1}}

的值為 ____。

載入中...

圖為

y = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

y = \frac{3}{2}

、

y = 3

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

的交點，則線段

\overline{P Q}

的斜率

=

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(2)

第 5 題(4)

第 6 題(3)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(1)(2)

第 9 題(1)(3)

第 10 題(1)(3)(4)(5)

第 11 題(2)(5)

第 12 題

- 2

第 13 題

3

第 14 題

6

第 15 題

\frac{2}{3}

第 16 題

6

第 17 題

4

第 18 題

90

第 19 題

\frac{1}{3}

第 20 題

- \frac{3}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：對數的定義、連續取對數、辨認圖形

第 1 題答案 (3)。

lo g_{a} b = c

的意思是

a^{c} = b

，且底數

a > 0

、

a \neq = 1

。(1) 底數是

1

，

lo g_{1} 2

沒有意義。(2)

2^{3} = 8

，

lo g_{2} 8 = 3

，不是

4

。(3)

(\frac{1}{2})^{- 1} = 2

，所以

lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

，為真。(4)

4^{\frac{3}{2}} = (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8

，

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}

，不是

2

。(5)

8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4

，

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}

，不是

\frac{1}{2}

。

第 2 題答案 (1)。

y = lo g x

是遞增函數。由

1 < a < 10

得

lo g 1 < lo g a < lo g 10

，即

0 < b < 1

。再由

0 < b < 1

得

c = lo g b < lo g 1 = 0

。合起來

c < 0 < b < 1 < a

。

例如

a = 5

：

b = lo g 5 \approx 0.699

，

c = lo g 0.699 \approx - 0.156

。

第 3 題答案 (4)。

y = - 3 lo g x

的定義域是

x > 0

，圖形只在

y

軸右側，可先排除 (1)(2)(5)。

x = 1

時

y = - 3 lo g 1 = 0

，圖形通過

(1, 0)

。

y = lo g x

遞增，乘上負數

- 3

後變成遞減：

x

越靠近

0

，

y

越大；

x

越大，

y

越小。圖 (3) 遞增，圖 (4) 遞減且只在

y

軸右側，所以選 (4)。

x = 10

時

y = - 3

，

x = 0.1

時

y = 3

：左高右低。

對數的底數要大於

0

且不等於

1

；

y = k lo g x

的

k

為負時，圖形上下翻轉成遞減。

02單選第 4～6 題：對稱的指數函數、對數有意義的條件、對數律

第 4 題答案 (2)。

y = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

。點

(p, q)

在

y = 2^{x}

上，等於

q = 2^{p}

，也就是

q = 2^{- (- p)}

，點

(- p, q)

在

y = 2^{- x}

上；

(p, q)

與

(- p, q)

對稱於

y

軸，所以兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸，(2) 錯誤。其他選項：(1)(5) 由

2^{x} = 2^{- x}

得

x = - x

，

x = 0

，只有一個交點

(0, 1)

，正確。(3) 指數函數的值恆為正，正確。(4)

x > 0

時

x > - x

，

y = 2^{x}

遞增，所以

2^{x} > 2^{- x}

，正確。

第 5 題答案 (4)。底數要

x - 1 > 0

且

x - 1 \neq = 1

，即

x > 1

且

x \neq = 2

。真數要

- x^{2} + 5 x - 4 > 0

，即

x^{2} - 5 x + 4 < 0

，

(x - 1) (x - 4) < 0

，

1 < x < 4

。合起來

1 < x < 4

且

x \neq = 2

。五個選項中只有

x = 3

符合。

x = 3

時：底數

2

，真數

- 9 + 15 - 4 = 2

，

lo g_{2} 2 = 1

。

x = 2

時底數為

1

不行；

x = 4

時真數為

0

不行。

第 6 題答案 (3)。

3 lo g 2 = lo g 2^{3} = lo g 8

，所以

lo g 125 + 3 lo g 2 = lo g 125 + lo g 8 = lo g (125 \times 8) = lo g 1000 = 3

。

y = a^{- x}

與

y = a^{x}

對稱於

y

軸；對數有意義要同時檢查底數（大於

0

、不等於

1

）與真數（大於

0

）。

03多選第 7、8 題：log x² 與 2 log x、辨認指數函數的圖形

第 7 題答案 (1)(3)(5)。先看定義域：

y = lo g x^{2}

只要

x^{2} > 0

，即

x \neq = 0

；

y = 2 lo g x

要

x > 0

。兩者在

x > 0

時相等（

lo g x^{2} = 2 lo g x

），但

lo g x^{2}

在

x < 0

也有圖形，與

x > 0

的部分對稱於

y

軸。(1) 正確。

lo g 1^{2} = 0

，

2 lo g 1 = 0

。(2) 錯誤。

y = lo g x^{2}

在

x < 0

時：

x = - 10

得

2

，

x = - 1

得

0

，

x

變大函數值反而變小，不是遞增函數。(3) 正確。本選項比的是

y = 2 lo g x

與

y = lo g x

。

x > 1

時

lo g x > 0

，所以

2 lo g x - lo g x = lo g x > 0

，

2 lo g x > lo g x

。(4) 錯誤。取

(1, 0)

、

(100, 4)

兩點在

y = 2 lo g x

上，連線中點是

(50.5, 2)

，而

2 lo g 50.5 > 2 lo g 10 = 2

，圖形在連線上方，是凹口向下；

y = lo g x^{2}

在

x > 0

的部分與它相同，也是凹口向下。(5) 正確。

x = 0

時

lo g 0^{2}

、

2 lo g 0

都沒有定義，兩圖形都不與

y

軸相交。

(3) 卷面比較的對象印作

y = lo g x

（沒有平方）；若比較對象改成

y = lo g x^{2}

，

x > 1

時兩者相等，(3) 就不成立。

第 8 題答案 (1)(2)。指數函數

y = a^{x}

的定義域是全體實數、值恆為正、圖形通過

(0, 1)

，

a > 1

時遞增、

0 < a < 1

時遞減，左側或右側貼近

x

軸。(1) 正確。左右兩側都有圖形，恆在

x

軸上方、遞增，是

a > 1

的指數函數。(2) 正確。恆在

x

軸上方、遞減，是

0 < a < 1

的指數函數。(3) 錯誤。只在

y

軸右側，而且有一段在

x

軸下方（函數值為負），這是對數函數的樣子。(4) 錯誤。同樣只在

y

軸右側，且有負的函數值。(5) 錯誤。是過原點的直線，函數值有負值，也不通過

(0, 1)

。

lo g x^{2} = 2 lo g x

只在

x > 0

時成立；指數函數圖形必過

(0, 1)

、恆在

x

軸上方、左右都延伸。

04多選第 9～11 題：對稱於 x 軸、由圖形比較係數與底數

第 9 題答案 (1)(3)。與

y = g (x)

對稱於

x

軸的圖形是

y = - g (x)

，所以

f (x) = - 3 lo g x

，定義域也必須是

x > 0

。(1) 正確。就是

- 3 lo g x

。(2) 錯誤。

3 lo g (- x)

只在

x < 0

有定義，圖形在

y

軸左側，是

g

對稱於

y

軸的圖形。(3) 正確。

x > 0

時，換底：

lo g_{0.1} x^{3} = \frac{lo g x ^{3}}{lo g 0.1} = \frac{3 lo g x}{- 1} = - 3 lo g x

。(4) 錯誤。

- 3 lo g (- x)

也只在

x < 0

有定義，是

g

對稱於原點的圖形。(5) 錯誤。

- lo g_{0.1} x^{3} = 3 lo g x

，就是

g (x)

本身。

檢查：

x = 10

時

g = 3

；(1) 與 (3) 都得

- 3

，(5) 得

3

。

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。四條圖形都通過

(1, 0)

。取

x = 10

：

lo g 10 = 1

，四條曲線在

x = 10

的高度分別是

a

、

1

、

b

、

c

。圖上

x > 1

時由上而下依序是

y = a lo g x

、

y = lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

，所以

a > 1 > b > c

。(1) 正確。

a > 1

。(2) 錯誤。(3) 正確。

y = b lo g x

與

y = lo g x

對稱於

x

軸，

b lo g x = - lo g x

，

b = - 1

。(4) 正確。

c lo g x

在

b lo g x

下方，

c < b = - 1

。(5) 正確。

a > 1 > - 1 = b > c

。

第 11 題答案 (2)(5)。四條圖形都通過

(0, 1)

。(5) 正確。

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

對稱於

y

軸，

c^{x} = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

，

c = \frac{1}{2}

。右側兩條遞增：

a > 1

。在

x = 1

處，

y = 2^{x}

較靠近

y

軸、比

y = a^{x}

高，所以

2 > a

。(1) 錯誤。(2) 正確。

1 < a < 2

。(3) 錯誤。左側兩條遞減，

b

與

c

都在

0

與

1

之間。在

x = - 1

處，

y = c^{x}

較靠近

y

軸、比

y = b^{x}

高：

c^{- 1} > b^{- 1}

，即

\frac{1}{c} > \frac{1}{b}

，

2 > \frac{1}{b}

，所以

b > \frac{1}{2}

。(4) 錯誤。

比較圖形的係數或底數，就取一個好算的

x

（例如

x = 10

、

x = \pm 1

），把圖上的高低變成數的大小。

05選填 1～3（第 12～14 題）：連鎖換底、指數方程式、對數方程式

第 12 題換成常用對數：

lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 11 \times lo g_{11} \frac{1}{36} = \frac{lo g 7}{lo g 6} \times \frac{lo g 11}{lo g 7} \times \frac{lo g \frac{1}{36}}{lo g 11} = \frac{lo g \frac{1}{36}}{lo g 6} = lo g_{6} \frac{1}{36}

。

\frac{1}{36} = 6^{- 2}

，所以值為

- 2

。答案格依序填

-

、

2

。

第 13 題

4^{x + 1} = 4 \times 4^{x} = 4 (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

，

t > 0

，方程式變成

4 t^{2} - 25 t - 56 = 0

，

(t - 8) (4 t + 7) = 0

，

t = 8

或

t = - \frac{7}{4}

。

t > 0

，所以

t = 8

，即

2^{x} = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

代回：

4^{4} - 25 \times 8 - 56 = 256 - 200 - 56 = 0

，成立。

第 14 題先看真數：

x > 0

且

x - 1 > 0

，所以

x > 1

。

1 + lo g 3 = lo g 10 + lo g 3 = lo g 30

，在

x > 1

的條件下方程式變成

lo g (x (x - 1)) = lo g 30

，

x^{2} - x - 30 = 0

，

(x - 6) (x + 5) = 0

，

x = 6

或

x = - 5

。

x = - 5

不滿足

x > 1

，不合，所以

x = 6

。

代回：

lo g 6 + lo g 5 = lo g 30 = 1 + lo g 3

，成立。

對數方程式先寫下真數為正的條件，最後回頭刪去不合的根；指數方程式看出

4^{x} = (2^{x})^{2}

就換元。

06選填 4、5（第 15～17 題）：換底公式、根號底數、半衰期

第 15 題由換底公式，

lo g_{4} 216 = \frac{lo g 216}{lo g 4}

，所以

\frac{1}{lo g _{4} 216} = \frac{lo g 4}{lo g 216} = lo g_{216} 4

。原式

= lo g_{216} 4 + lo g_{216} 9 = lo g_{216} 36

。

216 = 6^{3}

、

36 = 6^{2}

，所以

lo g_{216} 36 = lo g_{6^{3}} 6^{2} = \frac{2}{3}

。答案格依序填

2

、

3

。

第 16 題設

lo g_{3} 27 = k

，則

(3)^{k} = 27

，即

3^{\frac{k}{2}} = 3^{3}

，

\frac{k}{2} = 3

，

k = 6

。

第 17 題從第

1

年到第

9

年經過

8

年，質量由

20

克變成

5

克，是原來的

\frac{5}{20} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

，也就是經過了

2

個半衰期。設半衰期

T

年，則

\frac{8}{T} = 2

，

T = 4

。

檢查：半衰期

4

年時，第

1

年

20

克、第

5

年

10

克、第

9

年

5

克。

\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a

；放射性物質剩下

(\frac{1}{2})^{n}

就是經過

n

個半衰期。

07選填 6～8（第 18～20 題）：分貝、對數函數的斜率比、指數函數圖形上兩點的斜率

第 18 題一支汽笛的強度為

I

時，

10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 70

。一百支同時合鳴，強度變成

100 I

，分貝數為

10 lo g \frac{100 I}{I _{0}} = 10 (lo g 100 + lo g \frac{I}{I _{0}}) = 10 \times 2 + 70 = 90

。答案格依序填

9

、

0

。

由

70

分貝可求出

I = 1 0^{- 5}

，

100 I = 1 0^{- 3}

，

10 lo g \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 12}} = 10 \times 9 = 90

。

第 19 題換底：

g (x) = lo g_{a^{3}} x = \frac{lo g x}{lo g a ^{3}} = \frac{lo g x}{3 lo g a} = \frac{1}{3} lo g_{a} x = \frac{1}{3} f (x)

。

A (2, f (2))

、

B (5, f (5))

，

m_{1} = \frac{f ( 5 ) - f ( 2 )}{5 - 2}

；

C (2, g (2))

、

D (5, g (5))

，

m_{2} = \frac{g ( 5 ) - g ( 2 )}{5 - 2} = \frac{\frac{1}{3} f ( 5 ) - \frac{1}{3} f ( 2 )}{3} = \frac{1}{3} m_{1}

。

a > 1

時

f (5) > f (2)

，

m_{1} \neq = 0

，所以

\frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{1}{3}

。答案格依序填

1

、

3

。

題目的「

A

、

B

兩個點的斜率」指直線

A B

的斜率。結果與

a

的值無關；例如

a = 2

時

m_{1} \approx 0.441

、

m_{2} \approx 0.147

。

第 20 題

P

在

y = \frac{3}{2}

上：

(\frac{1}{2})^{x} = \frac{3}{2}

，即

2^{- x} = \frac{3}{2}

，

x_{P} = - lo g_{2} \frac{3}{2}

。

Q

在

y = 3

上：

2^{- x} = 3

，

x_{Q} = - lo g_{2} 3

。兩點橫坐標的差

x_{Q} - x_{P} = - lo g_{2} 3 + lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} \frac{3/2}{3} = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1

。斜率

= \frac{3 - \frac{3}{2}}{x _{Q} - x _{P}} = \frac{\frac{3}{2}}{- 1} = - \frac{3}{2}

。答案格依序填

-

、

3

、

2

。

y

坐標由

\frac{3}{2}

變成

3

（變成

2

倍），

(\frac{1}{2})^{x}

要往左移

1

單位才會變成

2

倍，所以橫坐標差

1

。數值：

x_{P} \approx - 0.585

、

x_{Q} \approx - 1.585

。

lo g_{a^{n}} x = \frac{1}{n} lo g_{a} x

；指數函數的值變成底數的倒數倍時，橫坐標剛好移動

1

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

平鎮高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題第三個選項比的是 2 log x 與 log x，不是與 log x 平方，而且 log x 平方在 x 小於 0 時也有定義，所以不是遞增函數；第 9 題要注意 3 log(負 x) 的定義域在 y 軸左側；第 11 題左側的兩條曲線要用 x 等於負 1 的函數值比較底數的倒數；第 20 題兩個交點的橫坐標都用以 2 為底的對數表示，相減後剛好是負 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數（對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：(每題 5 分，共 30 分)

下列各選項何者為真？

(1) $lo g_{1} 2 = 2$
(2) $lo g_{2} 8 = 4$
(3) $lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$
(4) $lo g_{4} 8 = 2$
(5) $lo g_{8} 4 = \frac{1}{2}$

已知

a, b, c

為實數，且滿足

1 < a < 10

、

b = lo g a

、

c = lo g b

，試選出正確的選項。

(1) $c < 0 < b < 1 < a$
(2) $0 < c < 1 < b < a$
(3) $0 < c < b < 1 < a$
(4) $1 < c < b < a$
(5) $c < b < 0 < a$

下列選項何者最接近

y = - 3 lo g x

的圖形？（五個選項的圖形見下圖，依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

關於兩函數

y = 2^{x}

與

y = 2^{- x}

圖形的敘述，下列哪一個選項錯誤？

(1) 兩圖形恰有一個交點
(2) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(3) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(4) $x > 0$ 時， $y = 2^{x}$ 的圖形恆在 $y = 2^{- x}$ 的圖形上方
(5) 兩圖形的交點為 $(0, 1)$

關於對數

lo g_{x - 1} (- x^{2} + 5 x - 4)

，下列哪一個數可使對數有意義？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

求

lo g 125 + 3 lo g 2

的值為何？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

二、多選題：(每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上得 0 分，共 25 分)

關於

y = lo g x^{2}

與

y = 2 lo g x

的圖形敘述，請選出所有正確的選項。

(1) 均過點 $(1, 0)$
(2) 均為嚴格遞增函數
(3) 當 $x > 1$ 時， $y = 2 lo g x$ 的圖形恆在 $y = lo g x$ 的圖形上方
(4) 均為凹口向上
(5) 均與 $y$ 軸無交點

設

a > 0

，

a \neq = 1

，下列圖形中，哪些可能是指數函數

y = a^{x}

的圖形？（五個選項的圖形見下圖，依序為 (1)～(5)）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

已知函數

f (x)

的圖形與

g (x) = 3 lo g x

的圖形對稱於

x

軸，選出所有可能的

f (x)

(1) $f (x) = - 3 lo g x$
(2) $f (x) = 3 lo g (- x)$
(3) $f (x) = lo g_{0.1} x^{3}$
(4) $f (x) = - 3 lo g (- x)$
(5) $f (x) = - lo g_{0.1} x^{3}$

下圖為函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

與

y = lo g x

的圖形，且

y = b lo g x

與

y = lo g x

的圖形對稱於

x

軸。選出所有正確的選項

(1) $a > 1$
(2) $a < 1$
(3) $b = - 1$
(4) $c < - 1$
(5) $a > b > c$

載入中...

下圖為函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形，且

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於

y

軸，選出正確的選項。

(1) $a > 2$
(2) $1 < a < 2$
(3) $0 < a < 1$
(4) $b < \frac{1}{2}$
(5) $c = \frac{1}{2}$

載入中...

三、選填題：(每格 5 分，共 45 分)

lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 11 \times lo g_{11} \frac{1}{36} =

____。

解方程式

4^{x + 1} - 25 \times 2^{x} - 56 = 0

，

x =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 1) = 1 + lo g 3

，

x =

____。

選填 4（第 15～16 題）　求下列各式的值：

(1)

\frac{1}{lo g _{4} 216} + lo g_{216} 9 =

____。

(2)

lo g_{3} 27 =

____。

一個放射性元素的半衰期（half-life）是指該元素由原來的質量，衰退成原始的一半質量所需的時間。已知此元素一年後有

20

克，

9

年後有

5

克，試求這個放射性元素的半衰期為 ____ 年。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W/ m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）；當測得的聲音強度為

I

（

W/ m^{2}

）時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \times lo g \frac{I}{I _{0}}

棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為

70

分貝，則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大約為 ____ 分貝。

已知

a > 1

。若

f (x) = lo g_{a} x

的函數圖形與直線

x = 2

、

x = 5

分別交於

A

、

B

二點。

g (x) = lo g_{a^{3}} x

的函數圖形與直線

x = 2

、

x = 5

分別交於

C

、

D

二點，如圖。設

A

、

B

兩個點的斜率為

m_{1}

，

C

、

D

兩個點的斜率為

m_{2}

，則

\frac{m _{2}}{m _{1}}

的值為 ____。

載入中...

圖為

y = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

y = \frac{3}{2}

、

y = 3

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

的交點，則線段

\overline{P Q}

的斜率

=

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(2)

第 5 題(4)

第 6 題(3)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(1)(2)

第 9 題(1)(3)

第 10 題(1)(3)(4)(5)

第 11 題(2)(5)

第 12 題

- 2

第 13 題

3

第 14 題

6

第 15 題

\frac{2}{3}

第 16 題

6

第 17 題

4

第 18 題

90

第 19 題

\frac{1}{3}

第 20 題

- \frac{3}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：對數的定義、連續取對數、辨認圖形

第 1 題答案 (3)。

lo g_{a} b = c

的意思是

a^{c} = b

，且底數

a > 0

、

a \neq = 1

。(1) 底數是

1

，

lo g_{1} 2

沒有意義。(2)

2^{3} = 8

，

lo g_{2} 8 = 3

，不是

4

。(3)

(\frac{1}{2})^{- 1} = 2

，所以

lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

，為真。(4)

4^{\frac{3}{2}} = (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8

，

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}

，不是

2

。(5)

8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4

，

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}

，不是

\frac{1}{2}

。

第 2 題答案 (1)。

y = lo g x

是遞增函數。由

1 < a < 10

得

lo g 1 < lo g a < lo g 10

，即

0 < b < 1

。再由

0 < b < 1

得

c = lo g b < lo g 1 = 0

。合起來

c < 0 < b < 1 < a

。

例如

a = 5

：

b = lo g 5 \approx 0.699

，

c = lo g 0.699 \approx - 0.156

。

第 3 題答案 (4)。

y = - 3 lo g x

的定義域是

x > 0

，圖形只在

y

軸右側，可先排除 (1)(2)(5)。

x = 1

時

y = - 3 lo g 1 = 0

，圖形通過

(1, 0)

。

y = lo g x

遞增，乘上負數

- 3

後變成遞減：

x

越靠近

0

，

y

越大；

x

越大，

y

越小。圖 (3) 遞增，圖 (4) 遞減且只在

y

軸右側，所以選 (4)。

x = 10

時

y = - 3

，

x = 0.1

時

y = 3

：左高右低。

對數的底數要大於

0

且不等於

1

；

y = k lo g x

的

k

為負時，圖形上下翻轉成遞減。

02單選第 4～6 題：對稱的指數函數、對數有意義的條件、對數律

第 4 題答案 (2)。

y = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

。點

(p, q)

在

y = 2^{x}

上，等於

q = 2^{p}

，也就是

q = 2^{- (- p)}

，點

(- p, q)

在

y = 2^{- x}

上；

(p, q)

與

(- p, q)

對稱於

y

軸，所以兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸，(2) 錯誤。其他選項：(1)(5) 由

2^{x} = 2^{- x}

得

x = - x

，

x = 0

，只有一個交點

(0, 1)

，正確。(3) 指數函數的值恆為正，正確。(4)

x > 0

時

x > - x

，

y = 2^{x}

遞增，所以

2^{x} > 2^{- x}

，正確。

第 5 題答案 (4)。底數要

x - 1 > 0

且

x - 1 \neq = 1

，即

x > 1

且

x \neq = 2

。真數要

- x^{2} + 5 x - 4 > 0

，即

x^{2} - 5 x + 4 < 0

，

(x - 1) (x - 4) < 0

，

1 < x < 4

。合起來

1 < x < 4

且

x \neq = 2

。五個選項中只有

x = 3

符合。

x = 3

時：底數

2

，真數

- 9 + 15 - 4 = 2

，

lo g_{2} 2 = 1

。

x = 2

時底數為

1

不行；

x = 4

時真數為

0

不行。

第 6 題答案 (3)。

3 lo g 2 = lo g 2^{3} = lo g 8

，所以

lo g 125 + 3 lo g 2 = lo g 125 + lo g 8 = lo g (125 \times 8) = lo g 1000 = 3

。

y = a^{- x}

與

y = a^{x}

對稱於

y

軸；對數有意義要同時檢查底數（大於

0

、不等於

1

）與真數（大於

0

）。

03多選第 7、8 題：log x² 與 2 log x、辨認指數函數的圖形

第 7 題答案 (1)(3)(5)。先看定義域：

y = lo g x^{2}

只要

x^{2} > 0

，即

x \neq = 0

；

y = 2 lo g x

要

x > 0

。兩者在

x > 0

時相等（

lo g x^{2} = 2 lo g x

），但

lo g x^{2}

在

x < 0

也有圖形，與

x > 0

的部分對稱於

y

軸。(1) 正確。

lo g 1^{2} = 0

，

2 lo g 1 = 0

。(2) 錯誤。

y = lo g x^{2}

在

x < 0

時：

x = - 10

得

2

，

x = - 1

得

0

，

x

變大函數值反而變小，不是遞增函數。(3) 正確。本選項比的是

y = 2 lo g x

與

y = lo g x

。

x > 1

時

lo g x > 0

，所以

2 lo g x - lo g x = lo g x > 0

，

2 lo g x > lo g x

。(4) 錯誤。取

(1, 0)

、

(100, 4)

兩點在

y = 2 lo g x

上，連線中點是

(50.5, 2)

，而

2 lo g 50.5 > 2 lo g 10 = 2

，圖形在連線上方，是凹口向下；

y = lo g x^{2}

在

x > 0

的部分與它相同，也是凹口向下。(5) 正確。

x = 0

時

lo g 0^{2}

、

2 lo g 0

都沒有定義，兩圖形都不與

y

軸相交。

(3) 卷面比較的對象印作

y = lo g x

（沒有平方）；若比較對象改成

y = lo g x^{2}

，

x > 1

時兩者相等，(3) 就不成立。

第 8 題答案 (1)(2)。指數函數

y = a^{x}

的定義域是全體實數、值恆為正、圖形通過

(0, 1)

，

a > 1

時遞增、

0 < a < 1

時遞減，左側或右側貼近

x

軸。(1) 正確。左右兩側都有圖形，恆在

x

軸上方、遞增，是

a > 1

的指數函數。(2) 正確。恆在

x

軸上方、遞減，是

0 < a < 1

的指數函數。(3) 錯誤。只在

y

軸右側，而且有一段在

x

軸下方（函數值為負），這是對數函數的樣子。(4) 錯誤。同樣只在

y

軸右側，且有負的函數值。(5) 錯誤。是過原點的直線，函數值有負值，也不通過

(0, 1)

。

lo g x^{2} = 2 lo g x

只在

x > 0

時成立；指數函數圖形必過

(0, 1)

、恆在

x

軸上方、左右都延伸。

04多選第 9～11 題：對稱於 x 軸、由圖形比較係數與底數

第 9 題答案 (1)(3)。與

y = g (x)

對稱於

x

軸的圖形是

y = - g (x)

，所以

f (x) = - 3 lo g x

，定義域也必須是

x > 0

。(1) 正確。就是

- 3 lo g x

。(2) 錯誤。

3 lo g (- x)

只在

x < 0

有定義，圖形在

y

軸左側，是

g

對稱於

y

軸的圖形。(3) 正確。

x > 0

時，換底：

lo g_{0.1} x^{3} = \frac{lo g x ^{3}}{lo g 0.1} = \frac{3 lo g x}{- 1} = - 3 lo g x

。(4) 錯誤。

- 3 lo g (- x)

也只在

x < 0

有定義，是

g

對稱於原點的圖形。(5) 錯誤。

- lo g_{0.1} x^{3} = 3 lo g x

，就是

g (x)

本身。

檢查：

x = 10

時

g = 3

；(1) 與 (3) 都得

- 3

，(5) 得

3

。

第 10 題答案 (1)(3)(4)(5)。四條圖形都通過

(1, 0)

。取

x = 10

：

lo g 10 = 1

，四條曲線在

x = 10

的高度分別是

a

、

1

、

b

、

c

。圖上

x > 1

時由上而下依序是

y = a lo g x

、

y = lo g x

、

y = b lo g x

、

y = c lo g x

，所以

a > 1 > b > c

。(1) 正確。

a > 1

。(2) 錯誤。(3) 正確。

y = b lo g x

與

y = lo g x

對稱於

x

軸，

b lo g x = - lo g x

，

b = - 1

。(4) 正確。

c lo g x

在

b lo g x

下方，

c < b = - 1

。(5) 正確。

a > 1 > - 1 = b > c

。

第 11 題答案 (2)(5)。四條圖形都通過

(0, 1)

。(5) 正確。

y = c^{x}

與

y = 2^{x}

對稱於

y

軸，

c^{x} = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

，

c = \frac{1}{2}

。右側兩條遞增：

a > 1

。在

x = 1

處，

y = 2^{x}

較靠近

y

軸、比

y = a^{x}

高，所以

2 > a

。(1) 錯誤。(2) 正確。

1 < a < 2

。(3) 錯誤。左側兩條遞減，

b

與

c

都在

0

與

1

之間。在

x = - 1

處，

y = c^{x}

較靠近

y

軸、比

y = b^{x}

高：

c^{- 1} > b^{- 1}

，即

\frac{1}{c} > \frac{1}{b}

，

2 > \frac{1}{b}

，所以

b > \frac{1}{2}

。(4) 錯誤。

比較圖形的係數或底數，就取一個好算的

x

（例如

x = 10

、

x = \pm 1

），把圖上的高低變成數的大小。

05選填 1～3（第 12～14 題）：連鎖換底、指數方程式、對數方程式

第 12 題換成常用對數：

lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 11 \times lo g_{11} \frac{1}{36} = \frac{lo g 7}{lo g 6} \times \frac{lo g 11}{lo g 7} \times \frac{lo g \frac{1}{36}}{lo g 11} = \frac{lo g \frac{1}{36}}{lo g 6} = lo g_{6} \frac{1}{36}

。

\frac{1}{36} = 6^{- 2}

，所以值為

- 2

。答案格依序填

-

、

2

。

第 13 題

4^{x + 1} = 4 \times 4^{x} = 4 (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

，

t > 0

，方程式變成

4 t^{2} - 25 t - 56 = 0

，

(t - 8) (4 t + 7) = 0

，

t = 8

或

t = - \frac{7}{4}

。

t > 0

，所以

t = 8

，即

2^{x} = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

代回：

4^{4} - 25 \times 8 - 56 = 256 - 200 - 56 = 0

，成立。

第 14 題先看真數：

x > 0

且

x - 1 > 0

，所以

x > 1

。

1 + lo g 3 = lo g 10 + lo g 3 = lo g 30

，在

x > 1

的條件下方程式變成

lo g (x (x - 1)) = lo g 30

，

x^{2} - x - 30 = 0

，

(x - 6) (x + 5) = 0

，

x = 6

或

x = - 5

。

x = - 5

不滿足

x > 1

，不合，所以

x = 6

。

代回：

lo g 6 + lo g 5 = lo g 30 = 1 + lo g 3

，成立。

對數方程式先寫下真數為正的條件，最後回頭刪去不合的根；指數方程式看出

4^{x} = (2^{x})^{2}

就換元。

06選填 4、5（第 15～17 題）：換底公式、根號底數、半衰期

第 15 題由換底公式，

lo g_{4} 216 = \frac{lo g 216}{lo g 4}

，所以

\frac{1}{lo g _{4} 216} = \frac{lo g 4}{lo g 216} = lo g_{216} 4

。原式

= lo g_{216} 4 + lo g_{216} 9 = lo g_{216} 36

。

216 = 6^{3}

、

36 = 6^{2}

，所以

lo g_{216} 36 = lo g_{6^{3}} 6^{2} = \frac{2}{3}

。答案格依序填

2

、

3

。

第 16 題設

lo g_{3} 27 = k

，則

(3)^{k} = 27

，即

3^{\frac{k}{2}} = 3^{3}

，

\frac{k}{2} = 3

，

k = 6

。

第 17 題從第

1

年到第

9

年經過

8

年，質量由

20

克變成

5

克，是原來的

\frac{5}{20} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

，也就是經過了

2

個半衰期。設半衰期

T

年，則

\frac{8}{T} = 2

，

T = 4

。

檢查：半衰期

4

年時，第

1

年

20

克、第

5

年

10

克、第

9

年

5

克。

\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a

；放射性物質剩下

(\frac{1}{2})^{n}

就是經過

n

個半衰期。

07選填 6～8（第 18～20 題）：分貝、對數函數的斜率比、指數函數圖形上兩點的斜率

第 18 題一支汽笛的強度為

I

時，

10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 70

。一百支同時合鳴，強度變成

100 I

，分貝數為

10 lo g \frac{100 I}{I _{0}} = 10 (lo g 100 + lo g \frac{I}{I _{0}}) = 10 \times 2 + 70 = 90

。答案格依序填

9

、

0

。

由

70

分貝可求出

I = 1 0^{- 5}

，

100 I = 1 0^{- 3}

，

10 lo g \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 12}} = 10 \times 9 = 90

。

第 19 題換底：

g (x) = lo g_{a^{3}} x = \frac{lo g x}{lo g a ^{3}} = \frac{lo g x}{3 lo g a} = \frac{1}{3} lo g_{a} x = \frac{1}{3} f (x)

。

A (2, f (2))

、

B (5, f (5))

，

m_{1} = \frac{f ( 5 ) - f ( 2 )}{5 - 2}

；

C (2, g (2))

、

D (5, g (5))

，

m_{2} = \frac{g ( 5 ) - g ( 2 )}{5 - 2} = \frac{\frac{1}{3} f ( 5 ) - \frac{1}{3} f ( 2 )}{3} = \frac{1}{3} m_{1}

。

a > 1

時

f (5) > f (2)

，

m_{1} \neq = 0

，所以

\frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{1}{3}

。答案格依序填

1

、

3

。

題目的「

A

、

B

兩個點的斜率」指直線

A B

的斜率。結果與

a

的值無關；例如

a = 2

時

m_{1} \approx 0.441

、

m_{2} \approx 0.147

。

第 20 題

P

在

y = \frac{3}{2}

上：

(\frac{1}{2})^{x} = \frac{3}{2}

，即

2^{- x} = \frac{3}{2}

，

x_{P} = - lo g_{2} \frac{3}{2}

。

Q

在

y = 3

上：

2^{- x} = 3

，

x_{Q} = - lo g_{2} 3

。兩點橫坐標的差

x_{Q} - x_{P} = - lo g_{2} 3 + lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} \frac{3/2}{3} = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1

。斜率

= \frac{3 - \frac{3}{2}}{x _{Q} - x _{P}} = \frac{\frac{3}{2}}{- 1} = - \frac{3}{2}

。答案格依序填

-

、

3

、

2

。

y

坐標由

\frac{3}{2}

變成

3

（變成

2

倍），

(\frac{1}{2})^{x}

要往左移

1

單位才會變成

2

倍，所以橫坐標差

1

。數值：

x_{P} \approx - 0.585

、

x_{Q} \approx - 1.585

。

lo g_{a^{n}} x = \frac{1}{n} lo g_{a} x

；指數函數的值變成底數的倒數倍時，橫坐標剛好移動

1

。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02單選第 4～6 題：對稱的指數函數、對數有意義的條件、對數律

03多選第 7、8 題：log x² 與 2 log x、辨認指數函數的圖形

04多選第 9～11 題：對稱於 x 軸、由圖形比較係數與底數

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06選填 4、5（第 15～17 題）：換底公式、根號底數、半衰期

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平鎮高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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