段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、指對數方程式與不等式、指數與對數的應用）

屏東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要看出絕對值把小於 1 那一段的對數圖形翻上來後會一路往上，所以一定會碰到直線；第 13 題底數不可以等於 1，解出來的兩個根要剔除一個；第 14 題底數小於 1，去掉對數時不等號要反向，還要和真數條件取交集；第 17 題換元後新變數至少是 2，最小值不在拋物線的頂點；第 19 題要先由等號兩邊的正負與範圍把三個數各自夾住。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、選填題 16 題（共 85 分，原卷未印每題配分）。原卷多選題號 1～3、選填題號 A～O（A 分兩小題），本頁依序編為第 1～19 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

(一)多選題：每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上不給分

a = 1 0^{1 - \frac{2}{2}}

，

b = a^{2}

。請選出正確的選項：

(1) $1 < a$
(2) $a < 3$
(3) $a^{2} < b^{3}$
(4) $1 0^{0.4} < b < 1 0^{0.5}$
(5) $(ab)^{2} < 10$

下列選項中的對數值，哪些是正確的？

(1) $lo g (3 - π)^{2} = 2 lo g (3 - π)$
(2) $3^{- l o g_{3} 7} = - 7$
(3) $lo g_{2} 3 = lo g_{4} 9$
(4) $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3$
(5) $\frac{lo g _{3} 2}{lo g _{9} 8} = \frac{2}{3}$

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？

(1) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 對稱於 $y$ 軸
(2) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 對稱於原點
(4) $y = ∣ lo g x ∣$ 的圖形與 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 沒有交點
(5) 任取 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 圖形上兩不同點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為負

(二)選填題：共 85 分

第 4～5 題（原卷選填 A 的 (1)(2)）（第 4～5 題）　求下列各式的值：

(1)

\frac{1}{lo g _{2} 6} + \frac{1}{lo g _{3} 6} =

____。

(2)

lo g 2 - lo g \frac{5}{2} + 2 lo g 125 =

____。

將

y = lo g_{2} x

的圖形向右平移

a

單位，再向上平移

b

單位後，所得為

y = lo g_{2} (8 x - 16)

的圖形，求

a + b =

____。

解方程式：

4^{x + \frac{1}{2}} + 31 \times 2^{x - 2} - 1 = 0

，得

x =

____。

解不等式：

\frac{1}{16} \leq (\frac{1}{4})^{4 x} \leq 2

，得

x

的範圍為

a \leq x \leq b

，求

a + b =

____。

設

a

，

b

，

c

，

d

均為正實數，且都不等於

1

，若

a^{3} = b^{8} = c^{12} = d

，

(ab c)^{x} = d

，則

x =

____。

使得對數

lo g_{(x - 2)} (- x^{2} + 8 x - 7)

有意義的整數有 ____ 個。

設

lo g_{5} x = 14

，

lo g_{5} y = 10

，則

lo g_{x y} (\frac{x}{y}) =

____。

如圖：

A

點是四分之一圓的圓心，

A B C D

是矩形，且

\overline{A D} = 30 lo g_{3} 4

，

\overline{B D} = 20 lo g_{3} 72

，則

\overline{D F} =

____。

載入中...

解

lo g_{2 x - 3} (x - 3)^{2} = 1

，得

x =

____。

解，

1 + lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{4}} (4 - x)

得

x

的範圍為

a < x < b

，求

a + b =

____。

小榮在銀行存入

10

萬元，年利率

6%

，以複利計息，每年複利一次，試問：至少須經過 ____ 年之後，本利和會超過

30

萬元。（以正整數作答。已知

lo g 1.06 \approx 0.0253

且

lo g 3 \approx 0.4771

）

y = lo g x

和

x + y = 3

的交點為

(x_{1}, y_{1})

，

y = 1 0^{x}

和

x + y = 3

的交點為

(x_{2}, y_{2})

，求

x_{1} + x_{2} =

____。

試求函數

f (x) = 2 (2^{x} - \frac{3}{2})^{2} + 2 (2^{- x} - \frac{3}{2})^{2} + 3

的最小值為 ____。

鋼琴鍵盤上每個鍵的頻率

f_{k}

，如下圖所示。已知頻率之間的關係為

lo g \frac{f _{n}}{f _{1}} = \frac{n - 1}{12} \times lo g 2

，

n = 1, 2, \dots, 24

。若知名歌手 J. J. Lin 的歌曲「修煉愛情」，其歌曲的副歌演唱音域為 Mi 到高音 Sol，問「高音 Sol 的頻率」是「Mi 的頻率」的

2^{x}

倍，

x =

____。

載入中...

設實數

a

、

b

、

c

分別滿足

(\frac{1}{2})^{a} = lo g_{2} a

，

(\frac{1}{2})^{b} = lo g_{\frac{1}{2}} b

，

2^{c} = lo g_{\frac{1}{2}} c

，則關於

a

、

b

、

c

三數大小的敘述下列何者正確？____（此題為單選）

(1) $a < b < c$
(2) $c < b < a$
(3) $c < a < b$
(4) $b < a < c$

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)(4)

第 2 題(3)(4)(5)

第 3 題(1)(2)(5)

第 4 題

1

第 5 題

2

第 6 題

5

第 7 題

- 3

第 8 題

\frac{3}{8}

第 9 題

\frac{24}{13}

第 10 題

3

第 11 題

\frac{1}{6}

第 12 題

40

第 13 題

6

第 14 題

4

第 15 題

19

第 16 題

3

第 17 題

4

第 18 題

\frac{5}{4}

第 19 題(2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～3 題：指數比大小、對數律與指對數函數的圖形

第 1 題

答案 (1)(3)(4)。先把 $b$ 化成以 $10$ 為底： $b = a^{2} = 1 0^{(1 - \frac{2}{2}) 2} = 1 0^{2 - 1}$ 。底數 $10 > 1$ ，指數愈大值愈大。

(1) 正確。 $2 < 2$ ，所以指數 $1 - \frac{2}{2} > 0$ ， $a > 1 0^{0} = 1$ 。

(2) 錯誤。 兩邊都是正數，平方後比： $a^{2} = 1 0^{2 - 2}$ ，而 $(3)^{2} = 3 = 1 0^{l o g 3}$ 。 $2 - 2 \approx 0.586$ ， $lo g 3 \approx 0.4771$ ，前者較大，所以 $a^{2} > 3$ ， $a > 3$ 。

(3) 正確。 $a^{2} = 1 0^{2 - 2} = 1 0^{2 (2 - 1)}$ ， $b^{3} = 1 0^{3 (2 - 1)}$ 。 $2 - 1 > 0$ 且 $2 < 3$ ，所以 $2 (2 - 1) < 3 (2 - 1)$ ，得 $a^{2} < b^{3}$ 。

(4) 正確。 $1.4 < 2 < 1.5$ ，所以 $0.4 < 2 - 1 < 0.5$ ，得 $1 0^{0.4} < b < 1 0^{0.5}$ 。

(5) 錯誤。 $ab = 1 0^{(1 - \frac{2}{2}) + (2 - 1)} = 1 0^{\frac{2}{2}}$ ， $(ab)^{2} = 1 0^{\frac{2}{2} \times 2} = 1 0^{1} = 10$ ，等於 $10$ ，不是小於 $10$ 。

a = 1 0^{1 - \frac{2}{2}} \approx 1 0^{0.293} \approx 1.96

，

3 \approx 1.73

；

b \approx 1 0^{0.414} \approx 2.60

。

第 2 題

答案 (3)(4)(5)。

(1) 錯誤。 $3 - π < 0$ ，真數不可為負， $lo g (3 - π)$ 沒有意義，等式右邊不成立。左邊 $lo g (3 - π)^{2}$ 的真數是正數，等於 $2 lo g (π - 3)$ 。

(2) 錯誤。 由對數的定義 $3^{l o g_{3} 7} = 7$ ，所以 $3^{- l o g_{3} 7} = \frac{1}{3 ^{l o g_{3} 7}} = \frac{1}{7}$ 。正數的任何次方都是正數，不會是 $- 7$ 。

(3) 正確。 $lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3$ 。

(4) 正確。 對數律 $lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3$ 。

(5) 正確。 $lo g_{9} 8 = \frac{lo g 2 ^{3}}{lo g 3 ^{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 3} = \frac{3}{2} lo g_{3} 2$ ，所以 $\frac{lo g _{3} 2}{lo g _{9} 8} = \frac{lo g _{3} 2}{\frac{3}{2} lo g _{3} 2} = \frac{2}{3}$ 。

第 3 題

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 點 $(s, t)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，即 $t = 1 0^{s}$ ；它對 $y$ 軸的對稱點 $(- s, t)$ 滿足 $t = 1 0^{- (- s)}$ ，在 $y = 1 0^{- x}$ 上。反過來也一樣。

(2) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{10}} = - lo g x$ 。點 $(s, t)$ 在 $y = lo g x$ 上時，對 $x$ 軸的對稱點 $(s, - t)$ 在 $y = - lo g x$ 上。

(3) 錯誤。 兩者互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ，不是原點。例如 $(0, 1)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，它對原點的對稱點 $(0, - 1)$ 的 $x$ 坐標是 $0$ ，不在 $y = lo g x$ 的定義域內。

(4) 錯誤。 當 $0 < x < 1$ 時 $∣ lo g x ∣ = - lo g x$ ， $x$ 愈接近 $0$ 值愈大，沒有上限；而直線在這一段的 $y$ 值介於 $2$ 與 $2.5$ 之間。取 $x = 1$ ：曲線 $y = 0$ ，直線 $y = 2.5$ ，曲線在直線下方；取 $x = \frac{1}{1000}$ ：曲線 $y = 3$ ，直線 $y = 2.0005$ ，曲線在直線上方。曲線在 $\frac{1}{1000}$ 與 $1$ 之間是連續不斷的（和高一勘根的想法相同），所以一定穿過直線，兩圖形有交點。

(5) 正確。 底數 $\frac{1}{10}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 是遞減函數。取兩點 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，則 $y_{1} > y_{2}$ ，斜率 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} < 0$ 。

(4) 的交點在

x

約

0.0099

附近；在

x > 1

的部分，

lo g x

一直小於

\frac{1}{2} x + 2

，沒有交點，所以全部只有一個交點。

把各數都寫成同一個底數的次方，比大小就變成比指數；

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於直線

y = x

。

02選填 A、B（第 4～6 題）：換底公式、對數律與圖形平移

第 4 題由換底公式

\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a

：

\frac{1}{lo g _{2} 6} = lo g_{6} 2

，

\frac{1}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 3

。相加

= lo g_{6} (2 \times 3) = lo g_{6} 6 = 1

。

第 5 題

2 lo g 125 = lo g (125)^{2} = lo g 125

。原式

= lo g (2 \times \frac{2}{5} \times 125) = lo g 100 = 2

。

第 6 題

lo g_{2} (8 x - 16) = lo g_{2} (8 (x - 2)) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} (x - 2) = lo g_{2} (x - 2) + 3

。

y = lo g_{2} x

向右平移

a

、向上平移

b

得

y = lo g_{2} (x - a) + b

，比較得

a = 2

、

b = 3

，

a + b = 5

。

真數裡的係數用對數律拆出來，就變成上下平移。

03選填 C、D（第 7、8 題）：指數方程式與不等式

第 7 題

4^{x + \frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \times 4^{x} = 2 \times (2^{x})^{2}

，

31 \times 2^{x - 2} = \frac{31}{4} \times 2^{x}

。令

t = 2^{x} > 0

，方程式變成

2 t^{2} + \frac{31}{4} t - 1 = 0

，乘以

4

得

8 t^{2} + 31 t - 4 = 0

，即

(8 t - 1) (t + 4) = 0

。

t = - 4

不合（

2^{x} > 0

），所以

2^{x} = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

，

x = - 3

。

檢查：

4^{- \frac{5}{2}} = \frac{1}{32}

，

31 \times 2^{- 5} = \frac{31}{32}

，

\frac{1}{32} + \frac{31}{32} - 1 = 0

。

第 8 題都化成以

2

為底：

\frac{1}{16} = 2^{- 4}

，

(\frac{1}{4})^{4 x} = (2^{- 2})^{4 x} = 2^{- 8 x}

，

2 = 2^{1}

。底數

2 > 1

，不等號方向不變：

- 4 \leq - 8 x \leq 1

，各除以

- 8

不等號反向，得

- \frac{1}{8} \leq x \leq \frac{1}{2}

。所以

a = - \frac{1}{8}

，

b = \frac{1}{2}

，

a + b = \frac{3}{8}

。

指數方程式看到

4^{x}

與

2^{x}

同時出現，就令

t = 2^{x}

，記得

t > 0

。

04選填 E～H（第 9～12 題）：連比式、對數有意義的條件、換底與對數律

第 9 題

各式取常用對數，令 $lo g d = k$ （ $d \neq = 1$ ，所以 $k \neq = 0$ ）： $3 lo g a = 8 lo g b = 12 lo g c = k$ ，得 $lo g a = \frac{k}{3}$ ， $lo g b = \frac{k}{8}$ ， $lo g c = \frac{k}{12}$ 。由 $(ab c)^{x} = d$ 得 $x (lo g a + lo g b + lo g c) = lo g d$ ，即

$x (\frac{k}{3} + \frac{k}{8} + \frac{k}{12}) = k$

括號內 $= \frac{8 k + 3 k + 2 k}{24} = \frac{13 k}{24}$ ，兩邊除以 $k$ 得 $x = \frac{24}{13}$ 。

第 10 題底數條件：

x - 2 > 0

且

x - 2 \neq = 1

，即

x > 2

、

x \neq = 3

。真數條件：

- x^{2} + 8 x - 7 > 0

，即

x^{2} - 8 x + 7 < 0

，

(x - 1) (x - 7) < 0

，

1 < x < 7

。合起來

2 < x < 7

且

x \neq = 3

，整數有

4

、

5

、

6

，共

3

個。

第 11 題

用以 $5$ 為底的換底公式：

$lo g_{x y} \frac{x}{y} = \frac{lo g _{5} x - lo g _{5} y}{lo g _{5} x + lo g _{5} y} = \frac{14 - 10}{14 + 10} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

第 12 題

由圖， $C$ 、 $E$ 、 $F$ 都在圓弧上， $F$ 在直線 $A D$ 上， $E$ 在直線 $A B$ 上。矩形的兩條對角線等長，所以 $\overline{A C} = \overline{B D}$ 。 $C$ 在以 $A$ 為圓心的圓弧上，半徑 $\overline{A F} = \overline{A C} = \overline{B D}$ 。 $F$ 在 $D$ 的上方，所以

$\overline{D F} = \overline{A F} - \overline{A D} = 20 lo g_{3} 72 - 30 lo g_{3} 4 = lo g_{3} 7 2^{20} - lo g_{3} 4^{30}$

而 $7 2^{20} = (2^{3} \times 3^{2})^{20} = 2^{60} \times 3^{40}$ ， $4^{30} = 2^{60}$ 。所以 $\overline{D F} = lo g_{3} \frac{2 ^{60} \times 3 ^{40}}{2 ^{60}} = lo g_{3} 3^{40} = 40$ 。

連比式設一個共同的值

k

再取對數；係數放回真數當次方，再用對數律合併。

05選填 I～K（第 13～15 題）：對數方程式、對數不等式與複利

第 13 題底數條件：

2 x - 3 > 0

且

2 x - 3 \neq = 1

，即

x > \frac{3}{2}

、

x \neq = 2

；真數條件：

(x - 3)^{2} > 0

，即

x \neq = 3

。由定義

(x - 3)^{2} = (2 x - 3)^{1}

，

x^{2} - 6 x + 9 = 2 x - 3

，

x^{2} - 8 x + 12 = 0

，

(x - 2) (x - 6) = 0

。

x = 2

時底數

2 x - 3 = 1

，不合；所以

x = 6

。

檢查：

x = 6

時底數

9

、真數

9

，

lo g_{9} 9 = 1

。

第 14 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $4 - x > 0$ ，即 $1 < x < 4$ 。把兩邊都化成以 $\frac{1}{4}$ 為底： $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) = lo g_{\frac{1}{4}} (x - 1)^{2}$ ， $1 = lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$ ，所以左邊 $= lo g_{\frac{1}{4}} \frac{( x - 1 ) ^{2}}{4}$ 。

不等式變成 $lo g_{\frac{1}{4}} \frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} > lo g_{\frac{1}{4}} (4 - x)$ 。底數 $\frac{1}{4} < 1$ ，函數遞減，不等號反向： $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} < 4 - x$ ， $x^{2} - 2 x + 1 < 16 - 4 x$ ， $x^{2} + 2 x - 15 < 0$ ， $(x + 5) (x - 3) < 0$ ， $- 5 < x < 3$ 。

與真數條件取交集得 $1 < x < 3$ ，所以 $a = 1$ 、 $b = 3$ ， $a + b = 4$ 。

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) = lo g_{\frac{1}{4}} (x - 1)^{2}

用的是換底：

lo g_{\frac{1}{4}} (x - 1)^{2} = \frac{2 lo g ( x - 1 )}{2 lo g \frac{1}{2}}

。

第 15 題

n

年後本利和為

10 \times 1.0 6^{n}

萬元。要

10 \times 1.0 6^{n} > 30

，即

1.0 6^{n} > 3

。兩邊取常用對數（底數

10 > 1

，不等號方向不變）：

n lo g 1.06 > lo g 3

，

n > \frac{0.4771}{0.0253} \approx 18.86

。

n

是正整數，所以至少

19

年。

1.0 6^{18} \approx 2.85

，

1.0 6^{19} \approx 3.03

，第

19

年才超過

3

倍。

對數不等式先寫真數條件，化成同底後看底數是否小於

1

決定不等號方向，最後取交集。

06選填 L、M（第 16、17 題）：反函數圖形的對稱、換元求最小值

第 16 題

y = lo g x

與

y = 1 0^{x}

互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

；直線

x + y = 3

把

x

、

y

互換後還是自己，也對稱於

y = x

。所以

(x_{1}, y_{1})

對

y = x

的對稱點

(y_{1}, x_{1})

同時在

y = 1 0^{x}

與

x + y = 3

上。

y = 1 0^{x}

遞增、

x + y = 3

遞減，交點只有一個，所以

(x_{2}, y_{2}) = (y_{1}, x_{1})

，

x_{2} = y_{1}

。因此

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 3

。

第 17 題

展開： $f (x) = 2 (4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + \frac{9}{4}) + 2 (4^{- x} - 3 \cdot 2^{- x} + \frac{9}{4}) + 3 = 2 (4^{x} + 4^{- x}) - 6 (2^{x} + 2^{- x}) + 12$ 。

令 $t = 2^{x} + 2^{- x}$ ，則 $4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2$ 。由算幾不等式 $t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2$ ， $x = 0$ 時等號成立。

$f = 2 (t^{2} - 2) - 6 t + 12 = 2 t^{2} - 6 t + 8 = 2 (t - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{2}$ 。頂點 $t = \frac{3}{2}$ 不在 $t \geq 2$ 的範圍內；在 $t \geq 2$ 時 $f$ 隨 $t$ 增加而增加，最小值在 $t = 2$ ： $f = 8 - 12 + 8 = 4$ 。

直接代

x = 0

：

2 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 = 4

。若誤用頂點會得到

\frac{7}{2}

，但

t = \frac{3}{2}

取不到。

換元之後一定要先寫出新變數的範圍，二次函數的極值要看頂點在不在範圍內。

07選填 N、O（第 18、19 題）：對數模型、由圖形夾出解的範圍

第 18 題

由鍵盤圖，Mi 是 $f_{5}$ ，高音 Sol 是 $f_{20}$ 。

$lo g \frac{f _{20}}{f _{5}} = lo g \frac{f _{20}}{f _{1}} - lo g \frac{f _{5}}{f _{1}} = \frac{19}{12} lo g 2 - \frac{4}{12} lo g 2 = \frac{15}{12} lo g 2 = lo g 2^{\frac{5}{4}}$

所以 $\frac{f _{20}}{f _{5}} = 2^{\frac{5}{4}}$ ， $x = \frac{5}{4}$ 。

公式說每往右一個鍵（含黑鍵）頻率乘以

2^{\frac{1}{12}}

；從

f_{5}

到

f_{20}

共

15

個鍵，倍數是

2^{\frac{15}{12}}

。

第 19 題

答案 (2)。逐一由等號兩邊的範圍夾出各數。

$a$ ： $(\frac{1}{2})^{a} > 0$ ，所以 $lo g_{2} a > 0$ ，得 $a > 1$ 。

$b$ ： $(\frac{1}{2})^{b} > 0$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} b > 0$ ，得 $0 < b < 1$ ；此時 $(\frac{1}{2})^{b} < (\frac{1}{2})^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} b < 1 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ ，底數小於 $1$ ，得 $b > \frac{1}{2}$ 。故 $\frac{1}{2} < b < 1$ 。

$c$ ： $2^{c} > 0$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} c > 0$ ，得 $0 < c < 1$ ；此時 $2^{c} > 2^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} c > 1 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ ，得 $c < \frac{1}{2}$ 。故 $0 < c < \frac{1}{2}$ 。

合起來 $c < \frac{1}{2} < b < 1 < a$ ，即 $c < b < a$ 。

三個方程式各有一個解：例如

y = (\frac{1}{2})^{x}

遞減、

y = lo g_{2} x

遞增，兩圖形恰交於一點。數值上

a \approx 1.32

、

b \approx 0.64

、

c \approx 0.40

。

比較方程式的解，不必解出來：用等號另一邊的正負與範圍，把每個數夾在

0

、

\frac{1}{2}

、

1

這些分界之間。

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每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要看出絕對值把小於 1 那一段的對數圖形翻上來後會一路往上，所以一定會碰到直線；第 13 題底數不可以等於 1，解出來的兩個根要剔除一個；第 14 題底數小於 1，去掉對數時不等號要反向，還要和真數條件取交集；第 17 題換元後新變數至少是 2，最小值不在拋物線的頂點；第 19 題要先由等號兩邊的正負與範圍把三個數各自夾住。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多選第 1～3 題：指數比大小、對數律與指對數函數的圖形

02選填 A、B（第 4～6 題）：換底公式、對數律與圖形平移

03選填 C、D（第 7、8 題）：指數方程式與不等式

04選填 E～H（第 9～12 題）：連比式、對數有意義的條件、換底與對數律

05選填 I～K（第 13～15 題）：對數方程式、對數不等式與複利

06選填 L、M（第 16、17 題）：反函數圖形的對稱、換元求最小值

07選填 N、O（第 18、19 題）：對數模型、由圖形夾出解的範圍

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屏東高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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屏東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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