段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題照卷面的字有兩個選項都不成立，要逐項用定義檢查；第 7 題要分清楚對數函數的圖形靠近 y 軸的是 x 趨近 0 的時候，不是 x 趨近 1；第 8 題的反函數是以十分之一為底的對數，不是常用對數；第 10 題的負指數要先寫成科學記號再取對數；第 16 題要把每一項的真數相乘，前後配對才會約掉。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 5 題、選填題 10 題，每題 5 分，合計 100 分。原卷選填題題號 A～J，本頁編為第 11～20 題。第 2 題卷面是單選題，但照卷面的字有兩個選項不成立，見該題詳解。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：(每題 5 分，共 25 分)

下列何者最有可能為

y = 3^{x}

的圖形？（本站補註：五個選項是五個圖形，見下圖）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

設

a > 0

，

a \neq = 1

，

b > 0

，

r > 0

，

s > 0

，

t

為任意實數，則下列選項何者錯誤？

(1) 若 $a^{b} = r$ ，則 $lo g_{a} b = r$
(2) $lo g (r s) = lo g r + lo g s$
(3) $lo g r - lo g s = lo g (r - s)$
(4) $lo g r^{t} = t lo g r$
(5) $lo g_{a} r = \frac{lo g r}{lo g a}$

以下有關

a = (\frac{1}{5})^{- 5}

，

b = 2 5^{3}

，

c = 5^{- 1}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(1) $a < b < c$
(2) $c < a < b$
(3) $b < a < c$
(4) $b < c < a$
(5) $a < c < b$

下列各函數圖形中，與直線

x = - 1

的交點在最上方為哪一個選項？

(1) $y = 2^{x}$
(2) $y = - 2^{x}$
(3) $y = 3^{x}$
(4) $y = (\frac{1}{3})^{x}$
(5) $y = 7^{- x}$

若有一指數函數為

y = f (x) = 4^{x}

，則下列何者正確？

(1) $f (4) = 16$
(2) $f (0) = 0$
(3) $f (- 2) = 16$
(4) $f (\frac{1}{2}) = 2$
(5) $f (k + 1) = 4^{k} + 4$

二、多選題：(每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 25 分)

下列哪些選項中的對數有意義？

(1) $lo g_{(- 4)} 6$
(2) $lo g_{8} (- 6)$
(3) $lo g_{7} 2$
(4) $lo g_{3} 1$
(5) $lo g_{7} 0$

關於函數

f (x) = lo g_{2} x

，試選出正確的選項。

(1) 圖形和 $y$ 軸相交於點 $(0, 1)$
(2) 圖形由左而右逐漸上升，愈往右邊，上升得愈慢
(3) 當 $x$ 值愈接近 $1$ ，圖形愈接近 $y$ 軸
(4) 圖形和 $y = - 2$ 相交於一點
(5) 圖形永遠在 $y = x$ 的右下方

關於函數

f (x) = (\frac{1}{10})^{x}

的圖形，下列哪些選項正確？

(1) $f (x)$ 通過點 $(0, 1)$
(2) 圖形恆在 $y$ 軸右側
(3) 隨著 $x$ 值愈大，與 $x$ 軸的距離愈小
(4) 函數圖形和直線 $x = - 1$ 沒有交點
(5) 函數圖形 $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 與 $g (x) = lo g x$ 對稱於 $y = x$

若

0. 6^{x} = 3.6

，則下列哪些和

x

的值相等？

(1) $lo g_{3.6} 0.6$
(2) $lo g_{0.6} 3.6$
(3) $\frac{lo g 3.6}{lo g 0.6}$
(4) $\frac{lo g 36}{lo g 6}$
(5) $\frac{2 lo g 2 + 2 lo g 3 - 1}{lo g 2 + lo g 3 - 1}$

已知

lo g 2.3 \approx 0.3617

，則下列選項何者正確？

(1) $lo g 23 = lo g (2.3 \times 1 0^{1})$
(2) $lo g 0.00023 = lo g (2.3 \times 1 0^{- 4})$
(3) $lo g 230000 \approx 4.3617$
(4) $lo g 0.000023 \approx - 5.3617$
(5) $lo g \frac{23}{1000} \approx - 1.6383$

三、選填題：(每題 5 分，共 50 分)

lo g_{5} 25 + lo g_{3} 12 - lo g_{3} 4 =

____。（卷面答案格 1 格）

(\frac{1}{6})^{2} \times (lo g_{3} 49) \times (lo g_{7} 27) =

____。（卷面答案格 1 格）

試求

lo g (3 x + 2) = lo g (x - 4) + 1

的解為

x =

____。（卷面答案格 1 格）

不等式

7^{(- 2 x - 1)} \leq (\frac{1}{7})^{x - 4}

的解為

x \geq

____。（卷面答案格 2 格）

不等式

lo g_{3} (x + 2) - 1 \geq lo g_{3} (x - 2)

的解為 ____

< x \leq

____。（卷面答案格依序各 1 格）

設

f (x) = lo g_{2} x - lo g_{2} (1 - 2 x)

，

0 < x < \frac{1}{2}

，則

f (\frac{1}{20}) + f (\frac{2}{20}) + f (\frac{3}{20}) + \dots + f (\frac{8}{20}) + f (\frac{9}{20}) =

____。（卷面答案格 2 格）

小龍正在嘗試利用幹細胞培養出心肌細胞，希望能應用於心臟再生醫學。他每天仔細記錄細胞數量的變化，當他發現成長曲線穩定上升時，興奮地在筆記上寫下了：「或許，我們離修復心臟組織又更近了一步！」經過長時間的觀察，小龍發現在經過

t

小時後，細胞總數約有

f (t) = 13 \times 3^{0.2 t}

個，請問 ____ 個小時後，細胞總數約有

1053

個。（卷面答案格 2 格）

根據統計，電腦打字輸入每分鐘

x

字時所需的練習時間符合函數

f (x) = - 170 lo g (1 - \frac{x}{100})

，其中練習時間的單位為分鐘，

0 < x < 100

，試求要達到打字速度每分鐘

70

字的練習時間比達到打字速度每分鐘

40

字的練習時間多出 ____ 分鐘。（請將答案四捨五入至整數位，已知

lo g 2 \approx 0.3010

）（卷面答案格 2 格）

第 19～20 題為題組（原卷選填 I、J）（第 19～20 題）　炭治郎在打鬼之餘，決定幫妹妹禰豆子存點旅費。他將一筆錢存入鬼殺隊專屬銀行，年利率為

6%

，每年計息一次，客戶可以選擇單利方案或複利方案。

炭治郎選擇「單利方案」，並存了

4

年，最後本利和共領回

12400

元。請問炭治郎當初存入的本金是 ____ 元。（卷面答案格 5 格）

承上題，善逸告訴炭治郎，他當初應該要選擇「複利方案」，這樣可以拿回的本利和會比較多。請問當初若炭治郎選擇「複利方案」，

4

年後領回的本利和比單利方案的本利和多 ____ 元。（請將答案四捨五入至整數位）（卷面答案格 3 格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(1)(3)（單選題，照卷面的字兩個都錯誤；(1) 疑為「

lo g_{a} r = b

」誤植，若照此則答案為 (3)）

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(2)(4)(5)

第 8 題(1)(3)

第 9 題(2)(3)(5)

第 10 題(1)(2)(5)

第 11 題

3

第 12 題

1

第 13 題

6

第 14 題

- 5

（即

x \geq - 5

）

第 15 題

2

、

4

（即

2 < x \leq 4

）

第 16 題

- 9

第 17 題

20

第 18 題

51

第 19 題

10000

第 20 題

225

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：指數函數的圖形、對數律、比大小與函數值

第 1 題答案 (1)。

y = 3^{x}

的底數

3 > 1

，圖形由左而右上升；

3^{x} > 0

，圖形全在

x

軸上方，往左愈來愈貼近

x

軸；

x = 0

時

y = 1

，與

y

軸交在原點上方。圖 (1) 符合。圖 (2) 由左而右下降，是底數介於

0

與

1

之間的指數函數。圖 (3)、(4) 的圖形只在

y

軸右側並且穿過

x

軸，是對數函數的樣子。圖 (5) 是通過原點的直線。

第 2 題照卷面的字，(1) 與 (3) 都錯誤。(1) 由對數的定義，

a^{b} = r

等價於

lo g_{a} r = b

，不是

lo g_{a} b = r

。例如

a = 2

、

b = 3

、

r = 8

：

2^{3} = 8

，但

lo g_{2} 3 \neq = 8

。(2) 正確，是對數律。(3) 錯誤：對數律是

lo g r - lo g s = lo g \frac{r}{s}

；例如

r = 20

、

s = 10

，左邊

= lo g 2

，右邊

= lo g 10 = 1

，不相等（而且

r < s

時

lo g (r - s)

根本沒有意義）。(4) 正確，是對數律。(5) 正確，是換底公式。

這是單選題，命題的原意多半是 (1) 寫成「若

a^{b} = r

，則

lo g_{a} r = b

」（這樣就正確），只有 (3) 錯誤。照卷面印的字，(1) 也不成立，所以本頁兩個都列出。

第 3 題答案 (2)。都化成以

5

為底：

a = (5^{- 1})^{- 5} = 5^{5}

，

b = (5^{2})^{3} = 5^{6}

，

c = 5^{- 1}

。底數

5 > 1

，指數愈大值愈大，

- 1 < 5 < 6

，所以

c < a < b

。

第 4 題答案 (5)。把

x = - 1

代入各函數，比

y

的大小。(1)

2^{- 1} = \frac{1}{2}

。(2)

- 2^{- 1} = - \frac{1}{2}

。(3)

3^{- 1} = \frac{1}{3}

。(4)

(\frac{1}{3})^{- 1} = 3

。(5)

7^{- (- 1)} = 7

。最大的是

7

，交點在最上方的是 (5)。

(2) 的負號在

2^{x}

外面，圖形在

x

軸下方。

第 5 題答案 (4)。(1)

f (4) = 4^{4} = 256

。(2)

f (0) = 4^{0} = 1

。(3)

f (- 2) = 4^{- 2} = \frac{1}{16}

。(4)

f (\frac{1}{2}) = 4^{\frac{1}{2}} = 4 = 2

，正確。(5)

f (k + 1) = 4^{k + 1} = 4 \times 4^{k}

，不是

4^{k} + 4

；例如

k = 1

時

4^{2} = 16

，而

4^{1} + 4 = 8

。

比較指數的大小先化成同一個底數；底數大於

1

時指數大的值也大。

02多選第 6～8 題：對數有意義的條件、對數函數與指數函數的圖形

第 6 題答案 (3)(4)。

lo g_{a} b

有意義要

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

。(1) 底數

- 4 < 0

，沒有意義。(2) 真數

- 6 < 0

，沒有意義。(3) 底數

7 > 0

且不等於

1

，真數

2 > 0

，有意義。(4) 底數

3

、真數

1

都合條件，有意義，值為

0

。(5) 真數是

0

，沒有意義（

7

的任何次方都不會是

0

）。

第 7 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：定義域是

x > 0

，圖形不碰

y

軸；它與

x

軸交於

(1, 0)

。(2) 對：底數

2 > 1

，圖形上升；

y

每增加

1

，

x

要變成原來的

2

倍（從

1

到

2

、

2

到

4

、

4

到

8

都只升高

1

），所以愈往右上升得愈慢。(3) 錯：

x

接近

1

時，

lo g_{2} x

接近

0

，圖形接近點

(1, 0)

，那是在

x

軸上；圖形貼近

y

軸是

x

接近

0

的時候。(4) 對：

lo g_{2} x = - 2

恰有一解

x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。(5) 對：要說明對每個

x > 0

都有

lo g_{2} x < x

。當

0 < x \leq 1

時，

lo g_{2} x \leq 0 < x

。當

x > 1

時，取正整數

n

使

n \leq x < n + 1

；因為

2^{n} \geq n + 1

（

2^{1} = 2

，以後每次

n

加

1

，左邊加倍、右邊只加

1

），所以

x < n + 1 \leq 2^{n}

，得

lo g_{2} x < n \leq x

。因此圖形上每一點都在直線

y = x

的右下方。

(5) 也可以這樣看：

y = 2^{x}

的圖形在

y = x

的左上方，而

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於直線

y = x

，所以在右下方。

第 8 題答案 (1)(3)。(1) 對：

f (0) = (\frac{1}{10})^{0} = 1

。(2) 錯：定義域是全體實數，

x < 0

時也有圖形，例如

f (- 1) = 10

。(3) 對：

f (x) > 0

，所以圖形與

x

軸的距離就是

f (x)

；底數

\frac{1}{10}

介於

0

與

1

之間，

x

愈大

f (x)

愈小。(4) 錯：

f (- 1) = 10

，圖形與直線

x = - 1

交於

(- 1, 10)

。(5) 錯：與

y = lo g x

對稱於

y = x

的是

y = 1 0^{x}

；

y = (\frac{1}{10})^{x}

對稱於

y = x

的是

y = lo g_{\frac{1}{10}} x

。例如

f

的圖形通過

(- 1, 10)

，對稱點

(10, - 1)

不在

y = lo g x

上（

lo g 10 = 1

）。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

（同一個底數）的圖形對稱於直線

y = x

；換了底數就不對稱。

03多選第 9、10 題：用對數表示指數方程式的解、常用對數

第 9 題答案 (2)(3)(5)。由定義

0. 6^{x} = 3.6

得

x = lo g_{0.6} 3.6

，(2) 對。換底成常用對數，

x = \frac{lo g 3.6}{lo g 0.6}

，(3) 對。(1) 是

lo g_{3.6} 0.6 = \frac{lo g 0.6}{lo g 3.6} = \frac{1}{x}

，不等於

x

（

x

是負數且不等於

- 1

，因為

0. 6^{- 1} = \frac{5}{3} \neq = 3.6

）。(4)

\frac{lo g 36}{lo g 6} = lo g_{6} 36 = 2

，而

0. 6^{2} = 0.36 \neq = 3.6

，所以不等於

x

。(5) 分子

2 lo g 2 + 2 lo g 3 - 1 = lo g (4 \times 9) - lo g 10 = lo g \frac{36}{10} = lo g 3.6

，分母

lo g 2 + lo g 3 - 1 = lo g \frac{6}{10} = lo g 0.6

，與 (3) 相同，對。

用

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

估計：

x \approx \frac{0.5562}{- 0.2219} \approx - 2.51

。

第 10 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：

23 = 2.3 \times 1 0^{1}

。(2) 對：

0.00023 = 2.3 \times 1 0^{- 4}

。(3) 錯：

230000 = 2.3 \times 1 0^{5}

，

lo g 230000 \approx 5 + 0.3617 = 5.3617

。(4) 錯：

0.000023 = 2.3 \times 1 0^{- 5}

，

lo g 0.000023 \approx - 5 + 0.3617 = - 4.6383

。(5) 對：

\frac{23}{1000} = 0.023 = 2.3 \times 1 0^{- 2}

，

lo g 0.023 \approx - 2 + 0.3617 = - 1.6383

。

(4) 的

- 5.3617

是把

- 5

與

0.3617

都當成負的；正確是

- 5

加上

0.3617

。

把數寫成

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

），

lo g

就是

n + lo g a

，負的

n

也是直接相加。

04選填 A～C（第 11～13 題）：對數律、換底公式與對數方程式

第 11 題

lo g_{5} 25 = lo g_{5} 5^{2} = 2

。

lo g_{3} 12 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{12}{4} = lo g_{3} 3 = 1

。合計

2 + 1 = 3

。

第 12 題

(\frac{1}{6})^{2} = \frac{1}{6}

。用換底公式：

lo g_{3} 49 = \frac{lo g 7 ^{2}}{lo g 3} = \frac{2 lo g 7}{lo g 3}

，

lo g_{7} 27 = \frac{lo g 3 ^{3}}{lo g 7} = \frac{3 lo g 3}{lo g 7}

，兩者相乘

= 2 \times 3 = 6

。所以原式

= \frac{1}{6} \times 6 = 1

。

第 13 題真數要為正：

3 x + 2 > 0

且

x - 4 > 0

，即

x > 4

。右邊

lo g (x - 4) + 1 = lo g (x - 4) + lo g 10 = lo g (10 (x - 4))

。所以

3 x + 2 = 10 (x - 4) = 10 x - 40

，

7 x = 42

，

x = 6

。

6 > 4

，合乎真數條件。

檢查：

lo g (3 \times 6 + 2) = lo g 20

，

lo g (6 - 4) + 1 = lo g 2 + 1 = lo g 20

，相等。

對數方程式先寫真數條件，再把常數也寫成對數合併，最後比較真數。

05選填 D～F（第 14～16 題）：指數不等式、對數不等式與對數的和

第 14 題右邊化成以

7

為底：

(\frac{1}{7})^{x - 4} = 7^{- (x - 4)} = 7^{4 - x}

。不等式變成

7^{- 2 x - 1} \leq 7^{4 - x}

。底數

7 > 1

，函數遞增，不等號方向不變：

- 2 x - 1 \leq 4 - x

，得

- x \leq 5

，

x \geq - 5

。答案格兩格依序填負號與

5

。

檢查端點：

x = - 5

時左邊

7^{9}

，右邊

7^{9}

，相等；取

x = 0

時左邊

7^{- 1}

小於右邊

7^{4}

，符合。

第 15 題真數條件：

x + 2 > 0

且

x - 2 > 0

，即

x > 2

。左邊

lo g_{3} (x + 2) - 1 = lo g_{3} (x + 2) - lo g_{3} 3 = lo g_{3} \frac{x + 2}{3}

。不等式變成

lo g_{3} \frac{x + 2}{3} \geq lo g_{3} (x - 2)

；底數

3 > 1

，所以

\frac{x + 2}{3} \geq x - 2

，

x + 2 \geq 3 x - 6

，

x \leq 4

。與真數條件合起來，

2 < x \leq 4

。答案格依序填

2

、

4

。

第 16 題由對數律，

f (x) = lo g_{2} \frac{x}{1 - 2 x}

。代入

x = \frac{k}{20}

（

k = 1, 2, \dots, 9

，都在

0

與

\frac{1}{2}

之間）：

\frac{x}{1 - 2 x} = \frac{\frac{k}{20}}{\frac{10 - k}{10}} = \frac{k}{2 ( 10 - k )}

。九項的和等於

lo g_{2}

九個真數的乘積：

\frac{1}{2 \times 9} \times \frac{2}{2 \times 8} \times \dots \times \frac{9}{2 \times 1} = \frac{1 \times 2 \times \dots \times 9}{2 ^{9} \times ( 9 \times 8 \times \dots \times 1 )} = \frac{1}{2 ^{9}}

。所以和

= lo g_{2} 2^{- 9} = - 9

。答案格兩格依序填負號與

9

。

也可以配對：

f (\frac{k}{20}) + f (\frac{10 - k}{20}) = lo g_{2} (\frac{k}{2 ( 10 - k )} \times \frac{10 - k}{2 k}) = lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2

，四對共

- 8

，中間的

f (\frac{5}{20}) = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1

，合計

- 9

。

對數的和就是真數乘積的對數；一串分數相乘時找前後能約掉的配對。

06選填 G、H（第 17、18 題）：指數模型與對數模型

第 17 題

13 \times 3^{0.2 t} = 1053

，兩邊除以

13

：

3^{0.2 t} = 81 = 3^{4}

。所以

0.2 t = 4

，

t = 20

（小時）。

第 18 題所求

= f (70) - f (40) = - 170 lo g (1 - 0.7) - (- 170 lo g (1 - 0.4)) = - 170 (lo g 0.3 - lo g 0.6) = - 170 lo g \frac{0.3}{0.6} = - 170 lo g \frac{1}{2} = 170 lo g 2

。

170 \times 0.3010 = 51.17

，四捨五入為

51

分鐘。

f (70) = - 170 lo g 0.3

約

88.9

分鐘，

f (40) = - 170 lo g 0.6

約

37.7

分鐘，相差約

51.2

分鐘。不必分別算出，兩個對數相減直接變成

lo g \frac{1}{2}

。

兩個對數值相減，先用對數律合成一個對數，常常就只剩題目給的

lo g 2

。

07選填 I、J（第 19、20 題）：單利與複利

第 19 題單利只對本金計息。設本金

P

元，每年利息

0.06 P

，

4

年本利和

= P + 4 \times 0.06 P = 1.24 P

。由

1.24 P = 12400

得

P = 10000

（元）。答案五格依序填

1

、

0

、

0

、

0

、

0

。

第 20 題複利每年連同利息一起滾入本金，

4

年本利和

= 10000 \times 1.0 6^{4}

。

1.0 6^{2} = 1.1236

，

1.0 6^{4} = 1.123 6^{2} = 1.26247696

，本利和

= 12624.7696

元。比單利多

12624.7696 - 12400 = 224.7696

，四捨五入為

225

元。

單利的本利和是

P (1 + n r)

，複利是

P (1 + r)^{n}

；年數愈長，複利多出來的愈多。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

屏東高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題照卷面的字有兩個選項都不成立，要逐項用定義檢查；第 7 題要分清楚對數函數的圖形靠近 y 軸的是 x 趨近 0 的時候，不是 x 趨近 1；第 8 題的反函數是以十分之一為底的對數，不是常用對數；第 10 題的負指數要先寫成科學記號再取對數；第 16 題要把每一項的真數相乘，前後配對才會約掉。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

屏東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：(每題 5 分，共 25 分)

下列何者最有可能為

y = 3^{x}

的圖形？（本站補註：五個選項是五個圖形，見下圖）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

設

a > 0

，

a \neq = 1

，

b > 0

，

r > 0

，

s > 0

，

t

為任意實數，則下列選項何者錯誤？

(1) 若 $a^{b} = r$ ，則 $lo g_{a} b = r$
(2) $lo g (r s) = lo g r + lo g s$
(3) $lo g r - lo g s = lo g (r - s)$
(4) $lo g r^{t} = t lo g r$
(5) $lo g_{a} r = \frac{lo g r}{lo g a}$

以下有關

a = (\frac{1}{5})^{- 5}

，

b = 2 5^{3}

，

c = 5^{- 1}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(1) $a < b < c$
(2) $c < a < b$
(3) $b < a < c$
(4) $b < c < a$
(5) $a < c < b$

下列各函數圖形中，與直線

x = - 1

的交點在最上方為哪一個選項？

(1) $y = 2^{x}$
(2) $y = - 2^{x}$
(3) $y = 3^{x}$
(4) $y = (\frac{1}{3})^{x}$
(5) $y = 7^{- x}$

若有一指數函數為

y = f (x) = 4^{x}

，則下列何者正確？

(1) $f (4) = 16$
(2) $f (0) = 0$
(3) $f (- 2) = 16$
(4) $f (\frac{1}{2}) = 2$
(5) $f (k + 1) = 4^{k} + 4$

二、多選題：(每題全對得 5 分，只錯一個選項得 3 分，只錯二個選項得 1 分，其餘得 0 分，共 25 分)

下列哪些選項中的對數有意義？

(1) $lo g_{(- 4)} 6$
(2) $lo g_{8} (- 6)$
(3) $lo g_{7} 2$
(4) $lo g_{3} 1$
(5) $lo g_{7} 0$

關於函數

f (x) = lo g_{2} x

，試選出正確的選項。

(1) 圖形和 $y$ 軸相交於點 $(0, 1)$
(2) 圖形由左而右逐漸上升，愈往右邊，上升得愈慢
(3) 當 $x$ 值愈接近 $1$ ，圖形愈接近 $y$ 軸
(4) 圖形和 $y = - 2$ 相交於一點
(5) 圖形永遠在 $y = x$ 的右下方

關於函數

f (x) = (\frac{1}{10})^{x}

的圖形，下列哪些選項正確？

(1) $f (x)$ 通過點 $(0, 1)$
(2) 圖形恆在 $y$ 軸右側
(3) 隨著 $x$ 值愈大，與 $x$ 軸的距離愈小
(4) 函數圖形和直線 $x = - 1$ 沒有交點
(5) 函數圖形 $f (x) = (\frac{1}{10})^{x}$ 與 $g (x) = lo g x$ 對稱於 $y = x$

若

0. 6^{x} = 3.6

，則下列哪些和

x

的值相等？

(1) $lo g_{3.6} 0.6$
(2) $lo g_{0.6} 3.6$
(3) $\frac{lo g 3.6}{lo g 0.6}$
(4) $\frac{lo g 36}{lo g 6}$
(5) $\frac{2 lo g 2 + 2 lo g 3 - 1}{lo g 2 + lo g 3 - 1}$

已知

lo g 2.3 \approx 0.3617

，則下列選項何者正確？

(1) $lo g 23 = lo g (2.3 \times 1 0^{1})$
(2) $lo g 0.00023 = lo g (2.3 \times 1 0^{- 4})$
(3) $lo g 230000 \approx 4.3617$
(4) $lo g 0.000023 \approx - 5.3617$
(5) $lo g \frac{23}{1000} \approx - 1.6383$

三、選填題：(每題 5 分，共 50 分)

lo g_{5} 25 + lo g_{3} 12 - lo g_{3} 4 =

____。（卷面答案格 1 格）

(\frac{1}{6})^{2} \times (lo g_{3} 49) \times (lo g_{7} 27) =

____。（卷面答案格 1 格）

試求

lo g (3 x + 2) = lo g (x - 4) + 1

的解為

x =

____。（卷面答案格 1 格）

不等式

7^{(- 2 x - 1)} \leq (\frac{1}{7})^{x - 4}

的解為

x \geq

____。（卷面答案格 2 格）

不等式

lo g_{3} (x + 2) - 1 \geq lo g_{3} (x - 2)

的解為 ____

< x \leq

____。（卷面答案格依序各 1 格）

設

f (x) = lo g_{2} x - lo g_{2} (1 - 2 x)

，

0 < x < \frac{1}{2}

，則

f (\frac{1}{20}) + f (\frac{2}{20}) + f (\frac{3}{20}) + \dots + f (\frac{8}{20}) + f (\frac{9}{20}) =

____。（卷面答案格 2 格）

t

小時後，細胞總數約有

f (t) = 13 \times 3^{0.2 t}

個，請問 ____ 個小時後，細胞總數約有

1053

個。（卷面答案格 2 格）

根據統計，電腦打字輸入每分鐘

x

字時所需的練習時間符合函數

f (x) = - 170 lo g (1 - \frac{x}{100})

，其中練習時間的單位為分鐘，

0 < x < 100

，試求要達到打字速度每分鐘

70

字的練習時間比達到打字速度每分鐘

40

字的練習時間多出 ____ 分鐘。（請將答案四捨五入至整數位，已知

lo g 2 \approx 0.3010

）（卷面答案格 2 格）

第 19～20 題為題組（原卷選填 I、J）（第 19～20 題）　炭治郎在打鬼之餘，決定幫妹妹禰豆子存點旅費。他將一筆錢存入鬼殺隊專屬銀行，年利率為

6%

，每年計息一次，客戶可以選擇單利方案或複利方案。

炭治郎選擇「單利方案」，並存了

4

年，最後本利和共領回

12400

元。請問炭治郎當初存入的本金是 ____ 元。（卷面答案格 5 格）

承上題，善逸告訴炭治郎，他當初應該要選擇「複利方案」，這樣可以拿回的本利和會比較多。請問當初若炭治郎選擇「複利方案」，

4

年後領回的本利和比單利方案的本利和多 ____ 元。（請將答案四捨五入至整數位）（卷面答案格 3 格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(1)(3)（單選題，照卷面的字兩個都錯誤；(1) 疑為「

lo g_{a} r = b

」誤植，若照此則答案為 (3)）

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(2)(4)(5)

第 8 題(1)(3)

第 9 題(2)(3)(5)

第 10 題(1)(2)(5)

第 11 題

3

第 12 題

1

第 13 題

6

第 14 題

- 5

（即

x \geq - 5

）

第 15 題

2

、

4

（即

2 < x \leq 4

）

第 16 題

- 9

第 17 題

20

第 18 題

51

第 19 題

10000

第 20 題

225

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：指數函數的圖形、對數律、比大小與函數值

第 1 題答案 (1)。

y = 3^{x}

的底數

3 > 1

，圖形由左而右上升；

3^{x} > 0

，圖形全在

x

軸上方，往左愈來愈貼近

x

軸；

x = 0

時

y = 1

，與

y

軸交在原點上方。圖 (1) 符合。圖 (2) 由左而右下降，是底數介於

0

與

1

之間的指數函數。圖 (3)、(4) 的圖形只在

y

軸右側並且穿過

x

軸，是對數函數的樣子。圖 (5) 是通過原點的直線。

第 2 題照卷面的字，(1) 與 (3) 都錯誤。(1) 由對數的定義，

a^{b} = r

等價於

lo g_{a} r = b

，不是

lo g_{a} b = r

。例如

a = 2

、

b = 3

、

r = 8

：

2^{3} = 8

，但

lo g_{2} 3 \neq = 8

。(2) 正確，是對數律。(3) 錯誤：對數律是

lo g r - lo g s = lo g \frac{r}{s}

；例如

r = 20

、

s = 10

，左邊

= lo g 2

，右邊

= lo g 10 = 1

，不相等（而且

r < s

時

lo g (r - s)

根本沒有意義）。(4) 正確，是對數律。(5) 正確，是換底公式。

這是單選題，命題的原意多半是 (1) 寫成「若

a^{b} = r

，則

lo g_{a} r = b

」（這樣就正確），只有 (3) 錯誤。照卷面印的字，(1) 也不成立，所以本頁兩個都列出。

第 3 題答案 (2)。都化成以

5

為底：

a = (5^{- 1})^{- 5} = 5^{5}

，

b = (5^{2})^{3} = 5^{6}

，

c = 5^{- 1}

。底數

5 > 1

，指數愈大值愈大，

- 1 < 5 < 6

，所以

c < a < b

。

第 4 題答案 (5)。把

x = - 1

代入各函數，比

y

的大小。(1)

2^{- 1} = \frac{1}{2}

。(2)

- 2^{- 1} = - \frac{1}{2}

。(3)

3^{- 1} = \frac{1}{3}

。(4)

(\frac{1}{3})^{- 1} = 3

。(5)

7^{- (- 1)} = 7

。最大的是

7

，交點在最上方的是 (5)。

(2) 的負號在

2^{x}

外面，圖形在

x

軸下方。

第 5 題答案 (4)。(1)

f (4) = 4^{4} = 256

。(2)

f (0) = 4^{0} = 1

。(3)

f (- 2) = 4^{- 2} = \frac{1}{16}

。(4)

f (\frac{1}{2}) = 4^{\frac{1}{2}} = 4 = 2

，正確。(5)

f (k + 1) = 4^{k + 1} = 4 \times 4^{k}

，不是

4^{k} + 4

；例如

k = 1

時

4^{2} = 16

，而

4^{1} + 4 = 8

。

比較指數的大小先化成同一個底數；底數大於

1

時指數大的值也大。

02多選第 6～8 題：對數有意義的條件、對數函數與指數函數的圖形

第 6 題答案 (3)(4)。

lo g_{a} b

有意義要

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

。(1) 底數

- 4 < 0

，沒有意義。(2) 真數

- 6 < 0

，沒有意義。(3) 底數

7 > 0

且不等於

1

，真數

2 > 0

，有意義。(4) 底數

3

、真數

1

都合條件，有意義，值為

0

。(5) 真數是

0

，沒有意義（

7

的任何次方都不會是

0

）。

第 7 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：定義域是

x > 0

，圖形不碰

y

軸；它與

x

軸交於

(1, 0)

。(2) 對：底數

2 > 1

，圖形上升；

y

每增加

1

，

x

要變成原來的

2

倍（從

1

到

2

、

2

到

4

、

4

到

8

都只升高

1

），所以愈往右上升得愈慢。(3) 錯：

x

接近

1

時，

lo g_{2} x

接近

0

，圖形接近點

(1, 0)

，那是在

x

軸上；圖形貼近

y

軸是

x

接近

0

的時候。(4) 對：

lo g_{2} x = - 2

恰有一解

x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。(5) 對：要說明對每個

x > 0

都有

lo g_{2} x < x

。當

0 < x \leq 1

時，

lo g_{2} x \leq 0 < x

。當

x > 1

時，取正整數

n

使

n \leq x < n + 1

；因為

2^{n} \geq n + 1

（

2^{1} = 2

，以後每次

n

加

1

，左邊加倍、右邊只加

1

），所以

x < n + 1 \leq 2^{n}

，得

lo g_{2} x < n \leq x

。因此圖形上每一點都在直線

y = x

的右下方。

(5) 也可以這樣看：

y = 2^{x}

的圖形在

y = x

的左上方，而

y = lo g_{2} x

與

y = 2^{x}

的圖形對稱於直線

y = x

，所以在右下方。

第 8 題答案 (1)(3)。(1) 對：

f (0) = (\frac{1}{10})^{0} = 1

。(2) 錯：定義域是全體實數，

x < 0

時也有圖形，例如

f (- 1) = 10

。(3) 對：

f (x) > 0

，所以圖形與

x

軸的距離就是

f (x)

；底數

\frac{1}{10}

介於

0

與

1

之間，

x

愈大

f (x)

愈小。(4) 錯：

f (- 1) = 10

，圖形與直線

x = - 1

交於

(- 1, 10)

。(5) 錯：與

y = lo g x

對稱於

y = x

的是

y = 1 0^{x}

；

y = (\frac{1}{10})^{x}

對稱於

y = x

的是

y = lo g_{\frac{1}{10}} x

。例如

f

的圖形通過

(- 1, 10)

，對稱點

(10, - 1)

不在

y = lo g x

上（

lo g 10 = 1

）。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

（同一個底數）的圖形對稱於直線

y = x

；換了底數就不對稱。

03多選第 9、10 題：用對數表示指數方程式的解、常用對數

第 9 題答案 (2)(3)(5)。由定義

0. 6^{x} = 3.6

得

x = lo g_{0.6} 3.6

，(2) 對。換底成常用對數，

x = \frac{lo g 3.6}{lo g 0.6}

，(3) 對。(1) 是

lo g_{3.6} 0.6 = \frac{lo g 0.6}{lo g 3.6} = \frac{1}{x}

，不等於

x

（

x

是負數且不等於

- 1

，因為

0. 6^{- 1} = \frac{5}{3} \neq = 3.6

）。(4)

\frac{lo g 36}{lo g 6} = lo g_{6} 36 = 2

，而

0. 6^{2} = 0.36 \neq = 3.6

，所以不等於

x

。(5) 分子

2 lo g 2 + 2 lo g 3 - 1 = lo g (4 \times 9) - lo g 10 = lo g \frac{36}{10} = lo g 3.6

，分母

lo g 2 + lo g 3 - 1 = lo g \frac{6}{10} = lo g 0.6

，與 (3) 相同，對。

用

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

估計：

x \approx \frac{0.5562}{- 0.2219} \approx - 2.51

。

第 10 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：

23 = 2.3 \times 1 0^{1}

。(2) 對：

0.00023 = 2.3 \times 1 0^{- 4}

。(3) 錯：

230000 = 2.3 \times 1 0^{5}

，

lo g 230000 \approx 5 + 0.3617 = 5.3617

。(4) 錯：

0.000023 = 2.3 \times 1 0^{- 5}

，

lo g 0.000023 \approx - 5 + 0.3617 = - 4.6383

。(5) 對：

\frac{23}{1000} = 0.023 = 2.3 \times 1 0^{- 2}

，

lo g 0.023 \approx - 2 + 0.3617 = - 1.6383

。

(4) 的

- 5.3617

是把

- 5

與

0.3617

都當成負的；正確是

- 5

加上

0.3617

。

把數寫成

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

），

lo g

就是

n + lo g a

，負的

n

也是直接相加。

04選填 A～C（第 11～13 題）：對數律、換底公式與對數方程式

第 11 題

lo g_{5} 25 = lo g_{5} 5^{2} = 2

。

lo g_{3} 12 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{12}{4} = lo g_{3} 3 = 1

。合計

2 + 1 = 3

。

第 12 題

(\frac{1}{6})^{2} = \frac{1}{6}

。用換底公式：

lo g_{3} 49 = \frac{lo g 7 ^{2}}{lo g 3} = \frac{2 lo g 7}{lo g 3}

，

lo g_{7} 27 = \frac{lo g 3 ^{3}}{lo g 7} = \frac{3 lo g 3}{lo g 7}

，兩者相乘

= 2 \times 3 = 6

。所以原式

= \frac{1}{6} \times 6 = 1

。

第 13 題真數要為正：

3 x + 2 > 0

且

x - 4 > 0

，即

x > 4

。右邊

lo g (x - 4) + 1 = lo g (x - 4) + lo g 10 = lo g (10 (x - 4))

。所以

3 x + 2 = 10 (x - 4) = 10 x - 40

，

7 x = 42

，

x = 6

。

6 > 4

，合乎真數條件。

檢查：

lo g (3 \times 6 + 2) = lo g 20

，

lo g (6 - 4) + 1 = lo g 2 + 1 = lo g 20

，相等。

對數方程式先寫真數條件，再把常數也寫成對數合併，最後比較真數。

05選填 D～F（第 14～16 題）：指數不等式、對數不等式與對數的和

第 14 題右邊化成以

7

為底：

(\frac{1}{7})^{x - 4} = 7^{- (x - 4)} = 7^{4 - x}

。不等式變成

7^{- 2 x - 1} \leq 7^{4 - x}

。底數

7 > 1

，函數遞增，不等號方向不變：

- 2 x - 1 \leq 4 - x

，得

- x \leq 5

，

x \geq - 5

。答案格兩格依序填負號與

5

。

檢查端點：

x = - 5

時左邊

7^{9}

，右邊

7^{9}

，相等；取

x = 0

時左邊

7^{- 1}

小於右邊

7^{4}

，符合。

第 15 題真數條件：

x + 2 > 0

且

x - 2 > 0

，即

x > 2

。左邊

lo g_{3} (x + 2) - 1 = lo g_{3} (x + 2) - lo g_{3} 3 = lo g_{3} \frac{x + 2}{3}

。不等式變成

lo g_{3} \frac{x + 2}{3} \geq lo g_{3} (x - 2)

；底數

3 > 1

，所以

\frac{x + 2}{3} \geq x - 2

，

x + 2 \geq 3 x - 6

，

x \leq 4

。與真數條件合起來，

2 < x \leq 4

。答案格依序填

2

、

4

。

第 16 題由對數律，

f (x) = lo g_{2} \frac{x}{1 - 2 x}

。代入

x = \frac{k}{20}

（

k = 1, 2, \dots, 9

，都在

0

與

\frac{1}{2}

之間）：

\frac{x}{1 - 2 x} = \frac{\frac{k}{20}}{\frac{10 - k}{10}} = \frac{k}{2 ( 10 - k )}

。九項的和等於

lo g_{2}

九個真數的乘積：

\frac{1}{2 \times 9} \times \frac{2}{2 \times 8} \times \dots \times \frac{9}{2 \times 1} = \frac{1 \times 2 \times \dots \times 9}{2 ^{9} \times ( 9 \times 8 \times \dots \times 1 )} = \frac{1}{2 ^{9}}

。所以和

= lo g_{2} 2^{- 9} = - 9

。答案格兩格依序填負號與

9

。

也可以配對：

f (\frac{k}{20}) + f (\frac{10 - k}{20}) = lo g_{2} (\frac{k}{2 ( 10 - k )} \times \frac{10 - k}{2 k}) = lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2

，四對共

- 8

，中間的

f (\frac{5}{20}) = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1

，合計

- 9

。

對數的和就是真數乘積的對數；一串分數相乘時找前後能約掉的配對。

06選填 G、H（第 17、18 題）：指數模型與對數模型

第 17 題

13 \times 3^{0.2 t} = 1053

，兩邊除以

13

：

3^{0.2 t} = 81 = 3^{4}

。所以

0.2 t = 4

，

t = 20

（小時）。

第 18 題所求

= f (70) - f (40) = - 170 lo g (1 - 0.7) - (- 170 lo g (1 - 0.4)) = - 170 (lo g 0.3 - lo g 0.6) = - 170 lo g \frac{0.3}{0.6} = - 170 lo g \frac{1}{2} = 170 lo g 2

。

170 \times 0.3010 = 51.17

，四捨五入為

51

分鐘。

f (70) = - 170 lo g 0.3

約

88.9

分鐘，

f (40) = - 170 lo g 0.6

約

37.7

分鐘，相差約

51.2

分鐘。不必分別算出，兩個對數相減直接變成

lo g \frac{1}{2}

。

兩個對數值相減，先用對數律合成一個對數，常常就只剩題目給的

lo g 2

。

07選填 I、J（第 19、20 題）：單利與複利

第 19 題單利只對本金計息。設本金

P

元，每年利息

0.06 P

，

4

年本利和

= P + 4 \times 0.06 P = 1.24 P

。由

1.24 P = 12400

得

P = 10000

（元）。答案五格依序填

1

、

0

、

0

、

0

、

0

。

第 20 題複利每年連同利息一起滾入本金，

4

年本利和

= 10000 \times 1.0 6^{4}

。

1.0 6^{2} = 1.1236

，

1.0 6^{4} = 1.123 6^{2} = 1.26247696

，本利和

= 12624.7696

元。比單利多

12624.7696 - 12400 = 224.7696

，四捨五入為

225

元。

單利的本利和是

P (1 + n r)

，複利是

P (1 + r)^{n}

；年數愈長，複利多出來的愈多。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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屏東高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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屏東高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～5 題：指數函數的圖形、對數律、比大小與函數值

02多選第 6～8 題：對數有意義的條件、對數函數與指數函數的圖形

03多選第 9、10 題：用對數表示指數方程式的解、常用對數

04選填 A～C（第 11～13 題）：對數律、換底公式與對數方程式

05選填 D～F（第 14～16 題）：指數不等式、對數不等式與對數的和

06選填 G、H（第 17、18 題）：指數模型與對數模型

07選填 I、J（第 19、20 題）：單利與複利

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屏東高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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