段考詳解範圍：指數與對數函數（指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

平鎮高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 9 題要注意改寫後的式子會不會多出 x 為負的點；單選第 5 題的負對數要先寫成負整數加上零到一之間的小數；填充 I（本頁第 19 題）要逐條直線數格子點、別漏了 x 軸上的點；填充 F（本頁第 16 題）兩邊要先換成同底，再和真數條件取交集。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選擇題 5 題、多選題 5 題、填充題 10 題，共 20 小題，每小題 5 分；卷頭注意事項：若有分數請化成最簡分數，若有根號請化成最簡，否則不予計分。原卷填充題 A～J，本頁編為第 11～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選擇題

下列數值中何者最大？

(1) $2^{- 0.9}$
(2) $4 \frac{1}{1024}$
(3) $(\frac{1}{4})^{3}$
(4) $(0.25)^{0.12}$
(5) $(2^{3 + 1})^{1 - 3}$

對任意實數而言，

3^{- x^{2} + 2 x + 3}

的最大值為何？

(1) $1$
(2) $3$
(3) $9$
(4) $27$
(5) $81$

設

lo g_{k} 3 = \frac{1}{3}

，則

k

的值為

(1) $\frac{1}{27}$
(2) $\frac{1}{3}$
(3) $1$
(4) $3$
(5) $27$

放射性物質的半衰期

T

定義為「每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有

A

、

B

兩種放射性物質，其半衰期分別為

T_{A}

、

T_{B}

。開始記錄時這兩種物質的質量相等，

112

天後測量發現物質

B

的質量為物質

A

的質量的八分之一。根據上述，試問

T_{A}

、

T_{B}

滿足下列哪一個關係式？

(1) $- 3 + \frac{112}{T _{A}} = \frac{112}{T _{B}}$
(2) $3 + \frac{112}{T _{A}} = \frac{112}{T _{B}}$
(3) $- 3 + lo g_{2} \frac{112}{T _{A}} = lo g_{2} \frac{112}{T _{B}}$
(4) $3 + lo g_{2} \frac{112}{T _{A}} = lo g_{2} \frac{112}{T _{B}}$
(5) $3 lo g_{2} \frac{112}{T _{A}} = lo g_{2} \frac{112}{T _{B}}$

下列敘述何者正確？

(1) 若 $lo g_{a} 10 = 2$ ，則 $a = \pm 10$
(2) 設 $m > 1$ 且 $n > 1$ ，則 $lo g_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = lo g_{m} n = lo g_{m^{2}} n^{2}$
(3) 設 $lo g β = - 19.527$ ，則 $- 19$ 代表 $β$ 在小數點後第 $9$ 位開始不為 $0$
(4) 設 $r = lo g_{5} 6$ ， $s = lo g_{6} 5$ ，則 $lo g_{r} s$ 為無理數

二、多選題：所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

如圖

4

個曲線

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

、

Γ_{4}

分別為函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，請選出正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $c > 1$
(3) $a < b$
(4) $b > c$
(5) $c > d$

載入中...

下列各式中，何者無意義？

(1) $lo g_{5} (- 5)$
(2) $lo g_{1} 8$
(3) $lo g_{3} π$
(4) $lo g_{π - 4} 2$
(5) $lo g_{π + 4} (4 - π)$

關於函數

y = lo g x

的圖形敘述，下列何者正確？

(1) 必通過點 $(1000, 3)$
(2) 函數 $y = lo g x$ 的圖形與任何一條水平線（即 $y = k$ ， $k$ 為任意實數）都會相交
(3) 若點 $(a, b)$ 為函數 $y = lo g x$ 圖形上的點，則點 $(a^{2}, 2 b)$ 也在函數 $y = lo g x$ 圖形上
(4) 函數 $y = lo g x$ 的圖形與函數 $y = lo g \frac{1}{x}$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(5) 若函數 $y = f (x)$ 與函數 $y = lo g x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ ，且 $P (\frac{1}{2}, a)$ 為 $y = f (x)$ 圖形上一點，則 $3 \leq a < 4$

令坐標平面上滿足

y = lo g x

的點

(x, y)

所成圖形為

Γ

，試問滿足下列哪些關係式的

(x, y)

所成圖形與

Γ

完全相同？

(1) $5 y = lo g (5 x)$
(2) $2 y = lo g (x^{2})$
(3) $3 y = lo g (x^{3})$
(4) $x = 1 0^{y}$
(5) $x^{4} = 1 0^{(y^{4})}$

關於對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $y = lo g x$ 為嚴格遞增函數
(2) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(3) $y = lo g x$ 與 $y = lo g (- x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(4) $y = lo g x$ 對稱直線 $x = y$ 之後的函數為 $y = 1 0^{x}$
(5) 在 $y = lo g x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正。

三、填充題

求解方程

lo g_{4} (12 - 2^{x + 1}) = x + \frac{1}{2}

，則

x =

____。

解方程式

lo g_{3} (x - 3) + lo g_{3} (x - 5) = 1

，可得

x =

____。

試求

(lo g_{2} 3) (lo g_{3} 4) (lo g_{4} 5) - \frac{1}{lo g _{5} 2}

之值為 ____。

已知

x = lo g_{3} 5

，則

(3)^{2 x} + 9^{- x} =

____。

若

x, y

為實數，

a > 0

，

b > 0

，已知

x - 2 y = 2.8

且

lo g a = 3 x

，

lo g b = 6 y

，則實數

\frac{a}{b}

的整數部分是 ____ 位數。

滿足不等式

lo g (x - 2) < lo g_{100} (8 - x)

之整數解共有 ____ 個。

顥顥將

10

萬元存入銀行，銀行告訴他：年利率為

3%

，每年複利一次。若顥顥希望本利和超過

20

萬時，再領出來使用，則顥顥至少需要等 ____ 年。（答案取整數）（

lo g 1.03 \approx 0.0128

，

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

如圖是

y = lo g_{2} x

的圖形，已知

P (0, lo g_{2} 3)

，

Q (0, lo g_{2} 12)

，

M

是

\overline{P Q}

的中點，過

P

、

M

、

Q

點分別作

x

軸的平行線交

y = lo g_{2} x

的圖形於

A

、

N

、

B

點，試求

N

點的

x

坐標為 ____。

載入中...

坐標平面上，

x

坐標與

y

坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形

y = lo g_{2} x

、

x

軸與直線

x = 8

所圍有界區域的內部（含邊界）共有多少個格子點？ ____

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

。若

6^{50}

是

n

位數字，且最高位數字為

a

，則數對

(n, a) = (

____ , ____

)

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(2)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(1)(2)(4)

第 8 題(1)(2)(3)(5)

第 9 題(3)(4)

第 10 題(1)(2)(3)(4)(5)

第 11 題

1

第 12 題

6

第 13 題

0

第 14 題

\frac{126}{25}

第 15 題

9

第 16 題

1

第 17 題

24

第 18 題

6

第 19 題

21

第 20 題

(39, 8)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：同底比大小、指數上的二次式、由對數值求底數

第 1 題答案 (4)。全部化成以

2

為底：(1)

2^{- 0.9}

；(2)

\frac{1}{1024} = 2^{- 10}

，開四次方得

2^{- \frac{10}{4}} = 2^{- 2.5}

；(3)

(2^{- 2})^{3} = 2^{- 23}

；(4)

0.25 = 2^{- 2}

，

(0.25)^{0.12} = 2^{- 0.24}

；(5) 指數相乘

(3 + 1) (1 - 3) = 1 - 3 = - 2

，得

2^{- 2}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

遞增，指數越大值越大。指數由大到小是

- 0.24 > - 0.9 > - 2 > - 2.5 > - 23

，所以 (4) 最大。

23 \approx 3.46

。底數小於

1

的

(0.25)^{0.12}

指數很小，值接近

1

，反而最大。

第 2 題答案 (5)。指數

- x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4 \leq 4

，等號在

x = 1

時成立。底數

3 > 1

，

y = 3^{t}

遞增，指數最大時值最大，最大值為

3^{4} = 81

。

先求指數部分的最大值，再用指數函數的單調性；若底數小於

1

，就要改求指數的最小值。

第 3 題答案 (5)。由對數的定義，

lo g_{k} 3 = \frac{1}{3}

即

k^{\frac{1}{3}} = 3

，兩邊三次方得

k = 27

。底數

27 > 0

且

27 \neq = 1

，符合底數條件。

代回檢查：

lo g_{27} 3 = \frac{lo g 3}{3 lo g 3} = \frac{1}{3}

。

02單選題（第 4、5 題）：半衰期、對數敘述的判斷

第 4 題

答案 (2)。設開始時兩者質量都是 $m_{0}$ 。經過 $112$ 天，物質 $A$ 經過了 $\frac{112}{T _{A}}$ 個半衰期，剩 $m_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{112}{T _{A}}}$ ；物質 $B$ 剩 $m_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{112}{T _{B}}}$ 。依題意 $B$ 是 $A$ 的 $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ 倍：

$(\frac{1}{2})^{\frac{112}{T _{B}}} = (\frac{1}{2})^{3} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{112}{T _{A}}} = (\frac{1}{2})^{3 + \frac{112}{T _{A}}}$

指數函數是一對一的，所以 $\frac{112}{T _{B}} = 3 + \frac{112}{T _{A}}$ ，就是 (2)。

B

剩得少，表示

B

衰退得快、半衰期較短，

\frac{112}{T _{B}}

比

\frac{112}{T _{A}}

大

3

，與 (2) 一致。

第 5 題答案 (2)。(1) 錯誤：

lo g_{a} 10 = 2

表示

a^{2} = 10

，但底數必須

a > 0

且

a \neq = 1

，所以只有

a = 10

，不能取負。(2) 正確：用換底公式換成常用對數，

lo g_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = \frac{- lo g n}{- lo g m} = \frac{lo g n}{lo g m}

；

lo g_{m} n = \frac{\frac{1}{2} lo g n}{\frac{1}{2} lo g m} = \frac{lo g n}{lo g m}

；

lo g_{m^{2}} n^{2} = \frac{2 lo g n}{2 lo g m} = \frac{lo g n}{lo g m}

，三者都等於

lo g_{m} n

（

m > 1

使底數都大於

0

且不等於

1

）。(3) 錯誤：

- 19.527 = - 20 + 0.473

，所以

β = 1 0^{0.473} \times 1 0^{- 20}

，而

1 < 1 0^{0.473} < 10

，

β

從小數點後第

20

位才開始不為

0

。(4) 錯誤：

s = lo g_{6} 5 = \frac{1}{lo g _{5} 6} = \frac{1}{r}

，所以

lo g_{r} s = lo g_{r} r^{- 1} = - 1

，是有理數。

(3) 負的對數要寫成「負整數＋介於

0

與

1

之間的小數」，

- 19.527

的整數部分是

- 20

；若首數是

- k

，就從小數點後第

k

位開始不為

0

。(4) 的

r = lo g_{5} 6 \approx 1.113

，不等於

1

，可以當底數。

03多選題（第 6、7 題）：由圖形比較底數、對數有意義的條件

第 6 題答案 (1)(3)(4)。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

由左往右上升，底數大於

1

：

a > 1

、

b > 1

；

Γ_{3}

、

Γ_{4}

由左往右下降，底數介於

0

與

1

之間：

0 < c < 1

、

0 < d < 1

。在

x = 1

處（

y

軸右側），

Γ_{2}

在

Γ_{1}

上方，所以

b^{1} > a^{1}

，

b > a

；在

x = - 1

處（

y

軸左側），

Γ_{3}

在

Γ_{4}

上方，所以

c^{- 1} > d^{- 1}

，即

\frac{1}{c} > \frac{1}{d}

，

c < d

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

c < 1

。(3) 正確。

a < b

。(4) 正確。

b > 1 > c

。(5) 錯誤。

c < d

。

y

軸右側越陡（越高）的遞增曲線底數越大；

y

軸左側越高的遞減曲線底數越小（越接近

0

）。

第 7 題答案 (1)(2)(4)。

lo g_{a} b

有意義的條件是底數

a > 0

、

a \neq = 1

，且真數

b > 0

。(1) 正確（無意義）。 真數

- 5 < 0

。(2) 正確（無意義）。 底數是

1

。(3) 錯誤（有意義）。 底數

3 > 0

且不等於

1

，真數

π > 0

。(4) 正確（無意義）。

π \approx 3.14

，底數

π - 4 < 0

。(5) 錯誤（有意義）。 底數

π + 4 > 1

，真數

4 - π > 0

。

本題問「無意義」，選的是違反底數或真數條件的選項。

04多選題（第 8～10 題）：常用對數函數圖形的性質

第 8 題答案 (1)(2)(3)(5)。(1) 正確。

lo g 1000 = 3

。(2) 正確。 對任意實數

k

，取

x = 1 0^{k} > 0

，就有

lo g x = k

，所以

y = lo g x

的值域是所有實數，與每條水平線都相交（恰交一點）。(3) 正確。

b = lo g a

（

a > 0

），則

lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b

，點

(a^{2}, 2 b)

在圖形上。(4) 錯誤。

lo g \frac{1}{x} = - lo g x

，點

(p, q)

在

y = lo g x

上時，

(p, - q)

在

y = lo g \frac{1}{x}

上，兩圖形對稱於

x

軸，不是

y

軸。(5) 正確。 與

y = lo g x

對稱於直線

y = x

的圖形是

y = 1 0^{x}

，所以

a = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

；

3^{2} = 9 < 10 < 16 = 4^{2}

，

3 < 10 < 4

。

(4) 兩圖形的定義域都是

x > 0

，不可能對稱於

y

軸（對稱於

y

軸的是

y = lo g (- x)

）。(5)

10 \approx 3.162

。

第 9 題答案 (3)(4)。

Γ

是所有滿足

x > 0

且

y = lo g x

的點。(1) 錯誤。

5 y = lo g 5 + lo g x

，

y = \frac{lo g 5 + lo g x}{5}

，例如點

(1, 0)

在

Γ

上，但

5 \cdot 0 \neq = lo g 5

。(2) 錯誤。

lo g (x^{2})

只要

x \neq = 0

就有意義，例如

(- 1, 0)

滿足

2 \cdot 0 = lo g 1

，但不在

Γ

上（

x > 0

時才等價於

y = lo g x

）。(3) 正確。

lo g (x^{3})

有意義要

x^{3} > 0

，即

x > 0

，此時

3 y = 3 lo g x

，

y = lo g x

，圖形完全相同。(4) 正確。

x = 1 0^{y}

會使

x > 0

，且由對數的定義

x = 1 0^{y}

等價於

y = lo g x

。(5) 錯誤。 例如

(10, 1)

在

Γ

上，但

1 0^{4} \neq = 1 0^{1}

；又

(1, 0)

與

(- 1, 0)

都滿足

x^{4} = 1 0^{0} = 1

，

(- 1, 0)

卻不在

Γ

上。

判斷「圖形完全相同」要兩個方向都檢查：

Γ

上的點要滿足新式子，滿足新式子的點也要都在

Γ

上；改寫時多出來的負的

x

最容易漏看。

第 10 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)。(1) 正確。 底數

10 > 1

，

y = lo g x

嚴格遞增。(2) 正確。

lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{10}} = - lo g x

，兩圖形對稱於

x

軸。(3) 正確。 點

(p, q)

在

y = lo g x

上時，

(- p, q)

滿足

q = lo g (- (- p))

，在

y = lo g (- x)

上，兩圖形對稱於

y

軸。(4) 正確。 把

y = lo g x

的

x

、

y

互換得

x = lo g y

，即

y = 1 0^{x}

。(5) 正確。 設

A (x_{1}, lo g x_{1})

、

B (x_{2}, lo g x_{2})

，

x_{1} \neq = x_{2}

。因為

y = lo g x

嚴格遞增，

x_{2} - x_{1}

與

lo g x_{2} - lo g x_{1}

同號，斜率

\frac{lo g x _{2} - lo g x _{1}}{x _{2} - x _{1}} > 0

。

(2) 底數互為倒數的兩個對數函數，圖形對稱於

x

軸；(4) 指數與對數函數互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

。

05填充 A～E（第 11～15 題）：對數方程式、換底公式、指對互逆、位數

第 11 題由對數的定義，

12 - 2^{x + 1} = 4^{x + \frac{1}{2}} = 2 \cdot 4^{x}

。令

u = 2^{x} > 0

，得

12 - 2 u = 2 u^{2}

，即

u^{2} + u - 6 = 0

，

(u + 3) (u - 2) = 0

。

u > 0

，所以

u = 2

，

x = 1

。檢查真數：

12 - 2^{2} = 8 > 0

。

代回：

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}

，成立。

第 12 題真數條件：

x - 3 > 0

且

x - 5 > 0

，即

x > 5

。由對數律，

lo g_{3} [(x - 3) (x - 5)] = 1

，

(x - 3) (x - 5) = 3

，

x^{2} - 8 x + 12 = 0

，

(x - 2) (x - 6) = 0

，

x = 2

或

x = 6

。

x = 2

不合真數條件，所以

x = 6

。

代回：

lo g_{3} 3 + lo g_{3} 1 = 1 + 0 = 1

。

x = 2

會讓兩個真數都是負的，要捨去。

第 13 題用換底公式：

(lo g_{2} 3) (lo g_{3} 4) (lo g_{4} 5) = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 4} = \frac{lo g 5}{lo g 2} = lo g_{2} 5

；而

\frac{1}{lo g _{5} 2} = \frac{lo g 5}{lo g 2} = lo g_{2} 5

。所以原式

= lo g_{2} 5 - lo g_{2} 5 = 0

。

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c

，連乘時中間的底數與真數會一層層消去。

第 14 題

x = lo g_{3} 5

即

3^{x} = 5

。

(3)^{2 x} = (3^{\frac{1}{2}})^{2 x} = 3^{x} = 5

；

9^{- x} = (3^{x})^{- 2} = 5^{- 2} = \frac{1}{25}

。所以原式

= 5 + \frac{1}{25} = \frac{126}{25}

。

126

與

25

互質，已是最簡分數，與答案卡「分子三格、分母兩格」的形式相符。

第 15 題

lo g \frac{a}{b} = lo g a - lo g b = 3 x - 6 y = 3 (x - 2 y) = 3 \times 2.8 = 8.4

。所以

\frac{a}{b} = 1 0^{8.4} = 1 0^{0.4} \times 1 0^{8}

，而

1 < 1 0^{0.4} < 10

，即

1 0^{8} < \frac{a}{b} < 1 0^{9}

，整數部分是

9

位數。

首數（

lo g

值的整數部分）是

8

，整數部分的位數是

8 + 1 = 9

。

06填充 F、G（第 16、17 題）：對數不等式、複利

第 16 題真數條件：

x - 2 > 0

且

8 - x > 0

，即

2 < x < 8

。換底：

lo g_{100} (8 - x) = \frac{lo g ( 8 - x )}{lo g 100} = \frac{1}{2} lo g (8 - x)

，不等式化為

2 lo g (x - 2) < lo g (8 - x)

，即

lo g (x - 2)^{2} < lo g (8 - x)

。底數

10 > 1

，

y = lo g x

遞增，所以

(x - 2)^{2} < 8 - x

，

x^{2} - 3 x - 4 < 0

，

(x - 4) (x + 1) < 0

，

- 1 < x < 4

。與真數條件取交集得

2 < x < 4

，整數解只有

x = 3

，共

1

個。

代回

x = 3

：左邊

lo g 1 = 0

，右邊

lo g_{100} 5 > 0

，成立；

x = 4

時兩邊都是

lo g 2

，不等號不成立。

第 17 題

n

年後本利和為

10 (1.03)^{n}

萬元。要

10 (1.03)^{n} > 20

，即

(1.03)^{n} > 2

。兩邊取常用對數，

n lo g 1.03 > lo g 2

，

n > \frac{0.3010}{0.0128} \approx 23.5

。

n

是正整數，至少要等

24

年。

\frac{0.3010}{0.0128} = 23.515625

；直接計算

(1.03)^{23} \approx 1.974 < 2

，

(1.03)^{24} \approx 2.033 > 2

，結果一致。

07填充 H～J（第 18～20 題）：對數圖形上的中點、格子點、位數與最高位數字

第 18 題

M

是

\overline{P Q}

的中點，所以

M

的縱坐標是

\frac{lo g _{2} 3 + lo g _{2} 12}{2} = \frac{lo g _{2} 36}{2} = lo g_{2} 36 = lo g_{2} 6

。過

M

的水平線交

y = lo g_{2} x

於

N

，

N

的縱坐標

lo g_{2} x = lo g_{2} 6

，

y = lo g_{2} x

是一對一的，所以

x = 6

。

縱坐標取算術平均，對應的橫坐標是幾何平均：

3 \times 12 = 6

，不是

\frac{3 + 12}{2} = 7.5

。

第 19 題區域是

1 \leq x \leq 8

、

0 \leq y \leq lo g_{2} x

。逐條鉛直線

x = k

（

k = 1, 2, \dots, 8

）數

y

為整數且

0 \leq y \leq lo g_{2} k

的點，個數是

lo g_{2} k

的整數部分加

1

：

k = 1

時

lo g_{2} 1 = 0

，

1

個；

k = 2, 3

時

1 \leq lo g_{2} k < 2

，各

2

個；

k = 4, 5, 6, 7

時

2 \leq lo g_{2} k < 3

，各

3

個；

k = 8

時

lo g_{2} 8 = 3

，

4

個。共

1 + 2 \times 2 + 3 \times 4 + 4 = 21

個。

x

軸上的

(1, 0)

到

(8, 0)

這

8

個點、曲線上的

(2, 1)

、

(4, 2)

、

(8, 3)

都在邊界上，要算進去。

第 20 題

lo g 6^{50} = 50 (lo g 2 + lo g 3) = 50 \times 0.7781 = 38.905

。首數是

38

，所以

6^{50}

是

39

位數，

n = 39

。尾數

0.905

：

lo g 8 = 3 lo g 2 = 0.9030

，

lo g 9 = 2 lo g 3 = 0.9542

，

0.9030 < 0.905 < 0.9542

，所以

6^{50} = 1 0^{0.905} \times 1 0^{38}

的

1 0^{0.905}

介於

8

與

9

之間，最高位數字

a = 8

。數對

(n, a) = (39, 8)

。

用更精確的值

lo g 6 \approx 0.778151

，

50 lo g 6 \approx 38.9076

，結論相同。

指對數的題目先寫條件（底數大於

0

且不等於

1

、真數大於

0

、代換後新變數的範圍），再化成同底或代換成多項式來解；判斷圖形是否相同、對稱與否，都回到「點

(p, q)

在不在圖形上」來檢查。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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多選第 9 題要注意改寫後的式子會不會多出 x 為負的點；單選第 5 題的負對數要先寫成負整數加上零到一之間的小數；填充 I（本頁第 19 題）要逐條直線數格子點、別漏了 x 軸上的點；填充 F（本頁第 16 題）兩邊要先換成同底，再和真數條件取交集。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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02單選題（第 4、5 題）：半衰期、對數敘述的判斷

03多選題（第 6、7 題）：由圖形比較底數、對數有意義的條件

04多選題（第 8～10 題）：常用對數函數圖形的性質

05填充 A～E（第 11～15 題）：對數方程式、換底公式、指對互逆、位數

06填充 F、G（第 16、17 題）：對數不等式、複利

07填充 H～J（第 18～20 題）：對數圖形上的中點、格子點、位數與最高位數字

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平鎮高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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