明倫高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

兩直線平行（或重合）的條件是 $x$、$y$ 係數成比例：$\frac{2}{-k}=\frac{k}{-2}$，得 $k^2=4$，$k=\pm 2$。但還要檢查是不是重合：

$k=2$：$L_1:2x+2y=4$ 即 $x+y=2$，$L_2:-2x-2y=4$ 即 $x+y=-2$，兩線平行。

$k=-2$：$L_1:2x-2y=4$ 即 $x-y=2$，$L_2:2x-2y=4$ 即 $x-y=2$，兩線是同一條直線（重合），不算平行。

所以只有 $k=2$，敘述錯誤。

設圓心 $(h,k)$、半徑 $r$。$(1,-3)$ 在圓內：$(h-1{)}^2+(k+3{)}^2<r^2$；$(-3,-1)$ 在圓外：$(h+3{)}^2+(k+1{)}^2>r^2$。所以

$$(h-1{)}^2+(k+3{)}^2<(h+3{)}^2+(k+1{)}^2$$

展開：$-2h+1+6k+9<6h+9+2k+1$，整理得 $4k<8h$，即 $k<2h$。

若圓心在第二象限，$h<0$ 且 $k>0$，則 $2h<0<k$，與 $k<2h$ 矛盾。所以圓心不可能在第二象限，敘述正確。

答案 (C)。著色區域在 $L_2:2x+y=4$ 的右上方：取區域內一點 $(2,3)$，$2\times 2+3=7>4$，且 $L_2$ 畫成實線（邊界上的點包含在內），所以是 $2x+y\ge 4$。

著色區域在 $L_1:x-y=2$ 的左上方：$(2,3)$ 代入 $x-y=-1<2$，且 $L_1$ 畫成虛線（邊界不含），交點 $(2,0)$ 也畫成空心，所以是 $x-y<2$。

合起來是 (C)。

答案 (B)。$b\ne 0$ 時，$L$ 可寫成 $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$，斜率 $-\frac{a}{b}$，$y$ 截距 $-\frac{c}{b}$。

由 $\frac{a}{b}<0$ 得斜率 $-\frac{a}{b}>0$；由 $\frac{c}{b}<0$ 得 $y$ 截距 $-\frac{c}{b}>0$。所以 $L$ 是往右上升、與 $y$ 軸交在原點上方的直線。

(A) 水平線斜率為 $0$；(C) 斜率正但 $y$ 截距在原點下方；(D) 斜率負；(E) 斜率負、$y$ 截距為負。只有 (B) 符合。

答案 (D)。圓心 $(3,4)$、半徑 $3$。到直線 $3x-4y+2=0$ 距離為 $2$ 的點，落在兩條與它平行、距離 $2$ 的直線上：$3x-4y+2=\pm 10$，即 $3x-4y+12=0$ 與 $3x-4y-8=0$。

圓心到 $3x-4y+12=0$ 的距離 $\frac{|9-16+12|}{5}=1<3$，交圓於 $2$ 點；

圓心到 $3x-4y-8=0$ 的距離 $\frac{|9-16-8|}{5}=3$，等於半徑，相切，交圓於 $1$ 點。

共 $3$ 個點。

答案 (A)。$L_1$、$L_2$ 平行，兩線截出的弦等長，表示圓心到兩線的距離相等，所以圓心在兩線正中間。兩平行線的距離為 $\frac{|6-(-18)|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}$，圓心到每一條的距離（弦心距）是 $6\sqrt{2}$。

弦長 $24$，半弦長 $12$，所以 $r^2=(6\sqrt{2}{)}^2+12^2=72+144=216$，面積 $216\pi$。

答案 (C)(E)。

(A) 錯誤。 令 $x=0$：$-13y=1001$，$y=-77$，$y$ 軸截距是 $-77$。

(B) 錯誤。 令 $y=0$：$11x=1001$，$x=91$，交點 $(91,0)$。過這點而沒有斜率的直線是鉛直線 $x=91$；$y=0$ 是 $x$ 軸，斜率為 $0$。

(C) 正確。 $y=mx-(13m+66)$ 可寫成 $y+66=m(x-13)$，不論 $m$ 為何都通過 $(13,-66)$。而 $11\times 13-13\times (-66)=143+858=1001$，$(13,-66)$ 在 $L$ 上，所以兩線一定有交點（$m=\frac{11}{13}$ 時兩線重合，也有交點）。

(D) 錯誤。 $y=\frac{11}{13}x-50$ 與 $L$（斜率 $\frac{11}{13}$）平行。取它上面的點 $(0,-50)$；$L$ 上同一高度 $y=-50$ 的點滿足 $11x=1001-650=351$，$x=\frac{351}{11}>0$，所以 $(0,-50)$ 在 $L$ 的左方。整條平行線都在 $L$ 的左半面，不在右半面。

(E) 正確。 把點代入 $11x-13y-1001$：$(10\pi ,-2\pi )$ 得 $110\pi +26\pi -1001=136\pi -1001$，因為 $136\pi <136\times 3.2=435.2<1001$，值為負；$(0,0)$ 得 $-1001$，也為負。同號，所以在同一側。

答案 (B)(D)。兩邊除以 $4$：$x^2+y^2-2x+4y+\frac{k}{4}=0$，配方得

$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5-\frac{k}{4}=\frac{20-k}{4}$$

(A) 錯誤。 $(1,-2)$ 是圓心，不在圓上。

(B) 正確。 題目說它是圓，半徑平方 $\frac{20-k}{4}$ 必須大於 $0$，所以 $k<20$。

(C) 錯誤。 半徑是 $\sqrt{\frac{20-k}{4}}=\frac{\sqrt{20-k}}{2}$，不是 $\frac{20-k}{4}$。

(D) 正確。 圓心 $(1,-2)$ 代入：$3\times 1+5\times (-2)=-7$，直線通過圓心，與圓交於兩點，是割線。

(E) 錯誤。 平分圓面積的直線一定通過圓心；過圓心且斜率 $-3$ 的直線只有一條。

答案 (A)(D)(E)（本題選錯誤的敘述）。$Q$ 看到的最高點 $P$ 是視線與圓相切的切點，所以 $\overleftrightarrow{PQ}$ 是過 $P$ 的切線。圓心 $M(0,6)$，半徑 $r=\overline{MP}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。

(A) 錯誤。 半徑 $2\sqrt{13}$ 不是整數。

(B) 正確。 卷面的 $\overline{PQ}$ 在這裡指直線 $PQ$。$\overline{MP}$ 的斜率為 $\frac{10-6}{6-0}=\frac{2}{3}$，切線垂直於半徑，斜率為 $-\frac{3}{2}$：$y-10=-\frac{3}{2}(x-6)$，整理得 $3x+2y=38$。

(C) 正確。 圓方程式 $x^2+(y-6{)}^2=52$，令 $y=0$：$x^2=16$，$x=\pm 4$，$A(-4,0)$、$B(4,0)$，$\overline{AB}=8$。

(D) 錯誤。 切線令 $y=0$：$3x=38$，$Q\left(\frac{38}{3},0\right)$，$\overline{BQ}=\frac{38}{3}-4=\frac{26}{3}$，不是 $\frac{14}{3}$。

(E) 錯誤。 圓方程式 $x^2+(y-6{)}^2=52$ 展開為 $x^2+y^2-12y=16$，不是 $x^2+y^2-12x=52$。

答案 $\frac{12}{7}$。圖形向下移 $a$：把 $y$ 換成 $y+a$，得 $2x+3(y+a)=6$；再向左移 $2a$：把 $x$ 換成 $x+2a$，得 $2(x+2a)+3(y+a)=6$，即 $2x+3y=6-7a$。

與 $2x+3y=-6$ 相同，所以 $6-7a=-6$，$a=\frac{12}{7}$。

答案 $2$。颱風路徑是直線 $AB$：斜率 $\frac{-7-(-10)}{6-10}=-\frac{3}{4}$，$y+10=-\frac{3}{4}(x-10)$，整理得 $3x+4y+10=0$。

原點到這條直線的距離為 $\frac{|0+0+10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$。

還要確認最近點在颱風「前進」的方向上：颱風由 $A(10,-10)$ 經 $B(6,-7)$ 往 $x$ 變小的方向走；原點在路徑上的垂足是 $H\left(-\frac{6}{5},-\frac{8}{5}\right)$，它的 $x$ 坐標 $-\frac{6}{5}<6<10$，在 $B$ 的前方，所以颱風會經過 $H$，最近距離為 $2$。

答案 $k\le 0$。令 $f(x,y)=x-ky-5$。線段 $\overline{AB}$ 與 $L$ 有交點，表示 $A$、$B$ 不在 $L$ 的同一側（或有一點在 $L$ 上），即 $f(A)\cdot f(B)\le 0$。

$f(5,1)=5-k-5=-k$，$f(-7,0)=-7-5=-12$，所以 $(-k)(-12)=12k\le 0$，$k\le 0$。

答案 $(-3,-2)$。$\overline{AB}$ 的斜率 $\frac{13-(-2)}{2-(-3)}=3$，$\overline{AC}$ 的斜率 $\frac{-5-(-2)}{6-(-3)}=-\frac{1}{3}$，兩者相乘為 $-1$，所以 $\angle A=90^{\circ }$。

直角三角形中，兩股 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 本身就是兩條高，交於直角頂點，所以垂心就是 $A(-3,-2)$。

答案 $\frac{23}{2}$。四個條件是 $x\le 5$、$y\ge 0$、$x+y\le 7$、$3x+2y\ge 12$。求邊界交點：

$y=0$ 與 $3x+2y=12$：$(4,0)$；$y=0$ 與 $x=5$：$(5,0)$；$x=5$ 與 $x+y=7$：$(5,2)$；$x+y=7$ 與 $3x+2y=12$：$x=-2$、$y=9$，即 $(-2,9)$。

可行解區域是四邊形，頂點 $(4,0)$、$(5,0)$、$(5,2)$、$(-2,9)$。

用割補：只看 $y\ge 0$、$x+y\le 7$、$3x+2y\ge 12$ 是三角形，頂點 $(4,0)$、$(7,0)$、$(-2,9)$，面積 $\frac{1}{2}\times 3\times 9=\frac{27}{2}$；再扣掉 $x>5$ 的小三角形 $(5,0)$、$(7,0)$、$(5,2)$，面積 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。所求 $\frac{27}{2}-2=\frac{23}{2}$。

答案 $(-11,9)$。令 $f(x,y)=2x+3y-5$：$f(3,-9)=-26$，$f(-22,12)=-13$，同號，兩點在 $L$ 的同一側，所以要先取 $A$ 對 $L$ 的對稱點 $A^{\prime }$。

設 $A^{\prime }(p,q)$。$\overline{A{A}^{\prime }}$ 垂直 $L$：$L$ 的斜率 $-\frac{2}{3}$，所以 $\frac{q+9}{p-3}=\frac{3}{2}$，即 $q=\frac{3}{2}p-\frac{27}{2}$；$\overline{A{A}^{\prime }}$ 的中點 $\left(\frac{p+3}{2},\frac{q-9}{2}\right)$ 在 $L$ 上：$2\cdot \frac{p+3}{2}+3\cdot \frac{q-9}{2}-5=0$，即 $2p+3q=31$。代入得 $2p+\frac{9}{2}p-\frac{81}{2}=31$，$p=11$，$q=3$，$A^{\prime }(11,3)$。

反射光線的延長線通過 $A^{\prime }$，所以 $P$ 是直線 $A^{\prime }(11,3)$、$(-22,12)$ 與 $L$ 的交點。這條直線斜率 $\frac{12-3}{-22-11}=-\frac{3}{11}$，方程式 $3x+11y=66$。與 $2x+3y=5$ 聯立：乘開得 $6x+22y=132$、$6x+9y=15$，相減 $13y=117$，$y=9$，$x=\frac{5-27}{2}=-11$。$P(-11,9)$。

答案 $23$。$\sqrt{a^2+b^2}$ 是圓上點 $(a,b)$ 到原點的距離。圓心 $(15,-8)$ 到原點的距離 $\sqrt{15^2+8^2}=17$，半徑 $\sqrt{37}$，原點在圓外（$17>\sqrt{37}$）。

圓上點到原點的距離範圍是 $17-\sqrt{37}$ 到 $17+\sqrt{37}$，中間每個值都取得到。因為 $6<\sqrt{37}<7$，最大值 $17+\sqrt{37}$ 介於 $23$ 與 $24$ 之間，所以範圍內最大的整數是 $23$。

答案 $x=7$ 或 $3x+4y-33=0$。配方：$(x-5{)}^2+(y-2{)}^2=4$，圓心 $(5,2)$、半徑 $2$。$P(7,3)$ 到圓心距離 $\sqrt{4+1}=\sqrt{5}>2$，在圓外，有兩條切線。

鉛直線 $x=7$：圓心到它的距離 $|7-5|=2$，等於半徑，是一條切線。

其他切線設為 $y-3=m(x-7)$，即 $mx-y+3-7m=0$。圓心到它的距離等於 $2$：$\frac{|5m-2+3-7m|}{\sqrt{m^2+1}}=2$，即 $|1-2m|=2\sqrt{m^2+1}$，平方得 $1-4m+4m^2=4m^2+4$，$m=-\frac{3}{4}$。切線 $y-3=-\frac{3}{4}(x-7)$，整理得 $3x+4y-33=0$。

答案 $7x+3y-42=0$。設 $L$ 的截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（$a>0$、$b>0$），通過 $(3,7)$：$\frac{3}{a}+\frac{7}{b}=1$。面積為 $\frac{1}{2}ab$。

由算幾不等式：$1=\frac{3}{a}+\frac{7}{b}\ge 2\sqrt{\frac{21}{ab}}$，兩邊平方得 $1\ge \frac{84}{ab}$，即 $ab\ge 84$，面積 $\ge 42$。

等號成立時 $\frac{3}{a}=\frac{7}{b}=\frac{1}{2}$，$a=6$、$b=14$。$L:\frac{x}{6}+\frac{y}{14}=1$，乘 $42$ 得 $7x+3y-42=0$。

答案 $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=10$。圓 $C$：$(x-1{)}^2+y^2=6$，圓心 $C(1,0)$。切線垂直於過切點的半徑，所以 $\angle PQC=\angle PRC=90^{\circ }$，$Q$、$R$ 都在以 $\overline{PC}$ 為直徑的圓上，這個圓就是 $△PQR$ 的外接圓。

圓心是 $\overline{PC}$ 的中點 $\left(\frac{-5+1}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(-2,1)$，半徑 $\frac{1}{2}\overline{PC}=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{10}$。所求 $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=10$。

答案 $\left(-\frac{9}{5},\frac{12}{5}\right)$。$\overline{AB}=\overline{AC}$，$A$ 在 $\overline{BC}$ 的中垂線上；$\overline{BC}$ 是圓的弦，弦的中垂線通過圓心 $O(0,0)$。

$\overline{BC}$ 與 $3x-4y=29$ 平行，斜率 $\frac{3}{4}$，中垂線斜率 $-\frac{4}{3}$，方程式 $y=-\frac{4}{3}x$。

與 $x^2+y^2=9$ 聯立：$x^2+\frac{16}{9}{x}^2=9$，$x^2=\frac{81}{25}$，$x=\pm \frac{9}{5}$。$A$ 在第二象限取 $x=-\frac{9}{5}$，$y=\frac{12}{5}$。