正義高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。由 $C$ 往回走：$B$ 與 $C$ 的 $x$ 坐標相同、$y$ 坐標少 $4$，得 $B(1,-3)$；$A$ 與 $B$ 的 $y$ 坐標相同、$x$ 坐標少 $5$，得 $A(-4,-3)$（由圖，$A$ 在 $B$ 的左方、$C$ 在 $B$ 的上方）。直線 $AC$ 的斜率為 $\frac{1-(-3)}{1-(-4)}=\frac{4}{5}$，方程式為 $y-1=\frac{4}{5}(x-1)$，即 $4x-5y=-1$。

逐一代入：(A) $4(-4)-5(-3)=-1$，在直線上（這就是 $A$ 點本身）；(B) $20-20=0$；(C) $8-10=-2$；(D) $24+15=39$；(E) $-8+5=-3$，都不等於 $-1$。

答案 (C)。$\overline{BC}$ 上的中線通過 $A$ 與 $\overline{BC}$ 的中點；$\overline{AB}$ 上的中線通過 $C$ 與 $\overline{AB}$ 的中點。

設 $A(p,q)$：$A$ 在 $L_1$ 上，$3p+q=12$；$\overline{AB}$ 的中點 $\left(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2}\right)$ 在 $L_2$ 上，化簡得 $3p-7q+36=0$。兩式聯立得 $p=2$，$q=6$，$A(2,6)$。

設 $C(s,t)$：$C$ 在 $L_2$ 上，$3s-7t+20=0$；$\overline{BC}$ 的中點 $\left(\frac{s+1}{2},\frac{t+1}{2}\right)$ 在 $L_1$ 上，化簡得 $3s+t-20=0$。兩式聯立得 $t=5$，$s=5$，$C(5,5)$。

(A)(B) 都錯。(C) 重心 $\left(\frac{1+2+5}{3},\frac{1+6+5}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},4\right)$，正確。直線 $AC$ 的斜率 $\frac{5-6}{5-2}=-\frac{1}{3}$，方程式 $y-6=-\frac{1}{3}(x-2)$，即 $x+3y=20$，所以 (D)(E) 都錯。

答案 (A)。令 $f(x,y)=y-2x$，$g(x,y)=y+3x-5$。四個區域由 $f$、$g$ 的正負區分。點 $(1,1)$：$f=-1<0$，$g=-1<0$。

(A) $(20,-56)$：$f=-96<0$，$g=-1<0$，與 $(1,1)$ 同區域。(B) $(13,-33)$：$g=1>0$。(C) $(-1,1)$：$f=3>0$。(D) $(-15,-29)$：$f=1>0$。(E) $(-20,-29)$：$f=11>0$。只有 (A) 兩個值都是負的。

答案 (D)。$L$：$2x-y=0$。$A(1,0)$ 到 $L$ 的距離為 $\frac{|2-0|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。到 $L$ 距離為 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 的點，在與 $L$ 平行的兩條直線 $2x-y=2$ 與 $2x-y=-2$ 上。

圓心 $O(0,0)$ 到這兩條直線的距離都是 $\frac{2}{\sqrt{5}}$，小於半徑 $1$，所以每條直線各與單位圓交於 $2$ 點，共 $4$ 點。$A$ 在 $2x-y=2$ 上，是其中之一，所以除了 $A$ 之外還有 $3$ 個點。

答案 (D)。三角形區域內的點，在每一條邊所在直線上都與對面的頂點同一側。頂點由圖與方程式可驗證為 $A(-1,2)$、$B(2,1)$、$C(3,5)$。

直線 $AB$：代入對面頂點 $C$，$3+15-5=13>0$，取 $x+3y-5\ge 0$。

直線 $BC$：代入 $A$，$-4-2-7=-13<0$，取 $4x-y-7\le 0$。

直線 $AC$：代入 $B$，$6-4+11=13>0$，取 $3x-4y+11\ge 0$。

三個不等號依序為 $\ge$、$\le$、$\ge$，是選項 (D)。

答案 (D)(E)。由圖：$L_1$ 斜率為正、比較陡，$x$ 截距為正、$y$ 截距為負；$L_2$ 斜率為正、比較緩，$x$ 截距為負、$y$ 截距為正。

$L_1$：$x+ay+b=0$ 的斜率為 $-\frac{1}{a}>0$，所以 $a<0$；令 $y=0$ 得 $x$ 截距 $-b>0$，所以 $b<0$。

$L_2$：$x+cy+d=0$ 的斜率為 $-\frac{1}{c}>0$，所以 $c<0$；$x$ 截距 $-d<0$，所以 $d>0$。

(A) 錯誤。 $a<0$。(B) 錯誤。 $b<0$。(C) 錯誤。 $c<0$。(D) 正確。 $d>0$。

(E) 正確。 $L_1$ 比 $L_2$ 陡，$-\frac{1}{a}>-\frac{1}{c}>0$，即 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|c|}$，$|a|<|c|$；$a$、$c$ 都是負數，所以 $a>c$。

答案 (A)(C)(E)。

(A) 正確。 $a>0$ 時，取 $x$ 夠大的正數（例如 $x>\frac{|b|}{a}$），$y=ax+b>0$，點在第一象限。

(B) 錯誤。 反例：$a=-1$，$b=-1$，$y=-x-1$；$x>0$ 時 $y<-1<0$，不通過第一象限。

(C) 正確。 $b>0$ 時：若 $a\ge 0$，任取 $x>0$ 都有 $y\ge b>0$；若 $a<0$，取 $x=\frac{b}{-2a}>0$，得 $y=\frac{b}{2}>0$。這些點都在第一象限。

(D) 錯誤。 同 (B) 的反例，$b=-1<0$ 但不通過第一象限。

(E) 正確。 $ab<0$ 表示 $a>0$、$b<0$ 或 $a<0$、$b>0$，分別由 (A)、(C) 知會通過第一象限。

答案 (A)(B)(E)。硬幣與一直線交於兩點 ⇔ 圓心到該直線的距離小於半徑 $2$。設圓心 $(x_0,y_0)$，令 $v=3x_0-4y_0$，則到 $L_1$ 的距離為 $\frac{|v|}{5}$，到 $L_2$ 的距離為 $\frac{|v+15|}{5}$。兩者都小於 $2$：$|v|<10$ 且 $|v+15|<10$，得 $-10<v<-5$。

(A) 正確。 $v=6-12=-6$。

(B) 正確。 $v=\frac{3}{2}-8=-\frac{13}{2}$。

(C) 錯誤。 $v=-6-4=-10$，到 $L_2$ 的距離 $\frac{|-10+15|}{5}=1$，但到 $L_1$ 的距離為 $2$，與 $L_1$ 相切，只有一個交點。

(D) 錯誤。 $v=12-12=0$，圓心在 $L_1$ 上，到 $L_2$ 的距離 $3>2$，與 $L_2$ 不相交。

(E) 正確。 $v=3\sqrt{3}-8\sqrt{3}=-5\sqrt{3}$，$5\sqrt{3}$ 介於 $5$ 與 $10$ 之間（$75$ 介於 $25$ 與 $100$ 之間），所以 $-10<v<-5$。

答案 (A)(B)(C)。這是以 $(3,4)$ 為圓心、$\sqrt{5}$ 為半徑的圓。

(A) 正確。 右邊 $5>0$，圖形是圓。

(B) 正確。 直線 $y=4$ 通過圓心，圓對稱於任何一條過圓心的直線。

(C) 正確。 圓心代入 $3\cdot 3-2\cdot 4-1=0$，直線通過圓心，圖形對稱於它。

(D) 錯誤。 原點代入左邊得 $9+16=25\ne 5$。

(E) 錯誤。 面積為 $\pi (\sqrt{5}{)}^2=5\pi$。

答案 (C)(D)。配方：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$，圓心 $O(1,2)$，半徑 $5$。

(A) 錯誤。 半徑是 $5$，不是 $25$。

(B) 錯誤。 $B(4,6)$ 代入 $(4-1{)}^2+(6-2{)}^2=25$，$B$ 在圓上，切線垂直於半徑 $\overrightarrow{OB}=(3,4)$，切線為 $3(x-4)+4(y-6)=0$，即 $3x+4y-36=0$，不是 $3x-4y-36=0$（$B$ 代入 $3x-4y-36$ 得 $-48\ne 0$，連 $B$ 都不經過）。

(C) 正確。 $\overline{AO}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。圓上離 $A$ 最遠的點在直線 $AO$ 上、圓心的另一側，從 $O$ 沿 $\overrightarrow{AO}=(-8,-6)$ 的方向走半徑 $5$（$\overrightarrow{AO}$ 的一半）：$(1-4,2-3)=(-3,-1)$。

(D) 正確。 切線段長 $\overline{AP}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。$\overline{PQ}$ 垂直於 $\overline{AO}$ 且被 $\overline{AO}$ 平分，在直角 $△APO$ 中，$P$ 到斜邊 $\overline{AO}$ 的距離為 $\frac{\overline{AP}\cdot \overline{PO}}{\overline{AO}}=\frac{5\sqrt{3}\cdot 5}{10}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，所以 $\overline{PQ}=5\sqrt{3}$。

(E) 錯誤。 圓心到 $L$ 的距離為 $\frac{|6+16-47|}{10}=\frac{5}{2}$。與 $L$ 距離 $\frac{5}{2}$ 的點在兩條平行線上：一條通過圓心（距圓心 $0$，與圓交於 $2$ 點），另一條在 $L$ 的另一側、距圓心 $5$（等於半徑，與圓相切於 $1$ 點）。共 $3$ 個點，不是恰有兩個。

三條邊界線兩兩的交點：$y=0$ 與 $y=2x$ 交於 $(0,0)$；$y=0$ 與 $x+2y=5$ 交於 $(5,0)$；$y=2x$ 與 $x+2y=5$ 聯立，$5x=5$，交於 $(1,2)$。

用點 $(1,1)$ 檢查：$2-1\ge 0$、$1+2-5\le 0$、$1\ge 0$ 都成立，且在這三點所圍的三角形內，所以 $S$ 就是這個三角形。底 $5$、高 $2$，面積 $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$。

配方：${\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}$，圓心 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)=(2,-1)$，得 $a=-4$，$b=2$。半徑平方 $=\frac{16+4}{4}=5$，半徑 $\sqrt{5}$。

也可以這樣看：方程式沒有常數項，圓通過原點，半徑就是圓心到原點的距離 $\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。

配方：$(x-3{)}^2+(y-6{)}^2=k+45$，圓心 $(3,6)$。

$A$ 在外部：$(0-3{)}^2+(-2-6{)}^2=73>k+45$，得 $k<28$。

$B$ 在內部：$(2-3{)}^2+(4-6{)}^2=5<k+45$，得 $k>-40$（此時 $k+45>0$，確實是圓）。

所以 $-40<k<28$。

兩條平行線截出的弦長相等，所以圓心到兩線的距離相等，圓心在兩線正中間的直線 $x-y=3$ 上，到每一條線的距離為 $\frac{|3-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

半弦長 $7$、弦心距 $\sqrt{2}$，半徑平方 $r^2=7^2+(\sqrt{2}{)}^2=51$，面積為 $51\pi$，空格填 $51$。

配方：$(x+1{)}^2+(y+4{)}^2=1$，圓心 $O^{\prime }(-1,-4)$，半徑 $1$。

切線垂直於過切點的半徑：$\angle AP{O}^{\prime }=\angle AQ{O}^{\prime }=90^{\circ }$，所以 $P$、$Q$ 都在以 $\overline{A{O}^{\prime }}$ 為直徑的圓上，$A$ 也在這個圓上，這個圓就是 $△APQ$ 的外接圓。

圓心為 $\overline{A{O}^{\prime }}$ 的中點 $(0,-1)$，半徑為 $\frac{1}{2}\overline{A{O}^{\prime }}=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{10}$。方程式 $x^2+(y+1{)}^2=10$。

圓心 $(-4,-6)$、半徑 $5$，圓上點的 $y$ 坐標介於 $-11$ 與 $-1$ 之間，整個圓在 $x$ 軸下方，所以交點只可能在第三象限（$x<0$）、第四象限（$x>0$）或 $y$ 軸上。兩交點位於不同象限 ⇔ 一個 $x<0$、一個 $x>0$。

直線 $L$ 不是鉛直線，兩交點分在 $y$ 軸兩側，表示兩交點之間的線段穿過 $y$ 軸，也就是 $L$ 與 $y$ 軸的交點在圓內（反過來，$L$ 與 $y$ 軸的交點在圓內時，$L$ 必與圓交於兩點，分在這一點的兩側）。

圓與 $y$ 軸：令 $x=0$，$16+(y+6{)}^2=25$，$y=-3$ 或 $-9$，所以 $y$ 軸在圓內的部分是 $-9<y<-3$。$L$ 與 $y$ 軸交於 $(0,m+5)$，需 $-9<m+5<-3$，得 $-14<m<-8$。

（若 $m+5=-3$ 或 $-9$，有一個交點落在 $y$ 軸上，不屬於任何象限，所以兩端不取。）

配方：$x^2+(y+1{)}^2=2$，圓心 $(0,-1)$，半徑 $\sqrt{2}$。

$L_1$、$L_2$ 平行，$\overline{AB}$、$\overline{CD}$ 是正方形的一組對邊，正方形內接於圓，圓心是正方形的中心。設邊長為 $s$，圓心到每一條邊的距離為 $\frac{s}{2}$，半邊長也是 $\frac{s}{2}$，所以 ${\left(\frac{s}{2}\right)}^2+{\left(\frac{s}{2}\right)}^2=2$，$s=2$，圓心到兩直線的距離都是 $1$，且兩直線在圓心的兩側。

圓心到 $3x-4y=h$ 的距離 $\frac{|0+4-h|}{5}=1$，$h=-1$ 或 $9$；$k$ 是另一個值（兩直線不同）。所以 $h+k=-1+9=8$。

阿誠走的路線是 $x$ 軸上 $0\le x\le 18$ 的線段。與 $M(6,4)$ 距離不超過 $5$ 的點在圓 $(x-6{)}^2+(y-4{)}^2\le 25$ 內。

令 $y=0$：$(x-6{)}^2+16\le 25$，$(x-6{)}^2\le 9$，$3\le x\le 9$，落在路線上。被噴濺的路程為 $9-3=6$ 公尺。

也可以用弦長：$M$ 到 $x$ 軸的距離 $4$，半弦長 $\sqrt{5^2-4^2}=3$，弦長 $6$。

狙擊視線是從 $P$ 到阿誠所在點的線段。當這條線段穿過噴水池（圓心 $M$、半徑 $3$）時被遮蔽；被遮住的範圍，介於從 $P$ 對噴水池所作兩條切線與 $x$ 軸的交點之間。

鉛直線 $x=3$ 通過 $P$，$M$ 到它的距離為 $|6-3|=3$，等於半徑，是一條切線，與 $x$ 軸交於 $E(3,0)$。

另一條切線設為 $y-10=m(x-3)$，即 $mx-y+10-3m=0$。$M$ 到它的距離為 $3$：$\frac{|6m-4+10-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=3$，$|3m+6|=3\sqrt{m^2+1}$，平方得 $m^2+4m+4=m^2+1$，$m=-\frac{3}{4}$。切線為 $3x+4y-49=0$，與 $x$ 軸交於 $F\left(\frac{49}{3},0\right)$。

噴水池在 $P$ 與 $x$ 軸之間（圓上點的 $y$ 坐標介於 $1$ 與 $7$），所以阿誠在 $E$、$F$ 之間時，視線穿過噴水池而被遮住；$E$、$F$ 都在 $A$、$B$ 之間。被遮蔽的距離為 $\frac{49}{3}-3=\frac{40}{3}$ 公尺。

摺疊後 $A$、$B$ 重合，摺痕是 $\overline{AB}$ 的中垂線 $L$。$\overline{AB}$ 的中點為 $(2,1)$，斜率為 $\frac{0-2}{4-0}=-\frac{1}{2}$，$L$ 的斜率為 $2$：$y-1=2(x-2)$，即 $2x-y-3=0$。

$P$ 會與它對 $L$ 的對稱點重合。過 $P(7,1)$ 垂直於 $L$ 的直線為 $y-1=-\frac{1}{2}(x-7)$，即 $x+2y=9$。與 $L$ 聯立得投影點 $(3,3)$。投影點是 $P$ 與對稱點 $Q(x,y)$ 的中點：$\frac{x+7}{2}=3$，$\frac{y+1}{2}=3$，得 $Q(-1,5)$。

檢查：$Q(-1,5)$ 到 $A(0,2)$ 與 $P(7,1)$ 到 $B(4,0)$ 的距離都是 $\sqrt{10}$，摺疊前後長度不變。