南山高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)。題目所說的直線是指正九邊形九條邊所在的直線（若連對角線一起算，斜率為負的有 16 條，選項中沒有）。圖中正九邊形的中心在原點，$A$ 在 $x$ 軸正向上，九個頂點依逆時針排成 $A,B,\dots ,I$。正九邊形的每個外角是 $360^{\circ }÷9=40^{\circ }$，從 $\overline{AB}$ 走到下一邊，邊的方向就逆時針轉 $40^{\circ }$。

$\overline{EF}$ 是鉛直的（斜率不存在），它和 $\overline{AB}$ 之間隔了 $4$ 次轉向（$\overline{AB}\to \overline{BC}\to \overline{CD}\to \overline{DE}\to \overline{EF}$），共 $160^{\circ }$，所以 $\overline{AB}$ 和鉛直方向差 $20^{\circ }$，往左上方傾斜，斜率為負。依序看九條邊：

- $\overline{AB}$、$\overline{BC}$：從右下往左上走，斜率為負。 - $\overline{CD}$、$\overline{DE}$：從右上往左下走，斜率為正。 - $\overline{EF}$：鉛直，斜率不存在。 - $\overline{FG}$、$\overline{GH}$：從左上往右下走，斜率為負。 - $\overline{HI}$、$\overline{IA}$：從左下往右上走，斜率為正。

斜率為負的有 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{FG}$、$\overline{GH}$，共 $4$ 條。

答案 (2)。先把 $L_2$ 的係數化成與 $L_1$ 相同：$L_2:3x+4y=5$。兩平行線 $3x+4y-7=0$ 與 $3x+4y-5=0$ 的距離為

$$\frac{|-7-(-5)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{2}{5}$$

答案 (5)。$y\ge 0$，再由前兩式得 $2y-3\le x\le 3-y$，要有 $x$ 必須 $2y-3\le 3-y$，即 $y\le 2$。逐列數格子點：

- $y=0$：$-3\le x\le 3$，有 $7$ 個。 - $y=1$：$-1\le x\le 2$，有 $4$ 個。 - $y=2$：$1\le x\le 1$，有 $1$ 個。

共 $7+4+1=12$ 個。

答案 (1)。圓心是直徑的中點：$O\left(\frac{0+(-8)}{2},\frac{6+0}{2}\right)=(-4,3)$，所以 $h=-4$、$k=3$。直徑 $\overline{AB}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，半徑 $r=5$。

$h+k+r=-4+3+5=4$。

答案 (3)。配方：$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$，圓心 $Q(1,-2)$，半徑 $5$。$\overline{QA}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}<5$，$A$ 在圓內，所以過 $A$ 的每一條直線都與圓相割。

設過 $A$ 的割線為 $L$，弦心距是 $Q$ 到 $L$ 的距離。從 $Q$ 作 $L$ 的垂線，垂足為 $H$，則 $△QHA$ 中 $\overline{QH}\le \overline{QA}=\sqrt{10}$：

- 當 $L$ 與 $\overline{QA}$ 垂直時，$H=A$，弦心距最長，$m=\sqrt{10}$。 - 當 $L$ 通過圓心 $Q$ 時，弦心距最短，$n=0$。

$m+n=\sqrt{10}$。

答案 (1)(5)。直角可能在 $A$、$B$ 或 $C$，分三種情形。$\overline{AB}$ 的斜率 $\frac{5-2}{2-(-1)}=1$。

- 直角在 $A$：$\overline{AC}$ 的斜率 $\frac{1-2}{c+1}$ 要等於 $-1$，得 $c+1=1$，$c=0$。 - 直角在 $B$：$\overline{BC}$ 的斜率 $\frac{1-5}{c-2}$ 要等於 $-1$，得 $c-2=4$，$c=6$。 - 直角在 $C$：由畢氏定理 ${\overline{CA}}^2+{\overline{CB}}^2={\overline{AB}}^2$，即 $(c+1{)}^2+1+(c-2{)}^2+16=18$，整理得 $c^2-c+2=0$，判別式 $1-8<0$，沒有實數解。

所以 $c=0$ 或 $6$。逐項：(1) $0$ 正確。 (2) $\frac{1}{2}$：三種情形都不是，錯誤。 (3) $1$ 錯誤。 (4) $5$ 錯誤。 (5) $6$ 正確。

答案 (1)(4)(5)。配方：$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=9$，圓心 $(2,1)$，半徑 $3$。「不在外部」就是在圓內或圓上，看點到圓心距離的平方是否 $\le 9$：

(1) $(0,0)$：$4+1=5\le 9$，在圓內，正確。

(2) $(5,0)$：$9+1=10>9$，在圓外，錯誤。

(3) $(0,4)$：$4+9=13>9$，在圓外，錯誤。

(4) $(2,1)$：就是圓心，在圓內，正確。

(5) $\left(\sqrt{3}+2,\sqrt{6}+1\right)$：${\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=3+6=9$，在圓上，正確。

答案 $\left(7,\frac{7}{2}\right)$。直線 $AB$ 的斜率 $\frac{3-2}{1-3}=-\frac{1}{2}$，方程式 $y-2=-\frac{1}{2}(x-3)$，即 $x+2y=7$。

$C(c,0)$ 在直線上：$c=7$。$D(0,d)$ 在直線上：$2d=7$，$d=\frac{7}{2}$。

答案 $3$。$A$、$B$ 到 $L$ 的距離：$\overline{AM}=\frac{|3-20-3|}{5}=4$，$\overline{BN}=\frac{|21-8-3|}{5}=2$。

$\overline{AM}$、$\overline{BN}$ 都垂直 $L$，互相平行；$A$、$B$ 在 $L$ 的異側，把 $\overline{MN}$ 平移到過 $B$ 的位置，可得一個直角三角形：兩股是 $\overline{MN}$ 與 $\overline{AM}+\overline{BN}=6$，斜邊是 $\overline{AB}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$。

$\overline{MN}=\sqrt{45-36}=3$。

答案 $5\pi$。外接圓通過原點，設為 $x^2+y^2+dx+ey=0$。

代入 $B(0,-2)$：$4-2e=0$，$e=2$。代入 $C(3,1)$：$9+1+3d+2=0$，$d=-4$。

外接圓 $x^2+y^2-4x+2y=0$，配方得 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=5$，面積 $5\pi$。

答案 $105\pi$。第一式：圓心 $(0,0)$、半徑 $13$ 的圓盤。第二式配方：$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2\ge 64$，是圓心 $(3,4)$、半徑 $8$ 的圓的外部（含圓周）。

兩圓心距離 $\sqrt{3^2+4^2}=5=13-8$，小圓內切於大圓，整個小圓都在大圓裡面。所以 $R$ 是大圓盤挖掉小圓的內部，面積 $169\pi -64\pi =105\pi$。

答案 $(3,31)$。圓心 $Q(2,-3)$，先確認 $A$ 在圓上：$(-3{)}^2+(-4{)}^2=25$。半徑 $\overline{QA}$ 的斜率 $\frac{-7-(-3)}{-1-2}=\frac{4}{3}$，切線與半徑垂直，斜率 $-\frac{3}{4}$：

$y+7=-\frac{3}{4}(x+1)$，乘 $4$ 整理得 $3x+4y+31=0$。對照 $ax+4y+c=0$：$a=3$，$c=31$。

答案 $\frac{4\sqrt{6}}{5}$。配方：$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=1$，圓心 $K(-3,4)$，半徑 $1$，$\overline{OK}=5$。

切線長 $\overline{OP}=\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$。$\overline{OK}$ 垂直平分切點弦 $\overline{PQ}$，設交於 $M$，則 $\overline{PM}$ 是直角 $△OPK$（直角在 $P$）斜邊上的高。直角三角形兩股乘積等於斜邊乘斜邊上的高：

$$\overline{OP}\times \overline{PK}=\overline{OK}\times \overline{PM}\Rightarrow 2\sqrt{6}\times 1=5\times \overline{PM}$$

$\overline{PM}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$，切點弦 $\overline{PQ}=2\overline{PM}=\frac{4\sqrt{6}}{5}$。

答案 $37$。設圓心 $(h,k)$、半徑 $r$。

圓與 $L_1:x=-2$ 相切，且圓通過 $A(6,16)$ 在 $L_1$ 右側，所以整個圓在 $L_1$ 右側：$r=h+2$。

圓與 $L_2$ 相切，整個圓在 $L_2$ 的同一側，也就是 $A$ 的那一側。$A$ 代入 $7x-24y-50$ 得 $42-384-50=-392<0$，所以圓心也滿足 $7h-24k-50<0$，

$$r=\frac{-(7h-24k-50)}{25}$$

兩式相等：$25h+50=-7h+24k+50$，得 $k=\frac{4}{3}h$。

再由 $A$ 在圓上：$(h-6{)}^2+(k-16{)}^2=(h+2{)}^2$。左右移項 $(h-6{)}^2-(h+2{)}^2=-16h+32$，代入 $k=\frac{4}{3}h$：

$$-16h+32+\frac{16}{9}(h-12{)}^2=0$$

乘 $\frac{9}{16}$：$-9h+18+h^2-24h+144=0$，即 $h^2-33h+162=0$，$(h-6)(h-27)=0$。

$h=6$ 時圓心 $(6,8)$、$r=8$；$h=27$ 時圓心 $(27,36)$、$r=29$。$r_1+r_2=8+29=37$。

答案 $140$。設 $P(x,y)$，

$${\overline{PA}}^2+{\overline{PB}}^2=x^2+(y-1{)}^2+x^2+(y+1{)}^2=2\left(x^2+y^2\right)+2=2{\overline{PO}}^2+2$$

其中 $O$ 是原點（也是 $\overline{AB}$ 的中點）。所以只要找圓上的點到原點距離的範圍。

圓心 $(4,-3)$，半徑 $3$，圓心到原點距離 $5>3$，原點在圓外。圓上的點到原點的距離最小是 $5-3=2$，最大是 $5+3=8$（都在原點與圓心的連線上）。

$m=2\cdot 64+2=130$，$n=2\cdot 4+2=10$，$m+n=140$。

答案 (1)。$\overline{AB}\perp \overline{OB}$，$△OAB$ 是直角三角形，$\overline{OB}=2\sqrt{3}$（半徑），$\overline{OA}=4$：

$\overline{AB}=\sqrt{16-12}=2$。斜邊 $4$、一股 $2$ 是斜邊的一半，所以這是 $30^{\circ }$-$60^{\circ }$-$90^{\circ }$ 三角形，$\angle AOB=30^{\circ }$。

同理 $△ODC$ 中 $\overline{OC}=2\sqrt{3}$、$\overline{OD}=4\sqrt{3}$：$\overline{DC}=\sqrt{48-12}=6$，$\overline{OC}$ 是斜邊的一半，$\angle DOC=60^{\circ }$。

圓弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 所對的圓心角 $\angle BOC=150^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$，弧長 $2\pi \cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{60}{360}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$。

總長 $2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi +6=8+\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$ 公里。

答案 (4)。$A$、$E$、$F$、$D$ 共線，路線總長就是 $\overline{AD}$。

以 $O$ 為原點、射線 $OA$ 的方向為 $x$ 軸正向，$A(4,0)$。$\angle AOD=150^{\circ }$，$\overline{OD}$ 與 $x$ 軸負向夾 $30^{\circ }$；從 $D$ 作 $x$ 軸的垂線，得 $30^{\circ }$-$60^{\circ }$-$90^{\circ }$ 三角形，斜邊 $4\sqrt{3}$，所以 $D$ 的高為 $2\sqrt{3}$、水平距離為 $4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6$，$D(-6,2\sqrt{3})$。

$\overline{AD}=\sqrt{10^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$ 公里。

答案 $x=\frac{12\sqrt{14}}{7}$ 公里。游泳距離是弦 $\overline{EF}$ 的長，先求圓心 $O$ 到直線 $AD$ 的距離 $d$。

方法一（面積）：$△AOD$ 以 $\overline{OA}=4$ 為底，高是 $D$ 的縱坐標 $2\sqrt{3}$（見上一題），面積 $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。改以 $\overline{AD}=4\sqrt{7}$ 為底：$\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{7}\cdot d=4\sqrt{3}$，

$$d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$$

方法二（坐標）：直線 $AD$ 過 $A(4,0)$、$D(-6,2\sqrt{3})$，斜率 $-\frac{\sqrt{3}}{5}$，方程式 $\sqrt{3}x+5y-4\sqrt{3}=0$，$d=\frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{3+25}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$。

半弦長：

$$\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)}^2}=\sqrt{12-\frac{12}{7}}=\sqrt{\frac{72}{7}}=\frac{6\sqrt{14}}{7}$$

所以 $x=\overline{EF}=2\cdot \frac{6\sqrt{14}}{7}=\frac{12\sqrt{14}}{7}$ 公里（約 $6.41$ 公里）。