南山高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)。圓心 $Q(-1,3)$，半徑 $4$。${\overline{PQ}}^2=(4+1{)}^2+(1-3{)}^2=25+4=29$。

切線與過切點的半徑垂直，$△PBQ$ 是直角三角形（直角在 $B$）：

$$\overline{PB}=\sqrt{{\overline{PQ}}^2-4^2}=\sqrt{29-16}=\sqrt{13}$$

答案 (1)。$\overline{PA}=3\overline{PB}$，兩邊平方：

$$x^2+y^2=9\left[(x+8{)}^2+(y-4{)}^2\right]$$

展開：$x^2+y^2=9x^2+144x+576+9y^2-72y+144$，整理得 $8x^2+8y^2+144x-72y+720=0$，同除以 $8$：

$$x^2+y^2+18x-9y+90=0$$

配方：$(x+9{)}^2+{\left(y-\frac{9}{2}\right)}^2=81+\frac{81}{4}-90=\frac{45}{4}$，圓心 $\left(-9,\frac{9}{2}\right)$。

答案 (5)。圓心 $Q(-5,3)$，半徑 $4$。圓心到 $K(0,-9)$ 的距離 $\sqrt{5^2+12^2}=13>4$，$K$ 在圓外。

圓上離 $K$ 最近與最遠的點都在直線 $QK$ 上：$m=13-4=9$，$M=13+4=17$。

逐項：(1)(2) $m=9$，都不對；(3)(4) $M=17$，都不對；(5) 正確。

答案 (3)。$A$、$B$ 的 $x$ 坐標都是正的，在 $y$ 軸的同一側。把 $B$ 對 $y$ 軸作對稱點 $B^{\prime }(-2,1)$，$C$ 在 $y$ 軸上，所以 $\overline{CB}=\overline{C{B}^{\prime }}$：

$$\overline{CA}+\overline{CB}=\overline{CA}+\overline{C{B}^{\prime }}\ge \overline{A{B}^{\prime }}=\sqrt{(7+2{)}^2+(13-1{)}^2}=\sqrt{81+144}=15$$

當 $C$ 是 $\overline{A{B}^{\prime }}$ 與 $y$ 軸的交點時等號成立，最小值 $15$。

答案 (4)。外心到三頂點等距。$A(2,1)$、$C(2,10)$ 在鉛直線 $x=2$ 上，$\overline{AC}$ 的中垂線是水平線 $y=\frac{11}{2}$。

設外心 $\left(h,\frac{11}{2}\right)$，到 $A$、$B$ 等距：

$$(h-2{)}^2+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2=(h-6{)}^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2$$

$-4h+4+\frac{81}{4}=-12h+36+\frac{49}{4}$，$8h=24$，$h=3$。外心 $\left(3,\frac{11}{2}\right)$。

答案 (1)(2)(5)。配方：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$，圓心 $(1,2)$，半徑 $2$。

(1) 正確。

(2) $P(0,1)$ 到圓心距離的平方 $1+1=2<4$，在圓內，正確。

(3) 圓心到 $L$ 的距離 $\frac{|4-6-13|}{5}=3>2$，直線與圓不相交，錯誤。

(4) $C^{\prime }$ 的圓心 $(-5,1)$、半徑 $3$，兩圓心距離 $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}>2+3=5$，兩圓外離，沒有交點，錯誤。

(5) $Q(3,5)$ 到圓心距離的平方 $4+9=13>4$，在圓外，有兩條切線。鉛直線 $x=3$ 到圓心的距離 $|3-1|=2$，等於半徑，是一條切線。另一條設為 $y-5=m(x-3)$，即 $mx-y+5-3m=0$：

$$\frac{|m-2+5-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=2\Rightarrow (3-2m{)}^2=4\left(m^2+1\right)\Rightarrow m=\frac{5}{12}$$

$y-5=\frac{5}{12}(x-3)$，整理得 $5x-12y+45=0$。正確。

答案 (3)(4)。圖中三條直線：一條斜率為正且很陡（交 $x$ 軸負半部、$y$ 軸正半部，記作 $L_1$）、一條斜率為負（記作 $L_2$）、一條斜率為正但較平緩（交 $y$ 軸負半部，記作 $L_3$）；$L_2$、$L_3$ 交於 $x$ 軸正半部，直角記號在 $L_1$ 與 $L_2$ 的交點。鋪色的三角形在 $L_1$ 的右方、$L_2$ 的左下方、$L_3$ 的左上方。

先看每個不等式的解在直線的哪一側：

- $x+ay+b\le 0$ 即 $x\le -ay-b$：解在直線的左方。 - $x+cy+d\ge 0$ 即 $x\ge -cy-d$：解在直線的右方。 - $ex+y+f\le 0$ 即 $y\le -ex-f$：解在直線的下方。

解區域在右方的只有 $L_1$，所以 $L_1:x+cy+d=0$。剩下 $L_2$、$L_3$：解區域在 $L_3$ 的上方（不是下方），所以 $L_3$ 不能是第三式，$L_3:x+ay+b=0$，$L_2:ex+y+f=0$（解區域在 $L_2$ 下方，符合）。

- $L_1$ 的斜率 $-\frac{1}{c}>0$，得 $c<0$；$x$ 截距 $-d<0$，得 $d>0$。 - $L_3$ 的斜率 $-\frac{1}{a}>0$，得 $a<0$。 - $L_2$ 的斜率 $-e<0$，得 $e>0$。 - 垂直的是 $L_1$ 與 $L_2$：$\left(-\frac{1}{c}\right)(-e)=-1$，即 $e=-c$，$c+e=0$。

逐項：(1) $a<0$，錯誤。 (2) $c<0$，錯誤。 (3) 正確。 (4) 正確。 (5) $a\times e=-1$ 即 $e=-\frac{1}{a}$，也就是 $L_2$ 的斜率 $-e$ 與 $L_3$ 的斜率 $-\frac{1}{a}$ 互為相反數，兩條線傾斜的程度相同；圖中 $L_2$ 明顯比 $L_3$ 陡，不合，錯誤。

答案 $(-4,2)$。由除法原理：

$$3x^3+ax-8=\left(x^2+2x+b\right)(3x-6)+(2x+4)$$

右邊展開：$3x^3-6x^2+6x^2-12x+3bx-6b+2x+4=3x^3+(3b-10)x+(4-6b)$。

比較係數：常數項 $4-6b=-8$，$b=2$；一次項 $a=3b-10=-4$。

答案 $(-4,0,3)$。用連續綜合除法，以 $-2$ 連續去除 $f(x)$ 的係數 $1,2,-4,-5$：

- 第一次：$1,0,-4$，餘數 $3$，所以 $c=3$。 - 第二次（對 $1,0,-4$）：$1,-2$，餘數 $0$，所以 $b=0$。 - 第三次（對 $1,-2$）：$1$，餘數 $-4$，所以 $a=-4$。

得 $f(x)=(x+2{)}^3-4(x+2{)}^2+0\cdot (x+2)+3$。

答案 $(-2,5)$。平移不改變斜率。$L^{\prime }$ 通過 $(5,-3)$、$(7,1)$，斜率 $\frac{1-(-3)}{7-5}=2$；$L$ 的斜率 $-a=2$，$a=-2$。

$L:-2x+y+2=0$。向右平移 $3$、向下平移 $k$：把 $x$ 換成 $x-3$、$y$ 換成 $y+k$，

$$L^{\prime }:-2(x-3)+(y+k)+2=0$$

代入 $(5,-3)$：$-4-3+k+2=0$，$k=5$。

答案 $\frac{4}{5}$。$L^{\prime }$ 的斜率 $\frac{2}{5}$，$L$ 與它平行：$-a=\frac{2}{5}$，$a=-\frac{2}{5}$。

$L:-\frac{2}{5}x+y+c=0$。$x$ 截距（令 $y=0$）：$x=\frac{5c}{2}$；$y$ 截距（令 $x=0$）：$y=-c$。

兩截距和 $\frac{5c}{2}-c=\frac{3c}{2}=-3$，$c=-2$。

$a\times c=\left(-\frac{2}{5}\right)(-2)=\frac{4}{5}$。

答案 $15$。由 $L$ 得 $y=2x+1$，代入圓：

$$(x-1{)}^2+(2x+3{)}^2=25\Rightarrow 5x^2+10x-15=0\Rightarrow x^2+2x-3=0$$

$(x+3)(x-1)=0$，$x=-3$ 或 $1$。$a<0$，所以 $a=-3$，$b=2(-3)+1=-5$，$a\times b=15$。

答案 $8$。圓心 $(-4,2)$，半徑 $3$。圓心到 $L$ 的距離：

$$\frac{|3(-4)-4(2)-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$$

$5>3$，直線與圓不相交，圓上的點到 $L$ 的距離介於 $5-3=2$ 與 $5+3=8$ 之間，最遠距離 $8$。

答案 $-14$。配方：$(x-3{)}^2+y^2=10$，圓心 $(3,0)$，半徑 $\sqrt{10}$。切線 $2x-y+k=0$ 到圓心的距離等於半徑：

$$\frac{|6+k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{10}\Rightarrow |6+k|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$

$k=-6+5\sqrt{2}$ 或 $-6-5\sqrt{2}$，乘積 $(-6{)}^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=36-50=-14$。

答案 $(4,0,2)$。圓心 $Q(-1,1)$。過切點的半徑與切線垂直；切線 $L$ 的斜率 $1$，所以 $\overline{QP}$ 的斜率 $-1$：

$$\frac{c-1}{-2-(-1)}=-1\Rightarrow c=2$$

$P(-2,2)$ 在 $L$ 上：$-2-2+a=0$，$a=4$。$P$ 在圓上：$4+4-4-4+b=0$，$b=0$。

答案 $16$。配方：$(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=10-k$。要表示一個圓，$10-k>0$，$k<10$。

$(-2,-1)$ 在圓外：代入左式要大於 $0$，$4+1-4+6+k>0$，$k>-7$。

$-7<k<10$ 的整數有 $-6,-5,\dots ,9$，共 $16$ 個。

答案 $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$。設圓心 $(h,j)$。圓過 $A(3,0)$、$C(k,0)$，圓心在 $\overline{AC}$ 的中垂線上：$h=\frac{3+k}{2}$。

$C$ 點的切線斜率 $-1$，圓心與 $C$ 的連線（半徑）與切線垂直，斜率為 $1$：$\frac{j-0}{h-k}=1$，$j=h-k=\frac{3-k}{2}$。

圓心到 $A$、$B$ 等距：$(h-3{)}^2+j^2=h^2+(j+1{)}^2$，展開得 $-6h+9=2j+1$。代入：

$$-3(3+k)+9=(3-k)+1\Rightarrow -3k=4-k\Rightarrow k=-2$$

$h=\frac{1}{2}$，$j=\frac{5}{2}$，圓心 $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$。

答案 (2)(4)(5)。火車站 $(8,-6)$ 是最遠的直線距離 $\sqrt{8^2+6^2}=10$，所以無人機能到的範圍是以原點為圓心、半徑 $10$ 的圓（含圓周）：$x^2+y^2\le 100$。

以火車站的位置對照圖上的比例，估出各地點的坐標（大約值）並算到原點距離的平方：

(1) 學校約在 $(3,14)$：$9+196=205>100$，到不了。

(2) 警察局約在 $(-2,1)$：$4+1=5<100$，正確。

(3) 公園約在 $(-9,11)$：$81+121=202>100$，到不了。

(4) 市場約在 $(-4,-3)$：$16+9=25<100$，正確。

(5) 市政府約在 $(1,-4)$：$1+16=17<100$，正確。

答案 $\frac{3}{4}\pi +\frac{1}{2}$ 平方公里。直線過 $(-7,-1)$ 與 $(0,-50)$，斜率 $\frac{-50-(-1)}{0-(-7)}=-7$，方程式 $y=-7x-50$，即 $7x+y+50=0$。

圓心（原點）到這條直線的距離（弦心距）：

$$d=\frac{|50|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{50}{\sqrt{50}}=5\sqrt{2}<10$$

直線切過圓。半弦長 $\sqrt{10^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，與弦心距相等，所以兩個交點 $P$、$Q$ 與圓心構成的 $△OPQ$ 是等腰直角三角形，$\angle POQ=90^{\circ }$。（交點是 $P(-6,-8)$、$Q(-8,6)$，$\overline{OP}$、$\overline{OQ}$ 的斜率 $\frac{4}{3}$、$-\frac{3}{4}$，乘積 $-1$。）

原點代入 $7x+y+50$ 得 $50>0$，左側的點（如 $(-20,0)$）代入為負，原點在右側，被切掉的左側是較小的弓形：

$$\text{弓形面積}=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 10^2-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10=25\pi -50$$

可飛行的面積 $=100\pi -(25\pi -50)=75\pi +50$（平方格）。也可以看成 $\frac{3}{4}$ 個圓加上 $△OPQ$：$\frac{3}{4}\cdot 100\pi +50$。

一格是 $100$ 公尺 $=0.1$ 公里，一個平方格是 $0.01$ 平方公里：

$$(75\pi +50)\times 0.01=\frac{3}{4}\pi +\frac{1}{2}\text{平方公里}$$

答案 $m\le -\frac{4}{3}$ 或 $m\ge 0$。無人機的範圍是 $x^2+y^2\le 100$。$(5,10)$ 到原點距離 $\sqrt{125}>10$，在圓外。

設飛彈路徑斜率為 $m$：$y-10=m(x-5)$，即 $mx-y-5m+10=0$。能擊落無人機，就是這條直線與圓有交點（相交或相切），也就是原點到直線的距離不超過半徑：

$$\frac{|-5m+10|}{\sqrt{m^2+1}}\le 10$$

先求相切的情形（等號）：$(10-5m{)}^2=100\left(m^2+1\right)$，$100-100m+25m^2=100m^2+100$，$75m^2+100m=0$，$25m(3m+4)=0$，$m=0$ 或 $-\frac{4}{3}$。

不等式兩邊平方後同樣整理成 $25m(3m+4)\ge 0$：$m$ 與 $3m+4$ 同號或其中一個為 $0$，

- 兩者都 $\ge 0$：$m\ge 0$； - 兩者都 $\le 0$：$m\le -\frac{4}{3}$。

所以 $m\le -\frac{4}{3}$ 或 $m\ge 0$。