南山高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 $-18$。

① 三次函數與 $x$ 軸恰有兩個交點，表示 $y=0$ 有一個二重根和另一個相異實根。

② $A(-1,0)$ 在圖形上，$-1$ 是一個根。若 $-1$ 是二重根，設

$$x^3+p{x}^2+qx-7=(x+1{)}^2(x-r)$$

比較常數項：$-r=-7$，$r=7$。

③ 若 $-1$ 是單根、另一根 $r$ 是二重根，$(x+1)(x-r{)}^2$ 的常數項 $r^2\ge 0$，不可能等於 $-7$，不合。

④ 展開 $(x+1{)}^2(x-7)=x^3-5x^2-13x-7$，得 $p=-5$，$q=-13$。

所以 $p+q=-18$。

答案 $\frac{7}{4}$。

① 令 $t=x^2$，方程式變成 $t^2-5t+4-k=0$。四個非零實根表示這個二次方程式有兩個相異正根 $t_1<t_2$。

② 四個根是 $\pm \sqrt{t_1}$、$\pm \sqrt{t_2}$，由小到大為 $-\sqrt{t_2},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_1},\sqrt{t_2}$。

③ 成等差時，中間兩根的差 $2\sqrt{t_1}$ 就是公差，所以 $\sqrt{t_2}=\sqrt{t_1}+2\sqrt{t_1}=3\sqrt{t_1}$，即 $t_2=9t_1$。

④ 由根與係數：$t_1+t_2=10t_1=5$，$t_1=\frac{1}{2}$，$t_2=\frac{9}{2}$。

⑤ $t_1{t}_2=\frac{9}{4}=4-k$，所以 $k=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$。

答案 $(-6,0)$。

① $\overrightarrow{AB}=(-3,6)$，與 $(-1,2)$ 同方向。

② $\overrightarrow{AD}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的正射影是 $(-1,2)$，表示從 $D$ 向直線 $AB$ 作垂線，垂足 $H$ 滿足 $\overrightarrow{AH}=(-1,2)$，所以 $H(0,3)$。

③ $\overline{DH}\perp \overline{AB}$，又 $\overline{CD}\perp \overline{AB}$，所以 $C$、$D$、$H$ 都在「過 $H$ 且垂直 $AB$」的同一條直線上。

④ 垂直 $(-1,2)$ 的方向取 $(2,1)$，這條直線是 $(x,y)=(0,3)+s(2,1)$。

⑤ $C$ 在 $x$ 軸上：$3+s=0$，$s=-3$，得 $C(-6,0)$。

答案 $(6,2)$。

① 摺痕是 $\overline{AB}$ 的中垂線。中點 $(1,2)$，$\overrightarrow{AB}=(-2,4)\parallel (-1,2)$ 是摺痕的法向量。

② 摺痕：$-(x-1)+2(y-2)=0$，即 $x-2y+3=0$。

③ 設 $P(4,6)$ 對應到 $P^{\prime }(x,y)$，$\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ 平行法向量 $(1,-2)$，寫成 $P^{\prime }=(4+t,6-2t)$。

④ $\overline{P{P}^{\prime }}$ 的中點 $\left(4+\frac{t}{2},6-t\right)$ 在摺痕上：

$$4+\frac{t}{2}-12+2t+3=0$$

得 $t=2$。

所以 $P^{\prime }(6,2)$。

答案 (4)。

① 三個數都提出 $1.5^8$，並把 $1.5$ 寫成 $\frac{3}{2}$：

$$a=1.5^8\cdot \frac{\frac{9}{4}-1}{2}=\frac{5}{8}\cdot 1.5^8$$

$$b=1.5^8\cdot \frac{\frac{9}{4}\left(\frac{27}{8}-1\right)}{3}=\frac{57}{32}\cdot 1.5^8$$

$$c=1.5^8\cdot \frac{\frac{243}{32}-1}{5}=\frac{211}{160}\cdot 1.5^8$$

② 比較係數：$\frac{5}{8}=0.625$，$\frac{57}{32}=1.78125$，$\frac{211}{160}=1.31875$。

③ $1.5^8>0$，所以 $b>c>a$，選 (4)。

答案 $\frac{5}{9}$。

① 由圖，直角在 $Q$，$S$、$T$ 把斜邊 $\overline{PR}$ 三等分。取 $Q(0,0)$、$P(u,0)$、$R(0,v)$，則 ${\overline{PR}}^2=u^2+v^2$。

② $S$ 離 $P$ 較近：$S=P+\frac{1}{3}\overrightarrow{PR}=\left(\frac{2u}{3},\frac{v}{3}\right)$；$T=P+\frac{2}{3}\overrightarrow{PR}=\left(\frac{u}{3},\frac{2v}{3}\right)$。

③ 相加：

$${\overline{QS}}^2+{\overline{QT}}^2=\frac{4u^2+v^2}{9}+\frac{u^2+4v^2}{9}=\frac{5}{9}\left(u^2+v^2\right)$$

所以 $k=\frac{5}{9}$。

答案 $\frac{1}{4}$。

① 等速直線運動、每段都是一分鐘，所以 $\overline{PQ}=\overline{QR}$，$Q$ 是 $\overline{PR}$ 的中點。

② 以 $O$ 為原點、$\overrightarrow{OQ}$ 方向為 $x$ 軸、$\overrightarrow{OP}$ 方向為 $y$ 軸（因為 $\angle POQ=90^{\circ }$）：$Q(q,0)$、$P(0,p)$，$p$、$q>0$。

③ $Q$ 是中點，所以 $R=2Q-P=(2q,-p)$。

④ $\angle QOR$ 是 $x$ 軸正向與 $\overrightarrow{OR}$ 的夾角：$\tan (\angle QOR)=\frac{p}{2q}=2$，得 $p=4q$。

⑤ 在直角三角形 $POQ$ 中：

$$\tan (\angle OPQ)=\frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}}=\frac{q}{p}=\frac{1}{4}$$

答案 $19$。

① 兩枚半徑 $1$ 的硬幣相切時，圓心距離是 $2$。陰影硬幣貼著某一枚硬幣轉時，它的圓心在以那枚硬幣圓心為圓心、半徑 $2$ 的圓弧上走。

② 另外三枚硬幣兩兩相切，三個圓心連成邊長 $2$ 的正三角形。

③ 陰影硬幣同時碰到兩枚硬幣時，它的圓心和那兩枚的圓心也連成邊長 $2$ 的正三角形。

④ 以左邊那枚為例：陰影圓心從「左、右兩枚之間」轉到「左、下兩枚之間」，兩個位置看左邊圓心，各和相鄰硬幣的方向夾 $60^{\circ }$，相鄰兩枚之間又夾 $60^{\circ }$，所以轉過

$$360^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=180^{\circ }$$

⑤ 三枚各轉半圈，總路程 $3\times \left(2\times \pi \times 2\times \frac{1}{2}\right)=6\pi \approx 18.84$。

四捨五入為 $19$。

答案 $28$。

① $L$ 過 $M(13,12,19)$。設 $L$ 交 $L_1$ 於 $P_1(1+3t,-2+4t,3-2t)$，交 $L_2$ 於 $P_2(-1+2s,2+5s,-3+7s)$。

② $M$、$P_1$、$P_2$ 共線，所以 $\overrightarrow{M{P}_1}=m\overrightarrow{M{P}_2}$：

$$(3t-12,4t-14,-2t-16)=m(2s-14,5s-10,7s-22)$$

③ 消去 $t$：第一式乘 $4$ 減第二式乘 $3$，得 $-6=m(-7s-26)$；第一式乘 $2$ 加第三式乘 $3$，得 $-72=m(25s-94)$。

④ 兩式相除：$12(-7s-26)=25s-94$，$109s=-218$，$s=-2$；代回得 $m=\frac{1}{2}$，再由第一式 $3t-12=-9$，$t=1$。

⑤ $P_1(4,2,1)$，$\overrightarrow{M{P}_1}=(-9,-10,-18)\parallel (9,10,18)$。

所以 $a=10$，$b=18$，$a+b=28$。

答案 $105$。

① 記四次跳完的位置依序為 $x_1,x_2,x_3,x_4=A$。每一步都要落在「與上一個位置不同」的點，所以 $x_1\ne A$、$x_3\ne A$，$x_2$ 與 $x_1$、$x_3$ 都不同。

② 依 $x_2$ 分兩類。

③ $x_2=A$：$x_1$ 有 $5$ 種，$x_3$ 有 $5$ 種，共 $25$ 種。

④ $x_2\ne A$：$x_2$ 有 $5$ 種；$x_1$ 不能是 $A$ 也不能是 $x_2$，有 $4$ 種；$x_3$ 同理 $4$ 種，共 $5\times 4\times 4=80$ 種。

$$\begin{array}{ccccc}\text{類別}& x_1& x_2& x_3& \text{種數}\\ x_2=A& 5& 1& 5& 25\\ x_2\ne A& 4& 5& 4& 80\end{array}$$

所以共 $25+80=105$ 種。

答案 $10$。

① 先看除式：$x^3-7x^2+15x-10=(x-2)(x^2-5x+5)=(x-2)(x-\alpha )(x-\beta )$。

② 設 $f(x)=(x-2)(x-\alpha )(x-\beta )Q(x)+r(x)$，$r(x)=a{x}^2+bx+c$，則

$$r(2)=-3,r(\alpha )=\beta ,r(\beta )=\alpha$$

③ $\alpha +\beta =5$，所以 $\beta =5-\alpha$、$\alpha =5-\beta$。多項式 $r(x)-(5-x)$ 在 $\alpha$、$\beta$ 都是 $0$，可寫成

$$r(x)=(5-x)+k\left(x^2-5x+5\right)$$

④ 代 $x=2$：$3+k(4-10+5)=3-k=-3$，$k=6$。

⑤ $a+b+c=r(1)=4+6\times 1=10$。

答案 $6$。

① 直線 $y=2x+3$ 的方向向量 $(1,2)$，長度 $\sqrt{5}$。向右上移動 $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ 單位，就是平移 $(2,4)$。

② 圖形平移 $(2,4)$：把 $x$ 換成 $x-2$、$y$ 換成 $y-4$：

$$y-4=2(x-2{)}^2+4(x-2)+a$$

③ 整理得 $y=2x^2-4x+a+4$。

④ 與 $y=b{x}^2+cx+12$ 比較：$b=2$，$c=-4$，$a+4=12$，$a=8$。

所以 $a+b+c=8+2-4=6$。

答案 $20$。

① 乘積都寫成 $3^i\times 5^j\times 7^k$，其中 $i$ 是取了幾個 $3$、$j$ 是幾個 $5$、$k$ 是幾個 $7$：$i=0,1$；$j=0,1,2$；$k=0,1,2,3$。

② 不同的 $(i,j,k)$ 給出不同的數（質因數分解唯一），共 $2\times 3\times 4=24$ 種。

③ 扣掉一個都不取的 $(0,0,0)$，以及只取一個數字的 $3$、$5$、$7$ 三種。

所以有 $24-1-3=20$ 個不同的數字。

答案 $\frac{7\sqrt{3}}{4}$。

① $\angle DAB=90^{\circ }$，由畢氏定理 ${\overline{BD}}^2=3^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=21$。

② 設 $\overline{BC}=x$、$\overline{CD}=y$。在 $△BCD$ 用餘弦定理：

$$21=x^2+y^2-2xy\cos 120^{\circ }=x^2+y^2+xy$$

③ 由算幾不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$，得 $21\ge 3xy$，即 $xy\le 7$，等號在 $x=y=\sqrt{7}$ 時成立。

④ 面積 $=\frac{1}{2}xy\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}xy\le \frac{7\sqrt{3}}{4}$。

所以最大面積是 $\frac{7\sqrt{3}}{4}$。

答案 $-\frac{5}{2}$。

① $D(4,1)=\frac{2A+B}{3}$，所以 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{BD}=\frac{2}{3}\overline{BA}$。

② $△BDE$ 與 $△BAC$ 共用 $\angle B$，面積比是夾邊乘積的比：

$$\frac{△BDE}{△BAC}=\frac{\overline{BD}}{\overline{BA}}\cdot \frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{1}{2}$$

③ 得 $\frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{3}{4}$，$E=B+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=(0,-1)+\frac{3}{4}(8,-4)=(6,-4)$。

④ 斜率 $=\frac{-4-1}{6-4}=-\frac{5}{2}$。

答案 $36$。

① 行列式不為 $0$ 時，每一列都不能全是 $0$。$4$ 個 $1$ 分到三列、每列至少一個，只能是「一列有兩個 $1$，另兩列各一個 $1$」。

② 選哪一列放兩個 $1$：$3$ 種；這兩個 $1$ 的位置：$3$ 種。設這一列的 $1$ 在第 $i$、$j$ 行。

③ 另兩列各只有一個 $1$。若兩列的 $1$ 在同一行，兩列相同，行列式為 $0$。

④ 若兩列的 $1$ 分別在第 $i$、$j$ 行，兩個 $1$ 的那一列就等於這兩列相加，行列式也是 $0$。

⑤ 兩列的 $1$ 依序放在不同的行有 $3\times 2=6$ 種（下圖以第一列 $1,1,0$ 為例），扣掉第④種情形的 $2$ 種，剩 $4$ 種；這 $4$ 種把行列式展開都是 $\pm 1$，不為 $0$。

所以共 $3\times 3\times 4=36$ 個。