南山高中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 設 $P$ 在平面 $ABC$ 上的投影點為 $O$，則 $\overline{PO}$ 垂直平面 $ABC$。

② 由畢氏定理：${\overline{PA}}^2={\overline{PO}}^2+{\overline{OA}}^2$，${\overline{PB}}^2={\overline{PO}}^2+{\overline{OB}}^2$，${\overline{PC}}^2={\overline{PO}}^2+{\overline{OC}}^2$。

③ 所以 $\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}$ 等價於 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$，也就是 $O$ 是 $△ABC$ 的外心。

④ 反過來，過外心 $O$ 且垂直平面 $ABC$ 的直線上，每一點都滿足條件（$\overline{PO}$ 長度任意，包含 $P=O$）。

⑤ 所以所有 $P$ 點形成一條直線。

答案 (3)。

① 設地球儀半徑為 $R$。赤道是半徑 $R$ 的圓；南緯 $50^{\circ }$ 線是半徑 $R\cos 50^{\circ }$ 的圓（見圖的剖面）。

② 兩點都從 $0$ 度經線走到東經 $100$ 度線，在各自的圓上轉過的圓心角都是 $100^{\circ }$。

③ 弧長和半徑成正比：$A$ 走 $\frac{100}{360}\cdot 2\pi R$，$B$ 走 $\frac{100}{360}\cdot 2\pi R\cos 50^{\circ }$。

④ 同時出發同時到達，速率比等於路程比：

$$\frac{A\text{ 的速率}}{B\text{ 的速率}}=\frac{R}{R\cos 50^{\circ }}=\frac{1}{\cos 50^{\circ }}$$

答案 (5)。

① 移項並提出公因式 $2x^2-x+1$：

$$(2x^2-x+1)(x^2+1-2x)\ge 0⟺(2x^2-x+1)(x-1{)}^2\ge 0$$

② $2x^2-x+1$ 的判別式 $1-8=-7<0$，且領導係數為正，所以對所有實數 $x$ 都有 $2x^2-x+1>0$。

③ $(x-1{)}^2\ge 0$ 對所有實數成立（$x=1$ 時等於 $0$，仍滿足「$\ge$」）。

④ 兩者相乘恆 $\ge 0$，所以不等式對任意實數 $x$ 都成立。

答案 (4)。

① $L：2x+y=2$ 的斜率為 $-2$，與它垂直的直線斜率為 $\frac{1}{2}$，可寫成 $x-2y=c$。選項中只有 (3)、(5) 是這個形式。

② 圓心 $(-2,1)$，半徑 $\sqrt{5}$。直線 $x-2y=c$ 是切線 $⟺$ 圓心到直線的距離等於半徑：

$$\frac{|-2-2\cdot 1-c|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}⟺|-4-c|=5$$

③ 得 $c=1$ 或 $c=-9$，兩條切線是 $x-2y=1$ 與 $x-2y=-9$。

④ (3) $x-2y=9$ 不是切線；(5) $x-2y=1$ 是。

答案 (5)。

① 用 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$，令 $s=\sin \theta$：

$$y=2(1-s^2)-4s+3=-2s^2-4s+5=-2(s+1{)}^2+7$$

② 求 $s$ 的範圍：$\theta$ 從 $30^{\circ }$ 到 $90^{\circ }$，$\sin \theta$ 由 $\frac{1}{2}$ 增到 $1$；從 $90^{\circ }$ 到 $210^{\circ }$，由 $1$ 減到 $-\frac{1}{2}$。所以 $-\frac{1}{2}\le s\le 1$。

③ 拋物線頂點在 $s=-1$，不在範圍內；在 $-\frac{1}{2}\le s\le 1$ 上 $y$ 隨 $s$ 增加而遞減（見圖）。

④ $M=y\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+2+5=\frac{13}{2}$，$m=y(1)=-2-4+5=-1$。

⑤ $M+m=\frac{13}{2}-1=\frac{11}{2}$。

答案 (2)。

先找平分方向：$\frac{\vec{a}}{6}$、$\frac{\vec{b}}{9}$ 是兩個方向上的單位向量，等長的兩向量相加是菱形的對角線，平分夾角。

$$\frac{\vec{a}}{6}+\frac{\vec{b}}{9}=\frac{1}{18}(3\vec{a}+2\vec{b})$$

所以平分夾角的向量是 $3\vec{a}+2\vec{b}$ 的正數倍（$|3\vec{a}|=|2\vec{b}|=18$）。

(1) 錯誤。 $\vec{a}+\vec{b}$ 中兩向量長度 $6\ne 9$，不是 $3\vec{a}+2\vec{b}$ 的倍數。

(2) 正確。 $\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}=\frac{1}{6}(3\vec{a}+2\vec{b})$。

(3) 錯誤。 $\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{1}{6}(2\vec{a}+3\vec{b})$，係數比 $2:3$ 不是 $3:2$。

(4) 正確。 $6\vec{a}+4\vec{b}=2(3\vec{a}+2\vec{b})$。

(5) 錯誤。 $\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b}$ 的係數比是 $2:3$。

答案 (2)(4)。

$\Gamma$ 由所有 $x>0$、$y=\log x$ 的點組成。要「完全相同」，定義域與每個 $x$ 對應的 $y$ 都要一樣。

(1) 錯誤。 $y=\log 3+\log x-\frac{1}{3}$，而 $\log 3\approx 0.477\ne \frac{1}{3}$，整條圖形上下平移了。例如 $(1,0)$ 在 $\Gamma$ 上，但 $0+\frac{1}{3}\ne \log 3$。

(2) 錯誤。 $\log x^2$ 只要 $x\ne 0$ 就有意義，例如 $(-1,0)$ 滿足 $2\cdot 0=\log 1$，卻不在 $\Gamma$ 上；圖形多出 $x<0$ 的一支。

(3) 正確。 $\log x^3$ 要 $x^3>0$，即 $x>0$；此時 $\log x^3=3\log x$，式子就是 $y=\log x$。

(4) 正確。 $x=10^y$ 必有 $x>0$，兩邊取常用對數得 $y=\log x$，兩者互為同一關係。

(5) 錯誤。 取 $\Gamma$ 上的點 $(10,1)$：左邊 $10^3=1000$，右邊 $10^1=10$，不相等。

答案 (3)(4)。

(1) 錯誤。 圖形往右邊一直往下（$x$ 很大時 $f(x)$ 很小），領導係數 $a<0$。

(2) 錯誤。 在 $x=0$ 附近，三次函數的圖形近似直線 $y=cx+d$。圖形過 $y$ 軸時是往右下走的，所以這條近似直線斜率 $c<0$。

(3) 正確。 $d=f(0)$ 是 $y$ 截距，圖形與 $y$ 軸交在正的部分，$d>0$。

(4) 正確。 $y=a(x-h{)}^3+p(x-h)+k$ 是 $y=a{x}^3+px$ 平移的結果。圖形有一高一低兩個轉折，表示 $a$ 與 $p$ 異號；$a<0$，所以 $p>0$。

(5) 正確。 展開 $a(x-h{)}^3$ 的 $x^2$ 項係數是 $-3ah$，和原式比較得 $-3ah=1$，$h=-\frac{1}{3a}$；$a<0$，所以 $h>0$。（圖上對稱中心 $(h,k)$ 也在 $y$ 軸右邊。）

答案 (3)(4)(5)。

令 $t=2x-1$，則 $f(x)=t^4+t^2+1$，而 $t^4\ge 0$、$t^2\ge 0$。

(1) 錯誤。 $f(x)\ge 1$，等號在 $t=0$（$x=\frac{1}{2}$）成立，所以 $1$ 是最小值；$t$ 越大 $f(x)$ 越大，沒有最大值。

(2) 正確。 由餘式定理，以 $2x-1$ 除的餘式是 $f\left(\frac{1}{2}\right)=1$。又 $f(x)=(2x-1{)}^2\left[(2x-1{)}^2+1\right]+1$，以 $(2x-1{)}^2$ 除的餘式也是 $1$。

(3) 正確。 $f(x)\ge 1>0$，圖形全在 $x$ 軸上方。

(4) 錯誤。 常數項是 $f(0)=(-1{)}^4+(-1{)}^2+1=3$。

(5) 正確。 $x$ 換成 $1-x$ 時 $t$ 變成 $-t$，$f$ 的值不變，所以 $f(x)=f(1-x)$，圖形對稱於 $x=\frac{1}{2}$。

因此 $f\left(\frac{6}{7}\right)=f\left(\frac{1}{7}\right)$，$f\left(\frac{5}{7}\right)=f\left(\frac{2}{7}\right)$，$f\left(\frac{4}{7}\right)=f\left(\frac{3}{7}\right)$，代入後正負兩兩抵消，和為 $0$。

答案 (2)(3)(5)。

先解出 $A$、$B$：第一式乘 $3$ 加第二式，

$$11A=3\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}11& 11\\ 0& 0\end{array}\right]$$

所以 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& 0\end{array}\right]-3A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$。

(1) 正確。 $A+B=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$。

(2) 正確。 $A-B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$。

(3) 錯誤。 $AB=\left[\begin{array}{cc}1\cdot 1+1\cdot 1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$。

(4) 錯誤。 $A^2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]=A$，$B^2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right]=B$，所以 $A^2-B^2=A-B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$。

(5) 正確。 $C=A-I=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right]$，$C^2=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\end{array}\right]=-C$。

於是 $C^3=-C^2=C$，乘冪正負交替：奇數次方都等於 $C$，所以 $C^{2025}=C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right]$。

答案 (1)(2)(5)。

① 當 $x\ge 0$：$2x+x<12$，$x<4$，整數 $x=0,1,2,3$，共 $4$ 個。

② 當 $x<0$：$-2x+x<12$，$-x<12$，$x>-12$，整數 $x=-11,-10,\cdots ,-1$，共 $11$ 個。

③ 合起來解是 $-12<x<4$，整數共 $4+11=15$ 個。

答案 15。

① 用樹狀圖算「畢業學校且有交換經驗」的機率：

A 校 $0.3\times 0.12=0.036$，B 校 $0.4\times 0.15=0.060$，C 校 $0.3\times 0.16=0.048$。

② 有交換經驗的機率是三者之和：$0.036+0.060+0.048=0.144$。

③ 已知有交換經驗，是 B 大學畢業的機率（貝氏定理）：

$$\frac{0.060}{0.144}=\frac{60}{144}=\frac{5}{12}$$

答案 $\frac{5}{12}$。

① 三圈共轉 $3\times 360^{\circ }=1080^{\circ }$，由 $60$ 階全等扇形踏板平分。

② 每階的圓心角是 $1080^{\circ }÷60=18^{\circ }=\frac{\pi }{10}$（弧度）。

③ 弧長 $=$ 半徑 $\times$ 圓心角（弧度）：$100\times \frac{\pi }{10}=10\pi$ 公分。

答案 10（即 $10\pi$ 公分）。

① $A=A^{-1}$ 兩邊左乘 $A$，得 $A^2=I$。

② 計算 $A^2$：

$$A^2=\left[\begin{array}{cc}-3& 4\\ x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3& 4\\ x& y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}9+4x& -12+4y\\ -3x+xy& 4x+y^2\end{array}\right]$$

③ 與 $I$ 比較：右上 $-12+4y=0$，$y=3$；左上 $9+4x=1$，$x=-2$。

④ 檢查其餘兩格：左下 $x(y-3)=0$，右下 $-8+9=1$，都成立；行列式 $-3\cdot 3-4\cdot (-2)=-1\ne 0$，反方陣存在。

⑤ $x-2y=-2-6=-8$。

答案 −8。

① 從 $10$ 顆球取兩球有 $C_2^{10}=45$ 種。不論抽獎者抽到哪兩顆，老闆的 $45$ 種取法中：

② 兩顆都相同：$1$ 種；恰一顆相同：$2\times 8=16$ 種（從抽獎者的兩顆選一顆，再從其他 $8$ 顆選一顆）；完全不同：$C_2^8=28$ 種。

③ 列表：

$$\begin{array}{cccc}\text{情形}& \text{完全相同}& \text{一顆相同}& \text{完全不同}\\ \text{機率}& \frac{1}{45}& \frac{16}{45}& \frac{28}{45}\\ \text{獎金}& 3000& 1200& 300\end{array}$$

④ 期望值：

$$\frac{3000\cdot 1+1200\cdot 16+300\cdot 28}{45}=\frac{3000+19200+8400}{45}=\frac{30600}{45}=680$$

答案 680（元）。

① 設 $\overline{AD}=u$，$\overline{AE}=v$。兩個三角形夾同一個角 $60^{\circ }$，面積比等於夾邊乘積的比：

$$\frac{uv}{12\cdot 9}=\frac{2}{3}\Rightarrow uv=72$$

② 在 $△ADE$ 用餘弦定理：${\overline{DE}}^2=u^2+v^2-2uv\cos 60^{\circ }=u^2+v^2-72$。

③ 由算幾不等式 $u^2+v^2\ge 2uv=144$，所以 ${\overline{DE}}^2\ge 144-72=72$。

④ 等號在 $u=v=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\approx 8.49$ 時成立，且 $6\sqrt{2}<9<12$，$D$、$E$ 確實落在兩邊上。

⑤ $\overline{DE}$ 的最小值為 $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。

答案 $6\sqrt{2}$。

① 令 $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=3\overrightarrow{OB}$。

② $\alpha ,\beta \ge 0$ 且 $\alpha +\beta =1$ 時，$P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上；$\alpha +\beta =3$ 時，$P$ 在線段 $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ 上；$1\le \alpha +\beta \le 3$ 時，$P$ 在兩線段之間。

③ 所以區域是 $△O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 扣掉 $△OAB$ 的梯形。

④ $△OAB$ 面積 $=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}$。$△O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 與它相似、邊長 $3$ 倍，面積 $9$ 倍。

⑤ 區域面積 $=9\cdot 3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$。

答案 $24\sqrt{3}$。

① 四種交通方式都有人選，六人分成四組（每組至少一人），人數只有兩種分法：$3,1,1,1$ 或 $2,2,1,1$。

② $3,1,1,1$：選出同組的 $3$ 人 $C_3^6=20$ 種，其餘各自一組。

③ $2,2,1,1$：選兩個兩人組 $\frac{C_2^6\cdot C_2^4}{2!}=\frac{15\cdot 6}{2}=45$ 種，其餘各自一組。

④ 分好的四組再對應到四種交通方式：$4!=24$ 種。

⑤ 共 $(20+45)\times 24=1560$ 種。

答案 1560。

① 換個角度數：長度 $5$ 的序列，相鄰兩位共有 $4$ 個位置（第 $1$、$2$ 位，第 $2$、$3$ 位，第 $3$、$4$ 位，第 $4$、$5$ 位）。

② 每一個 $00$ 都是某個位置上的兩位同時是 $0$。固定一個位置放 $00$，其餘 $3$ 位任意：$4^3=64$ 個序列。

③ 把 $4$ 個位置的個數加起來，就是所有序列中 $00$ 的總次數（一個序列有幾個 $00$ 就被數幾次）：$a(5)=4\times 64=256$。

④ 檢查題目的例子：$a(3)=2\times 4^1=8$，相符。

答案 256。

① $a_k=2\cdot (2\sqrt{2}{)}^{k-1}=2\cdot 2^{\frac{3}{2}(k-1)}$，取對數：

$${\log }_2{a}_k=1+\frac{3}{2}(k-1)=\frac{3k-1}{2}$$

這是公差 $\frac{3}{2}$ 的等差數列：$1,\frac{5}{2},4,\frac{11}{2},\cdots$。

② 前後兩項一組：${\log }_2{a}_{2j-1}-{\log }_2{a}_{2j}=-\frac{3}{2}$。

③ $n$ 為偶數時，和 $=\frac{n}{2}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)<0$，不可能大於 $19$。

④ $n$ 為奇數時，前 $n-1$ 項配成 $\frac{n-1}{2}$ 組，再加最後一項：

$$-\frac{3}{2}\cdot \frac{n-1}{2}+\frac{3n-1}{2}=\frac{3n+1}{4}$$

⑤ $\frac{3n+1}{4}>19⟺3n>75⟺n>25$，最小的奇數 $n$ 是 $27$。

答案 27。