正義高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 正六邊形的中心記為 $O$，則 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$（$ABOF$ 是菱形）。

② $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}$，所以 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$。

③ $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$。

④ $M$ 是 $\overline{CD}$ 中點：

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$$

⑤ $x+y=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。

答案 (4)。

① 改寫兩個向量：$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$。

② $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}=\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$。

③ 兩者垂直，內積為 $0$：

$$\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)={\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=0$$

④ 所以 $\overline{AB}=\overline{AC}$，三角形是等腰三角形；條件沒有給角度，無法再確定是直角、鈍角或正三角形。

答案 (3)。

① $t\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(t-2,t-6)$。

② 長度平方：

$${\left|t\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2=(t-2{)}^2+(t-6{)}^2=2t^2-16t+40=2(t-4{)}^2+8$$

③ $t=4$ 時長度平方最小為 $8$，所以 $x=4$，$y=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.83$。

④ $x+y\approx 6.83$，最接近的整數是 $7$。

答案 (3)。

① $\overline{BC}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$。取 $B(0,0)$、$A(0,4)$、$C(2\sqrt{5},0)$。

② $\overline{DF}$ 是 $\overline{AB}$ 的中垂線：$D(0,2)$，$\overline{DF}$ 是水平線 $y=2$，交 $\overline{AC}$ 於中點 $F(\sqrt{5},2)$。

③ $\overline{AE}$ 平分 $\angle CAB$：$\overline{BE}:\overline{EC}=\overline{AB}:\overline{AC}=2:3$，所以 $\overline{BE}=\frac{2}{5}\times 2\sqrt{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$E\left(\frac{4\sqrt{5}}{5},0\right)$。

④ $y=2$ 恰在 $A$、$E$ 高度的正中間，所以 $P$ 是 $\overline{AE}$ 中點：$P\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},2\right)$。

⑤ $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},-2\right)$，$\overrightarrow{DF}=(\sqrt{5},0)$，

$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \sqrt{5}+(-2)\times 0=2$$

答案 (3)。

① $OCDE$ 是菱形，所以 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}$，即 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OE}$。

② 設 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OC}+\beta \overrightarrow{OE}=\alpha \overrightarrow{OD}+(\beta -\alpha )\overrightarrow{OE}$。

③ $P$ 在 $△ODE$ 內部（不含邊界）的條件：$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OE}$ 的係數都大於 $0$ 且和小於 $1$，即 $\alpha >0$，$\beta -\alpha >0$，$\beta <1$。

④ 逐項檢查：

(1) $\alpha =\beta =1$：$\beta -\alpha =0$，且 $\beta =1$，$P=D$ 在邊界上，不合。

(2) $\alpha =\frac{1}{4}$，$\beta =\frac{1}{2}$：$\alpha >0$，$\beta -\alpha =\frac{1}{4}>0$，$\beta <1$，合。

(3)、(5) $\alpha <0$，不合。

(4) $\beta -\alpha =-\frac{3}{4}<0$，不合。

答案 (2)。

(1) 錯誤。 $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2\times (-3)+1\times 1=-5<0$，夾角為鈍角。

(2) 錯誤。 面積 $=\left|\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 1\end{array}\right|\right|=|2+3|=5$。

(3) 正確。 $\overrightarrow{OP}=(2,1)+2(-3,1)=(-4,3)$，只有一個點。

(4) 錯誤。 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}$，$P$ 從 $\overrightarrow{u}$ 的終點沿 $\overrightarrow{v}$ 走到 $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ 的終點，長度 $2\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{10}$，不是 $40$。

(5) 正確。 圖形是以 $2\overrightarrow{u}$、$2\overrightarrow{v}$ 為兩鄰邊的平行四邊形，面積 $=2\times 2\times 5=20$。

答案 (3)(5)。

① $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=5$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=12-12=0$，兩者垂直。

② 因為 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{u}$ 等於它在 $\overrightarrow{a}$ 方向與 $\overrightarrow{b}$ 方向的兩個正射影相加。設 $\left|\overrightarrow{u}\right|=k$，在 $\overrightarrow{a}$ 方向的正射影長為 $k-1$，在 $\overrightarrow{b}$ 方向的正射影是 $\overrightarrow{b}$，長 $5$。

③ 畢氏定理：$k^2=(k-1{)}^2+5^2$，得 $2k=26$，$k=13$，$a$ 方向正射影長 $12$。

④ 夾角皆為銳角，正射影與 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 同向：

$$\overrightarrow{u}=12\times \frac{(4,3)}{5}+(3,-4)=\left(\frac{63}{5},\frac{16}{5}\right)$$

(1) 正確。 $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{9+16}=5$。

(2) 正確。 由 ①。

(3) 錯誤。 $\left|\overrightarrow{u}\right|=13$。

(4) 錯誤。 $\overrightarrow{u}=\left(\frac{63}{5},\frac{16}{5}\right)$。

(5) 正確。 $\overrightarrow{u}\cdot (-1,8)=\frac{-63+128}{5}=13$，正射影長 $=\frac{13}{\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{65}}{5}$。

答案 (1)(2)(5)。

(1) 正確。 三角不等式：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 首尾相接，兩邊和大於或等於第三邊。

(2) 學校答案列為正確。照卷面字面 $\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\ge \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ 不一定成立，反例：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=\left(\frac{1}{2},0\right)$，左邊 $\frac{1}{4}$，右邊 $1$。若右邊是 $\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right|$，由內積的定義 $\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right||\cos \theta |$ 就一定成立。

(3) 正確。 $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$，可設 $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，則 $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=k\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\right)=0$。

(4) 正確。 兩邊平方相減：${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2=4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，又兩者非零，所以垂直。

(5) 錯誤。 在平面上，與 $\overrightarrow{b}$ 垂直的方向只有一個，所以 $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{c}$，例如 $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}$ 時 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\ne 0$。

答案 (1)(2)(3)(4)（照學校公布的答案；照卷面字面只有 (1)(3)(4) 成立）。

① $D$ 在直線 $AP$ 上，設 $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}=\frac{2k}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{4k}{7}\overrightarrow{AC}$。

② $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，係數和為 $1$：$\frac{6k}{7}=1$，$k=\frac{7}{6}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。

(1) 正確。 由 ②，$k=\frac{7}{6}$。

(2) 錯誤。 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overline{BD}:\overline{DC}=2:1$。

(3) 正確。 由 ②。

(4) 正確。 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ 時，$△ABP$ 面積是 $△ABC$ 的 $y$ 倍，$△ACP$ 面積是 $△ABC$ 的 $x$ 倍，所以比為 $\frac{4}{7}:\frac{2}{7}=2:1$。

(5) 正確。 由 (4)，$△ABP:△ABC=\frac{4}{7}:1=4:7$。

答案 (1)(3)(4)(5)。

(1) 錯誤。 $y=-\frac{3}{4}x+3$，斜率為 $-\frac{3}{4}$。

(2) 正確。 $ax+by=c$ 的法向量為 $(a,b)=(3,4)$。

(3) 正確。 $(-6,-8)=-2(3,4)$，與 $(3,4)$ 平行，也是法向量。

(4) 正確。 $(-4,3)\cdot (3,4)=-12+12=0$，與法向量垂直，是方向向量。

(5) 錯誤。 兩法向量 $(3,4)$、$(2,-1)$ 的夾角餘弦取絕對值：

$$\cos \theta =\frac{|6-4|}{5\times \sqrt{5}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}\ne \frac{2}{5}$$

答案 (2)(3)(4)。

① 垂直時內積為 $0$：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3t+12=0$。

② $t=-4$。

答案 −4。

① $\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(2-t,5+2t)$。

② 與 $\overrightarrow{c}=(3,1)$ 平行，坐標成比例：$(2-t)\times 1=(5+2t)\times 3$。

③ $2-t=15+6t$，$7t=-13$，$t=-\frac{13}{7}$。

答案 $-\frac{13}{7}$。

① $\overrightarrow{AB}=(1,9)$，$\overrightarrow{AC}=(5,1)$。

② 兩者在 $L$ 上的正射影相同，等於 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ 在 $L$ 上的正射影為零向量，也就是 $\overrightarrow{CB}\perp L$。

③ $\overrightarrow{CB}=(-4,8)$，$L$ 的方向向量 $(1,m)$：$-4+8m=0$。

④ $m=\frac{1}{2}$。

答案 $\frac{1}{2}$。

① $L:x-2y=0$ 過原點，方向向量取 $\overrightarrow{d}=(2,1)$。

② $\overrightarrow{OQ}$ 是 $\overrightarrow{OP}$ 在 $\overrightarrow{d}$ 上的正射影：

$$\overrightarrow{OQ}=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{d}}{{\left|\overrightarrow{d}\right|}^2}\overrightarrow{d}=\frac{6+4}{5}(2,1)=(4,2)$$

③ 檢查：$\overrightarrow{QP}=(-1,2)$，$(-1,2)\cdot (2,1)=0$，確實垂直。

答案 (4, 2)。

① $|x-2|$ 是數線上 $x$ 到 $2$ 的距離，$|x-4|$ 是 $x$ 到 $4$ 的距離。

② $x$ 在 $2$ 與 $4$ 之間時，兩段距離和恰好是 $2$ 到 $4$ 的距離 $2$；$x$ 在區間外時，和比 $2$ 大。

③ 最小值為 $2$（$2\le x\le 4$ 時取到）。

答案 2。

① 設 $\det \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=d$。

② $\det \left(\frac{3}{2}\overrightarrow{a},2\overrightarrow{b}\right)=\frac{3}{2}\times 2\times d=3d$，面積 $3|d|=21$，所以 $|d|=7$。

③ 用行列式的性質展開：

$$\det \left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)=6\det \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)-\det \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)=6d+d=7d$$

④ 面積 $=7|d|=49$。

答案 49。

① 把新方程組改寫：$2a_{1}x+3b_{1}y=4c_1$ 兩邊除以 $4$，得 $a_1\cdot \frac{x}{2}+b_1\cdot \frac{3y}{4}=c_1$；第二式同理。

② 所以 $\left(\frac{x}{2},\frac{3y}{4}\right)$ 是原方程組的解。原方程組的解只有 $(1,3)$（題目說「之解」為 $(1,3)$，係數行列式不為 $0$）。

③ $\frac{x}{2}=1$，$\frac{3y}{4}=3$，得 $x=2$，$y=4$。

答案 (2, 4)。

① $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{5}$，$\left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{10}$。

② 以 $t\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 為兩鄰邊作平行四邊形，$\overrightarrow{OP}$ 是對角線。對角線平分夾角，恰好是兩鄰邊等長（菱形）的時候。

③ $t>0$ 且 $t\sqrt{5}=\sqrt{10}$，得 $t=\sqrt{2}$。

答案 $\sqrt{2}$。

① $\overline{AE}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $D$，角平分線分對邊：$\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AB}:\overline{AC}=3:2$。

② 分點公式：$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$。

③ $△ABD$ 面積 $=\frac{3}{5}△ABC$ 面積（$\overline{BD}=\frac{3}{5}\overline{BC}$）。

④ $△ABE$ 與 $△ABD$ 有共同頂點 $B$，底邊 $\overline{AE}$、$\overline{AD}$ 在同一直線上，面積比 $=\overline{AE}:\overline{AD}$。

⑤ $△ABE=3△ABC=5△ABD$，所以 $\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$。

⑥ $r=2$，$s=3$，$r-s=-1$。

答案 −1。

① 先看係數 $(x,y)$ 的範圍：$-1\le x\le 1$、$-1\le y\le 1$ 是正方形，再切掉 $x+y>1$ 的一角，得到頂點 $(-1,-1)$、$(1,-1)$、$(1,0)$、$(0,1)$、$(-1,1)$ 的五邊形。

② 每個頂點代入 $\overrightarrow{OP}=x(2,3)+y(5,1)$：

$(-1,-1)\to (-7,-4)$，$(1,-1)\to (-3,2)$，$(1,0)\to (2,3)$，$(0,1)\to (5,1)$，$(-1,1)\to (3,-2)$。

③ (1) 開心農場是以這五點為頂點的五邊形（含邊界），如詳解圖。

④ (2) 係數範圍的面積：正方形 $4$ 減去切掉的直角三角形 $\frac{1}{2}$，得 $\frac{7}{2}$。

⑤ 每單位係數面積對應 $\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 張出的平行四邊形面積 $\left|\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 1\end{array}\right|\right|=|2-15|=13$。

⑥ 面積 $=\frac{7}{2}\times 13=\frac{91}{2}$ 平方單位。

答案：(1) 見詳解圖；(2) $\frac{91}{2}$ 平方單位。

① 柯西不等式，把 $2x$ 與 $\frac{8}{x}$、$3y$ 與 $\frac{3}{y}$ 配對：

$$\left(2x+3y\right)\left(\frac{8}{x}+\frac{3}{y}\right)\ge {\left(\sqrt{2x}\cdot \sqrt{\frac{8}{x}}+\sqrt{3y}\cdot \sqrt{\frac{3}{y}}\right)}^2=(4+3{)}^2=49$$

② 代入 $2x+3y=14$：$14\left(\frac{8}{x}+\frac{3}{y}\right)\ge 49$，所以 $\frac{8}{x}+\frac{3}{y}\ge \frac{7}{2}$。

③ 等號成立：$\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{8/x}}=\frac{\sqrt{3y}}{\sqrt{3/y}}$，即 $\frac{x}{2}=y$，$x=2y$。

④ 代回 $2x+3y=14$：$7y=14$，$y=2$，$x=4$。

答案：(1) 最小值 $\frac{7}{2}$；(2) $(x,y)=(4,2)$。