段考詳解範圍：相似形（連比、連比例式、平行線截比例線段、相似多邊形、相似三角形）

屏東中正國中 114 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

選擇題 12 題（每題 4 分，共 48 分）、填充題 13 題共 13 格（每格 4 分，共 52 分）

一、選擇題：每題 4 分，共 48 分

設

x : z = 3 : 2

，

y : z = 2 : 3

，則

x : y : z =

？

(A) $3 : 2 : 3$
(B) $3 : 4 : 6$
(C) $6 : 4 : 3$
(D) $9 : 4 : 6$

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{F G} ∥ \overline{B C}

，且

\overline{A D} : \overline{D F} : \overline{B F} = 1 : 2 : 3

。若

\overline{B C} = 18

，則

\overline{F G} =

？

(A) $12$
(B) $10$
(C) $9$
(D) $8$

載入中...

⑴ 兩個長方形一定相似　⑵ 兩個菱形一定相似　⑶ 兩個正方形一定相似　⑷ 兩個對應角相等的五邊形一定相似　⑸ 兩個正十二邊形一定相似。以上敘述正確的有幾個？

(A) $2$ 個
(B) $3$ 個
(C) $4$ 個
(D) $5$ 個

如圖，竹竿和掃把各一支綁在一起，形成一根

260

公分的長掃把，其中

\overline{B C}

為竹竿與掃把綁在一起的部分。若竹竿的

\overline{A B} : \overline{B C} = 5 : 2

，掃把的

\overline{B C} : \overline{C D} = 1 : 3

，則掃把比竹竿長幾公分？

(A) $15$ 公分
(B) $10$ 公分
(C) $25$ 公分
(D) $20$ 公分

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

D

、

E

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，

F

、

G

分別為

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，

P

、

Q

分別為

\overline{A F}

、

\overline{A G}

的中點，若

\overline{P Q} = 3

，則

\overline{F G} + \overline{D E} + \overline{B C} =

？

(A) $46$
(B) $44$
(C) $42$
(D) $40$

載入中...

設

x : y : z = 5 : 3 : 4

，求

(x + 2 y - z) : (2 x - y + z) : (x + y - z)

的比為何？

(A) $3 : 4 : 6$
(B) $7 : 11 : 4$
(C) $6 : 4 : 3$
(D) $9 : 4 : 6$

如圖(1)，

\overline{B D}

與

\overline{C E}

相交於

A

點，

\overline{A B} = 10

、

\overline{A C} = 8

、

\overline{A D} = 5

、

\overline{A E} = 4

、

\overline{D E} = 6

，則

\overline{B C}

的長度為何？

(A) $12$
(B) $10$
(C) $16$
(D) $14$

載入中...

如圖(2)，

\overline{A D} ∥ \overline{B E} ∥ \overline{C F}

。若

\overline{A B} = 2 x + 2

、

\overline{B C} = 3 x + 1

、

\overline{D E} = 9

、

\overline{E F} = 12

，則

x

的值為多少？

(A) $4$
(B) $5$
(C) $6$
(D) $7$

載入中...

如圖(3)，不等長的兩對角線

\overline{A C}

、

\overline{B D}

交於

O

點，且將四邊形

A B C D

分成甲、乙、丙、丁四個三角形。若

\overline{O A} : \overline{O C} = \overline{O B} : \overline{O D} = 2 : 5

，則此四個三角形中，哪兩個三角形相似？

(A) 甲、乙
(B) 乙、丁
(C) 甲、丙
(D) 乙、丙

載入中...

如圖(4)，

\overline{A D} = 9

，

\overline{B D} = 12

，

∠ A D E = ∠ B = ∠ E F C

，

\overline{B F} = 6

，

\overline{C F} = x

，則

x

的值為多少？

(A) $12$
(B) $10$
(C) $9$
(D) $8$

載入中...

如圖(5)，四邊形

A B C D \sim

四邊形

E F G H

，其中

A

、

B

、

C

、

D

的對應點分別為

E

、

F

、

G

、

H

，若各邊的長度如圖(5) 所示，則

\overline{A B} =

？

(A) $16$
(B) $18$
(C) $20$
(D) $22$

載入中...

若

x

、

y

、

z

皆不為

0

，

\frac{3}{5} x = \frac{1}{4} y

，

\frac{1}{2} y = \frac{2}{3} z

，則

x : y : z =

？

(A) $5 : 12 : 9$
(B) $3 : 4 : 5$
(C) $6 : 4 : 3$
(D) $5 : 4 : 6$

二、填充題：每格 4 分，共 52 分（本頁第 13～25 題依序為原卷填充題 1～13）

設

x : y : z = 2 : 3 : 4

，若

3 x + 2 y + z = 320

，則

y + z - x =

____。

如圖，四邊形

A B C D

中，

E

、

F

分別為

\overline{A B}

、

\overline{C D}

上一點，且

\overline{A D} ∥ \overline{E F} ∥ \overline{B C}

，若

\overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

，且

\overline{A D} = 7

、

\overline{B C} = 12

，則

\overline{E F}

的長度為 ____。

載入中...

如圖，

△ A B C

中，若

\overline{A D} = 2

，

\overline{B D} = 4

，

\overline{A E} = 3

，

\overline{C E} = 1

，

\overline{B C} = 7

，則

\overline{D E} =

____。

載入中...

如圖，

D

、

E

兩點分別在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上。若

\overline{A D} = 20

、

\overline{B D} = 4

、

\overline{A C} = 30

、

\overline{A E} = 16

、

\overline{D E} = 8

，則

\overline{B C} =

____。

載入中...

已知小妍、小靖、小翊三人的零用錢數比為

5 : 4 : 3

，小妍各給小靖及小翊

60

元後，三人的零用錢數比變為

8 : 9 : 7

，則原來三人共有零用錢 ____ 元。

如圖，

\overline{A D} = 9

，

\overline{B D} = 3

，若

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，則

\overline{A C} =

____。

載入中...

正中美術館的門票分三種，其中全票每張

100

元，團體票每張

70

元，優待票每張

50

元。若某天門票收入共

10000

元，且全票、團體票、優待票的賣出票數比為

8 : 15 : 3

，則當天門票共賣出 ____ 張。

如圖，

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，直線

M_{1}

與

M_{2}

為截線，

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 8

。若

\overline{D F}

比

\overline{D E}

的

2

倍多

2

，則

\overline{D E}

的長度為 ____。

載入中...

如圖，若

∠ A B C = ∠ A C D

，

\overline{A B} = 16

，

\overline{B C} = 12

，

\overline{A C} = 18

，

\overline{C D} = 24

，則

\overline{A D} =

____。

載入中...

設

x : y : z = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}

，若

2 x + 3 y + 4 z = 360

，則

(x + 2) : (y - 9) : (3 z + 3) =

____。

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，且

\overline{A F} = 3

、

\overline{F D} = 5

，則

\overline{B D}

的長度為 ____。

載入中...

如圖，

D

為

\overline{A B}

上一點，且

∠ A D C = ∠ A C B

，若

\overline{A B} = 9

、

\overline{A C} = 6

，則

\overline{B D} =

____。

載入中...

小妍利用尺規作圖，在

\overline{A B}

上找到一點

R

，圖中是他的作圖痕跡，若

\overline{A B} = 28

，

\overline{B Q} = 21

，則

\overline{P R} =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(A)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題(B)

第 7 題(A)

第 8 題(B)

第 9 題(B)

第 10 題(D)

第 11 題(C)

第 12 題(A)

第 13 題

100

第 14 題

9

第 15 題

\frac{7}{2}

（或

3.5

）

第 16 題

12

第 17 題

1440

第 18 題

16

第 19 題

130

第 20 題

\frac{10}{3}

第 21 題

27

第 22 題

2 : 1 : 3

第 23 題

\frac{40}{3}

第 24 題

5

第 25 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1、6、12：連比

第 1 題答案 (D)。兩個比裡都有

z

，先把

z

變成一樣的數。

x : z = 3 : 2 = 9 : 6

。

y : z = 2 : 3 = 4 : 6

。這時

z

都是

6

，所以

x : y : z = 9 : 4 : 6

。

2

和

3

的最小公倍數是

6

，所以把

z

都化成

6

。

第 6 題答案 (B)。設

x = 5 k

、

y = 3 k

、

z = 4 k

（

k \neq = 0

）。

x + 2 y - z = 5 k + 6 k - 4 k = 7 k

。

2 x - y + z = 10 k - 3 k + 4 k = 11 k

。

x + y - z = 5 k + 3 k - 4 k = 4 k

。所以三個式子的比是

7 k : 11 k : 4 k = 7 : 11 : 4

。

第 12 題答案 (A)。由

\frac{3}{5} x = \frac{1}{4} y

，兩邊同乘以

20

得

12 x = 5 y

，所以

x : y = 5 : 12

。由

\frac{1}{2} y = \frac{2}{3} z

，兩邊同乘以

6

得

3 y = 4 z

，所以

y : z = 4 : 3 = 12 : 9

。兩個比裡的

y

都是

12

，所以

x : y : z = 5 : 12 : 9

。

12 x = 5 y

寫成比時，

x

對到

5

、

y

對到

12

（內項乘積等於外項乘積），不要寫反。

兩個比要合成連比，先把共同的那一項化成同一個數。

02選擇 2、5、8：平行線截比例線段

第 2 題答案 (C)。

\overline{A D} : \overline{D F} : \overline{F B} = 1 : 2 : 3

，設三段長為

k

、

2 k

、

3 k

。則

\overline{A F} = k + 2 k = 3 k

，

\overline{A B} = k + 2 k + 3 k = 6 k

。因為

\overline{F G} ∥ \overline{B C}

，所以

△ A F G \sim △ A B C

（AA 相似：

∠ A

共用，

∠ A F G = ∠ A B C

是同位角）。對應邊成比例：

\overline{F G} : \overline{B C} = \overline{A F} : \overline{A B} = 3 k : 6 k = 1 : 2

。所以

\overline{F G} = 18 \times \frac{1}{2} = 9

。

原卷寫

\overline{B F}

，和

\overline{F B}

是同一條線段。

\overline{F G} : \overline{B C}

要用

\overline{A F} : \overline{A B}

，不是

\overline{A F} : \overline{F B}

。

第 5 題答案 (C)。三角形兩邊中點的連線，長度是第三邊的一半。在

△ A F G

中，

P

、

Q

是

\overline{A F}

、

\overline{A G}

的中點，所以

\overline{F G} = 2 \times \overline{P Q} = 6

。在

△ A D E

中，

F

、

G

是

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，所以

\overline{D E} = 2 \times \overline{F G} = 12

。在

△ A B C

中，

D

、

E

是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，所以

\overline{B C} = 2 \times \overline{D E} = 24

。

\overline{F G} + \overline{D E} + \overline{B C} = 6 + 12 + 24 = 42

。

第 8 題答案 (B)。三條平行線截兩條截線，截出的對應線段成比例：

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{D E} : \overline{E F}

。代入得

(2 x + 2) : (3 x + 1) = 9 : 12 = 3 : 4

。內項乘積等於外項乘積：

4 (2 x + 2) = 3 (3 x + 1)

。

8 x + 8 = 9 x + 3

。

x = 5

。驗算：

\overline{A B} = 12

、

\overline{B C} = 16

，

12 : 16 = 3 : 4

，符合。

03選擇 3、11：相似多邊形

第 3 題答案 (A)。兩個多邊形相似，要同時滿足「對應角相等」和「對應邊成比例」。⑴ 錯：長方形的角都是

9 0^{\circ}

，但長和寬的比不一定相同，例如

1 \times 2

與

1 \times 3

。⑵ 錯：菱形四邊等長，對應邊成比例，但角不一定相等，例如一個內角

6 0^{\circ}

和一個內角

9 0^{\circ}

的菱形。⑶ 對：正方形四個角都是

9 0^{\circ}

，四邊等長，兩個條件都滿足。⑷ 錯：只有對應角相等，對應邊不一定成比例。⑸ 對：正十二邊形每個內角都相等，每邊都等長，兩個條件都滿足。正確的是 ⑶、⑸，共

2

個。

三角形只要對應角相等就相似，但四邊形以上不行，兩個條件都要檢查。

第 11 題答案 (C)。對應邊成比例，先找都是數字的一組：

\overline{A D}

對應

\overline{E H}

，

\overline{A D} : \overline{E H} = 12 : 6 = 2 : 1

。所以大四邊形每一邊都是小四邊形對應邊的

2

倍。

\overline{A B} = 2 \times \overline{E F}

：

4 x + 3 y + 2 = 2 (3 x + y - 1)

，整理得

4 x + 3 y + 2 = 6 x + 2 y - 2

，即

y = 2 x - 4

。

\overline{B C} = 2 \times \overline{F G}

：

6 y = 2 (x + 2 y - 1)

，整理得

6 y = 2 x + 4 y - 2

，即

y = x - 1

。兩式相等：

2 x - 4 = x - 1

，

x = 3

，

y = 2

。

\overline{A B} = 4 \times 3 + 3 \times 2 + 2 = 20

。

驗算：

\overline{E F} = 3 \times 3 + 2 - 1 = 10

，

\overline{A B} = 20

正好是

2

倍；

\overline{B C} = 12

、

\overline{F G} = 6

也是

2

倍。

04選擇 4：重疊線段的連比

第 4 題答案 (D)。竹竿是

\overline{A C}

，掃把是

\overline{B D}

，重疊的部分是

\overline{B C}

。

\overline{A B} : \overline{B C} = 5 : 2

。

\overline{B C} : \overline{C D} = 1 : 3 = 2 : 6

。兩個比裡的

\overline{B C}

都是

2

，所以

\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C D} = 5 : 2 : 6

。設三段為

5 k

、

2 k

、

6 k

。全長

\overline{A D} = 5 k + 2 k + 6 k = 13 k = 260

，

k = 20

。竹竿長

\overline{A C} = 5 k + 2 k = 7 k = 140

公分。掃把長

\overline{B D} = 2 k + 6 k = 8 k = 160

公分。

160 - 140 = 20

公分。

全長

260

公分裡，綁在一起的

\overline{B C}

只能算一次。

05選擇 7、9、10：相似三角形

第 7 題答案 (A)。看

△ A B C

和

△ A D E

。

∠ B A C = ∠ D A E

（對頂角）。夾這個角的兩邊：

\overline{A B} : \overline{A D} = 10 : 5 = 2 : 1

，

\overline{A C} : \overline{A E} = 8 : 4 = 2 : 1

。兩邊成比例且夾角相等，所以

△ A B C \sim △ A D E

（SAS 相似）。對應邊

\overline{B C} : \overline{D E} = 2 : 1

，

\overline{B C} = 2 \times 6 = 12

。

第 9 題答案 (B)。由圖，甲是

△ A O D

、乙是

△ C O D

、丙是

△ B O C

、丁是

△ A O B

。看丁和乙：

∠ A O B = ∠ C O D

（對頂角），而且

\overline{O A} : \overline{O C} = \overline{O B} : \overline{O D} = 2 : 5

，夾角的兩邊成比例，所以

△ A O B \sim △ C O D

（SAS 相似），也就是乙、丁相似。再看甲和丙：

∠ A O D = ∠ C O B

（對頂角），但

\overline{O A} : \overline{O C} = 2 : 5

，

\overline{O D} : \overline{O B} = 5 : 2

，這樣配不成比例。換另一種配法要

\overline{O A} : \overline{O B} = \overline{O D} : \overline{O C}

，設

\overline{O A} = 2 a

、

\overline{O C} = 5 a

、

\overline{O B} = 2 b

、

\overline{O D} = 5 b

，就是

2 a : 2 b = 5 b : 5 a

，得

a = b

，這時

\overline{A C} = 7 a

和

\overline{B D} = 7 b

一樣長，和題目「兩對角線不等長」不合。所以甲、丙不相似。

題目特別說兩條對角線不等長，就是為了排除甲、丙相似的情形。

第 10 題答案 (D)。

∠ A D E = ∠ B

，同位角相等，所以

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

。在

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A E} : \overline{E C} = \overline{A D} : \overline{D B} = 9 : 12 = 3 : 4

。

∠ E F C = ∠ B

，同位角相等，所以

\overline{E F} ∥ \overline{A B}

。在

△ C A B

中，

\overline{E F} ∥ \overline{A B}

，所以

\overline{C F} : \overline{F B} = \overline{C E} : \overline{E A} = 4 : 3

。代入

\overline{F B} = 6

：

x : 6 = 4 : 3

，

3 x = 24

，

x = 8

。

另一個做法：

D E F B

的兩組對邊分別平行，是平行四邊形，

\overline{D E} = \overline{B F} = 6

；再由

\overline{D E} : \overline{B C} = \overline{A D} : \overline{A B} = 9 : 21

得

\overline{B C} = 14

，

x = 14 - 6 = 8

。

看到交叉的兩條線先找對頂角，看到相等的同位角先寫出平行。

06填充 1、5、7、10（第 13、17、19、22 題）：連比的應用

第 13 題設

x = 2 k

、

y = 3 k

、

z = 4 k

。代入

3 x + 2 y + z = 320

：

6 k + 6 k + 4 k = 16 k = 320

，

k = 20

。

y + z - x = 3 k + 4 k - 2 k = 5 k = 100

。

第 17 題錢只在三人之間移動，三人的總錢數不變。原來的比

5 : 4 : 3

，合計

12

份；後來的比

8 : 9 : 7

，合計

24

份。把原來的比擴大成合計也是

24

份：

5 : 4 : 3 = 10 : 8 : 6

。這樣每一份代表的錢數前後相同。小妍從

10

份變成

8

份，少了

2

份；小妍一共給出

60 + 60 = 120

元，所以

2

份是

120

元，

1

份是

60

元。三人共有

24

份，

24 \times 60 = 1440

元。

驗算：原來是

600

、

480

、

360

元；給完後是

480

、

540

、

420

元，比是

8 : 9 : 7

，符合。

第 19 題設全票、團體票、優待票各賣出

8 k

、

15 k

、

3 k

張。收入：

100 \times 8 k + 70 \times 15 k + 50 \times 3 k = 800 k + 1050 k + 150 k = 2000 k

。

2000 k = 10000

，

k = 5

。總張數

8 k + 15 k + 3 k = 26 k = 130

張。

第 22 題先把分數的比化成整數比：三個數同乘以

12

，

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 6 : 4 : 3

。設

x = 6 k

、

y = 4 k

、

z = 3 k

。代入

2 x + 3 y + 4 z = 360

：

12 k + 12 k + 12 k = 36 k = 360

，

k = 10

。所以

x = 60

、

y = 40

、

z = 30

。

x + 2 = 62

，

y - 9 = 31

，

3 z + 3 = 93

。

62 : 31 : 93 = 2 : 1 : 3

（同除以

31

）。

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}

不是

2 : 3 : 4

，要乘以分母的最小公倍數

12

。

連比的題目先設成

k

的倍數，再把條件代進去求

k

。

07填充 2、6、8、11、13（第 14、18、20、23、25 題）：平行線截比例線段

第 14 題連對角線

\overline{A C}

，設它和

\overline{E F}

交於

G

。在

△ A B C

中，

\overline{E G} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{E G} : \overline{B C} = \overline{A E} : \overline{A B} = 2 : 5

，

\overline{E G} = 12 \times \frac{2}{5} = \frac{24}{5}

。同樣由

\overline{E G} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A G} : \overline{GC} = \overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

。在

△ C A D

中，

\overline{GF} ∥ \overline{A D}

，所以

\overline{GF} : \overline{A D} = \overline{C G} : \overline{C A} = 3 : 5

，

\overline{GF} = 7 \times \frac{3}{5} = \frac{21}{5}

。

\overline{E F} = \overline{E G} + \overline{GF} = \frac{24}{5} + \frac{21}{5} = 9

。

靠近

\overline{B C}

的那一段用

\frac{2}{5}

，靠近

\overline{A D}

的那一段用

\frac{3}{5}

，兩個分數不要對調。

第 18 題圖上標示

\overline{A E} = 2 x + 2

、

\overline{E C} = x - 1

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A E} : \overline{E C} = \overline{A D} : \overline{D B} = 9 : 3 = 3 : 1

。

(2 x + 2) : (x - 1) = 3 : 1

。

2 x + 2 = 3 (x - 1)

，

2 x + 2 = 3 x - 3

，

x = 5

。

\overline{A E} = 12

，

\overline{E C} = 4

，

\overline{A C} = 12 + 4 = 16

。

第 20 題

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，所以

\overline{D E} : \overline{E F} = \overline{A B} : \overline{B C} = 5 : 8

。設

\overline{D E} = 5 k

、

\overline{E F} = 8 k

，則

\overline{D F} = 13 k

。題目說

\overline{D F}

比

\overline{D E}

的

2

倍多

2

：

13 k = 2 \times 5 k + 2

。

3 k = 2

，

k = \frac{2}{3}

。

\overline{D E} = 5 k = \frac{10}{3}

。

驗算：

\overline{D F} = 13 \times \frac{2}{3} = \frac{26}{3}

，而

2 \times \frac{10}{3} + 2 = \frac{26}{3}

，符合。

第 23 題在

△ A D C

中，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，所以

\overline{A E} : \overline{E C} = \overline{A F} : \overline{F D} = 3 : 5

。在

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{E C} = 3 : 5

。

\overline{A D} = \overline{A F} + \overline{F D} = 3 + 5 = 8

。

8 : \overline{D B} = 3 : 5

，

3 \times \overline{D B} = 40

，

\overline{B D} = \frac{40}{3}

。

兩組平行線都把

\overline{A C}

分成同一個比

\overline{A E} : \overline{E C}

，用它當橋樑。

第 25 題由作圖痕跡，從

A

出發的射線上用同樣的半徑連續截了

7

段，

P

是第

2

個截點，

Q

是第

7

個截點，所以

\overline{A P} : \overline{A Q} = 2 : 7

。過

P

作的線段和

\overline{QB}

平行（圖中

Q

、

P

兩處各有一道大弧和一道交弧，是在

P

點作一個和

∠ A QB

一樣大的角的痕跡），所以

△ A P R \sim △ A QB

（AA 相似：

∠ A

共用，

∠ A P R = ∠ A QB

）。對應邊

\overline{P R} : \overline{QB} = \overline{A P} : \overline{A Q} = 2 : 7

。

\overline{P R} = 21 \times \frac{2}{7} = 6

。

這題求的是

\overline{P R}

，用到的是

\overline{B Q} = 21

；

\overline{A B} = 28

可以算出

\overline{A R} = 28 \times \frac{2}{7} = 8

，但不是題目要的。

看到平行，就把同一條邊上被截出的兩段寫成比，再找另一條邊上相等的比。

08填充 3、4、9、12（第 15、16、21、24 題）：相似三角形求邊長

第 15 題

\overline{A B} = 2 + 4 = 6

，

\overline{A C} = 3 + 1 = 4

。看

△ A D E

和

△ A C B

：

∠ A

共用。

\overline{A D} : \overline{A C} = 2 : 4 = 1 : 2

。

\overline{A E} : \overline{A B} = 3 : 6 = 1 : 2

。夾

∠ A

的兩邊成比例，所以

△ A D E \sim △ A C B

（SAS 相似）。對應邊

\overline{D E} : \overline{C B} = 1 : 2

，

\overline{D E} = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}

。

這裡

\overline{A D}

對應的是

\overline{A C}

，不是

\overline{A B}

；

\overline{A D} : \overline{A B} = 2 : 6

和

\overline{A E} : \overline{A C} = 3 : 4

不相等，所以

\overline{D E}

不平行

\overline{B C}

。原卷參考答案寫「

3.5

或

\frac{7}{2}

」，兩者相同。

第 16 題

\overline{A B} = 20 + 4 = 24

。看

△ A D E

和

△ A C B

：

∠ A

共用。

\overline{A D} : \overline{A C} = 20 : 30 = 2 : 3

。

\overline{A E} : \overline{A B} = 16 : 24 = 2 : 3

。夾

∠ A

的兩邊成比例，所以

△ A D E \sim △ A C B

（SAS 相似）。對應邊

\overline{D E} : \overline{C B} = 2 : 3

，

8 : \overline{B C} = 2 : 3

，

\overline{B C} = 12

。

第 21 題已知

∠ A B C = ∠ A C D

，看夾這兩個角的邊。

△ A B C

中夾

∠ A B C

的兩邊是

\overline{A B} = 16

、

\overline{B C} = 12

。

△ A C D

中夾

∠ A C D

的兩邊是

\overline{A C} = 18

、

\overline{C D} = 24

。小邊比小邊：

\overline{B C} : \overline{C A} = 12 : 18 = 2 : 3

。大邊比大邊：

\overline{A B} : \overline{D C} = 16 : 24 = 2 : 3

。兩組邊成比例且夾角相等，所以

△ A B C \sim △ D C A

（SAS 相似），對應頂點是

A \leftrightarrow D

、

B \leftrightarrow C

、

C \leftrightarrow A

。第三組對應邊：

\overline{A C} : \overline{D A} = 2 : 3

，

18 : \overline{A D} = 2 : 3

，

\overline{A D} = 27

。

如果照字母順序配成

\overline{A B} : \overline{A C} = 16 : 18

和

\overline{B C} : \overline{C D} = 12 : 24

，兩個比不相等，表示對應關係配錯了，要換一種配法。

第 24 題看

△ A D C

和

△ A C B

：

∠ A

共用，

∠ A D C = ∠ A C B

（已知）。所以

△ A D C \sim △ A C B

（AA 相似）。對應邊

\overline{A D} : \overline{A C} = \overline{A C} : \overline{A B}

。

\overline{A D} : 6 = 6 : 9

，

9 \times \overline{A D} = 36

，

\overline{A D} = 4

。

\overline{B D} = \overline{A B} - \overline{A D} = 9 - 4 = 5

。

相似式先求出的是

\overline{A D}

，題目要的是

\overline{B D}

，最後要用

9

去減。

寫相似時把相等的角排在同一個位置，對應邊照字母位置去找。

同一次段考的其他學校

同樣是國三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

屏東中正國中 114 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東中正國中 114 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題要想清楚為什麼只有乙和丁相似，甲和丙不相似正是用到兩條對角線不等長；第 21 題的對應邊不是照字母順序，要先比出哪兩組邊成比例；第 14 題梯形中間那條線要先畫對角線拆成兩個三角形；第 25 題要從作圖痕跡數出射線上共截了幾段、P 在第幾段。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東中正國中 114 學年度上學期國三第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東中正國中 114 上國三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 25 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01選擇 1、6、12：連比

02選擇 2、5、8：平行線截比例線段

03選擇 3、11：相似多邊形

04選擇 4：重疊線段的連比

05選擇 7、9、10：相似三角形

06填充 1、5、7、10（第 13、17、19、22 題）：連比的應用

07填充 2、6、8、11、13（第 14、18、20、23、25 題）：平行線截比例線段

08填充 3、4、9、12（第 15、16、21、24 題）：相似三角形求邊長

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

屏東中正國中 114 上 國三第一次段考數學的答案在哪裡？

屏東中正國中 114 上 國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

屏東中正國中 114 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

屏東中正國中 114 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

屏東中正國中 114 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？