段考詳解範圍：相似形(連比、比例線段、平行線截比例線段、縮放與相似多邊形、相似三角形)

誠正國中 114 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

選擇題 15 題與填充題 6 題（合計 88 分，依答對題數計分）、實作題 2 題（12 分）

一、選擇題及填充題（共計 88 分）（第 1～15 題為選擇題、第 16～21 題為填充題；依答對題數累計計分：前 12 題每題 5 分，接著 4 題每題 4 分，再 2 題每題 3 分，最後 3 題每題 2 分，共 88 分）

若

x : y = 3 : 7

，

y : z = 6 : 11

，則

x : y : z =

？

(A) $3 : 13 : 11$
(B) $9 : 13 : 18$
(C) $18 : 21 : 33$
(D) $18 : 42 : 77$

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，若

\overline{A D} : \overline{D B} = 4 : 3

，

\overline{E C} = 12

，則

\overline{A E} =

？

(A) $16$
(B) $20$
(C) $24$
(D) $28$

載入中...

△ A B C

中，

D

、

E

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上一點，且

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A D} : \overline{D B} = 3 : 5

，則下列何者錯誤？

(A) $\overline{D B} : \overline{A B} = 5 : 8$
(B) $\overline{D E} : \overline{B C} = 3 : 5$
(C) $\overline{E C} : \overline{A C} = 5 : 8$
(D) $\overline{A E} : \overline{A C} = 3 : 8$

如圖，

△ A B C

中，

∠ C = 9 0^{\circ}

，

D

、

E

分別為

\overline{A C}

、

\overline{A B}

的中點，若

\overline{A B} = 25

，

\overline{A C} = 15

，則

\overline{D E} =

？

(A) $6$
(B) $8$
(C) $10$
(D) $12$

載入中...

△ A B C

中，

∠ A = x^{\circ}

，

∠ B = y^{\circ}

，

∠ C = z^{\circ}

，已知

3 x : 2 y = 9 : 2

，

y : 5 z = 1 : 10

，請問三個內角中最大內角是多少度？

(A) $3 0^{\circ}$
(B) $4 5^{\circ}$
(C) $7 5^{\circ}$
(D) $9 0^{\circ}$

如圖，

\overline{A P} : \overline{P B} = 7 : 5

，

\overline{A Q} : \overline{QC} = 5 : 3

，則

△ P QB

的面積：

△ A P Q

的面積：

△ P QC

的面積為何？

(A) $7 : 5 : 3$
(B) $15 : 21 : 35$
(C) $25 : 35 : 21$
(D) $25 : 30 : 12$

載入中...

如圖，

△ A B C

與

△ D E F

中，

∠ A = 5 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 7 0^{\circ}

，且

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}

，只知

∠ D = (x + 2 y)^{\circ}

、

∠ E = (x + 3 y)^{\circ}

，求

x + y =

？

(A) $40$
(B) $45$
(C) $48$
(D) $50$

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{F G} ∥ \overline{B C}

，若

\overline{A D} = 3

，

\overline{D F} = 2

，

\overline{F B} = 1

，則

\overline{D E} : \overline{F G} : \overline{B C} =

？

(A) $2 : 3 : 5$
(B) $2 : 3 : 4$
(C) $3 : 5 : 6$
(D) $3 : 4 : 5$

載入中...

已知

x : y : z = 5 : 8 : 12

，則下列敘述何者錯誤？

(A) $y : z = 2 : 3$
(B) $5 x = 12 z$
(C) $8 x = 5 y$
(D) $z$ 是 $(x + y + z)$ 的 $\frac{12}{25}$ 倍

下列敘述有幾項正確？（甲）兩個長方形一定相似。（乙）兩個菱形一定相似。（丙）兩個正方形一定相似。（丁）兩個對應角相等的五邊形一定相似。

(A) $0$ 項
(B) $1$ 項
(C) $2$ 項
(D) $3$ 項

如圖，兩個正方形

A B C D

、

GC E F

的面積分別為

4

、

25

。若

C

點在

\overline{B E}

上，

\overline{A F}

與

\overline{C G}

相交於

H

點，求

\overline{D H} =

？

(A) $\frac{3}{7}$
(B) $\frac{4}{7}$
(C) $\frac{5}{7}$
(D) $\frac{6}{7}$

載入中...

如圖，梯形

A B C D

中，

\overline{A B} ∥ \overline{E F} ∥ \overline{D C}

，若

\overline{A B} = 10

，

\overline{E F} = 18

，

\overline{D C} = 32

，則

\overline{A E} : \overline{E D} =

？

(A) $4 : 7$
(B) $5 : 9$
(C) $4 : 11$
(D) $5 : 14$

載入中...

如圖，四邊形

A B C D

為矩形，且

\overline{E F} ∥ \overline{B D} ∥ \overline{G H}

，

\overline{A E} : \overline{D E} = 1 : 3

，

\overline{D H} : \overline{H C} = 2 : 3

，則

\overline{E F} : \overline{G H} =

？

(A) $1 : 3$
(B) $3 : 5$
(C) $5 : 9$
(D) $5 : 12$

載入中...

如圖，

△ A B C

與

△ D E F

中，

\overline{A B} ∥ \overline{D E}

，且

\overline{A B} : \overline{D E} = \overline{A C} : \overline{D F}

，則下列何者錯誤？

(A) $\overline{D C} : \overline{C F} = \overline{D G} : \overline{GE}$
(B) $△ D C G \sim △ D F E$
(C) $\overline{A B} : \overline{D G} = \overline{A D} : \overline{D C}$
(D) $△ A B C \sim △ D E F$

載入中...

如圖，

△ A B C

中，若

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{B E}

平分

∠ A B C

，已知

\overline{B C} = 10

，

\overline{A B} = 8

，則

\overline{D E} =

？

(A) $\frac{40}{9}$
(B) $\frac{23}{6}$
(C) $\frac{17}{4}$
(D) $4$

載入中...

邊長為

2

公分的正六邊形，將它縮放

5

倍後所得的縮放圖形，其邊長為 ____ 公分。

已知

a

、

b

、

c

皆不等於

0

，且

2 a = 3 b

，

4 b = 5 c

，則

a : b : c =

____。

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{A B}

，

\overline{C F}

交

\overline{A B}

於

F

點，若

\overline{C E} = 9

，

\overline{B E} = 12

，

△ A C F

的面積為

56

，則

△ A C D

的面積為 ____。

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

D

、

E

為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上兩點，若

\overline{A B} = 6

，

\overline{A C} = 4

，

\overline{A D} = 2

，

\overline{A E} = 3

，

\overline{D E} = 2.5

，則

\overline{B C} =

____。

載入中...

如圖，梯形

A B C D

中，已知

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，

E

、

F

兩點分別在

\overline{A B}

、

\overline{D C}

上。若

\overline{A E} = 2

，

\overline{E B} = 3

，

\overline{D F} = 1

，

\overline{F C} = \frac{3}{2}

，且梯形

A E F D

與梯形

E B C F

相似，則

\overline{A D} : \overline{B C} =

____。

載入中...

若

ab c \neq = 0

，且

∣ a - 2 b ∣ + ∣ b - 3 c ∣ = 0

，則

\frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} + b c} =

____。

二、實作題（每題 6 分，共 12 分）（作答需寫出完整過程，否則不予計分）（第 22、23 題依序為原卷實作題第 1、2 題）

如圖，

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，直線

M_{1}

與

M_{2}

為截線，

\overline{A B} = 3

、

\overline{B C} = 5

。若

\overline{D F}

比

\overline{D E}

的

2

倍多

1

，求

\overline{D E}

、

\overline{D F}

的長度。（6 分）

載入中...

如圖，若

\overline{B D} : \overline{C D} = 3 : 1

，

\overline{A F} : \overline{D F} = 2 : 1

，則：（每小題 3 分）　(1) 過

D

點作

\overline{D G} ∥ \overline{B E}

，交

\overline{A C}

於

G

點，求

\overline{A E} : \overline{E G} : \overline{GC} =

？（請化簡成最簡整數比）　(2) 承上題，則

\overline{B F} : \overline{E F} =

？（請化簡成最簡整數比）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(D)

第 6 題(C)

第 7 題(A)

第 8 題(C)

第 9 題(B)

第 10 題(B)

第 11 題(D)

第 12 題(A)

第 13 題(D)

第 14 題(C)

第 15 題(A)

第 16 題

10

第 17 題

15 : 10 : 8

第 18 題

24

第 19 題

5

第 20 題

4 : 9

第 21 題

\frac{36}{7}

第 22 題

\overline{D E} = \frac{3}{2}

，

\overline{D F} = 4

第 23 題(1)

6 : 3 : 1

　(2)

5 : 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：連比、三角形內的平行線

第 1 題答案 (D)。兩個比都有

y

，先把

y

變成一樣。

7

和

6

的最小公倍數是

42

。

x : y = 3 : 7 = 18 : 42

（同乘

6

）。

y : z = 6 : 11 = 42 : 77

（同乘

7

）。所以

x : y : z = 18 : 42 : 77

。

18 : 21 : 33

是把兩個比各自放大卻沒有讓

y

相同。

第 2 題答案 (A)。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{E C}

。

4 : 3 = \overline{A E} : 12

。

3 \times \overline{A E} = 4 \times 12 = 48

，

\overline{A E} = 16

。

第 3 題答案 (B)。設

\overline{A D} = 3 k

、

\overline{D B} = 5 k

，則

\overline{A B} = 8 k

。(A)

\overline{D B} : \overline{A B} = 5 k : 8 k = 5 : 8

，正確。因為

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A E} : \overline{E C} = \overline{A D} : \overline{D B} = 3 : 5

，所以 (C)

\overline{E C} : \overline{A C} = 5 : 8

正確，(D)

\overline{A E} : \overline{A C} = 3 : 8

正確。(B)

△ A D E

與

△ A B C

相似（

∠ A

共用，

∠ A D E = ∠ A B C

是同位角），對應邊

\overline{D E} : \overline{B C} = \overline{A D} : \overline{A B} = 3 : 8

，不是

3 : 5

，所以 (B) 錯誤。

\overline{D E}

與

\overline{B C}

的比要用「小三角形的邊：大三角形的邊」

= \overline{A D} : \overline{A B}

，不是

\overline{A D} : \overline{D B}

。

第 4 題答案 (C)。先求

\overline{B C}

。

∠ C = 9 0^{\circ}

，由畢氏定理

\overline{B C}^{2} = \overline{A B}^{2} - \overline{A C}^{2} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 625 - 225 = 400

，

\overline{B C} = 20

。

D

、

E

是

\overline{A C}

、

\overline{A B}

的中點，三角形兩邊中點的連線平行第三邊，長度是第三邊的一半。

\overline{D E} = \frac{1}{2} \times \overline{B C} = 10

。

\overline{D E}

對應的第三邊是

\overline{B C}

，不是題目直接給的

\overline{A B}

或

\overline{A C}

。

平行線把兩邊截成的「段與段」的比相等；平行線本身長度的比，要用「從頂點量起」的長度。

02第 5～8 題：連比、等高三角形面積比、相似三角形

第 5 題答案 (D)。由

3 x : 2 y = 9 : 2

，內項乘積等於外項乘積：

2 y \times 9 = 3 x \times 2

，

18 y = 6 x

，

x = 3 y

。由

y : 5 z = 1 : 10

：

5 z \times 1 = y \times 10

，

z = 2 y

。所以

x : y : z = 3 y : y : 2 y = 3 : 1 : 2

。三角形內角和是

18 0^{\circ}

，共

3 + 1 + 2 = 6

份，一份是

3 0^{\circ}

。三個角是

9 0^{\circ}

、

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

，最大的是

9 0^{\circ}

。

題目給的是

3 x

與

2 y

的比，不是

x

與

y

的比，要先化成

x

、

y

的關係。

第 6 題答案 (C)。

△ A P Q

與

△ P QB

的底邊

\overline{A P}

、

\overline{P B}

在同一直線上，頂點都是

Q

，高相同。所以面積比

= \overline{A P} : \overline{P B} = 7 : 5

。

△ A P Q

與

△ P QC

的底邊

\overline{A Q}

、

\overline{QC}

在同一直線上，頂點都是

P

，高相同。所以面積比

= \overline{A Q} : \overline{QC} = 5 : 3

。把

△ A P Q

化成相同的數：

7

和

5

的最小公倍數是

35

。

△ A P Q : △ P QB = 35 : 25

，

△ A P Q : △ P QC = 35 : 21

。所以

△ P QB : △ A P Q : △ P QC = 25 : 35 : 21

。

題目問的順序是

△ P QB

、

△ A P Q

、

△ P QC

，寫答案前再對一次順序。

第 7 題答案 (A)。三組邊成比例，所以

△ A B C

與

△ D E F

相似（SSS 相似），對應頂點是

A \to D

、

B \to E

、

C \to F

。對應角相等：

∠ D = ∠ A = 5 0^{\circ}

，

∠ E = ∠ B = 6 0^{\circ}

。所以

x + 2 y = 50

，

x + 3 y = 60

。兩式相減得

y = 10

，代回得

x = 30

。

x + y = 40

。

對應頂點由比例式的寫法決定：

\overline{A B}

對

\overline{D E}

、

\overline{B C}

對

\overline{E F}

，不是看圖上的擺放位置。

第 8 題答案 (C)。

\overline{A D} = 3

，

\overline{A F} = 3 + 2 = 5

，

\overline{A B} = 3 + 2 + 1 = 6

。

\overline{D E} ∥ \overline{F G} ∥ \overline{B C}

，所以

△ A D E

、

△ A F G

、

△ A B C

兩兩相似（共用

∠ A

，同位角相等）。對應邊成比例：

\overline{D E} : \overline{F G} : \overline{B C} = \overline{A D} : \overline{A F} : \overline{A B} = 3 : 5 : 6

。

要用從

A

量起的長度

3

、

5

、

6

，不是三小段

3

、

2

、

1

。

兩個三角形頂點相同、底邊在同一直線上，面積比就等於底邊的比。

03第 9～12 題：連比、相似多邊形、正方形與梯形中的相似

第 9 題答案 (B)。設

x = 5 k

、

y = 8 k

、

z = 12 k

（

k \neq = 0

）。(A)

y : z = 8 k : 12 k = 2 : 3

，正確。(B)

5 x = 25 k

，

12 z = 144 k

，兩者不相等，錯誤；正確的式子是

12 x = 5 z

（都等於

60 k

）。(C)

8 x = 40 k

，

5 y = 40 k

，相等，正確。(D)

x + y + z = 25 k

，

z = 12 k

，所以

z

是

(x + y + z)

的

\frac{12}{25}

倍，正確。

x : z = 5 : 12

改寫成等式是

12 x = 5 z

（內項相乘等於外項相乘），不是

5 x = 12 z

。

第 10 題答案 (B)。相似多邊形要同時滿足「對應角相等」和「對應邊成比例」。（甲）錯：長方形的角都是

9 0^{\circ}

，但邊不一定成比例，例如

1 \times 2

與

1 \times 3

的長方形。（乙）錯：菱形的四邊等長，邊成比例，但角不一定相等，例如一個內角

6 0^{\circ}

的菱形與正方形。（丙）對：正方形的角都是

9 0^{\circ}

，四邊等長，對應邊一定成比例。（丁）錯：只有對應角相等，邊不一定成比例，例如把一個五邊形的一邊平行往外推，角度都不變，邊長的比卻變了。只有（丙）正確，共

1

項。

第 11 題答案 (D)。正方形

A B C D

面積

4

，邊長

2

；正方形

GC E F

面積

25

，邊長

5

。

D

在

\overline{GC}

上，

\overline{D G} = \overline{GC} - \overline{D C} = 5 - 2 = 3

。

\overline{A D}

和

\overline{F G}

都垂直

\overline{GC}

，所以

\overline{A D} ∥ \overline{F G}

。在

△ A H D

與

△ F H G

中：

∠ A D H = ∠ F G H = 9 0^{\circ}

，

∠ A H D = ∠ F H G

（對頂角），所以兩三角形相似（AA 相似）。

\overline{D H} : \overline{G H} = \overline{A D} : \overline{F G} = 2 : 5

。

\overline{D H} = \overline{D G} \times \frac{2}{2 + 5} = 3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}

。

2 : 5

是

\overline{D H} : \overline{H G}

，要分的是

\overline{D G} = 3

，不是大正方形的邊長

5

。

第 12 題答案 (A)。過

A

作直線平行

\overline{B C}

，交

\overline{E F}

於

P

，交

\overline{D C}

於

Q

。四邊形

A B F P

、

A B C Q

都是平行四邊形，所以

\overline{P F} = \overline{QC} = \overline{A B} = 10

。

\overline{E P} = 18 - 10 = 8

，

\overline{D Q} = 32 - 10 = 22

。在

△ A D Q

中，

\overline{E P} ∥ \overline{D Q}

，

△ A E P

與

△ A D Q

相似，

\overline{A E} : \overline{A D} = \overline{E P} : \overline{D Q} = 8 : 22 = 4 : 11

。所以

\overline{A E} : \overline{E D} = 4 : (11 - 4) = 4 : 7

。

4 : 11

是

\overline{A E} : \overline{A D}

，題目問的是

\overline{A E} : \overline{E D}

，要再減一次。

梯形裡有平行線時，過上底的一個頂點作一腰的平行線，就能切出平行四邊形和一個三角形。

04第 13～15 題：矩形、相似三角形、角平分線與平行線

第 13 題答案 (D)。

\overline{A E} : \overline{D E} = 1 : 3

，所以

\overline{A E} : \overline{A D} = 1 : 4

。在

△ A B D

中，

\overline{E F} ∥ \overline{B D}

，

△ A E F

與

△ A D B

相似，

\overline{E F} : \overline{B D} = \overline{A E} : \overline{A D} = 1 : 4

，

\overline{E F} = \frac{1}{4} \overline{B D}

。

\overline{D H} : \overline{H C} = 2 : 3

，所以

\overline{C H} : \overline{C D} = 3 : 5

。在

△ C B D

中，

\overline{G H} ∥ \overline{B D}

，

△ C H G

與

△ C D B

相似，

\overline{G H} : \overline{B D} = \overline{C H} : \overline{C D} = 3 : 5

，

\overline{G H} = \frac{3}{5} \overline{B D}

。

\overline{E F} : \overline{G H} = \frac{1}{4} : \frac{3}{5} = 5 : 12

（同乘

20

）。

H

這一側的小三角形頂點是

C

，要用

\overline{C H}

（

3

份），不是

\overline{D H}

（

2

份）。

第 14 題答案 (C)。先看 (D)：

\overline{A B} ∥ \overline{D E}

，同位角相等，

∠ B A C = ∠ E D F

。又

\overline{A B} : \overline{D E} = \overline{A C} : \overline{D F}

，夾這個角的兩邊成比例，所以

△ A B C \sim △ D E F

（SAS 相似），(D) 正確。由相似得

∠ A C B = ∠ D F E

，同位角相等，所以

\overline{B C} ∥ \overline{E F}

，也就是

\overline{GC} ∥ \overline{E F}

。(B)：在

△ D F E

中

\overline{GC} ∥ \overline{E F}

，所以

△ D C G \sim △ D F E

，正確。(A)：同樣由

\overline{GC} ∥ \overline{E F}

，平行線截比例線段，

\overline{D C} : \overline{C F} = \overline{D G} : \overline{GE}

，正確。(C)：在

△ C A B

中

\overline{D G} ∥ \overline{A B}

，

△ C D G

與

△ C A B

相似，

\overline{A B} : \overline{D G} = \overline{A C} : \overline{D C}

，不是

\overline{A D} : \overline{D C}

，所以 (C) 錯誤。

\overline{A C}

」寫成「其中一段

\overline{A D}

」。平行線長度的比要用從共同頂點

C

量起的整段。

第 15 題答案 (A)。

\overline{B E}

平分

∠ A B C

，所以

∠ D B E = ∠ E B C

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，內錯角相等，

∠ D E B = ∠ E B C

。所以

∠ D B E = ∠ D E B

，

△ D B E

是等腰三角形，

\overline{D B} = \overline{D E}

。設

\overline{D E} = x

，則

\overline{D B} = x

，

\overline{A D} = 8 - x

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

△ A D E

與

△ A B C

相似，

\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{D E} : \overline{B C}

，即

(8 - x) : 8 = x : 10

。

10 (8 - x) = 8 x

，

80 = 18 x

，

x = \frac{40}{9}

。

「角平分線加平行線」會出現等腰三角形，這題要先看出

\overline{D B} = \overline{D E}

。

寫相似時把對應頂點按順序寫好，之後的對應邊、對應角直接照字母位置讀。

05第 16～18 題（填充）：縮放、連比、面積比

第 16 題縮放

5

倍，每一條邊的長度都變成原來的

5

倍。

2 \times 5 = 10

（公分）。

第 17 題由

2 a = 3 b

得

a : b = 3 : 2

。由

4 b = 5 c

得

b : c = 5 : 4

。把

b

變成一樣：

2

和

5

的最小公倍數是

10

。

a : b = 3 : 2 = 15 : 10

，

b : c = 5 : 4 = 10 : 8

。所以

a : b : c = 15 : 10 : 8

。

驗算：取

a = 15

、

b = 10

、

c = 8

，

2 a = 30 = 3 b

，

4 b = 40 = 5 c

，都成立。

第 18 題

\overline{C B} = \overline{C E} + \overline{B E} = 9 + 12 = 21

。在

△ C F B

中，

\overline{D E} ∥ \overline{F B}

，所以

\overline{C D} : \overline{C F} = \overline{C E} : \overline{C B} = 9 : 21 = 3 : 7

。

△ A C D

與

△ A C F

的底邊

\overline{C D}

、

\overline{C F}

在同一直線上，頂點都是

A

，高相同。面積比

= \overline{C D} : \overline{C F} = 3 : 7

。

△ A C D

的面積

= 56 \times \frac{3}{7} = 24

。

9 : 12

是

\overline{C D} : \overline{D F}

，

△ A C D

佔

△ A C F

的是

\frac{9}{21}

，不是

\frac{9}{12}

。

兩個比要合成連比，先找共同的那一項，把它化成相同的數。

06第 19～21 題（填充）：SAS 相似、相似梯形、連比代入

第 19 題看

△ A D E

與

△ A C B

。

\overline{A D} : \overline{A C} = 2 : 4 = 1 : 2

，

\overline{A E} : \overline{A B} = 3 : 6 = 1 : 2

，兩組邊成比例。夾角

∠ D A E

與

∠ C A B

是同一個角。所以

△ A D E \sim △ A C B

（SAS 相似），對應頂點是

A \to A

、

D \to C

、

E \to B

。對應邊

\overline{D E} : \overline{C B} = 1 : 2

，

2.5 : \overline{B C} = 1 : 2

，

\overline{B C} = 5

。

\overline{D E}

與

\overline{B C}

不平行。短邊

\overline{A D}

要對

\overline{A C}

、

\overline{A E}

要對

\overline{A B}

，比才會相等；若對成

\overline{A D} : \overline{A B} = 1 : 3

、

\overline{A E} : \overline{A C} = 3 : 4

就不成比例。

第 20 題梯形

A E F D

與梯形

E B C F

相似，對應頂點是

A \to E

、

E \to B

、

F \to C

、

D \to F

。對應邊

\overline{A E}

與

\overline{E B}

的比是

2 : 3

（另一組

\overline{D F} : \overline{F C} = 1 : \frac{3}{2} = 2 : 3

，相符）。所以其他對應邊的比也是

2 : 3

：

\overline{A D} : \overline{E F} = 2 : 3

，

\overline{E F} : \overline{B C} = 2 : 3

。把

\overline{E F}

化成相同的數：

\overline{A D} : \overline{E F} = 4 : 6

，

\overline{E F} : \overline{B C} = 6 : 9

。所以

\overline{A D} : \overline{B C} = 4 : 9

。

\overline{E F}

在小梯形裡是下底、在大梯形裡是上底，兩次都用到它；

\overline{A D} : \overline{B C}

不是

2 : 3

。

第 21 題絕對值不會是負的。兩個不是負的數相加等於

0

，兩個都必須是

0

。所以

a - 2 b = 0

且

b - 3 c = 0

，即

a = 2 b

、

b = 3 c

，

a = 6 c

。代入：分子

3 a^{2} = 3 \times (6 c)^{2} = 108 c^{2}

。分母

2 b^{2} + b c = 2 \times (3 c)^{2} + 3 c \times c = 18 c^{2} + 3 c^{2} = 21 c^{2}

。

\frac{108 c ^{2}}{21 c ^{2}} = \frac{108}{21} = \frac{36}{7}

。

ab c \neq = 0

保證

c \neq = 0

，所以

c^{2}

可以約掉。

07實作題 1、2（第 22、23 題）

第 22 題設

\overline{D E} = x

，則

\overline{D F} = 2 x + 1

，

\overline{E F} = \overline{D F} - \overline{D E} = (2 x + 1) - x = x + 1

。因為

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，平行線截比例線段，

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{D E} : \overline{E F}

。

3 : 5 = x : (x + 1)

。

5 x = 3 (x + 1)

，

5 x = 3 x + 3

，

2 x = 3

，

x = \frac{3}{2}

。所以

\overline{D E} = \frac{3}{2}

，

\overline{D F} = 2 \times \frac{3}{2} + 1 = 4

。

驗算：

\overline{E F} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

，

\overline{D E} : \overline{E F} = \frac{3}{2} : \frac{5}{2} = 3 : 5

，相符。

3 : 5

對應的是

\overline{D E} : \overline{E F}

，不是

\overline{D E} : \overline{D F}

。

第 23 題(1) 在

△ C B E

中，

\overline{D G} ∥ \overline{B E}

，所以

\overline{E G} : \overline{GC} = \overline{B D} : \overline{D C} = 3 : 1

。在

△ A D G

中，

\overline{F E} ∥ \overline{D G}

，所以

\overline{A E} : \overline{E G} = \overline{A F} : \overline{F D} = 2 : 1

。把

\overline{E G}

化成相同的數：

\overline{A E} : \overline{E G} = 6 : 3

，

\overline{E G} : \overline{GC} = 3 : 1

。所以

\overline{A E} : \overline{E G} : \overline{GC} = 6 : 3 : 1

。　(2) 在

△ A D G

中，

\overline{F E} ∥ \overline{D G}

，

△ A F E

與

△ A D G

相似，

\overline{E F} : \overline{D G} = \overline{A F} : \overline{A D} = 2 : 3

。在

△ C B E

中，

\overline{D G} ∥ \overline{B E}

，

△ C D G

與

△ C B E

相似，

\overline{D G} : \overline{B E} = \overline{C D} : \overline{C B} = 1 : 4

。把

\overline{D G}

化成相同的數：

\overline{E F} : \overline{D G} = 2 : 3

，

\overline{D G} : \overline{B E} = 3 : 12

，所以

\overline{E F} : \overline{D G} : \overline{B E} = 2 : 3 : 12

。設

\overline{E F} = 2 r

、

\overline{B E} = 12 r

，則

\overline{B F} = \overline{B E} - \overline{E F} = 10 r

。

\overline{B F} : \overline{E F} = 10 r : 2 r = 5 : 1

。

(2) 的

\overline{A F} : \overline{A D}

是

2 : 3

（

\overline{A D} = \overline{A F} + \overline{F D}

），不是

2 : 1

；

\overline{C D} : \overline{C B}

是

1 : 4

，不是

1 : 3

。

線段比卡住時，過分點作一條平行線，把兩個已知的比接到同一條邊上，再合成連比。

同一次段考的其他學校

同樣是國三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

誠正國中 114 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

誠正國中 114 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇第 11 題要先看出兩個正方形的邊互相平行，再用對頂角找出相似三角形去分長度 3 的那一段；選擇第 14 題要先由平行和兩邊成比例推出兩個三角形相似，再推出另一組平行線；選擇第 15 題的角平分線加平行線會出現等腰三角形；實作題第 2 題要靠新作的平行線把兩個比接成連比，第二小題要用整段對整段。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自誠正國中 114 學年度上學期國三第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

誠正國中 114 上國三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～4 題：連比、三角形內的平行線

02第 5～8 題：連比、等高三角形面積比、相似三角形

03第 9～12 題：連比、相似多邊形、正方形與梯形中的相似

04第 13～15 題：矩形、相似三角形、角平分線與平行線

05第 16～18 題（填充）：縮放、連比、面積比

06第 19～21 題（填充）：SAS 相似、相似梯形、連比代入

07實作題 1、2（第 22、23 題）

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

誠正國中 114 上 國三第一次段考數學的答案在哪裡？

誠正國中 114 上 國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

誠正國中 114 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

誠正國中 114 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

誠正國中 114 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？