段考詳解範圍：乘法公式、多項式的加減乘除（含長除法）、平方根

屏東中正國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

選擇題 5 題（20 分）、填充題 15 題（60 分）、計算題 5 題（20 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對（25 題全部一致）。

壹：選擇題（每題4分，共20分）（本頁第 1～5 題依序為原卷選擇題 1～5）

有關乘法公式的敘述何者正確？

(A) $(8 \frac{1}{4})^{2} = 8^{2} + (\frac{1}{4})^{2}$
(B) $(m - n)^{2} = m^{2} - 2 mn - n^{2}$
(C) $(m + n)^{2} = m^{2} + mn + n^{2}$
(D) $191 \times 209 = 20 0^{2} - 81$

已知

A

為

x

的二次多項式，

B

為

x

的一次多項式，則

A B + A + B

為

x

的幾次多項式？

(A) 四次
(B) 三次
(C) 二次
(D) 一次

下列何者為

x

的多項式？

(A) $7 x^{2} + \frac{x}{2} + 3$
(B) $5 x = - 2$
(C) $\frac{6}{x} + 4$
(D) $\frac{2}{3} x^{2} - ∣ x - 7∣$

下列四位同學的敘述何者正確？

(A) 甲：「兩個 $x$ 的三次多項式相加，其結果也是 $x$ 的三次多項式。」
(B) 乙：「多項式 $4 x^{2} - 3 x + 1$ 中，所有項的係數總和是 $8$ 。」
(C) 丙：「常數多項式就是零次多項式。」
(D) 丁：「在多項式除法中，當餘式不為 $0$ 時，餘式的次數必小於除式的次數。」

下列四位同學的敘述何者正確？

(A) 甲：「任意數都有 $2$ 個平方根，且其和為 $0$ 。」
(B) 乙：「 $∣ - 49∣$ 的平方根為 $7$ 。」
(C) 丙：「 $- 2$ 是 $16$ 的平方根。」
(D) 丁：「 $0$ 沒有平方根。」

貳：填充題（每題4分，共60分）（本頁第 6～20 題依序為原卷填充題 1～15）

98 7^{2} - 2 \times 987 \times 87 + 8 7^{2} =

____。

35 7^{2} + 24 3^{2} + 2 \times 243 \times 357 =

____。

45 7^{2} - 54 3^{2} =

____。

若多項式

(5 - a) x^{2} + (3 + b) x - (c - 2)

是

x

的零次多項式，且常數項為

4

，求

a + b + c =

____。

計算

(3 x + 4 x^{2} + 5) - [(2 x - 1 + 4 x^{2}) + (2 x^{2} + 2 x)]

，答案依降冪排列為 ____。

計算

(2 x - 3) (- 4 x + 5)

，答案依升冪排列為 ____。

(1) 估算

2024

的整數部份為何？ ____。　(2)

(202 4^{2} + 9 0^{2}) \div 2026 - (202 3^{2} - 4) \div 2025 =

____。

計算

(6 x^{2} + 8 x - 7) \div (3 x - 2)

，(1) 商式為 ____，(2) 餘式為 ____。

已知

2 x^{2} + 7 x + 1

除以另一個多項式

A

後，得到商式為

2 x + 1

，餘式為

- 2

，求此多項式

A =

____。

計算各數的值：(1)

- 121 =

____。　(2)

0.0169 =

____。

寫出各數的平方根：(1)

157

的平方根＝ ____。　(2)

1 \frac{9}{16}

的平方根＝ ____。

已知

2 a + 6

的正平方根為

4

，

3 b - 1

為

8

的平方根，求

2 a + 2 b + 9

的平方根＝ ____。

若

(357 - 86)^{2} = 35 7^{2} - 172 \times a

，則

a =

____。

計算

(4 x + 1) \div (9 x - 2) \times (16 x - 7 \frac{1}{9}) \div (3 x + 2 \frac{1}{4}) =

____。

已知多項式

A = 3 x + 4

，多項式

B = 6 x - 5

，求

(A + B)^{2} - (A - B)^{2} =

____。

参、計算題：（每題4分，共20分，無計算過程以零分計算）（本頁第 21～25 題依序為原卷計算題 1～5）

甲、乙、丙三人計算

5 x^{2} + 7 x + c - (a x^{2} + b x - 3)

的結果如下：甲：

8 x^{2} + 3 x + 4

；乙：

3 x^{2} + 5 x + 5

；丙：

2 x^{2} + 4 x + 3

。老師檢查後發現，甲只做對一次項，乙只做對常數項，丙只做對二次項，請問

a + b + c =

？（4 分）

試以十分逼近法求

7

的近似值。（以四捨五入法求到小數點後第 1 位，無計算過程者，以 0 分計算）（4 分）

(1) 求

(6 x^{2} + 2) \div (3 x + 2)

的商式？（2 分）　(2) 求

197 5^{2} \div 2024

的餘數？（2 分）

(1) 對於任意數

a

、

b

使得

a^{2} - b^{2} = 12

，試求

(\frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} - ab) (\frac{5}{3} b^{2} + \frac{10}{3} ab + \frac{5}{3} a^{2}) =

？（2 分）　(2) 若

x^{2} = 131452 0^{2} + 1314520 + 1314521

，求

x =

？（2 分）

(1) 依據以下師生所提供資訊，求出最後答案：甲：「

m = a^{2} + b^{2}

」，乙：「

n = c^{2} + d^{2}

」，丙：「

b d = 41 - a c

」，丁：「

a d - b c + 1 = 0

」，老師：「求

m \times n =

？」（2 分）　(2) 中正國中衛生組長在校網公告各班掃地區域，已知 113 學年度第一學期 807 掃地區域為

△ A C F

，四邊形

A B C D

、

D E F G

皆為正方形草皮（如下圖所示），且

\overline{C D} = x + 1

，求 807 掃地區域面積？（2 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題

810000

第 7 題

360000

第 8 題

- 86000

第 9 題

0

第 10 題

- 2 x^{2} - x + 6

第 11 題

- 15 + 22 x - 8 x^{2}

第 12 題(1)

44

(2)

5

第 13 題(1)

2 x + 4

(2)

1

第 14 題

x + 3

第 15 題(1)

- 11

(2)

0.13

第 16 題(1)

\pm 157

(2)

\pm \frac{5}{4}

第 17 題

\pm 5

第 18 題

314

第 19 題

\frac{8}{9}

第 20 題

72 x^{2} + 36 x - 80

第 21 題

9

第 22 題

2.6

第 23 題(1)

2 x - \frac{4}{3}

(2)

377

第 24 題(1)

10

(2)

x = \pm 1314521

第 25 題(1)

1682

(2)

\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}

（即

\frac{1}{2} (x + 1)^{2}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01選擇 1～5：乘法公式、多項式的次數與判斷、平方根的意義

第 1 題答案 (D)。(A)

(8 \frac{1}{4})^{2}

用完全平方公式展開，中間項是

2 \times 8 \times \frac{1}{4} = 4

，不是

0

，所以不等於

8^{2} + (\frac{1}{4})^{2}

，不對。(B)

(m - n)^{2} = m^{2} - 2 mn + n^{2}

，最後一項應為

+ n^{2}

，不對。(C)

(m + n)^{2} = m^{2} + 2 mn + n^{2}

，中間項應為

2 mn

，不對。(D)

191 = 200 - 9

，

209 = 200 + 9

，用平方差公式

(200 - 9) (200 + 9) = 20 0^{2} - 9^{2} = 20 0^{2} - 81

，正確。

選項 (D) 的數值可以直接驗算：

191 \times 209 = 39919

，

20 0^{2} - 81 = 39919

。

第 2 題答案 (B)。

A

是二次、

B

是一次，所以

A B

的最高次項是

3

次，而且係數是兩個最高次項係數的積，不為

0

。

A + B

只有二次以下的項，比

A B

低，不會抵消

A B

的三次項。所以

A B + A + B

是三次多項式。

第 3 題答案 (A)。(A)

7 x^{2} + \frac{1}{2} x + 3

中，

x

只以非負整數次方出現，

7

、

\frac{1}{2}

、

3

都是常數，是

x

的多項式。(B)

5 x = - 2

是等式，不是多項式。(C)

\frac{6}{x} + 4

的

x

在分母，次方為

- 1

，不是多項式。(D)

∣ x - 7∣

含絕對值，不是多項式。

第 4 題答案 (D)。(A) 兩個三次多項式相加，最高次項可能互相抵消，例如

x^{3}

加上

- x^{3}

得到

0

，所以結果不一定是三次。(B) 係數總和是

4 + (- 3) + 1 = 2

，不是

8

。(C) 零次多項式是不為

0

的常數；

0

也是常數，但沒有次數，所以「常數多項式就是零次多項式」不對。(D) 多項式除法中，餘式為

0

，或是次數小於除式的次數，所以正確。

第 5 題答案 (C)。(A)

0

只有一個平方根，負數沒有平方根，所以「任意數都有

2

個平方根」不對，而且兩個平方根的和為

0

只對正數成立。(B)

∣ - 49∣ = 49

，

49

的平方根是

\pm 7

，不只

7

。(C)

16 = 4

，而

(- 2)^{2} = 4

，所以

- 2

是

4

的平方根，也就是

16

的平方根，正確。(D)

0

的平方根是

0

（只有一個），不是沒有。

02填充 1～6（本頁第 6～11 題）：乘法公式速算、零次多項式、降冪與升冪排列

第 6 題

98 7^{2} - 2 \times 987 \times 87 + 8 7^{2}

符合差的平方公式

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

，其中

a = 987

、

b = 87

。所以原式

= (987 - 87)^{2} = 90 0^{2} = 810000

。

第 7 題

35 7^{2} + 2 \times 243 \times 357 + 24 3^{2}

符合和的平方公式

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

，其中

a = 357

、

b = 243

。所以原式

= (357 + 243)^{2} = 60 0^{2} = 360000

。

第 8 題

45 7^{2} - 54 3^{2}

用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

：

(457 + 543) (457 - 543) = 1000 \times (- 86) = - 86000

。

第 9 題零次多項式的

x^{2}

項與

x

項都要消失，且常數項不為

0

。所以

5 - a = 0

，得

a = 5

；

3 + b = 0

，得

b = - 3

。常數項為

- (c - 2) = 4

，得

c - 2 = - 4

，所以

c = - 2

。因此

a + b + c = 5 + (- 3) + (- 2) = 0

。

第 10 題括號前面是減號時，後面括號內每一項都要變號：

3 x + 4 x^{2} + 5 - (2 x - 1 + 4 x^{2}) - (2 x^{2} + 2 x)

。合併同類項：

x^{2}

項

4 - 4 - 2 = - 2

；

x

項

3 - 2 - 2 = - 1

；常數項

5 + 1 = 6

。所以結果為

- 2 x^{2} - x + 6

。

第 11 題用分配律：

2 x \cdot (- 4 x) = - 8 x^{2}

，

2 x \cdot 5 = 10 x

，

(- 3) \cdot (- 4 x) = 12 x

，

(- 3) \cdot 5 = - 15

。合併

x

項：

10 x + 12 x = 22 x

。所以積為

- 8 x^{2} + 22 x - 15

，依升冪排列為

- 15 + 22 x - 8 x^{2}

。

升冪排列是由次數低排到高，所以常數項寫在最前面。

03填充 7～10（本頁第 12～15 題）：估算平方根、多項式除法、由除法關係求除式、小數與負數的平方根

第 12 題(1)

4 4^{2} = 1936

，

4 5^{2} = 2025

，而

1936 < 2024 < 2025

，所以

44 < 2024 < 45

，整數部分是

44

。(2)

202 4^{2} + 9 0^{2}

：由

2026 = 2024 + 2

得

202 6^{2} = 202 4^{2} + 2 \times 2 \times 2024 + 4 = 202 4^{2} + 8100 = 202 4^{2} + 9 0^{2}

，所以

(202 4^{2} + 9 0^{2}) \div 2026 = 2026

。

202 3^{2} - 4 = (2023 - 2) (2023 + 2) = 2021 \times 2025

，所以

(202 3^{2} - 4) \div 2025 = 2021

。原式

= 2026 - 2021 = 5

。

第 13 題用長除法：第一步

6 x^{2} \div 3 x = 2 x

，

2 x (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x

，剩

12 x - 7

。第二步

12 x \div 3 x = 4

，

4 (3 x - 2) = 12 x - 8

，剩

1

。商式是

2 x + 4

，餘式是

1

；餘式次數

0

小於除式次數

1

，所以停止。

驗算：

(3 x - 2) (2 x + 4) + 1 = 6 x^{2} + 12 x - 4 x - 8 + 1 = 6 x^{2} + 8 x - 7

。

第 14 題被除式＝除式×商式＋餘式，所以

2 x^{2} + 7 x + 1 = A (2 x + 1) + (- 2)

，移項得

A (2 x + 1) = 2 x^{2} + 7 x + 3

，所以

A = (2 x^{2} + 7 x + 3) \div (2 x + 1)

。用長除法：

2 x^{2} \div 2 x = x

，

x (2 x + 1) = 2 x^{2} + x

，剩

6 x + 3

；

6 x \div 2 x = 3

，

3 (2 x + 1) = 6 x + 3

，剩

0

。所以

A = x + 3

。

驗算：

(x + 3) (2 x + 1) + (- 2) = 2 x^{2} + x + 6 x + 3 - 2 = 2 x^{2} + 7 x + 1

。

第 15 題(1)

121 = 11

，所以

- 121 = - 11

。(2)

0.13 \times 0.13 = 0.0169

，所以

0.0169 = 0.13

。

04填充 11～15（本頁第 16～20 題）：平方根的意義、由平方根條件求未知數、完全平方式、平方根化簡後的乘除、和與差的平方

第 16 題(1) 正數有兩個平方根，

157

的平方根是

\pm 157

。(2)

1 \frac{9}{16} = \frac{25}{16}

，而

(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}

，所以平方根是

\pm \frac{5}{4}

。

帶分數要先化成假分數，不可以把整數和分數分開開根號。

第 17 題

2 a + 6

的正平方根為

4

，表示

2 a + 6 = 4^{2} = 16

，得

a = 5

。

3 b - 1

為

8

的平方根，表示

(3 b - 1)^{2} = 8

，即

3 b - 1 = 8

，得

b = 3

。所以

2 a + 2 b + 9 = 10 + 6 + 9 = 25

，

25

的平方根是

\pm 5

。

第 18 題

(357 - 86)^{2} = 35 7^{2} - 2 \times 357 \times 86 + 8 6^{2}

。因為

2 \times 86 = 172

，且

8 6^{2} = 7396 = 172 \times 43

，所以

(357 - 86)^{2} = 35 7^{2} - 172 \times 357 + 172 \times 43 = 35 7^{2} - 172 \times (357 - 43) = 35 7^{2} - 172 \times 314

。比較可得

a = 314

。

第 19 題先化簡根號：

4 = 2

、

9 = 3

、

16 = 4

、

7 \frac{1}{9} = \frac{64}{9} = \frac{8}{3}

、

2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = \frac{3}{2}

。原式變成

(2 x + 1) \div (3 x - 2) \times (4 x - \frac{8}{3}) \div (3 x + \frac{3}{2})

。用分配律提出數字：

4 x - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} (3 x - 2)

，

3 x + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (2 x + 1)

。所以原式

= (2 x + 1) \div (3 x - 2) \times \frac{4}{3} \times (3 x - 2) \div \frac{3}{2} \div (2 x + 1)

。先除以

(3 x - 2)

又乘以

(3 x - 2)

，互相抵消；乘以

(2 x + 1)

又除以

(2 x + 1)

，也互相抵消。剩下

\frac{4}{3} \div \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}

。

題目寫作

4 x

，根號只蓋住

4

，也就是

4

乘以

x

，化簡後是

2 x

。除以

\frac{3}{2} (2 x + 1)

等於先除以

\frac{3}{2}

再除以

(2 x + 1)

。

第 20 題用乘法公式展開：

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

，

(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}

，兩式相減得

(A + B)^{2} - (A - B)^{2} = 4 A B

。所以

4 (3 x + 4) (6 x - 5) = 4 (18 x^{2} - 15 x + 24 x - 20) = 4 (18 x^{2} + 9 x - 20) = 72 x^{2} + 36 x - 80

。

05計算 1～5（本頁第 21～25 題）

第 21 題先合併原式：

5 x^{2} + 7 x + c - (a x^{2} + b x - 3) = (5 - a) x^{2} + (7 - b) x + (c + 3)

。甲只做對一次項，所以

7 - b = 3

，得

b = 4

。乙只做對常數項，所以

c + 3 = 5

，得

c = 2

。丙只做對二次項，所以

5 - a = 2

，得

a = 3

。驗證：甲的二次項是

8 \neq = 2

、常數項是

4 \neq = 5

；乙、丙也都只有一項對，與題意相符。因此

a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9

。

第 22 題

2. 6^{2} = 6.76 < 7

，

2. 7^{2} = 7.29 > 7

，所以

2.6 < 7 < 2.7

。再取

2.6 5^{2} = 7.0225 > 7

，所以

7 < 2.65

，即

2.6 < 7 < 2.65

。四捨五入到小數點後第 1 位，

7 \approx 2.6

。

第 23 題(1) 用長除法：

6 x^{2} \div 3 x = 2 x

，

2 x (3 x + 2) = 6 x^{2} + 4 x

，剩

- 4 x + 2

；

- 4 x \div 3 x = - \frac{4}{3}

，

- \frac{4}{3} (3 x + 2) = - 4 x - \frac{8}{3}

，剩

2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}

。商式是

2 x - \frac{4}{3}

，餘式是

\frac{14}{3}

。(2)

1975 = 2024 - 49

，所以

197 5^{2} = (2024 - 49)^{2} = 202 4^{2} - 2 \times 2024 \times 49 + 4 9^{2}

。前兩項都是

2024

的倍數，所以只需看

4 9^{2} = 2401

除以

2024

的餘數：

2401 = 2024 + 377

，餘數是

377

。

餘數

377

小於除數

2024

，所以是正確的餘數。

第 24 題(1)

\frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} - ab = \frac{1}{2} (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = \frac{1}{2} (a - b)^{2}

；

\frac{5}{3} b^{2} + \frac{10}{3} ab + \frac{5}{3} a^{2} = \frac{5}{3} (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = \frac{5}{3} (a + b)^{2}

。兩式相乘得

\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} (a - b)^{2} (a + b)^{2} = \frac{5}{6} [(a - b) (a + b)]^{2} = \frac{5}{6} (a^{2} - b^{2})^{2}

。因為

a^{2} - b^{2} = 12

，所以

(a^{2} - b^{2})^{2} = 12

，原式

= \frac{5}{6} \times 12 = 10

。(2) 令

n = 1314520

，則

x^{2} = n^{2} + n + (n + 1) = n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}

。所以

x = \pm (n + 1) = \pm 1314521

。

第 25 題(1) 由

(a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2} = a^{2} c^{2} + 2 ab c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} - 2 ab c d + b^{2} c^{2} = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}

，而

mn = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}

，所以

mn = (a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2}

。由丙：

a c + b d = a c + (41 - a c) = 41

。由丁：

a d - b c = - 1

，所以

(a d - b c)^{2} = 1

。因此

mn = 4 1^{2} + 1^{2} = 1681 + 1 = 1682

。(2) 設正方形

A B C D

的邊長

s = C D = x + 1

，正方形

D E F G

的邊長

t = D E = D G

，

G

在

\overline{D C}

上。延長

\overline{E F}

交

\overline{B C}

的延長線於

Q

，則

A E QB

是長

s + t

、寬

s

的矩形，面積

s (s + t)

。從矩形中挖掉三塊：

△ A E F

（兩股為

s + t

、

t

）面積

\frac{( s + t ) t}{2}

；

△ F QC

（兩股為

s - t

、

t

）面積

\frac{( s - t ) t}{2}

；

△ A B C

（兩股為

s

、

s

）面積

\frac{s ^{2}}{2}

。所以

△ A C F = s (s + t) - \frac{( s + t ) t}{2} - \frac{( s - t ) t}{2} - \frac{s ^{2}}{2} = s^{2} + s t - s t - \frac{s ^{2}}{2} = \frac{s ^{2}}{2}

。

t

消掉了，面積只和

s

有關。代入

s = x + 1

：面積

= \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}

。

草皮

D E F G

的大小（

t

）在面積裡會消掉，所以題目只給

\overline{C D} = x + 1

就夠了。

計算題照順序寫：先寫出要用的關係式或公式，再一步一步化簡，最後寫出答案。

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屏東中正國中 113 上國二第一次段考數學的答案在哪裡？

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屏東中正國中 113 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 10 題去括號時括號前是減號要全部變號，第 19 題先把根號化成數字、再讓乘和除同一個式子互相抵消，第 21 題要先合併同類項再比較係數，第 25 題(2) 要先用割補法把三角形面積化成只和 x 有關的式子。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自屏東中正國中 113 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東中正國中 113 上國二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01選擇 1～5：乘法公式、多項式的次數與判斷、平方根的意義

02填充 1～6（本頁第 6～11 題）：乘法公式速算、零次多項式、降冪與升冪排列

03填充 7～10（本頁第 12～15 題）：估算平方根、多項式除法、由除法關係求除式、小數與負數的平方根

04填充 11～15（本頁第 16～20 題）：平方根的意義、由平方根條件求未知數、完全平方式、平方根化簡後的乘除、和與差的平方

05計算 1～5（本頁第 21～25 題）

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屏東中正國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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