段考詳解範圍：相似形(連比、比例線段、平行線截比例線段、縮放與相似多邊形、相似三角形的判別)

蘆洲國中 114 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

選擇題 10 題（40 分）、填充 13 題共 15 格（60 分）

一、選擇題（每題 4 分，共 40 分）

如圖，在

L_{1}

、

L_{2}

、

L_{3}

三條直線上，分別取

\overline{A A^{'}} = 2 \overline{O A}

、

\overline{B B^{'}} = 2 \overline{O B}

、

\overline{C C^{'}} = 2 \overline{O C}

，則

△ A^{'} B^{'} C^{'}

是

△ A B C

的幾倍縮放圖？

(A) $1$ 倍
(B) $2$ 倍
(C) $3$ 倍
(D) $4$ 倍

載入中...

如圖，將六邊形

A B C D E F

用影印機縮放成

85%

的六邊形

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}

，則下列敘述何者錯誤？

(A) 縮放後的六邊形與原六邊形的對應邊成比例
(B) $∠ C$ 的對應角 $∠ C^{'}$ 的大小也縮放成 $85%$
(C) 縮放後的六邊形周長是原六邊形周長的 $85%$ 倍
(D) 縮放後的六邊形內角和與原六邊形的內角和相同

載入中...

下列敘述何者正確？

(A) 兩個正方形一定相似
(B) 兩個菱形一定相似
(C) 兩個長方形一定相似
(D) 兩個平行四邊形一定相似

下列何者不是相似三角形的判別性質？

(A) AAA
(B) SAS
(C) SSS
(D) ASA

如圖，

△ A B C

中，已知

\overline{B D} = 6

、

\overline{D E} = 4

、

\overline{C E} = 8

，則下列三角形的面積何者錯誤？

(A) $△ A B D$ 面積： $△ A C D$ 面積 $= 1 : 2$
(B) $△ A D E$ 面積： $△ A E C$ 面積 $= 1 : 2$
(C) $△ A B E$ 面積： $△ A B C$ 面積 $= 5 : 9$
(D) $△ A C D$ 面積： $△ A B C$ 面積 $= 5 : 9$

載入中...

如圖，直線

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，直線

M_{1}

與

M_{2}

為截線，已知

\overline{A B} = 25

、

\overline{B C} = 45

、

\overline{D E} = x + 5

、

\overline{E F} = 2 x + 6

，求

x

的值。

(A) $15$
(B) $16$
(C) $18$
(D) $20$

載入中...

下列四項敘述中，正確的有幾項？　(1) 設

x : y : z = 2 : 3 : 5

，可得

5 x = 3 y = 2 z

。　(2) 若

x : y : z = a : b : c

，且

a

、

b

、

c

皆不為

0

，則

x : a = y : b = z : c

。　(3) 三角形兩邊中點的連線段會平行第三邊，且其長度為第三邊的

\frac{1}{2}

。　(4) 將一個圖形縮放

r

倍時，如果縮放中心不相同，所縮放出來的圖形就不全等。

(A) 一項
(B) 二項
(C) 三項
(D) 四項

已知甲、乙、丙三人的錢數比為

3 : 5 : 6

，若丙分別給甲、乙兩人

30

元後，甲、乙、丙三人錢數比變為

7 : 11 : 10

，則此三人共有多少元？

(A) $450$
(B) $620$
(C) $840$
(D) $1260$

如圖(一)，

\overline{A B}

為一個不等臂的蹺蹺板，

O

為支點，距離地面

40

公分，

A

點在地面上，且

\overline{A O} : \overline{O B} = 2 : 1

。今小靖與小妍分別坐在

A

、

B

兩端，使得蹺蹺板成水平狀態，如圖(二)所示。則兩圖中

B

點與地面的高度相差多少公分？

(A) $10$
(B) $15$
(C) $20$
(D) $25$

載入中...

如圖，梯形

A B C D

中，

∠ D A B = ∠ A B C = 9 0^{\circ}

，

E

點在

\overline{C D}

上，且

\overline{D E} : \overline{E C} = 1 : 4

。若

\overline{A B} = 5 ， < s p an c l a ss = " k a t e x - d i s pl a y " >< s p an c l a ss = " k a t e x " >< s p an c l a ss = " k a t e x - h t m l " a r ia - hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8833 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d o v er l in e " >< s p an c l a ss = " v l i s t - t " >< s p an c l a ss = " v l i s t - r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8833 e m; " >< s p an s t y l e = " t o p : - 3 e m; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.0502 e m; " > B < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.0715 e m; " > C < / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : - 3.8033 e m; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " o v er l in e - l in e " s t y l e = " b or d er - b o tt o m - w i d t h : 0.04 e m; " >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.2778 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m r e l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.2778 e m; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6833 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 4 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d t e x t " >< s p an c l a ss = " m or d c j k_{f} a l l ba c k " > ， < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > \overline{A D} = 8 ，

則四邊形

A B C E

的面積為何？

(A) $25$
(B) $26$
(C) $27$
(D) $28$

載入中...

二、填充（每格 4 分，共 60 分；第 11、12 題需化成最簡整數比，否則不予計分）

設

x : y = 4 : 5

，

x : z = 6 : 7

，則：　(1)

x : y : z =

____。　(2)

(2 x - y) : (2 y - z) : (z - x) =

____。

若

x

、

y

、

z

均不為

0

，且

4 x = 3 y

，

5 y = 2 z

，則

x : y : z =

____。

若

x : y : z = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{6}

，若

x + y + z = 180

，則

x + 2 y - 3 z =

____。

有一個長方體，長、寬、高的連比為

5 : 9 : 15

，若長方體的寬是

6

公分，則長方體的體積為 ____ 立方公分。

如圖，

△ A B C

中，

D

、

E

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，

F

、

G

分別為

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，

P

、

Q

分別為

\overline{A F}

、

\overline{A G}

的中點，若

\overline{B C} = 40

，則

\overline{P Q} + \overline{F G} + \overline{D E} =

____。

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

且

\overline{A F} = 8

、

\overline{F D} = 12

，則：　(1)

\overline{A E} : \overline{E C}

的比值為 ____。　(2)

\overline{B D}

的長度為 ____。

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

D

、

E

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，若

∠ C = ∠ A D E = 5 5^{\circ}

，則

∠ A =

____。

載入中...

小允利用尺規作圖，在

\overline{A B}

上找到一點

R

，如圖是他的作圖痕跡，若

\overline{A B} = 28

，則

\overline{R B} =

____。

載入中...

如圖，四邊形

A B C D

中，

E

、

F

分別為

\overline{A B}

、

\overline{C D}

上一點，且

\overline{A D} ∥ \overline{E F} ∥ \overline{B C}

。若

\overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

，且

\overline{A D} = 5

、

\overline{E F} = 7

，則

\overline{B C} =

____。

載入中...

如圖，

△ A B C

與

△ D E F

中，

∠ A = 5 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 7 0^{\circ}

，且

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}

，已知

∠ D = (x + y)^{\circ}

，

∠ E = (x + 2 y)^{\circ}

，求

x - y =

____。

載入中...

如圖，

D

為

\overline{A B}

上一點，且

∠ A D C = ∠ A C B

，若

\overline{A B} = 12

、

\overline{A C} = 8

，則

\overline{B D} =

____。

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

D

、

E

、

F

三點分別在

\overline{B C}

、

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，且四邊形

A E D F

為菱形，若

\overline{A B} = 9 ， < s p an c l a ss = " k a t e x - d i s pl a y " >< s p an c l a ss = " k a t e x " >< s p an c l a ss = " k a t e x - h t m l " a r ia - hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8833 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d o v er l in e " >< s p an c l a ss = " v l i s t - t " >< s p an c l a ss = " v l i s t - r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8833 e m; " >< s p an s t y l e = " t o p : - 3 e m; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > A < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.0715 e m; " > C < / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an s t y l e = " t o p : - 3.8033 e m; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 3 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " o v er l in e - l in e " s t y l e = " b or d er - b o tt o m - w i d t h : 0.04 e m; " >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.2778 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m r e l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in - r i g h t : 0.2778 e m; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6833 e m; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 10 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d t e x t " >< s p an c l a ss = " m or d c j k_{f} a l l ba c k " > ， < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > \overline{B C} = 14 ，

則

\overline{B E} + \overline{C F} =

____。

載入中...

如圖，四邊形

A B C D

是邊長為

16

的正方形，

E

、

F

分別在

\overline{A B}

、

\overline{C D}

上，

\overline{A E} = 4

，且

F

是

\overline{C D}

的中點，自

F

點作直線垂直

\overline{E C}

且分別交

\overline{E C}

、

\overline{B C}

於

H

、

G

，則

\overline{B G} =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(D)

第 5 題(D)

第 6 題(A)

第 7 題(B)

第 8 題(C)

第 9 題(C)

第 10 題(B)

第 11 題(1)

12 : 15 : 14

　(2)

9 : 16 : 2

第 12 題

3 : 4 : 10

第 13 題

80

第 14 題

200

第 15 題

35

第 16 題(1)

\frac{2}{3}

　(2)

30

第 17 題

7 0^{\circ}

第 18 題

20

第 19 題

10

第 20 題

30

第 21 題

\frac{20}{3}

第 22 題

\frac{181}{19}

第 23 題

10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1～4：縮放、相似多邊形、相似三角形的判別

第 1 題答案 (C)。

\overline{O A^{'}} = \overline{O A} + \overline{A A^{'}} = \overline{O A} + 2 \overline{O A} = 3 \overline{O A}

。同樣地，

\overline{O B^{'}} = 3 \overline{O B}

，

\overline{O C^{'}} = 3 \overline{O C}

。三個頂點到縮放中心

O

的距離都變成

3

倍，所以

△ A^{'} B^{'} C^{'}

是

△ A B C

的

3

倍縮放圖。

縮放的倍數是看

\overline{O A^{'}}

與

\overline{O A}

的比，不是看

\overline{A A^{'}}

與

\overline{O A}

的比。

第 2 題答案 (B)。縮放只改變長度，不改變角度。(A) 正確：每一組對應邊都變成原來的

85%

，所以對應邊成比例。(B) 錯誤：

∠ C^{'}

與

∠ C

一樣大，角度不會變成

85%

。(C) 正確：每一邊都變成

85%

，六邊相加的周長也變成

85%

。(D) 正確：每個角都不變，內角和也不變（六邊形內角和都是

72 0^{\circ}

）。

第 3 題答案 (A)。兩個多邊形相似，要「對應角相等」而且「對應邊成比例」。(A) 正確：正方形四個角都是

9 0^{\circ}

，四邊等長，任兩個正方形的對應邊比都相同。(B) 不一定：菱形四邊等長，但角度可以不同，例如一個內角

6 0^{\circ}

的菱形和一個正方形。(C) 不一定：長方形的角都是

9 0^{\circ}

，但長與寬的比可以不同，例如

1 \times 2

與

1 \times 3

。(D) 不一定：平行四邊形的角度與邊長比都可以不同。

第 4 題答案 (D)。相似三角形的判別性質有三種：AA（兩組角對應相等，這時第三組角也相等，所以也寫成 AAA）、SAS（兩組邊成比例且夾角相等）、SSS（三組邊成比例）。ASA 是全等三角形的判別性質，不是相似的判別性質。

縮放之後：長度都乘上同一個倍數，角度不變。

02選擇 5～7：等高三角形的面積比、平行線截比例線段、敘述判斷

第 5 題答案 (D)。這些三角形的底邊都在

\overline{B C}

上，頂點都是

A

，所以高相同，面積比等於底邊的比。

\overline{B C} = 6 + 4 + 8 = 18

。(A)

\overline{B D} : \overline{D C} = 6 : (4 + 8) = 6 : 12 = 1 : 2

，正確。(B)

\overline{D E} : \overline{E C} = 4 : 8 = 1 : 2

，正確。(C)

\overline{B E} : \overline{B C} = (6 + 4) : 18 = 10 : 18 = 5 : 9

，正確。(D)

\overline{D C} : \overline{B C} = 12 : 18 = 2 : 3

，不是

5 : 9

，錯誤。

第 6 題答案 (A)。三條平行線截兩條截線，截出的線段成比例：

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{D E} : \overline{E F}

。

25 : 45 = 5 : 9

，所以

5 : 9 = (x + 5) : (2 x + 6)

。內項乘積等於外項乘積：

9 (x + 5) = 5 (2 x + 6)

。展開得

9 x + 45 = 10 x + 30

，所以

x = 15

。

驗算：

x = 15

時

\overline{D E} = 20

、

\overline{E F} = 36

，

20 : 36 = 5 : 9

，相符。

第 7 題答案 (B)，正確的是 (2)、(3) 兩項。(1) 錯：設

x = 2 k

、

y = 3 k

、

z = 5 k

，則

5 x = 10 k

，

3 y = 9 k

，

2 z = 10 k

，三者不全相等。(2) 對：設

x = ak

、

y = bk

、

z = c k

，則

x : a

、

y : b

、

z : c

的比值都是

k

。(3) 對：這是三角形兩邊中點連線的性質。(4) 錯：縮放的倍數相同時，不管縮放中心在哪裡，縮放出來的圖形大小、形狀都相同，所以會全等，只是位置不同。

(1) 若要寫成等式，由

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}

同乘以

30

，得到的是

15 x = 10 y = 6 z

。

03選擇 8～10：連比的應用、蹺蹺板、梯形面積

第 8 題答案 (C)。設甲、乙、丙原有

3 k

、

5 k

、

6 k

元，三人共

14 k

元。丙給出兩個

30

元後，三人的總錢數不變，仍是

14 k

元。新的比是

7 : 11 : 10

，共

7 + 11 + 10 = 28

份，所以甲後來有

14 k \times \frac{7}{28} = \frac{7 k}{2}

元。甲多了

30

元：

3 k + 30 = \frac{7 k}{2}

，得

\frac{k}{2} = 30

，

k = 60

。三人共有

14 \times 60 = 840

元。

驗算：原有

180

、

300

、

360

元；之後是

210

、

330

、

300

元，

210 : 330 : 300 = 7 : 11 : 10

，相符。

第 9 題答案 (C)。圖(一)：從

O

、

B

各往地面作垂直線，垂足分別是

P

、

Q

。

\overline{O P}

與

\overline{B Q}

都垂直地面，所以互相平行，

△ A O P

與

△ A B Q

相似（AA）。

\overline{A O} : \overline{A B} = 2 : (2 + 1) = 2 : 3

，所以

\overline{O P} : \overline{B Q} = 2 : 3

，

40 : \overline{B Q} = 2 : 3

，

\overline{B Q} = 60

。圖(二)：蹺蹺板水平，

B

與

O

一樣高，離地面

40

公分。兩圖中

B

的高度相差

60 - 40 = 20

公分。

2 : 1

是

\overline{A O} : \overline{O B}

，列比例式時要用

\overline{A O} : \overline{A B} = 2 : 3

。

第 10 題答案 (B)。梯形

A B C D

的上、下底是

\overline{B C} = 4

與

\overline{A D} = 8

，高是

\overline{A B} = 5

，面積

= \frac{( 4 + 8 ) \times 5}{2} = 30

。連

\overline{A C}

。

△ A C D

以

\overline{A D}

為底，高是

5

，面積

= \frac{8 \times 5}{2} = 20

。

△ A D E

與

△ A C D

的底邊

\overline{D E}

、

\overline{D C}

在同一直線上，頂點都是

A

，高相同，所以面積比

= \overline{D E} : \overline{D C} = 1 : (1 + 4) = 1 : 5

，

△ A D E

面積

= 20 \times \frac{1}{5} = 4

。四邊形

A B C E

面積

= 30 - 4 = 26

。

底邊在同一直線上、頂點相同的兩個三角形，面積比等於底邊的比。

04填充 1～4（第 11～14 題）：連比

第 11 題(1) 兩個比裡都有

x

，把

x

化成相同的數。

4

與

6

的最小公倍數是

12

：

x : y = 4 : 5 = 12 : 15

，

x : z = 6 : 7 = 12 : 14

。所以

x : y : z = 12 : 15 : 14

。(2) 設

x = 12 k

、

y = 15 k

、

z = 14 k

（

k \neq = 0

）。

2 x - y = 24 k - 15 k = 9 k

；

2 y - z = 30 k - 14 k = 16 k

；

z - x = 14 k - 12 k = 2 k

。所以比是

9 k : 16 k : 2 k = 9 : 16 : 2

。

第 12 題

4 x = 3 y

，所以

x : y = 3 : 4

。

5 y = 2 z

，所以

y : z = 2 : 5

。兩個比裡都有

y

，把

y

化成相同的數：

y : z = 2 : 5 = 4 : 10

。所以

x : y : z = 3 : 4 : 10

。

由

4 x = 3 y

得到的是

x : y = 3 : 4

，係數要交叉。驗算：取

x = 3

、

y = 4

、

z = 10

，

4 x = 12 = 3 y

，

5 y = 20 = 2 z

。

第 13 題先把分數連比化成整數連比。

3

、

4

、

6

的最小公倍數是

12

，三項同乘以

12

：

\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{6} = 4 : 3 : 2

。設

x = 4 k

、

y = 3 k

、

z = 2 k

，則

4 k + 3 k + 2 k = 180

，

9 k = 180

，

k = 20

。所以

x = 80

、

y = 60

、

z = 40

。

x + 2 y - 3 z = 80 + 120 - 120 = 80

。

\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{6}

不是

3 : 4 : 6

。

第 14 題設長、寬、高分別是

5 k

、

9 k

、

15 k

公分。寬是

6

公分：

9 k = 6

，

k = \frac{2}{3}

。長

= 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}

公分，高

= 15 \times \frac{2}{3} = 10

公分。體積

= \frac{10}{3} \times 6 \times 10 = 200

立方公分。

連比的題目先設成

ak

、

bk

、

c k

，再用題目給的條件求

k

。

05填充 5～7（第 15～17 題）：中點連線、平行線截比例線段

第 15 題三角形兩邊中點的連線段，長度是第三邊的一半。

△ A B C

中，

D

、

E

是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，所以

\overline{D E} = \frac{1}{2} \overline{B C} = 20

。

△ A D E

中，

F

、

G

是

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，所以

\overline{F G} = \frac{1}{2} \overline{D E} = 10

。

△ A F G

中，

P

、

Q

是

\overline{A F}

、

\overline{A G}

的中點，所以

\overline{P Q} = \frac{1}{2} \overline{F G} = 5

。

\overline{P Q} + \overline{F G} + \overline{D E} = 5 + 10 + 20 = 35

。

第 16 題(1) 在

△ A D C

中，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，所以

\overline{A E} : \overline{E C} = \overline{A F} : \overline{F D} = 8 : 12 = 2 : 3

，比值為

\frac{2}{3}

。(2) 在

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{E C} = 2 : 3

。

\overline{A D} = \overline{A F} + \overline{F D} = 8 + 12 = 20

，所以

20 : \overline{B D} = 2 : 3

，

\overline{B D} = 30

。

兩組平行線分別用在不同的三角形：

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

看

△ A D C

，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

看

△ A B C

。兩次都用到

\overline{A E} : \overline{E C}

。

第 17 題

D

、

E

是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，所以

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

。平行線的同位角相等，

∠ B = ∠ A D E = 5 5^{\circ}

。三角形內角和是

18 0^{\circ}

：

∠ A = 18 0^{\circ} - ∠ B - ∠ C = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} - 5 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

。

∠ A D E

的同位角是

∠ B

，不是

∠ C

。

06填充 8～9（第 18～19 題）：尺規等分線段、梯形中的平行線

第 18 題看作圖痕跡：從

A

作一條射線，用圓規在射線上連續截出

7

段等長的線段，第

2

個分點是

P

，第

7

個分點是

Q

，所以

\overline{A P} : \overline{P Q} = 2 : 5

。連

\overline{QB}

，再過

P

作

\overline{P R} ∥ \overline{QB}

。在

△ A QB

中，

\overline{P R} ∥ \overline{QB}

，所以

\overline{A R} : \overline{R B} = \overline{A P} : \overline{P Q} = 2 : 5

。

\overline{R B} = 28 \times \frac{5}{2 + 5} = 20

。

這題要從圖上數弧的道數。原卷的圖為

7

道弧，

P

在第

2

道、

Q

在第

7

道。

第 19 題過

A

作一條與

\overline{D C}

平行的直線，交

\overline{E F}

於

M

、交

\overline{B C}

於

N

。四邊形

A M F D

與

A N C D

的兩組對邊都平行，都是平行四邊形，所以

\overline{M F} = \overline{N C} = \overline{A D} = 5

。於是

\overline{E M} = \overline{E F} - \overline{M F} = 7 - 5 = 2

。在

△ A B N

中，

\overline{E M} ∥ \overline{B N}

，所以

△ A E M

與

△ A B N

相似（AA），

\overline{E M} : \overline{B N} = \overline{A E} : \overline{A B} = 2 : (2 + 3) = 2 : 5

。

2 : \overline{B N} = 2 : 5

，

\overline{B N} = 5

。

\overline{B C} = \overline{B N} + \overline{N C} = 5 + 5 = 10

。

比例式要用

\overline{A E} : \overline{A B} = 2 : 5

，不是

\overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

。

M

、

N

是詳解另外加的點，原圖沒有。

梯形裡有平行於兩底的線段時，過上底的一個端點作腰的平行線，把梯形切成平行四邊形和三角形。

07填充 10～13（第 20～23 題）：相似三角形

第 20 題三組邊成比例，所以

△ A B C

與

△ D E F

相似（SSS）。由比例式的寫法，對應頂點是

A

對

D

、

B

對

E

、

C

對

F

。對應角相等：

∠ D = ∠ A = 5 0^{\circ}

，

∠ E = ∠ B = 6 0^{\circ}

。所以

x + y = 50

，

x + 2 y = 60

。兩式相減得

y = 10

，代回得

x = 40

。

x - y = 40 - 10 = 30

。

對應頂點要照比例式

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}

來讀，不是看圖上的擺放位置。

第 21 題看

△ A D C

與

△ A C B

：

∠ A

是共用的角，又

∠ A D C = ∠ A C B

，所以兩個三角形相似（AA）。對應頂點是

A

對

A

、

D

對

C

、

C

對

B

。對應邊成比例：

\overline{A D} : \overline{A C} = \overline{A C} : \overline{A B}

，即

\overline{A D} : 8 = 8 : 12

。

12 \times \overline{A D} = 64

，

\overline{A D} = \frac{16}{3}

。

\overline{B D} = \overline{A B} - \overline{A D} = 12 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}

。

題目求的是

\overline{B D}

，算出

\overline{A D}

之後還要用

12

去減。

第 22 題設菱形的邊長為

a

，則

\overline{A E} = \overline{E D} = \overline{D F} = \overline{F A} = a

，

\overline{B E} = 9 - a

，

\overline{C F} = 10 - a

。菱形的對邊平行，

\overline{E D} ∥ \overline{A C}

，所以

△ B E D

與

△ B A C

相似（AA）。

\overline{B E} : \overline{B A} = \overline{E D} : \overline{A C}

，即

(9 - a) : 9 = a : 10

。

10 (9 - a) = 9 a

，

90 = 19 a

，

a = \frac{90}{19}

。

\overline{B E} + \overline{C F} = (9 - a) + (10 - a) = 19 - 2 a = 19 - \frac{180}{19} = \frac{361 - 180}{19} = \frac{181}{19}

。

這題用不到

\overline{B C} = 14

。

第 23 題

\overline{E B} = \overline{A B} - \overline{A E} = 16 - 4 = 12

，

\overline{C F} = \frac{1}{2} \times 16 = 8

。在直角三角形

E B C

中，

∠ B E C + ∠ E C B = 9 0^{\circ}

。在直角三角形

G H C

中（

∠ G H C = 9 0^{\circ}

），

∠ H GC + ∠ E C B = 9 0^{\circ}

。所以

∠ B E C = ∠ H GC

，也就是

∠ B E C = ∠ C GF

。又

∠ E B C = ∠ GC F = 9 0^{\circ}

，所以

△ E B C

與

△ GC F

相似（AA），對應頂點是

E

對

G

、

B

對

C

、

C

對

F

。

\overline{E B} : \overline{GC} = \overline{B C} : \overline{C F}

，即

12 : \overline{GC} = 16 : 8

。

16 \times \overline{GC} = 96

，

\overline{GC} = 6

。

\overline{B G} = \overline{B C} - \overline{GC} = 16 - 6 = 10

。

兩個直角三角形都含有

∠ E C B

，「與同一個角互餘的兩個角相等」是找到第二組等角的關鍵。

找相似三角形時，先找共用的角或直角，再找第二組相等的角；對應頂點的順序寫對，比例式才不會列錯。

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04填充 1～4（第 11～14 題）：連比

05填充 5～7（第 15～17 題）：中點連線、平行線截比例線段

06填充 8～9（第 18～19 題）：尺規等分線段、梯形中的平行線

07填充 10～13（第 20～23 題）：相似三角形

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