段考詳解範圍：相似形（連比、平行線截比例線段、縮放、相似多邊形、相似三角形）

屏東中正國中 113 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 26 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

選擇題 15 題（每題 4 分，共 60 分）、填充題 9 題共 10 格（每格 3 分，共 30 分）、計算題 2 題（每題 5 分，共 10 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致（計算題第 1 題學校答案寫「略」，作法為本站自寫）。

一、選擇題（每題 4 分，共 60 分）

下列各組圖形中，哪一組圖形一定相似？

(A) 任意二個長方形
(B) 任意二個箏形
(C) 任意二個菱形
(D) 任意二個等腰直角三角形

△ A B C

的三邊長比為

3 : 4 : 5

，則其三個對應高的比為何？

(A) $3 : 4 : 5$
(B) $5 : 4 : 3$
(C) $15 : 12 : 10$
(D) $20 : 15 : 12$

如圖，

△ A B C

中，下列何者無法說明

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

？

(A) $\overline{A E} : \overline{C E} = \overline{A D} : \overline{B D}$
(B) $\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{D E} : \overline{B C}$
(C) $\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{A E} : \overline{A C}$
(D) $\overline{E C} : \overline{A C} = \overline{B D} : \overline{A B}$

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，試求

x

的值為何？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$

載入中...

如圖，

\overline{A D}

與

\overline{B C}

交於

E

，

\overline{A E} = 6

，

\overline{B E} = 12

，

\overline{C E} = 9

，

\overline{D E} = 18

，

\overline{A B} = 14

，求

\overline{C D}

？

(A) $42$
(B) $21$
(C) $24$
(D) $28$

載入中...

撲滿中有

5

元、

10

元、

50

元硬幣共

40

個，則下列何者可能為這三種硬幣個數的比？

(A) $2 : 3 : 4$
(B) $1 : 2 : 10$
(C) $2 : 5 : 3$
(D) $1 : 3 : 5$

圖中，

D

、

E

、

F

三點是以

P

點為中心，分別將

A

、

B

、

C

三點與

P

點的距離放大為

2

倍的點。已知

∠ A = 4 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 8 0^{\circ}

，則下列何者為

∠ D

、

∠ E

、

∠ F

的度數？

(A) $2 0^{\circ}$ 、 $3 0^{\circ}$ 、 $4 0^{\circ}$
(B) $4 0^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ 、 $8 0^{\circ}$
(C) $8 0^{\circ}$ 、 $12 0^{\circ}$ 、 $16 0^{\circ}$
(D) 以上皆非

載入中...

設

x : y : z = 3 : 4 : 5

，且

x + y + z = 48

，則下列何者錯誤？

(A) $(x - 1) : (y - 1) : (z - 1) = 2 : 4 : 3$
(B) $(x + 1) : (y + 1) : (z + 1) = 13 : 17 : 21$
(C) $x : (y - 1) : (z + 1) = 4 : 5 : 7$
(D) $x : 2 y : 3 z = 3 : 8 : 15$

已知

△ A B C

的三邊長為

2

、

3

、

4

，則下列哪一組邊長組成的三角形會和

△ A B C

相似？

(A) $6$ 、 $9$ 、 $12$
(B) $3$ 、 $3$ 、 $3$
(C) $4$ 、 $4$ 、 $2$
(D) $6$ 、 $9$ 、 $8$

△ A B C

和

△ P QR

中，若已知

∠ A = 8 0^{\circ}

，

∠ B = ∠ Q = 4 0^{\circ}

，且

\overline{A B} = 10

、

\overline{B C} = 14

、

\overline{A C} = 6

、

\overline{P Q} = 5

，則在

△ P QR

中加上下列哪個條件後，不一定能說明

△ A B C \sim △ P QR

？

(A) $∠ R = 6 0^{\circ}$
(B) $∠ P = 8 0^{\circ}$
(C) $\overline{P R} = 3$
(D) $\overline{QR} = 7$

甲想要榨果汁，她用蘋果、鳳梨、柳丁三種水果，且其顆數比

12 : 5 : 8

。甲榨完果汁後，蘋果、鳳梨、柳丁的顆數比變為

9 : 2 : 6

。已知甲榨果汁時沒有使用柳丁，關於她榨果汁時另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？

(A) 只使用蘋果
(B) 使用蘋果及鳳梨，且使用的蘋果顆數比使用的鳳梨顆數多
(C) 只使用鳳梨
(D) 使用蘋果及鳳梨，且使用的鳳梨顆數比使用的蘋果顆數多

如圖，若

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3} ∥ L_{4}

，且

\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C D} = 3 : 4 : 5

，

\overline{E F} + \overline{F G} + \overline{G H} = 24

公分，求

\overline{G H}

？

(A) $12$ 公分
(B) $11$ 公分
(C) $10$ 公分
(D) $9$ 公分

載入中...

如圖，在

△ A B C

中，

D

、

E

兩點分別在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，已知

\overline{A D} = \overline{D B}

、

\overline{A E} = \overline{E C}

，

∠ A D E = 4 3^{\circ}, \overline{D E} = 6

，求

\overline{B C}

的長度。

(A) $6$
(B) $8$
(C) $10$
(D) $12$

載入中...

如圖，

A B C D

為一梯形，

\overline{A D} ∥ \overline{E F} ∥ \overline{B C}

。若

\overline{A D} = 5

，

\overline{B C} = 8

，

\overline{A E} : \overline{E B} = 1 : 2

，則

\overline{E F}

的長度為何？

(A) $6$
(B) $6.5$
(C) $7$
(D) $7.5$

載入中...

如圖，

△ A B C

中，若

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，且

\overline{C D}

平分

∠ A C B

，

\overline{B C} = 18

、

\overline{A C} = 12

，則

\overline{D E} =

？

(A) $6.2$
(B) $6.5$
(C) $7.2$
(D) $7.5$

載入中...

二、填充題（每格 3 分，共 30 分）（本頁第 16～24 題依序為原卷填充題 1～9）

設

x

、

y

、

z

皆不為

0

，且

x : y = 2 : 3

，

y : z = 3 : 5

，則

x : y : z =

____。

若

2 : 5 : 7 = x : 6 : y

，則

x =

____。

有六個三角形如圖，試依據相似三角形的判別性質，乙和 ____(1)____ 為相似形，是 ____(2)____ 相似性質。

載入中...

標準的拿鐵咖啡是由濃縮咖啡（espresso），加上蒸氣噴嘴加熱出來的蒸氣牛奶（steamed milk）和奶泡做成的。其標準的比例是濃縮咖啡：蒸氣牛奶：奶泡

= 1 : 4 : 1

。請問一杯

360

ml 的拿鐵咖啡，其濃縮咖啡有多少 ml？____ ml

若

x y z

不為零，

(x + 1) : (y + 2) : (z + 3) = 1 : 2 : 3

，則

\frac{x + 2 y + 3 z}{x - 2 y + 3 z} =

____。

如圖，長方形的長、寬分別為

5

cm、

3

cm，若將寬減少

1

cm，則長最少要減 ____ cm，所得的長方形才會與原長方形相似。

載入中...

如圖，已知

\overline{A E} : \overline{E F} = 4 : 1

，

\overline{B D} : \overline{D F} = 3 : 1

，

\overline{C D} : \overline{D E} = 1 : 1

，則

△ A B C

的面積是

△ D E F

面積的多少倍？____ 倍

載入中...

如圖，正

△ A B C

中，

E

為

\overline{B C}

上一點，在

\overline{A C}

上找一點

F

，使得

∠ A E F = 6 0^{\circ}

，若

\overline{B E} = 4

，

\overline{C F} = 3

，則

△ A B C

的邊長為何？____

載入中...

如圖，四邊形

A B C D

為平行四邊形，

E

為

\overline{C D}

延長線上的一點，

\overline{B E}

交

\overline{A D}

於

F

點，交

\overline{A C}

於

G

點，若

\overline{B G} = 9

，

\overline{GF} = 3

，

\overline{A B} = 10

，求

\overline{D E} =

____

載入中...

三、計算題（每題 5 分，共 10 分）（本頁第 25、26 題為原卷計算題 1、2）

利用尺規作圖在

\overline{A B}

上作出一點

C

，使得

\overline{A C} : \overline{B C} = 4 : 1

。（5 分）

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

F

為

\overline{B E}

、

\overline{C D}

的交點。若

\overline{A E} = 2

，

\overline{E C} = 3

，

\overline{E F} = 1

，求：(1)

△ D E F

面積：

△ E C F

面積（2 分）　(2)

\overline{B E}

（3 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(B)

第 5 題(B)

第 6 題(C)

第 7 題(B)

第 8 題(A)

第 9 題(A)

第 10 題(C)

第 11 題(C)

第 12 題(C)

第 13 題(D)

第 14 題(A)

第 15 題(C)

第 16 題

2 : 3 : 5

第 17 題

\frac{12}{5}

第 18 題(1) 丁　(2) SAS

第 19 題

60

第 20 題

\frac{7}{3}

第 21 題

\frac{5}{3}

第 22 題

22

第 23 題

16

第 24 題

20

第 25 題作法與作圖見詳解（

C

在

\overline{A B}

上，

\overline{A C} = \frac{4}{5} \overline{A B}

）

第 26 題(1)

2 : 5

　(2)

\frac{7}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1、7 與填充 6（第 21 題）：縮放與相似多邊形

第 1 題答案 (D)。兩個多邊形相似，要同時滿足「對應角相等」和「對應邊成比例」。(A) 長方形的角都是

9 0^{\circ}

，但長和寬的比不一定相同，例如

1 \times 2

與

1 \times 3

，不一定相似。(B) 箏形的角和邊長的比都可以不同，不一定相似。(C) 菱形四邊等長，但角不一定相等，例如有一個內角是

6 0^{\circ}

的菱形和正方形，不一定相似。(D) 等腰直角三角形的三個角一定是

4 5^{\circ}

、

4 5^{\circ}

、

9 0^{\circ}

，任意兩個的對應角都相等，所以一定相似（AA 相似）。

第 7 題答案 (B)。以

P

為中心把

△ A B C

放大為

2

倍得到

△ D E F

，所以

△ D E F \sim △ A B C

，

D

、

E

、

F

分別對應

A

、

B

、

C

。縮放只改變邊長，不改變角度，所以

∠ D = ∠ A = 4 0^{\circ}

、

∠ E = ∠ B = 6 0^{\circ}

、

∠ F = ∠ C = 8 0^{\circ}

。

放大

2

倍是邊長變成

2

倍，角度不會跟著變成

2

倍。

第 21 題寬減少

1

cm 後，新長方形有一邊是

2

cm，設另一邊（由原來的長減少而來）是

a

cm，

a \leq 5

。原長方形兩邊的比是

5 : 3

，相似時有兩種對應方式。第一種：

a

對應

5

、

2

對應

3

，

a : 2 = 5 : 3

，

3 a = 10

，

a = \frac{10}{3}

，長要減

5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}

cm。第二種：

2

對應

5

、

a

對應

3

，

2 : a = 5 : 3

，

5 a = 6

，

a = \frac{6}{5}

，長要減

5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}

cm。

\frac{5}{3} < \frac{19}{5}

，所以長最少要減

\frac{5}{3}

cm。

驗算：新長方形是

\frac{10}{3} \times 2

，

\frac{10}{3} : 2 = 10 : 6 = 5 : 3

，和原長方形的

5 : 3

相同。

判斷多邊形相似，對應角相等和對應邊成比例兩個條件都要檢查。

02選擇 2、6、8、11：連比

第 2 題答案 (D)。設三邊長為

3 k

、

4 k

、

5 k

，對應的高為

h_{1}

、

h_{2}

、

h_{3}

。同一個三角形的面積不管用哪一邊當底都一樣：

\frac{1}{2} \times 3 k \times h_{1} = \frac{1}{2} \times 4 k \times h_{2} = \frac{1}{2} \times 5 k \times h_{3}

，所以

3 h_{1} = 4 h_{2} = 5 h_{3}

。設這個共同的值是

60 t

（

3

、

4

、

5

的最小公倍數是

60

），則

h_{1} = 20 t

、

h_{2} = 15 t

、

h_{3} = 12 t

。

h_{1} : h_{2} : h_{3} = 20 : 15 : 12

。

底越長，對應的高越短；高的比是

\frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{5}

，不是把

3 : 4 : 5

倒過來寫成

5 : 4 : 3

。

第 6 題答案 (C)。若個數比是

a : b : c

，個數就是

ak

、

bk

、

c k

（

k

是正整數），總數

(a + b + c) k = 40

，所以

a + b + c

要能整除

40

。(A)

2 + 3 + 4 = 9

，不能整除

40

。(B)

1 + 2 + 10 = 13

，不能整除

40

。(C)

2 + 5 + 3 = 10

，

40 \div 10 = 4

，個數是

8

、

20

、

12

個，可以。(D)

1 + 3 + 5 = 9

，不能整除

40

。

第 8 題答案 (A)。設

x = 3 k

、

y = 4 k

、

z = 5 k

，

3 k + 4 k + 5 k = 12 k = 48

，

k = 4

，所以

x = 12

、

y = 16

、

z = 20

。(A)

(x - 1) : (y - 1) : (z - 1) = 11 : 15 : 19

，不是

2 : 4 : 3

，錯誤。(B)

(x + 1) : (y + 1) : (z + 1) = 13 : 17 : 21

，正確。(C)

x : (y - 1) : (z + 1) = 12 : 15 : 21 = 4 : 5 : 7

，正確。(D)

x : 2 y : 3 z = 12 : 32 : 60 = 3 : 8 : 15

，正確。題目問錯誤的，選 (A)。

第 11 題答案 (C)。柳丁沒有使用，顆數前後不變，把兩個連比裡的柳丁化成同一個數。

8

和

6

的最小公倍數是

24

。榨果汁前：

12 : 5 : 8 = 36 : 15 : 24

。榨果汁後：

9 : 2 : 6 = 36 : 8 : 24

。蘋果前後都是

36

份，沒有使用；鳳梨從

15

份變成

8

份，用掉

7

份。所以只使用鳳梨。

前後兩個連比要比較時，先找出不變的那一項，把它化成同一個數。

03選擇 3、4、12、13、14、15：平行線截比例線段

第 3 題答案 (B)。(A)

\overline{A E} : \overline{C E} = \overline{A D} : \overline{B D}

：兩邊被截成的線段成比例，可以說明

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

。(C)

\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{A E} : \overline{A C}

：同樣是兩邊上的線段成比例，可以說明。(D)

\overline{E C} : \overline{A C} = \overline{B D} : \overline{A B}

：同樣可以說明。(B)

\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{D E} : \overline{B C}

：這個式子用到的是

\overline{D E}

和

\overline{B C}

，在

△ A D E

與

△ A B C

中，

∠ A

不是

\overline{A D}

、

\overline{D E}

的夾角，不符合 SAS 相似，無法確定

∠ A D E = ∠ A B C

，所以無法說明平行。

(B) 的反例：固定

D

點，以

D

為圓心、同一個長度為半徑畫弧，可能和

\overline{A C}

交於兩個點，兩個點都滿足 (B) 的式子，但最多只有一個能讓

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

。

第 4 題答案 (B)。由圖，

\overline{A D} = 4 x + 3

、

\overline{D B} = x + 6

、

\overline{A E} = 15

、

\overline{E C} = 9

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{E C}

。

(4 x + 3) : (x + 6) = 15 : 9 = 5 : 3

。內項乘積等於外項乘積：

3 (4 x + 3) = 5 (x + 6)

，

12 x + 9 = 5 x + 30

，

7 x = 21

，

x = 3

。驗算：

\overline{A D} = 15

、

\overline{D B} = 9

，

15 : 9 = 5 : 3

，符合。

第 12 題答案 (C)。四條平行線截兩條截線，截出的對應線段成比例：

\overline{E F} : \overline{F G} : \overline{G H} = \overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C D} = 3 : 4 : 5

。設

\overline{E F} = 3 k

、

\overline{F G} = 4 k

、

\overline{G H} = 5 k

，

3 k + 4 k + 5 k = 12 k = 24

，

k = 2

。

\overline{G H} = 5 k = 10

公分。

第 13 題答案 (D)。

\overline{A D} = \overline{D B}

、

\overline{A E} = \overline{E C}

，所以

D

、

E

分別是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點。三角形兩邊中點的連線平行於第三邊，長度是第三邊的一半，所以

\overline{B C} = 2 \times \overline{D E} = 2 \times 6 = 12

。

∠ A D E = 4 3^{\circ}

在這一題用不到。

第 14 題答案 (A)。連對角線

\overline{A C}

，設它和

\overline{E F}

交於

G

。在

△ A B C

中，

\overline{E G} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{E G} : \overline{B C} = \overline{A E} : \overline{A B} = 1 : 3

，

\overline{E G} = 8 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{3}

。同樣由

\overline{E G} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A G} : \overline{GC} = \overline{A E} : \overline{E B} = 1 : 2

。在

△ C A D

中，

\overline{GF} ∥ \overline{A D}

，所以

\overline{GF} : \overline{A D} = \overline{C G} : \overline{C A} = 2 : 3

，

\overline{GF} = 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}

。

\overline{E F} = \overline{E G} + \overline{GF} = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = 6

。

E

比較靠近

\overline{A D}

，所以

\overline{E F}

的長度比較接近

5

。

\overline{E G}

是

\overline{B C}

的

\frac{1}{3}

，

\overline{GF}

是

\overline{A D}

的

\frac{2}{3}

，兩個分數不要對調。

第 15 題答案 (C)。

\overline{C D}

平分

∠ A C B

，所以

∠ E C D = ∠ D C B

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

∠ E D C = ∠ D C B

（內錯角相等）。因此

∠ E C D = ∠ E D C

，

△ E D C

是等腰三角形，

\overline{D E} = \overline{E C}

。設

\overline{D E} = \overline{E C} = a

，則

\overline{A E} = 12 - a

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

△ A D E \sim △ A B C

（AA 相似），

\overline{D E} : \overline{B C} = \overline{A E} : \overline{A C}

。

a : 18 = (12 - a) : 12

，

12 a = 18 (12 - a)

，

12 a = 216 - 18 a

，

30 a = 216

，

a = 7.2

。

驗算：

\overline{A E} = 4.8

，

4.8 : 12 = 2 : 5

，

7.2 : 18 = 2 : 5

，符合。

看到平行，就把同一條邊上被截出的線段寫成比；看到角平分線加平行線，先找等腰三角形。

04選擇 5、9、10：相似三角形的判別

第 5 題答案 (B)。

∠ A E B = ∠ C E D

（對頂角）。夾這個角的邊：

\overline{A E} : \overline{C E} = 6 : 9 = 2 : 3

，

\overline{B E} : \overline{D E} = 12 : 18 = 2 : 3

。兩邊成比例且夾角相等，所以

△ A E B \sim △ C E D

（SAS 相似），對應頂點是

A \leftrightarrow C

、

E \leftrightarrow E

、

B \leftrightarrow D

。對應邊

\overline{A B} : \overline{C D} = 2 : 3

，

14 : \overline{C D} = 2 : 3

，

\overline{C D} = 21

。

如果配成

\overline{A E} : \overline{D E} = 6 : 18

和

\overline{B E} : \overline{C E} = 12 : 9

，兩個比不相等，表示對應關係配錯了，要換一種配法。這一題

\overline{A B}

和

\overline{C D}

並不平行。

第 9 題答案 (A)。把每一組邊長由小到大排好，和

2

、

3

、

4

比較。(A)

6 : 9 : 12 = 2 : 3 : 4

，三邊成比例，相似（SSS 相似）。(B)

3 : 3 : 3 = 1 : 1 : 1

，不相似。(C)

2 : 4 : 4 = 1 : 2 : 2

，不相似。(D)

6 : 8 : 9

，

6 \div 2 = 3

、

8 \div 3 = \frac{8}{3}

，比值不同，不相似。

第 10 題答案 (C)。

△ A B C

中

∠ C = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。已知

∠ B = ∠ Q

，所以對應頂點是

A \leftrightarrow P

、

B \leftrightarrow Q

、

C \leftrightarrow R

，且

\overline{P Q} : \overline{A B} = 5 : 10 = 1 : 2

。(A)

∠ R = 6 0^{\circ} = ∠ C

，加上

∠ Q = ∠ B

，兩組角相等，AA 相似。(B)

∠ P = 8 0^{\circ} = ∠ A

，加上

∠ Q = ∠ B

，AA 相似。(D)

\overline{QR} = 7

，

\overline{QR} : \overline{B C} = 7 : 14 = 1 : 2

，和

\overline{P Q} : \overline{A B}

相等，而且

∠ Q

正好是

\overline{P Q}

、

\overline{QR}

的夾角，SAS 相似。(C)

\overline{P R} = 3

，

\overline{P R} : \overline{A C} = 3 : 6 = 1 : 2

，雖然兩組邊成比例，但

∠ Q

不是

\overline{P Q}

、

\overline{P R}

的夾角，不符合 SAS 相似，不一定能說明相似。

兩邊成比例時，相等的角一定要是這兩邊的夾角，才能用 SAS 相似。另外，這一題卷面給的三個邊長

10

、

14

、

6

和三個角

8 0^{\circ}

、

4 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

其實畫不出同一個三角形（數據有瑕疵）；本題只需要用相似的判別性質來判斷，答案不受影響。

用 SAS 相似之前，先確認相等的角是不是成比例那兩邊的夾角。

05填充 1、2、4、5（第 16、17、19、20 題）：連比的計算

第 16 題兩個比裡的

y

都是

3

，可以直接合起來：

x : y : z = 2 : 3 : 5

。

第 17 題連比例式中對應的項成比例，取前兩項：

2 : 5 = x : 6

。內項乘積等於外項乘積：

5 x = 12

，

x = \frac{12}{5}

。

題目只問

x

。

y

可由

5 : 7 = 6 : y

得

y = \frac{42}{5}

。

第 19 題設濃縮咖啡、蒸氣牛奶、奶泡各有

k

、

4 k

、

k

ml。

k + 4 k + k = 6 k = 360

，

k = 60

。濃縮咖啡有

60

ml。

第 20 題設

x + 1 = k

、

y + 2 = 2 k

、

z + 3 = 3 k

，則

x = k - 1

、

y = 2 k - 2 = 2 (k - 1)

、

z = 3 k - 3 = 3 (k - 1)

。因為

x y z

不為零，所以

k - 1 \neq = 0

。令

m = k - 1

，則

x = m

、

y = 2 m

、

z = 3 m

。分子

x + 2 y + 3 z = m + 4 m + 9 m = 14 m

。分母

x - 2 y + 3 z = m - 4 m + 9 m = 6 m

。所求

= \frac{14 m}{6 m} = \frac{7}{3}

。

題目說

x y z

不為零，就是保證

m \neq = 0

，分子分母才可以約掉

m

。

連比的題目先設成

k

的倍數，再把條件代進去。

06填充 3、7、8、9（第 18、22、23、24 題）：相似三角形與面積比

第 18 題乙有兩邊長

6

、

10

，夾角

6 0^{\circ}

。丁有兩邊長

3

、

5

，夾角

6 0^{\circ}

。

3 : 6 = 5 : 10 = 1 : 2

，兩邊成比例且夾角相等，所以乙和丁相似，用的是 SAS 相似性質。其他幾個都不行：甲（

4

、

6

、

8

）和己（

6

、

9

、

12

）只知道三邊，

4 : 6 : 8 = 6 : 9 : 12 = 2 : 3 : 4

，它們兩個彼此相似（SSS 相似）；丙和戊的三個角都是

5 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

7 0^{\circ}

，它們兩個彼此相似（AA 相似）。

(1) 填「丁」，(2) 填「SAS」。

第 22 題兩個三角形如果頂點相同、底在同一直線上，高就相同，面積的比等於底的比。設

△ D E F

的面積是

1

。①

A

、

E

、

F

在同一直線上，

\overline{A E} : \overline{E F} = 4 : 1

。以

D

為頂點：

△ A D E = 4 \times △ D E F = 4

。②

B

、

F

、

D

在同一直線上，

\overline{B D} : \overline{D F} = 3 : 1

，所以

\overline{B F} : \overline{F D} = 2 : 1

。以

E

為頂點：

△ B E F = 2 \times △ D E F = 2

。③ 以

B

為頂點，

\overline{A E} : \overline{E F} = 4 : 1

：

△ A B E = 4 \times △ B E F = 8

。④

C

、

D

、

E

在同一直線上，

\overline{C D} = \overline{D E}

。以

F

為頂點：

△ C D F = △ D E F = 1

；以

A

為頂點：

△ A C D = △ A D E = 4

。⑤ 以

C

為頂點，

\overline{B F} : \overline{F D} = 2 : 1

：

△ B C F = 2 \times △ C D F = 2

。

△ A B C

正好由這七塊拼成：

△ A B E + △ B E F + △ B C F + △ C D F + △ A C D + △ A D E + △ D E F = 8 + 2 + 2 + 1 + 4 + 4 + 1 = 22

。所以是

22

倍。

\overline{B D} : \overline{D F} = 3 : 1

裡的

\overline{B D}

是整段，

F

在

\overline{B D}

上，所以

\overline{B F}

佔

2

份、

\overline{F D}

佔

1

份。

第 23 題正三角形的每個角都是

6 0^{\circ}

，所以

∠ B = ∠ C = 6 0^{\circ}

。

∠ A E C

是

△ A B E

的外角，

∠ A E C = ∠ B + ∠ B A E = 6 0^{\circ} + ∠ B A E

。另一方面

∠ A E C = ∠ A E F + ∠ F E C = 6 0^{\circ} + ∠ F E C

。所以

∠ B A E = ∠ F E C

。在

△ A B E

和

△ E C F

中，

∠ B = ∠ C

、

∠ B A E = ∠ C E F

，所以

△ A B E \sim △ E C F

（AA 相似）。對應邊

\overline{A B} : \overline{E C} = \overline{B E} : \overline{C F}

。設邊長為

a

，則

\overline{E C} = a - 4

。

a : (a - 4) = 4 : 3

，

3 a = 4 (a - 4)

，

3 a = 4 a - 16

，

a = 16

。

驗算：

\overline{A B} = 16

、

\overline{E C} = 12

，

16 : 12 = 4 : 3

，和

\overline{B E} : \overline{C F} = 4 : 3

相同。

第 24 題平行四邊形的對邊平行且等長：

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

、

\overline{A D} = \overline{B C}

、

\overline{A B} ∥ \overline{C D}

。第一步：在

△ A GF

和

△ C GB

中，

∠ A GF = ∠ C GB

（對頂角），

∠ F A G = ∠ B C G

（

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，內錯角相等），所以

△ A GF \sim △ C GB

（AA 相似）。

\overline{A F} : \overline{C B} = \overline{GF} : \overline{GB} = 3 : 9 = 1 : 3

。因為

\overline{A D} = \overline{B C}

，所以

\overline{A F} : \overline{A D} = 1 : 3

，

\overline{A F} : \overline{F D} = 1 : 2

。第二步：在

△ A B F

和

△ D E F

中，

∠ A F B = ∠ D F E

（對頂角），

∠ A B F = ∠ D E F

（

\overline{A B} ∥ \overline{C E}

，內錯角相等），所以

△ A B F \sim △ D E F

（AA 相似）。

\overline{A B} : \overline{D E} = \overline{A F} : \overline{D F} = 1 : 2

。

10 : \overline{D E} = 1 : 2

，

\overline{D E} = 20

。

寫相似時把相等的角排在同一個位置，對應邊照字母位置去找。

07計算 1、2（第 25、26 題）

第 25 題作法：① 過

A

點作一條射線（不和

\overline{A B}

重疊）。② 用圓規取一個固定的半徑，從

A

點開始在射線上依序截出

P_{1}

、

P_{2}

、

P_{3}

、

P_{4}

、

P_{5}

，使

\overline{A P_{1}} = \overline{P_{1} P_{2}} = \overline{P_{2} P_{3}} = \overline{P_{3} P_{4}} = \overline{P_{4} P_{5}}

。③ 連

\overline{P_{5} B}

。④ 過

P_{4}

作一條直線平行

\overline{P_{5} B}

（在

P_{4}

作一個和

∠ A P_{5} B

相等的同位角），這條直線和

\overline{A B}

交於

C

點，

C

就是所求。理由：在

△ A P_{5} B

中，

\overline{P_{4} C} ∥ \overline{P_{5} B}

，所以

\overline{A C} : \overline{C B} = \overline{A P_{4}} : \overline{P_{4} P_{5}} = 4 : 1

。

載入中...

4 + 1 = 5

，所以射線上要截

5

段，再從第

4

個點作平行線。學校公布的答案這一題寫「略」。

第 26 題(1)

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

△ A D E \sim △ A B C

（AA 相似），

\overline{D E} : \overline{B C} = \overline{A E} : \overline{A C} = 2 : (2 + 3) = 2 : 5

。在

△ D E F

和

△ C B F

中，

∠ D F E = ∠ C F B

（對頂角），

∠ E D F = ∠ B C F

（

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，內錯角相等），所以

△ D E F \sim △ C B F

（AA 相似）。

\overline{D F} : \overline{C F} = \overline{E F} : \overline{B F} = \overline{D E} : \overline{C B} = 2 : 5

。

△ D E F

和

△ E C F

以

E

為共同頂點，底

\overline{D F}

、

\overline{F C}

在同一直線上，高相同，所以面積比

= \overline{D F} : \overline{F C} = 2 : 5

。(2) 由

\overline{E F} : \overline{B F} = 2 : 5

，

1 : \overline{B F} = 2 : 5

，

\overline{B F} = \frac{5}{2}

。

\overline{B E} = \overline{B F} + \overline{E F} = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}

。

學校公布的答案卷上，第 (1) 小題印的是求

\overline{D E} : \overline{B C}

，答案同樣是

2 : 5

。

梯形的兩條對角線和兩底圍出的上下兩個三角形相似，相似比就是兩底的比。

同一次段考的其他學校

同樣是國三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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屏東中正國中 113 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 26 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東中正國中 113 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 22 題要用同高三角形的面積比一塊一塊算出來，再把七小塊加起來；第 15 題要先從角平分線和平行線看出一個等腰三角形；第 21 題長方形相似有兩種對應方式，題目問的是減最少的那一種；第 24 題要連用兩組相似三角形；第 3 題和第 10 題都在考兩邊成比例時，相等的角一定要是夾角。

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題目取自屏東中正國中 113 學年度上學期國三第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東中正國中 113 上國三第一次段考數學試題、答案與詳解

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03選擇 3、4、12、13、14、15：平行線截比例線段

04選擇 5、9、10：相似三角形的判別

05填充 1、2、4、5（第 16、17、19、20 題）：連比的計算

06填充 3、7、8、9（第 18、22、23、24 題）：相似三角形與面積比

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國三第一次段考
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