段考詳解範圍：相似形與七年級複習(連比、比例線段、平行線截比例線段、相似多邊形、相似三角形;一元一次方程式、直角坐標與二元一次方程式的圖形、一元一次不等式、統計圖表)

大有國中 114 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

選擇題 22 題共 88 分（原卷未印每題配分，由 22 題推得每題 4 分）、非選擇題 2 題共 12 分（第 1 題 2 分＋4 分，第 2 題 1 分＋1 分＋4 分）

一、選擇題：88 分（每題 4 分——原卷只印總分，每題配分由 22 題推得）〔原卷第 1～22 題〕

下列敘述何者正確？

(A) 若 $a : b : c = 1 : 2 : 3$ ，則 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$
(B) 若 $x : y : z = 4 : 5 : 7$ ，則 $x + y - z = 2$
(C) 若 $3 p = 4 q = 5 r$ ，則 $p : q : r = 3 : 4 : 5$
(D) 若 $d : 5 = e : 6 = f : 7$ ，則 $d : e : f = 5 : 6 : 7$

下列選項何者是方程式

45 - x \div 3 = - 54

的解？

(A) $x = - 54 - 45 \times 3$
(B) $x = (45 + 54) \times 3$
(C) $x = (45 + 54) \div 3$
(D) $x = 45 + 54 \times 3$

已知

x : y = 5 : 6

，

x : z = 3 : 4

，則

x : y : z =

？

(A) $4 : 3 : 2$
(B) $5 : 6 : 8$
(C) $10 : 9 : 12$
(D) $15 : 18 : 20$

如圖(一)，

\overline{A D} ∥ \overline{B E} ∥ \overline{C F}

，且

\overline{A B} : \overline{B C} = 2 : 3

，若

\overline{B G} = 10

，

\overline{E F} = 18

，則

\overline{C F} + \overline{D E} =

？

(A) $25$
(B) $27$
(C) $30$
(D) $37$

載入中...

在

△ A B C \sim △ D E F

中，若

\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C A} = \overline{D E} : \overline{E F} : \overline{F D}

，

∠ A = 4 0^{\circ}

，

∠ C = 7 0^{\circ}

，

∠ B = (4 x - 3 y)^{\circ}

，

∠ D = (2 x + y)^{\circ}

，則

x + y =

？

(A) $21$
(B) $25$
(C) $31$
(D) $33$

如圖(二)，

△ A B C

，則下列四個三角形，哪個與

△ A B C

相似？（圖中

\overline{A B} = 8

，

\overline{A C} = 8

，

∠ B = 3 0^{\circ}

；四個選項的三角形畫在圖的下方。）

(A) 兩邊長為 $3$ 、 $3$ ，這兩邊的夾角為 $12 0^{\circ}$ 的三角形
(B) 兩邊長為 $5$ 、 $5$ ，這兩邊的夾角為 $3 0^{\circ}$ 的三角形
(C) 有兩個角分別為 $11 0^{\circ}$ 、 $3 0^{\circ}$ 的三角形
(D) 三邊長為 $2$ 、 $4$ 、 $4$ 的三角形

載入中...

如圖(三)，梯形

A B C D

中，

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A D} = 4

，

\overline{B D} = 10

，

\overline{B C} = 25

，則下列敘述何者正確？

(A) 根據 SSS 相似性質， $△ A B D \sim △ D C B$
(B) $\overline{A B} : \overline{C D} = 4 : 25$
(C) $∠ A = 18 0^{\circ} - (∠ D B C + ∠ C)$
(D) $∠ A$ 與 $∠ C$ 互補

載入中...

如圖(四)，以

O

點為中心，作出

△ A B C

的各頂點分別與

O

點的距離放大

3

倍的

D

、

E

、

F

三點，得到

△ D E F

。則下列敘述何者錯誤？

(A) $\overline{D F}$ 是 $\overline{A C}$ 的三倍
(B) $△ A B C$ 周長是 $△ D E F$ 周長的三分之一倍
(C) $∠ D E F = 3∠ A B C$
(D) $\overline{B C} ∥ \overline{E F}$

載入中...

坐標平面上，若

A (- 1, 5)

、

B (5, t)

兩點都在方程式

y = 3 x + k

的圖形上，則

t =

？

(A) $26$
(B) $23$
(C) $17$
(D) $- 7$

如圖(五)，

△ A B C

三邊長分別

5

公分、

12

公分、

13

公分，若

\overline{A B}

邊上的高為

x

公分，

\overline{B C}

邊上的高為

y

公分，

\overline{A C}

邊上的高為

z

公分，則

x : y : z =

？

(A) $5 : 12 : 13$
(B) $12 : 13 : 5$
(C) $156 : 65 : 60$
(D) $60 : 65 : 156$

載入中...

如圖(六)，

△ A B C

中，

\overline{B C} ∥ \overline{D E}

，

\overline{A D} = 5

，

\overline{A B} = 4 x + 3

，

\overline{A E} = 7

，

\overline{A C} = 5 x + 6

，則

x =

？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $6$
(D) $8$

載入中...

已知

x

、

y

、

z

都不是零的整數，若

x - 4 y = 0

，

3 x - 2 z = 0

，且

3 x + 4 y - z = 30

，則

x + y + z =

？

(A) $11$
(B) $31$
(C) $33$
(D) $38$

如圖(七)，

△ A B C

中，

D

、

E

分別是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

中點，

F

、

G

分別是

\overline{A D}

、

\overline{A E}

中點，

\overline{B C} = 40

，則

\overline{F G} =

？

(A) $5$
(B) $10$
(C) $20$
(D) $30$

載入中...

如圖(八)，五邊形

A B C D E \sim

五邊形

P QR S T

，

A

、

B

、

C

、

D

、

E

的對應點分別是

P

、

Q

、

R

、

S

、

T

。若

\overline{A B} = 3

、

\overline{B C} = 5

、

\overline{C D} = 6

、

\overline{D E} = 6

、

\overline{E A} = 9

，且

\overline{P Q}

與

\overline{S T}

相差

15

，則五邊形

P QR S T

周長

=

？

(A) $57$
(B) $86$
(C) $145$
(D) $174$

載入中...

如圖(九)，矩形的長為

10

，寬為

8

，若將長往外各加

1

，寬要往外各加

x

，且

x < 1

，才能使得新矩形的對應邊與原矩形相似。則

x =

？

(A) $0.8$
(B) $0.75$
(C) $0.7$
(D) $0.65$

載入中...

如圖(十)，平行四邊形

A B C D

中，

F

為

\overline{A D}

中點。若

\overline{C F}

交

\overline{B D}

於

G

點，

C F

交

A B

於

E

點，若

\overline{F G} = 5

，則

\overline{C E} =

？

(A) $15$
(B) $20$
(C) $25$
(D) $30$

載入中...

如圖(十一)，

D

在

\overline{B C}

上，

E

在

\overline{A D}

上，已知

\overline{B D} : \overline{D C} = 4 : 5

，

\overline{A E} : \overline{E D} = 3 : 2

，且

△ A B C

面積為

270

，則

△ B D E

的面積

=

？

(A) $48$
(B) $60$
(C) $72$
(D) $90$

載入中...

花蓮的馬太鞍溪堰塞湖因樺加沙颱風影響而溢流，造成光復鄉嚴重災害與傷亡。有愛的台灣社會，一時間湧入善心人士，除了捐贈了現金與很多物資外，也有很多志工都到災區協助復原。其中紫賢、台明、哲嘉三人決定捐款協助賑災，他們身上原有錢數比為

5 : 6 : 8

，若紫賢、台明、哲嘉分別捐了

6000

元、

8000

元及

x

元，捐完後每人身上的錢數比變為

8 : 8 : 21

。則

x =

？

(A) $5500$ 元
(B) $6000$ 元
(C) $7200$ 元
(D) $7500$ 元

多慧、芝儇與珠珢相約到災區當鏟子超人協助光復國中清理校園環境，在清理時她們發現清理一間教室多慧一個人獨做需

8

小時可完成；多慧、芝儇合作

6

小時就可完成；珠珢一個人獨做需

12

小時可完成，則多慧、芝儇與珠珢每小時的工作量比為多少？

(A) $4 : 2 : 3$
(B) $3 : 1 : 2$
(C) $2 : 6 : 3$
(D) $4 : 3 : 6$

玩具親子館的價目表寫著：「入場券

500

元；買

10

張以上(含)：打八折；買

20

張以上(含)：打七折；買

35

張以上(含)：打六折」。若有一團體的人數在

20

人以上，未滿

35

人，則當人數至少為多少人時，購買

35

張票反而比較便宜？

(A) $25$
(B) $28$
(C) $31$
(D) $33$

如圖(十二)，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，

\overline{A F} = 4

，

\overline{A D} = 12

，

△ A E F

面積為

10

，則

△ D B C

面積

=

？

(A) $120$
(B) $150$
(C) $160$
(D) $180$

載入中...

如圖(十三)，四邊形

A B C D

為正方形，

E

在

\overline{C D}

上，且

\overline{A E} ⊥ \overline{D G}

於

G

，

\overline{A E} ⊥ \overline{B F}

於

F

，若

\overline{A D} = 4

，

\overline{D E} = 3

，則

△ A B F

面積

:

△ D F G

面積

=

？

(A) $5 : 2$
(B) $3 : 2$
(C) $3 : 1$
(D) $4 : 1$

載入中...

二、非選擇題：12 分（請依相關資訊寫出解答過程並詳細解釋才給分）〔原卷非選擇題第 1、2 題＝本頁第 23、24 題；各小題配分照原卷印在題目裡〕

如圖(十四)為牛特拉汽車公司上一年度電動汽車銷售累積相對次數分配折線圖。則：(1) 已知第三季的電動汽車銷售量為

39

萬輛，求整年度電動汽車銷售量為多少輛？(2 分)　(2) 承(1)，老闆牛斯克看了上圖說：「此折線圖的趨勢節節高升，表示『季成長率』皆為正。」已知季成長率

= \frac{本季銷售量 - 前一季銷售量}{前一季銷售量} \times 100%

，請判斷老闆牛斯克的說法是否正確？若否，則第二、三、四季的「季成長率」何者為正？(4 分)

載入中...

如圖(十五)中，四邊形

A B C D

為長方形，

B

點在直線

L

上，

\overline{A E} ⊥ L

於

E

，

\overline{C F} ⊥ L

於

F

。若

\overline{A B} = 6

，

\overline{A D} = 8

，

\overline{B E} = 3

，則：(1) 李娜娜為了說明

△ A B E \sim △ B C F

，寫下了以下說明：　∵

\overline{A E} ⊥ L

於

E

，

\overline{C F} ⊥ L

於

F

；　∴

∠ A E B = ∠ B F C = 9 0^{\circ}

；　又 ①____ (1 分)；　故

△ A B E \sim △ B C F

（②____ 相似性質）(1 分)。　(2)

\overline{B F} =

？(4 分)

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(C)

第 9 題(B)

第 10 題(C)

第 11 題(B)

第 12 題(C)

第 13 題(B)

第 14 題(C)

第 15 題(A)

第 16 題(D)

第 17 題(A)

第 18 題(A)

第 19 題(B)

第 20 題(C)

第 21 題(D)

第 22 題(D)

第 23 題(1)

150

萬輛　(2) 否；只有第二季的季成長率為正

第 24 題(1) ①

∠ E A B = ∠ F B C

（或

∠ E B A = ∠ F C B

）　② AA　(2)

43

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、3、12 題：連比的基本運算

第 1 題答案 (D)。(A) 連比只說明三個數的比。例如

a = 2

、

b = 4

、

c = 6

也符合

1 : 2 : 3

，所以不一定是

1

、

2

、

3

。(B) 設

x = 4 k

、

y = 5 k

、

z = 7 k

，則

x + y - z = 4 k + 5 k - 7 k = 2 k

。

k

不一定是

1

，所以不一定等於

2

。(C) 設

3 p = 4 q = 5 r = 60

，則

p = 20

、

q = 15

、

r = 12

，

p : q : r = 20 : 15 : 12

，不是

3 : 4 : 5

。(D) 設

d : 5 = e : 6 = f : 7

的比值都是

k

，則

d = 5 k

、

e = 6 k

、

f = 7 k

，所以

d : e : f = 5 : 6 : 7

，正確。

第 3 題答案 (D)。兩個比裡都有

x

，先把

x

變成一樣的數。

x

分別是

5

和

3

，最小公倍數是

15

。

x : y = 5 : 6 = 15 : 18

。

x : z = 3 : 4 = 15 : 20

。所以

x : y : z = 15 : 18 : 20

。

第 12 題答案 (C)。

x - 4 y = 0

，所以

x = 4 y

，

x : y = 4 : 1

。

3 x - 2 z = 0

，所以

3 x = 2 z

，

x : z = 2 : 3 = 4 : 6

。合起來

x : y : z = 4 : 1 : 6

。設

x = 4 k

、

y = k

、

z = 6 k

，代入

3 x + 4 y - z = 30

：

12 k + 4 k - 6 k = 30

，

10 k = 30

，

k = 3

。所以

x = 12

、

y = 3

、

z = 18

，

x + y + z = 33

。

檢查：

12 - 4 \times 3 = 0

，

3 \times 12 - 2 \times 18 = 0

，

36 + 12 - 18 = 30

，三個條件都符合。

連比的題目先設比例常數

k

，把每個數都用

k

表示，再代回條件。

02第 10、18、19 題：連比的應用

第 10 題答案 (C)。圖中

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 12

、

\overline{A C} = 13

。同一個三角形，不管用哪一邊當底，面積都一樣。

\frac{1}{2} \times 5 \times x = \frac{1}{2} \times 12 \times y = \frac{1}{2} \times 13 \times z

，所以

5 x = 12 y = 13 z

。

5

、

12

、

13

的最小公倍數是

780

，設

5 x = 12 y = 13 z = 780

。

x = 156

，

y = 65

，

z = 60

。所以

x : y : z = 156 : 65 : 60

。

高的比不是邊長的比

5 : 12 : 13

。邊越長，那一邊上的高越短。

第 18 題答案 (A)。設三人原有

5 k

元、

6 k

元、

8 k

元。捐完後紫賢剩

5 k - 6000

元，台明剩

6 k - 8000

元。這兩人捐完後的比是

8 : 8

，也就是一樣多。

5 k - 6000 = 6 k - 8000

，

k = 2000

。三人原有

10000

元、

12000

元、

16000

元。紫賢捐完剩

4000

元，對應

8

份，所以

1

份是

500

元。哲嘉捐完剩

21

份，是

21 \times 500 = 10500

元。

x = 16000 - 10500 = 5500

。

檢查：捐完後是

4000 : 4000 : 10500 = 8 : 8 : 21

。

第 19 題答案 (B)。把清理一間教室的工作量當作

1

。多慧每小時做

\frac{1}{8}

。多慧和芝儇合作每小時做

\frac{1}{6}

。芝儇每小時做

\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}

。珠珢每小時做

\frac{1}{12}

。三人的比是

\frac{1}{8} : \frac{1}{24} : \frac{1}{12}

，同乘

24

得

3 : 1 : 2

。

看到「乘積相等」或「幾小時做完」，先寫出每個量的分數，再同乘公倍數化成整數比。

03第 2、9、20 題：七年級複習

第 2 題答案 (B)。

45 - x \div 3 = - 54

。兩邊同加

x \div 3

：

45 = - 54 + x \div 3

。兩邊同加

54

：

45 + 54 = x \div 3

。兩邊同乘

3

：

x = (45 + 54) \times 3

。

算出來

x = 99 \times 3 = 297

。代回檢查：

45 - 297 \div 3 = 45 - 99 = - 54

。

第 9 題答案 (B)。點在圖形上，坐標代入方程式會成立。把

A (- 1, 5)

代入

y = 3 x + k

：

5 = 3 \times (- 1) + k

，

k = 8

。方程式是

y = 3 x + 8

。把

B (5, t)

代入：

t = 3 \times 5 + 8 = 23

。

第 20 題答案 (C)。

35

張票打六折：

500 \times 0.6 \times 35 = 10500

元。人數在

20

人以上、未滿

35

人時，照人數買是打七折，每張

500 \times 0.7 = 350

元。設有

n

人，照人數買要

350 n

元。買

35

張比較便宜，就是

350 n > 10500

，

n > 30

。

n

是整數，所以至少

31

人。

檢查：

30

人時

350 \times 30 = 10500

，兩種買法一樣貴；

31

人時

350 \times 31 = 10850 > 10500

。

04第 4、11、13 題：平行線截比例線段

第 4 題答案 (D)。先求

\overline{C F}

。在

△ A C F

中，

G

在

\overline{A F}

上，

\overline{B G} ∥ \overline{C F}

，所以

△ A B G \sim △ A C F

（AA）。

\overline{A B} : \overline{A C} = 2 : (2 + 3) = 2 : 5

，所以

\overline{B G} : \overline{C F} = 2 : 5

。

10 : \overline{C F} = 2 : 5

，

\overline{C F} = 25

。再求

\overline{D E}

。三條平行線截兩條截線，

\overline{D E} : \overline{E F} = \overline{A B} : \overline{B C} = 2 : 3

。

\overline{D E} : 18 = 2 : 3

，

\overline{D E} = 12

。所以

\overline{C F} + \overline{D E} = 25 + 12 = 37

。

第 11 題答案 (B)。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{A E} : \overline{A C}

。

5 : (4 x + 3) = 7 : (5 x + 6)

。內項乘積等於外項乘積：

5 (5 x + 6) = 7 (4 x + 3)

。

25 x + 30 = 28 x + 21

，

3 x = 9

，

x = 3

。

檢查：

\overline{A B} = 15

，

\overline{A C} = 21

，

5 : 15 = 7 : 21 = 1 : 3

。

第 13 題答案 (B)。

D

、

E

是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，所以

\overline{D E} = \frac{1}{2} \overline{B C} = 20

。

F

、

G

是

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，在

△ A D E

中同樣可得

\overline{F G} = \frac{1}{2} \overline{D E} = 10

。

三角形中有一條線和底邊平行，就寫「上面小段：整段」的比例式。

05第 16、17、21 題：相似三角形與面積比

第 16 題答案 (D)。先看

△ F G D

和

△ C GB

。

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，所以

∠ F D G = ∠ C B G

（內錯角）；又

∠ F G D = ∠ C GB

（對頂角）。所以

△ F G D \sim △ C GB

（AA）。

F

是

\overline{A D}

中點，

\overline{F D} = \frac{1}{2} \overline{A D} = \frac{1}{2} \overline{B C}

，所以

\overline{F G} : \overline{C G} = \overline{F D} : \overline{C B} = 1 : 2

。

\overline{C G} = 10

，

\overline{C F} = 5 + 10 = 15

。再看

△ A E F

和

△ D C F

。

\overline{A B} ∥ \overline{C D}

，所以

∠ E A F = ∠ C D F

（內錯角）；又

∠ A F E = ∠ D F C

（對頂角）。所以

△ A E F \sim △ D C F

（AA）。

\overline{E F} : \overline{C F} = \overline{A F} : \overline{D F} = 1 : 1

，

\overline{E F} = 15

。所以

\overline{C E} = \overline{C F} + \overline{E F} = 15 + 15 = 30

。

第 17 題答案 (A)。

△ A B D

和

△ A D C

的底邊

\overline{B D}

、

\overline{D C}

在同一直線上，頂點都是

A

，高相同。面積比等於底邊比

4 : 5

。

△ A B D

面積

= 270 \times \frac{4}{9} = 120

。

△ B D E

和

△ A B D

的底邊

\overline{E D}

、

\overline{A D}

在同一直線上，頂點都是

B

，高相同。

\overline{E D} : \overline{A D} = 2 : (3 + 2) = 2 : 5

。

△ B D E

面積

= 120 \times \frac{2}{5} = 48

。

第 21 題答案 (D)。先求各段的比。

\overline{F E} ∥ \overline{D C}

，所以

\overline{A E} : \overline{A C} = \overline{A F} : \overline{A D} = 4 : 12 = 1 : 3

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{A D} : \overline{A B} = \overline{A E} : \overline{A C} = 1 : 3

，

\overline{A B} = 36

，

\overline{D B} = 36 - 12 = 24

。再用同高三角形的面積比。

△ A E F

和

△ A D E

的頂點都是

E

，底邊

\overline{A F} : \overline{A D} = 1 : 3

，所以

△ A D E

面積

= 10 \times 3 = 30

。

△ A D E

和

△ A D C

的頂點都是

D

，底邊

\overline{A E} : \overline{A C} = 1 : 3

，所以

△ A D C

面積

= 30 \times 3 = 90

。

△ A D C

和

△ D B C

的頂點都是

C

，底邊

\overline{A D} : \overline{D B} = 12 : 24 = 1 : 2

，所以

△ D B C

面積

= 90 \times 2 = 180

。

兩個三角形的底邊在同一直線上、另一個頂點相同時，面積比就是底邊比。

06第 5～8 題：相似形的性質與判別

第 5 題答案 (A)。兩個三角形相似，對應角相等：

∠ A = ∠ D

，

∠ B = ∠ E

，

∠ C = ∠ F

。

∠ B = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

，所以

4 x - 3 y = 70

。

∠ D = ∠ A = 4 0^{\circ}

，所以

2 x + y = 40

。第二式乘以

3

：

6 x + 3 y = 120

。和第一式相加：

10 x = 190

，

x = 19

。代回

2 x + y = 40

：

y = 2

。

x + y = 21

。

第 6 題答案 (A)。

\overline{A B} = \overline{A C} = 8

，所以

△ A B C

是等腰三角形，

∠ C = ∠ B = 3 0^{\circ}

，

∠ A = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

。(A) 兩邊

3

、

3

夾

12 0^{\circ}

。

8 : 3 = 8 : 3

，而且夾角都是

12 0^{\circ}

，根據 SAS 相似性質，和

△ A B C

相似。(B) 兩邊相等，夾角

3 0^{\circ}

，另外兩個角各是

7 5^{\circ}

，三個角是

3 0^{\circ}

、

7 5^{\circ}

、

7 5^{\circ}

，和

12 0^{\circ}

、

3 0^{\circ}

、

3 0^{\circ}

不同。(C) 三個角是

11 0^{\circ}

、

3 0^{\circ}

、

4 0^{\circ}

，不同。(D) 是等腰三角形，兩腰

4

、底邊

2

，底邊比腰短；但

△ A B C

的底邊

\overline{B C}

對的是最大角

12 0^{\circ}

，比腰長，形狀不同。

原卷四個選項是四張圖，由左到右依序是 (A)(B)(C)(D)；本頁依原檔裡各圖的位置排列。

第 7 題答案 (C)。

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，所以

∠ A D B = ∠ D B C

（內錯角）。

\overline{A D} : \overline{D B} = 4 : 10 = 2 : 5

，

\overline{D B} : \overline{B C} = 10 : 25 = 2 : 5

。兩邊成比例而且夾角相等，所以

△ A B D \sim △ D C B

（SAS 相似性質），對應頂點是

A \leftrightarrow D

、

B \leftrightarrow C

、

D \leftrightarrow B

。(A) 兩個三角形確實相似，但依據是 SAS，題目沒有給

\overline{A B}

、

\overline{C D}

的長，不能用 SSS，敘述不正確。這類選項要連理由一起看：結論「相似」是對的，但理由寫錯，整句敘述就不算正確。(B)

\overline{A B} : \overline{D C}

是對應邊的比，等於

2 : 5

，不是

4 : 25

。(C)

∠ A

的對應角是

∠ B D C

。在

△ D B C

中，

∠ B D C = 18 0^{\circ} - (∠ D B C + ∠ C)

，所以

∠ A = 18 0^{\circ} - (∠ D B C + ∠ C)

，正確。(D)

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，和

∠ A

互補的是

∠ A B C

。

∠ C

的對應角是

∠ A B D

，只是

∠ A B C

的一部分，所以

∠ A + ∠ C < 18 0^{\circ}

，不互補。

第 8 題答案 (C)。以

O

為中心放大

3

倍，

△ D E F

和

△ A B C

相似，對應邊是

3

倍，對應角相等。(A)

\overline{D F}

的對應邊是

\overline{A C}

，

\overline{D F} = 3 \overline{A C}

，正確。(B) 每一邊都是

3

倍，周長也是

3

倍，所以

△ A B C

周長是

△ D E F

周長的

\frac{1}{3}

，正確。(C) 放大不會改變角度，

∠ D E F = ∠ A B C

，不是

3

倍，這個敘述錯誤。(D)

\overline{O B} : \overline{O E} = \overline{O C} : \overline{O F} = 1 : 3

，所以

\overline{B C} ∥ \overline{E F}

，正確。

相似形放大的是邊長，角度不變；寫相似時頂點要照對應順序寫。

07第 14、15、22 題：用相似求長度與面積

第 14 題答案 (C)。

\overline{P Q}

的對應邊是

\overline{A B} = 3

，

\overline{S T}

的對應邊是

\overline{D E} = 6

。設五邊形

P QR S T

的邊長是五邊形

A B C D E

的

r

倍，則

\overline{P Q} = 3 r

，

\overline{S T} = 6 r

。相差

15

：

6 r - 3 r = 15

，

r = 5

。五邊形

A B C D E

周長

= 3 + 5 + 6 + 6 + 9 = 29

。五邊形

P QR S T

周長

= 29 \times 5 = 145

。

第 15 題答案 (A)。長的左右各加

1

，新的長是

10 + 2 = 12

。寬的上下各加

x

，新的寬是

8 + 2 x

。新矩形的長對原矩形的長、寬對寬：

12 : 10 = (8 + 2 x) : 8

。

10 (8 + 2 x) = 12 \times 8 = 96

，

8 + 2 x = 9.6

，

x = 0.8

。

0.8 < 1

，符合條件。

如果改成新矩形的長對原矩形的寬，

12 : 8 = (8 + 2 x) : 10

，會得到

x = 3.5

，不符合

x < 1

。

第 22 題答案 (D)。先求

\overline{A E}

。

△ A D E

是直角三角形，

\overline{A E} = 4^{2} + 3^{2} = 5

。再看

△ A B F

和

△ E A D

。

∠ B A F + ∠ D A E = 9 0^{\circ}

，

∠ A E D + ∠ D A E = 9 0^{\circ}

，所以

∠ B A F = ∠ A E D

；又

∠ A F B = ∠ E D A = 9 0^{\circ}

。所以

△ A B F \sim △ E A D

（AA）。

\overline{A B} : \overline{E A} = 4 : 5

，所以

\overline{A F} = \overline{E D} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}

，

\overline{B F} = \overline{A D} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5}

。再看

△ A G D

和

△ A D E

。兩個三角形共用

∠ D A E

，又

∠ A G D = ∠ A D E = 9 0^{\circ}

，所以

△ A G D \sim △ A D E

（AA）。

\overline{A D} : \overline{A E} = 4 : 5

，所以

\overline{A G} = \overline{A D} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5}

，

\overline{D G} = \overline{D E} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}

。

\overline{F G} = \overline{A G} - \overline{A F} = \frac{16}{5} - \frac{12}{5} = \frac{4}{5}

。

△ A B F

面積

= \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{96}{25}

。

△ D F G

以

\overline{F G}

為底、

\overline{D G}

為高，面積

= \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} \times \frac{12}{5} = \frac{24}{25}

。面積比

= \frac{96}{25} : \frac{24}{25} = 4 : 1

。

08第 23 題（非選擇題 1）：累積相對次數分配折線圖

第 23 題圖上的數字是「累積」到那一季為止的百分比，要先還原成每一季各自的百分比。第一季

24%

。第二季

52% - 24% = 28%

。第三季

78% - 52% = 26%

。第四季

100% - 78% = 22%

。(1) 第三季占全年的

26%

，是

39

萬輛。全年

= 39 \div 0.26 = 150

萬輛。(2) 各季銷售量：第一季

150 \times 24% = 36

萬輛，第二季

150 \times 28% = 42

萬輛，第三季

39

萬輛，第四季

150 \times 22% = 33

萬輛。第二季：

42 - 36 = 6 > 0

，季成長率為正。第三季：

39 - 42 = - 3 < 0

，季成長率為負。第四季：

33 - 39 = - 6 < 0

，季成長率為負。所以老闆的說法不正確，只有第二季的季成長率為正。

季成長率的分母（前一季銷售量）是正數，所以只要看分子「本季減前一季」是正還是負。

累積折線圖一定往上走；每一季實際的量要看「這一段上升了多少」。

09第 24 題（非選擇題 2）：AA 相似與求邊長

第 24 題(1) 四邊形

A B C D

是長方形，所以

∠ A B C = 9 0^{\circ}

。

E

、

B

、

F

在同一直線上，

∠ E B A + ∠ A B C + ∠ F B C = 18 0^{\circ}

，所以

∠ E B A + ∠ F B C = 9 0^{\circ}

。在直角三角形

A B E

中，

∠ E A B + ∠ E B A = 9 0^{\circ}

。比較兩式得

∠ E A B = ∠ F B C

。空格 ① 填「

∠ E A B = ∠ F B C

」。兩組角對應相等，所以空格 ② 填 AA。(2) 先求

\overline{A E}

。直角三角形

A B E

中，

\overline{A E} = 6^{2} - 3^{2} = 27 = 33

。長方形對邊相等，

\overline{B C} = \overline{A D} = 8

。

△ A B E \sim △ B C F

，對應邊成比例：

\overline{A E} : \overline{B F} = \overline{A B} : \overline{B C}

。

33 : \overline{B F} = 6 : 8

，

6 \times \overline{B F} = 243

，

\overline{B F} = 43

。

空格 ① 也可以填

∠ E B A = ∠ F C B

：因為

∠ E B A + ∠ F B C = 9 0^{\circ}

，而直角三角形

B C F

中

∠ F B C + ∠ F C B = 9 0^{\circ}

。

一條直線上放一個直角，兩旁各作垂線，就會出現兩個相似的直角三角形。

同一次段考的其他學校

同樣是國三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

大有國中 114 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大有國中 114 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 10 題三邊上的高的比要用面積相等來列式，不是直接照邊長的比；第 16 題要找到兩組相似三角形才能把整段長度接起來；第 21 題要連用三次同高三角形的面積比；第 22 題要先用相似三角形算出垂足切出來的各段長度；第 23 題的累積折線一定往上，要先還原成每一季各自的百分比再比較。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自大有國中 114 學年度上學期國三第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

大有國中 114 上國三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1、3、12 題：連比的基本運算

02第 10、18、19 題：連比的應用

03第 2、9、20 題：七年級複習

04第 4、11、13 題：平行線截比例線段

05第 16、17、21 題：相似三角形與面積比

06第 5～8 題：相似形的性質與判別

07第 14、15、22 題：用相似求長度與面積

08第 23 題（非選擇題 1）：累積相對次數分配折線圖

09第 24 題（非選擇題 2）：AA 相似與求邊長

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大有國中 114 上
國三第一次段考
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