10/28 第三次全國模考｜第一～三冊（數 A）考前藍圖

一枚公正硬幣擲出正面的機率是 $\frac{1}{2}$，但擲 10 次不一定剛好 5 次正面。擲的次數越多，正面占的比例越靠近 $\frac{1}{2}$。圖上是同一串投擲結果：橫軸是擲到第幾次（10、100、1000 等距排開），縱軸是到那時為止的正面比例。

例題：甲、乙、丙等 7 人排成一列，甲乙丙三人兩兩不相鄰，有幾種排法？

算式：$4!\times P(5,3)=24\times 60$

答案：1440 種

先排沒有限制的 4 人，再把甲乙丙放進不同的空隙。一個空隙只放一人，三人中間一定隔著別人。

例題：甲、乙等 6 人排成一列，甲乙兩人必須相鄰，有幾種排法？

算式：$5!\times 2!=120\times 2$

答案：240 種

把甲乙綁成一塊當作一個人，先排 5 個單位，再排塊內的順序。

例題：甲、乙、丙、丁 4 人平分成兩組（兩組沒有名稱、不分先後），有幾種分法？

算式：$C(4,2)÷2!=6÷2$

答案：3 種

先選 2 人放左邊會數到 6 種，但兩組沒有名字，左右對調是同一種分法，每種被數了 $2!$ 次。

例題：在 $4\times 3$ 的棋盤格上，從左下角 $A$ 走到右上角 $B$，每一步只能向右或向上走一格，有幾種走法？

算式：$C(7,3)=\frac{7!}{4!\times 3!}$

答案：35 種

每條走法都是 4 個「→」和 3 個「↑」排成一列，在 7 步裡選哪 3 步向上，走法就決定了。

邊長 $1$ 的正方形，對角線長是 $\sqrt{2}$。用圓規把對角線轉到數線上，那一點夾在 $1.4$ 和 $1.5$ 之間；再放大十倍，夾在 $1.41$ 和 $1.42$ 之間。不管放大幾次，下一位都還要再找，而且數字不會循環，這就是無理數。

$|x-2|$ 是 $x$ 到 $2$ 的距離，$|x-5|$ 是 $x$ 到 $5$ 的距離。$x$ 在 $2$ 和 $5$ 中間時，兩段距離加起來剛好是 $2$ 到 $5$ 的長度 $3$，所以圖形是平的；跑到外面就多走了一段來回，值變大。

例題：求 $|x-2|+|x-5|$ 的最小值，以及最小值發生在哪些 $x$。

算式：$|x-2|+|x-5|\ge |(x-2)-(x-5)|=3$

答案：最小值 $3$，發生在 $2\le x\le 5$

$|x-2|$ 是 $x$ 到 $2$ 的距離，$|x-5|$ 是 $x$ 到 $5$ 的距離。$x$ 在 $2$ 和 $5$ 中間時，兩段加起來剛好是 $2$ 到 $5$ 的長度 $3$。

例題：用正方形面積說明 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$，並用它算 $13^2$。

算式：$13^2=(10+3{)}^2=10^2+2\times 10\times 3+3^2$

答案：169

邊長 $a+b$ 的正方形切成兩個正方形和兩個長方形，面積加起來就是展開式。高一的三次乘法公式，也能用立方體切 8 塊來看。

$y=(x+2)(x-1)(x-c)$ 在 $x=-2$、$1$、$c$ 的地方高度是 $0$，曲線在這些點碰到 $x$ 軸，每個根對應一個因式。兩個根拉到同一點時變成重根，這時曲線碰到 $x$ 軸就彈回去，不會穿過。

例題：$f(x)=x^3-2x^2-x+3$ 除以 $x-2$ 的餘式是多少？

算式：$f(x)=(x-2)q(x)+r$，代 $x=2$ 得 $r=f(2)$

答案：餘式 $1$

除以 $x-2$ 的餘式是常數 $r$。代 $x=2$ 時商那一項變成 $0$，剩下的就是 $f(2)$，也就是圖上 $x=2$ 的高度。

例題：$f(x)=x^3-2x^2-5x+6$，用因式定理把 $f(x)$ 因式分解。

算式：$f(1)=0\Rightarrow x-1$ 是因式；$f(x)=(x-1)(x^2-x-6)$

答案：$(x-1)(x+2)(x-3)$

$f(a)=0$ 表示圖形在 $x=a$ 與 $x$ 軸相交，$x-a$ 就是因式。先試出一個根，除掉之後剩二次式再分解。

例題：解不等式 $(x+1)(x-1)(x-3)>0$。

算式：根 $-1$、$1$、$3$；取曲線在 $x$ 軸上方的區間

答案：$-1<x<1$ 或 $x>3$

$f(x)>0$ 就是圖形在 $x$ 軸上方。先找出穿過 $x$ 軸的點，再看哪幾段在上面。

斜率 $m$ 的意思是往右走 $1$ 格，高度變 $m$ 格。$m$ 越大直線越陡；$m=0$ 是水平線；$m$ 是負的，往右走反而往下。

例題：求過點 $(0,1)$ 且斜角為 $135^{\circ }$ 的直線方程式。

算式：$m=\tan 135^{\circ }=-1$；$y-1=-1\times (x-0)$

答案：$y=-x+1$

斜率就是斜角的正切。往右走 $1$ 格，上升 $m$ 格；$m$ 是負的就往下。

例題：求點 $P(3,4)$ 到直線 $L$：$3x+4y-5=0$ 的距離。

算式：$d=\frac{|3\times 3+4\times 4-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

答案：$d=4$

距離指的是垂直距離。把點代進直線式子取絕對值，再除以 $\sqrt{a^2+b^2}$。

例題：圓 $x^2+y^2=25$ 與直線 $3x+4y=k$ 相切，求 $k$。

算式：$d=\frac{|k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r=5$

答案：$k=25$ 或 $k=-25$

圓心到直線的距離 $d$ 小於半徑就相交兩點，等於半徑就相切，大於半徑就不相交。

$y=2^x$ 每往右走一格，高度乘以 $2$：$1$、$2$、$4$、$8$、$16$、$32$。反過來問「$1$ 要乘幾次 $2$ 才會變成 $y$」，答案就是 ${\log }_{2}y$。$y$ 不是 $2$ 的整數次方時，${\log }_{2}y$ 落在兩個整數中間，例如 ${\log }_{2}10$ 在 $3$ 和 $4$ 之間。

例題：以 $a=4$、$b=9$ 為例，用半圓說明算幾不等式 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$。

算式：$\frac{4+9}{2}=6.5$；$\sqrt{4\times 9}=6$

答案：算術平均 $6.5\ge$ 幾何平均 $6$

把 $a$、$b$ 接成直徑畫半圓，半徑是算術平均，接點往上的高是幾何平均。高不會超過半徑，兩段一樣長時才相等。

例題：點 $(3,8)$ 在 $y=2^x$ 的圖形上，它對直線 $y=x$ 的對稱點是什麼？這個點在哪個函數的圖形上？

算式：對 $y=x$ 鏡射：$(a,b)\to (b,a)$；${\log }_{2}8=3$

答案：$(8,3)$，在 $y={\log }_{2}x$ 的圖形上

$2^3=8$ 和 ${\log }_{2}8=3$ 是同一件事，$x$、$y$ 對調而已，所以兩條圖形對 $y=x$ 對稱。

迴歸直線（最適直線）一定通過平均點，斜率是 $r\times \frac{s_y}{s_x}$。把其中一個點拉離大家的走勢，迴歸線會被拉歪，相關係數 $r$ 也跟著掉；一個離群點就能讓 $r$ 差很多。

例題：5 筆數據 $(2,4)$、$(4,8)$、$(5,10)$、$(6,16)$、$(8,12)$，已知相關係數 $r=0.8$，$x$、$y$ 的標準差（以 $n$ 為分母）$s_x=2$、$s_y=4$，求 $y$ 對 $x$ 的迴歸直線（最適直線）。

算式：斜率 $=r\times \frac{s_y}{s_x}=0.8\times \frac{4}{2}=1.6$；過平均點 $(5,10)$

答案：$y=1.6x+2$

迴歸直線（最適直線）一定通過平均點（$x$ 的平均數, $y$ 的平均數），斜率是 $r\times \frac{s_y}{s_x}$，用點斜式寫出來。

單位圓上的點轉到角 $\theta$ 時，它的高度是 $\sin \theta$。把每個角度的高度往右排開，就畫出正弦波。半徑是 $1$，所以波最高 $1$、最低 $-1$（振幅 $1$）；轉一圈是 $2\pi$，波形也每 $2\pi$ 重複一次（週期 $2\pi$）。

例題：角 $\theta =150^{\circ }$ 的終邊與單位圓交於點 $P$，$P$ 的坐標是多少？

算式：$P=(\cos 150^{\circ },\sin 150^{\circ })$

答案：$P=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$

單位圓半徑是 $1$，終邊上的點橫坐標就是 $\cos \theta$、縱坐標就是 $\sin \theta$。$150^{\circ }$ 在第二象限，所以 $\cos$ 是負的、$\sin$ 是正的。

例題：$△ABC$ 中，$AB=8$，$AC=5$，$\angle A=60^{\circ }$，求 $BC$ 的長。

算式：$B{C}^2=8^2+5^2-2\times 8\times 5\times \cos 60^{\circ }=49$

答案：$BC=7$

已知兩邊和它們的夾角，求對面那一邊，用餘弦定理最直接。

例題：$y=2\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 的振幅、週期各是多少？它是 $y=2\sin 2x$ 怎麼平移得到的？

算式：$2\sin (2x-\frac{\pi }{3})=2\sin 2(x-\frac{\pi }{6})$；週期 $=\frac{2\pi }{2}$

答案：振幅 $2$、週期 $\pi$，由 $y=2\sin 2x$ 向右平移 $\frac{\pi }{6}$

$a$ 管上下的高度，$b$ 管一個週期的長度，平移要先把 $b$ 提出來，$x$ 減掉的才是平移量。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。夾角小於 $90^{\circ }$ 時，$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影和 $\vec{b}$ 同方向，內積是正的；$90^{\circ }$ 時投影長度是 $0$，內積也是 $0$；超過 $90^{\circ }$ 投影跑到反方向，內積變負。

例題：已知向量 $\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 與 $|\vec{a}+\vec{b}|$。

算式：$\vec{a}+\vec{b}=(3+1,1+2)$；$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4^2+3^2}$

答案：$\vec{a}+\vec{b}=(4,3)$，$|\vec{a}+\vec{b}|=5$

把 $\vec{b}$ 的起點接到 $\vec{a}$ 的終點，從 $\vec{a}$ 的起點連到 $\vec{b}$ 的終點就是 $\vec{a}+\vec{b}$。兩種順序接起來是平行四邊形的兩條邊，對角線是同一條。

例題：$A(1,4)$、$B(7,1)$，點 $P$ 在線段 $AB$ 上且 $AP:PB=1:2$，求 $P$ 的坐標。

算式：$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

答案：$P(3,3)$

$P$ 離 $A$ 比較近，$A$ 的係數就比較大：$AP:PB=1:2$ 時，$A$ 配 $\frac{2}{3}$、$B$ 配 $\frac{1}{3}$，兩個係數加起來是 $1$。

例題：已知 $\vec{a}=(7,1)$、$\vec{b}=(6,8)$，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影向量，以及 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角。

算式：正射影 $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}=\frac{50}{100}(6,8)$

答案：正射影 $(3,4)$，夾角 $45^{\circ }$

從 $\vec{a}$ 的終點往 $\vec{b}$ 的方向作垂線，原點到垂足這一段就是正射影。它的長度是 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。