段考詳解範圍：三角函數（弧度量與同界角、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、和差角公式、正餘弦的疊合、週期性數學模型）

正義高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 正義高中 115 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 正義高中 115 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題（多選 2）的 f(2) 要先判斷 6 弧度落在第四象限，對稱軸要通過最高點或最低點。第 14 題（填充 6）要先用角平分線把 BC 分成 4 比 5，求出 tan θ 再用和角公式。第 15 題（填充 7）要由外接圓半徑先求 sin C，並由 B 是鈍角判斷 C 是銳角。第 11 題（填充 3）的實根有四個，要用圖形的對稱一次求和。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多重選擇題 3 題（每答對一選項得 1 分，答錯不倒扣，共 15 分）、填充題 10 題（依量尺配分，共 50 分；學校答案卷印的量尺為答對 1～10 題依序得 6、12、18、24、29、34、38、42、46、50 分）、素養與混合題 2 題（共 10 分，學校答案卷標第一題 5 分），合計 100 分。本頁第 1～5 題為原卷單選 1～5，第 6～8 題為多選 1～3，第 9～18 題為填充 1～10，第 19、20 題為素養與混合題一、二。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題中 19 題相同；第 6 題（原卷多選 1）的 (B) 選項本站看法不同，答案照學校公布的寫，兩種看法見詳解。

一、單選題：（每題 5 分，共 25 分）

試求

sin^{2} \frac{2 π}{3} + sin (- \frac{5 π}{3}) cos (- \frac{5 π}{6})

之值為何。

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $- \frac{3}{2}$

點

A (cos 4, sin 4)

落在何處？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

函數

y = 1 + 2 sin [3 (x + 4)]

的週期為何？

(A) $2 π$
(B) $π$
(C) $\frac{π}{2}$
(D) $\frac{π}{3}$
(E) $\frac{2 π}{3}$

把函數

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

單位後，會得到下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = - sin x$
(B) $y = cos x$
(C) $y = - cos x$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(E) $y = cos (x - \frac{π}{2})$

若

\frac{π}{2} < α < π

，

\frac{π}{2} < β < π

，且

sin α = \frac{1}{5}

，

cos β = - \frac{3}{10}

，試

α + β

之值為何。

(A) $\frac{7 π}{4}$
(B) $\frac{5 π}{4}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $\frac{5 π}{3}$
(E) $\frac{11 π}{6}$

二、多重選擇題：（每答對一選項得 1 分，答錯不倒扣，共 15 分。）

以下各角皆為廣義角，試判斷下列敘述何者正確？

(A) 若 $sin θ = \frac{1}{2}$ ，則 $θ = 3 0^{\circ}$ 或 $15 0^{\circ}$
(B) 從上午 $10$ 時整到上午 $11$ 時 $20$ 分，時鐘的分針所轉的方向角是 $48 0^{\circ}$
(C) 坐標平面上， $\frac{40}{3} π$ 是第三象限角
(D) 若 $θ$ ， $φ$ 是同界角，則 $θ - φ = 36 0^{\circ}$
(E) 坐標平面上， $- 25$ 弧度的最小正同界角是 $- 25 + 8 π$ 弧度

考慮函數

f (x) = 2 sin 3 x

，試問下列選項何者為真？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最大值
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = π$
(E) $f (2) > 0$

△ A B C

中，已知

tan A = \frac{1}{8}

，

cos B = \frac{9}{130}

，則下列選項哪些正確？

(A) $tan B = - \frac{7}{9}$
(B) $tan (A - B) < 0$
(C) $tan (A + B) = 1$
(D) $cos C = - \frac{2}{2}$
(E) $△ A B C$ 為鈍角三角形

三、填充題：（依量尺配分，共 50 分）

右圖的扇形 AOB 與扇形 COD 中，

\overline{O A} = 6

，

\overline{O C} = 2

，且

A B ⌢ = 12

，試求灰色部分的面積為________。

載入中...

設周長為

20

的扇形圓心角為

θ

，半徑為

r

，當扇形面積最大時，圓心角

θ

的值為________？

方程式

sin x = \frac{- 2}{3}

，在

0 \leq x \leq 4 π

內的所有實根總和為________？

已知

0 < x < π

，則不等式

- \frac{1}{2} \leq cos x \leq \frac{1}{2}

的解為________。

試求

sin 8 3^{\circ} cos 2 3^{\circ} + cos 8 3^{\circ} cos 11 3^{\circ}

之值為________。

如右圖，在

△ A B C

中，已知

∠ B = 9 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 3

，且

∠ C A D = ∠ D A B = θ

，試求

sin (θ + 6 0^{\circ})

的值為________。

載入中...

在

△ A B C

中，已知

\overline{A B} = 5

，

cos B = \frac{- 3}{5}

，且其外接圓半徑為

\frac{13}{2}

，試求

cos A

的值為________。

直線

L_{1}

：

y = 2 x - 1

，若直線

L

過

(1, 1)

且與

L_{1}

的銳夾角為

θ

，已知

tan θ = \frac{1}{3}

，且

L

的斜率大於

L_{1}

，試求直線

L

方程式為________。

已知

0 \leq x < 2 π

，則方程式

sin x - cos x = \frac{1}{2}

的解為________。（全對才給分）

設

y = 3 cos x - sin x + 1

，在

\frac{π}{6} \leq x \leq π

範圍內，求

y

的最大值為________。

四、素養與混合題：（共 10 分，每小題依配分，需有詳細計算過程，否則不予計分）

晚間某社區傳出天然氣外洩，當地消防隊火速抵達現場灑水警戒，在坐標地圖上，以該社區為圓心

O (0, 0)

，半徑

r = 1

（公里）的圓內均為警戒區域。後來經過消防隊與天然氣公司的人員檢視其危險性後，決定將其警戒區域縮小至扇形

A O B

的區域，其中

A (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})

，

B (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})

，如附圖，試求扇形

A O B

的區域面積。

載入中...

坐落在臺北的美麗華摩天輪，其直徑為

70

公尺，設立在

30

公尺的基座上，因此摩天輪垂直於地面且最低點離地面是

30

公尺。若摩天輪每隔

1

小時轉一圈，小安從最低點坐上摩天輪的車廂，並且在開始轉動時同時計時，小安的車廂所在的高度為

y

公尺。每隔

15

分鐘，測量車廂的高度，並且得到下表，現在以函數

y = a sin (b t + c) + d

（其中

a

，

b

，

d

為正數，

∣ c ∣ < π

）來描述車廂所在的高度，試求

a

，

b

，

c

，

d

的值。

轉動時間 t （小時） 車廂高度為 y （公尺） 030 \frac{1}{4} 65 \frac{1}{2} 100 \frac{3}{4} 65 130

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(B)(C)(E)（照學校公布的答案；依有向角定義，分針順時針轉應為

- 48 0^{\circ}

，(B) 不成立，見詳解）

第 7 題(A)(B)(C)

第 8 題(B)(C)(D)(E)

第 9 題

32

第 10 題

2

第 11 題

10 π

第 12 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

第 13 題

\frac{3}{2}

第 14 題

\frac{10 + 3 30}{20}

第 15 題

\frac{56}{65}

第 16 題

7 x - y - 6 = 0

第 17 題

x = \frac{5 π}{12}

或

\frac{13 π}{12}

第 18 題

2

第 19 題

\frac{7 π}{24}

平方公里

第 20 題

a = 35

，

b = 2 π

，

c = - \frac{π}{2}

，

d = 65

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：特殊角的值、弧度角的象限、週期與平移

第 1 題答案 (C)。

sin \frac{2 π}{3} = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，平方得

\frac{3}{4}

。

- \frac{5 π}{3}

與

- \frac{5 π}{3} + 2 π = \frac{π}{3}

是同界角，所以

sin (- \frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2}

。

cos (- \frac{5 π}{6}) = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。原式

= \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \times (- \frac{3}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0

。

- \frac{5 π}{3}

是順時針轉

30 0^{\circ}

，終邊落在第一象限，正弦值為正。

第 2 題答案 (C)。這裡的

4

是

4

弧度。

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

4

弧度是第三象限角，

cos 4 < 0

、

sin 4 < 0

，點

A

在第三象限。

4

弧度約

22 9^{\circ}

。

第 3 題答案 (E)。

y = 1 + 2 sin (3 x + 12)

，

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。

前面的

1

、

2

與括號裡的

+ 4

只影響上下平移、振幅與左右平移，不影響週期。

第 4 題答案 (B)。向左平移

\frac{π}{2}

單位是把

x

換成

x + \frac{π}{2}

，得

y = sin (x + \frac{π}{2})

。由

sin (\frac{π}{2} + x) = cos x

，就是

y = cos x

。

用一點檢查：

y = sin x

的最高點

(\frac{π}{2}, 1)

左移後到

(0, 1)

，而

cos 0 = 1

。(D) 是向右平移，得到的是

- cos x

；(E) 的

cos (x - \frac{π}{2}) = sin x

，就是原圖形。

弧度角先用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

判斷象限；

y = a sin (b x + c) + d

的週期只看

b

。

02單選 5：由和角的餘弦求兩角和

第 5 題

答案 (A)。 $α$ 在第二象限， $cos α = - 1 - \frac{1}{5} = - \frac{2}{5}$ ； $β$ 在第二象限， $sin β = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ 。

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{6}{50} - \frac{1}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}$

又 $π < α + β < 2 π$ ，在這個範圍內餘弦值為 $\frac{2}{2}$ 的角只有 $\frac{7 π}{4}$ 。

只看

cos (α + β) = \frac{2}{2}

會想到

\frac{π}{4}

，但兩個鈍角相加一定大於

π

。也可驗算

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = - \frac{3}{50} - \frac{2}{50} = - \frac{2}{2}

，與

\frac{7 π}{4}

相符。

由三角函數值定角，一定要先確定角的範圍。

03多選 1～3：廣義角、正弦函數的性質、三角形中的和差角

第 6 題

學校公布的答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。 廣義角中 $sin θ = \frac{1}{2}$ 的角是 $θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ 或 $15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ （ $k$ 為整數），例如 $39 0^{\circ}$ 也成立，不只兩個。

(B) 學校判正確。 $10$ 時到 $11$ 時 $20$ 分共 $80$ 分鐘，分針轉了 $1 \frac{1}{3}$ 圈，轉過的角度大小是 $36 0^{\circ} \times \frac{4}{3} = 48 0^{\circ}$ ，學校依此判為正確。嚴格依有向角的定義（逆時針為正、順時針為負），分針是順時針轉，所轉的有向角應寫成 $- 48 0^{\circ}$ ，照這個看法 (B) 是錯的，答案會是 (C)(E)。

(D) 錯誤。 同界角相差 $36 0^{\circ}$ 的整數倍： $θ - φ = 36 0^{\circ} k$ ，可以是 $0^{\circ}$ 、 $72 0^{\circ}$ 、 $- 36 0^{\circ}$ 等，不一定是 $36 0^{\circ}$ 。

(E) 正確。 $8 π \approx 25.13$ ， $- 25 + 8 π \approx 0.13 > 0$ ；而 $- 25 + 6 π \approx - 6.15 < 0$ ，所以 $- 25 + 8 π$ 是最小的正同界角。

本站依有向角的定義判 (B) 錯，與學校公布的答案不同；本頁答案照學校公布的 (B)(C)(E)。作答時若題目問有向角，順時針旋轉要記得加負號。

第 7 題

答案 (A)(B)(C)。

(A) 正確。 $- 1 \leq sin 3 x \leq 1$ ，乘以 $2$ 得 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ 。

(B) 正確。 $f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2$ ，是最大值。

(D) 錯誤。 正弦型圖形的鉛直對稱軸要通過最高點或最低點，而 $f (π) = 2 sin 3 π = 0$ 不是最大值也不是最小值。例如 $f (π - \frac{π}{6}) = 2 sin \frac{5 π}{2} = 2$ ， $f (π + \frac{π}{6}) = 2 sin \frac{7 π}{2} = - 2$ ，兩者不相等。

(E) 錯誤。 $f (2) = 2 sin 6$ ， $\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28$ ， $6$ 弧度是第四象限角， $sin 6 < 0$ ，所以 $f (2) < 0$ 。

(D) 的直線

x = π

通過的是圖形與

x

軸的交點，圖形對稱於點

(π, 0)

，不是對稱於直線

x = π

。

第 8 題

答案 (B)(C)(D)(E)。 $B$ 是三角形的內角且 $cos B > 0$ ，所以 $B$ 是銳角， $sin B = 1 - \frac{81}{130} = \frac{7}{130}$ ， $tan B = \frac{7}{9}$ 。

(A) 錯誤。 $tan B = \frac{7}{9}$ ，是正的。

(B) 正確。 $tan (A - B) = \frac{\frac{1}{8} - \frac{7}{9}}{1 + \frac{1}{8} \times \frac{7}{9}} = \frac{- \frac{47}{72}}{\frac{79}{72}} = - \frac{47}{79} < 0$ 。

(C) 正確。 $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{8} + \frac{7}{9}}{1 - \frac{1}{8} \times \frac{7}{9}} = \frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}} = 1$ 。

(D) 正確。 $A$ 、 $B$ 都是銳角， $0 < A + B < π$ 且 $tan (A + B) = 1$ ，所以 $A + B = \frac{π}{4}$ ， $C = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ ， $cos C = - \frac{2}{2}$ 。

(E) 正確。 $C = \frac{3 π}{4}$ 是鈍角，所以是鈍角三角形。

tan A > 0

表示

A

是銳角（三角形內角在

0

與

π

之間，正切為正只能是銳角）。

三角形中先由正負號判斷每個角是銳角還是鈍角，再用

C = π - (A + B)

與和角公式。

04填充 1、2：弧長與扇形面積

第 9 題由

s = r θ

：

12 = 6 θ

，圓心角

θ = 2

（弧度）。扇形

A O B

的面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times 2 = 36

，扇形

C O D

的面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times 2 = 4

。灰色部分

= 36 - 4 = 32

。

也可以用

\frac{1}{2} r s

：大扇形

\frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36

。兩個扇形共用同一個圓心角。

第 10 題周長

= 2 r + r θ = 20

，所以弧長

r θ = 20 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r \cdot r θ = \frac{1}{2} r (20 - 2 r) = - r^{2} + 10 r = - (r - 5)^{2} + 25

。

r = 5

時面積最大（

25

），此時

r θ = 20 - 10 = 10

，

θ = \frac{10}{5} = 2

（弧度）。

r

的範圍是

0 < r < 10

（弧長要為正），

r = 5

在範圍內。

弧長

s = r θ

、面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

；周長固定時面積是

r

的二次函數，配方求最大值。

05填充 3、4：用圖形與單位圓解方程式、不等式

第 11 題

- 1 < - \frac{2}{3} < 0

，在

0 \leq x \leq 2 π

內，

y = sin x

的圖形在

π

到

2 π

這一段與直線

y = - \frac{2}{3}

交於兩點，這段圖形對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

（最低點），所以兩根之和

= 2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

。在

2 π \leq x \leq 4 π

內，兩根各是前兩根加

2 π

，和為

3 π + 4 π = 7 π

。全部四個根的和

= 3 π + 7 π = 10 π

。

設前兩根為

x_{1}

、

x_{2} = 3 π - x_{1}

，四個根是

x_{1}

、

3 π - x_{1}

、

x_{1} + 2 π

、

5 π - x_{1}

，相加得

10 π

，與

x_{1}

的實際大小無關。端點

0

、

4 π

的正弦值是

0

，不是根。

第 12 題在

0 < x < π

內，

cos x

隨

x

增加而遞減。

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} \leq cos x \leq \frac{1}{2}

的解為

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。

在單位圓上看：終邊上的點的

x

坐標要介於

- \frac{1}{2}

與

\frac{1}{2}

之間，上半圓對應的角就是

6 0^{\circ}

到

12 0^{\circ}

。

正弦圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，求根之和時兩兩配對最快。

06填充 5～8：和差角公式的應用

第 13 題

$cos 11 3^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 2 3^{\circ}) = - sin 2 3^{\circ}$ ，所以

$sin 8 3^{\circ} cos 2 3^{\circ} + cos 8 3^{\circ} cos 11 3^{\circ} = sin 8 3^{\circ} cos 2 3^{\circ} - cos 8 3^{\circ} sin 2 3^{\circ} = sin (8 3^{\circ} - 2 3^{\circ}) = sin 6 0^{\circ}$

答案是 $\frac{3}{2}$ 。

先把

11 3^{\circ}

化成與

2 3^{\circ}

有關的角，才看得出差角公式的形狀。

第 14 題

$\overline{A C} = 4^{2} + 3^{2} = 5$ 。 $\overline{A D}$ 平分 $∠ A$ ，由角平分線性質 $\overline{B D} : \overline{D C} = \overline{A B} : \overline{A C} = 4 : 5$ ，所以 $\overline{B D} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{3}$ 。在直角三角形 $A B D$ 中 $tan θ = \frac{B D}{A B} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$ ，故 $sin θ = \frac{1}{10}$ ， $cos θ = \frac{3}{10}$ 。

$sin (θ + 6 0^{\circ}) = sin θ cos 6 0^{\circ} + cos θ sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 + 3 3}{2 10}$

有理化得 $\frac{10 + 3 30}{20}$ 。

由圖，

D

在

\overline{B C}

上。

\overline{A D} = 16 + \frac{16}{9} = \frac{4 10}{3}

，也可以由

sin θ = \frac{B D}{A D} = \frac{1}{10}

驗算。答案約

0.980

。

第 15 題

由正弦定理 $\frac{A B}{sin C} = 2 R$ ： $sin C = \frac{5}{13}$ 。 $cos B = - \frac{3}{5} < 0$ ， $B$ 是鈍角，所以 $C$ 是銳角， $cos C = \frac{12}{13}$ ；又 $sin B = \frac{4}{5}$ 。因為 $A = π - (B + C)$ ，

$cos A = - cos (B + C) = - (cos B cos C - sin B sin C) = - (- \frac{36}{65} - \frac{20}{65}) = \frac{56}{65}$

\overline{A B}

是角

C

的對邊。三角形最多一個鈍角，所以

cos C

只能取正。

第 16 題

設 $L_{1}$ 的斜角為 $α$ ， $L$ 的斜角為 $β$ ，則 $tan α = 2$ ， $tan β = m$ （ $L$ 的斜率）。 $m > 2 > 0$ ，所以 $α < β < \frac{π}{2}$ ，兩線的銳夾角 $θ = β - α$ 。

$tan θ = tan (β - α) = \frac{m - 2}{1 + 2 m} = \frac{1}{3}$

得 $3 m - 6 = 1 + 2 m$ ， $m = 7$ 。 $L$ 過 $(1, 1)$ ： $y - 1 = 7 (x - 1)$ ，即 $y = 7 x - 6$ ，寫成一般式為 $7 x - y - 6 = 0$ 。

若不限斜率較大，另一條是

\frac{m - 2}{1 + 2 m} = - \frac{1}{3}

，得

m = 1

，但

1 < 2

，不合題意。

看到兩角的正弦、餘弦乘積相加減，先把角化成和差角公式的形狀；兩直線夾角用斜角的差角正切。

07填充 9、10：正餘弦的疊合

第 17 題疊合：

sin x - cos x = 2 (sin x \cdot \frac{2}{2} - cos x \cdot \frac{2}{2}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

。方程式變成

2 sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

，即

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq x - \frac{π}{4} < \frac{7 π}{4}

，這個範圍內正弦值為

\frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，所以

x = \frac{5 π}{12}

或

x = \frac{13 π}{12}

。

驗算

x = \frac{13 π}{12}

：

sin x \approx - 0.259

，

cos x \approx - 0.966

，相減約

0.707 = \frac{1}{2}

。

第 18 題疊合：

3 cos x - sin x = 2 (cos x \cdot \frac{3}{2} - sin x \cdot \frac{1}{2}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

，所以

y = 2 cos (x + \frac{π}{6}) + 1

。

\frac{π}{6} \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，在這段範圍內

cos

在

\frac{π}{3}

時最大，為

\frac{1}{2}

。

y

的最大值

= 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2

，發生在

x = \frac{π}{6}

。

不限範圍時最大值是

3

；範圍內

x + \frac{π}{6}

取不到

0

，所以只能得到

2

。

a sin x + b cos x

提出

a^{2} + b^{2}

疊合後，再看括號內角度的範圍決定極值或解。

08素養與混合題一、二：扇形面積、摩天輪模型

第 19 題

A (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}) = (cos 4 5^{\circ}, sin 4 5^{\circ})

，

O A

的方向角是

4 5^{\circ}

；

B (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}) = (cos 15 0^{\circ}, sin 15 0^{\circ})

，

O B

的方向角是

15 0^{\circ}

。所以

∠ A O B = 15 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 10 5^{\circ} = \frac{7 π}{12}

。扇形

A O B

的面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{7 π}{12} = \frac{7 π}{24}

（平方公里）。

A

、

B

到

O

的距離都是

1

，都在警戒圓上；扇形是圖上實線那一段（經過

y

軸正向），不是另一側

25 5^{\circ}

的那塊。

第 20 題最高

100

、最低

30

，且

a > 0

：振幅

a = \frac{100 - 30}{2} = 35

，中心高度

d = \frac{100 + 30}{2} = 65

。每

1

小時轉一圈，週期為

1

，

b > 0

，由

\frac{2 π}{b} = 1

得

b = 2 π

。

t = 0

時在最低點：

35 sin c + 65 = 30

，

sin c = - 1

，在

∣ c ∣ < π

內只有

c = - \frac{π}{2}

。所以

y = 35 sin (2 π t - \frac{π}{2}) + 65

，

a = 35

，

b = 2 π

，

c = - \frac{π}{2}

，

d = 65

。

代表格檢查：

t = \frac{1}{4}

時

35 sin 0 + 65 = 65

；

t = \frac{1}{2}

時

35 sin \frac{π}{2} + 65 = 100

；

t = \frac{3}{4}

時

35 sin π + 65 = 65

；

t = 1

時

35 sin \frac{3 π}{2} + 65 = 30

，五個都符合。

y = a sin (b t + c) + d

：振幅與中心線由最高、最低值決定，

b

由週期決定，

c

由起始位置決定。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

正義高中 115 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題（多選 2）的 f(2) 要先判斷 6 弧度落在第四象限，對稱軸要通過最高點或最低點。第 14 題（填充 6）要先用角平分線把 BC 分成 4 比 5，求出 tan θ 再用和角公式。第 15 題（填充 7）要由外接圓半徑先求 sin C，並由 B 是鈍角判斷 C 是銳角。第 11 題（填充 3）的實根有四個，要用圖形的對稱一次求和。詳解逐題寫在本頁。

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正義高中 115 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：特殊角的值、弧度角的象限、週期與平移

02單選 5：由和角的餘弦求兩角和

03多選 1～3：廣義角、正弦函數的性質、三角形中的和差角

04填充 1、2：弧長與扇形面積

05填充 3、4：用圖形與單位圓解方程式、不等式

06填充 5～8：和差角公式的應用

07填充 9、10：正餘弦的疊合

08素養與混合題一、二：扇形面積、摩天輪模型

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正義高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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