段考詳解範圍：數A 第三冊 CH1～CH5（弧度量與扇形、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合、指數函數）

康橋高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《三角函數》、《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 8 題（每題 6 分，共 48 分）、計算題 1 題（共 7 分），合計 100 分。卷面各大題各自從 1 編號，本頁題號全卷連續：多選 1～4 為第 6～9 題，填充 1～8 為第 10～17 題，計算題 1 為第 18 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題(5 題，每題 5 分，共 25 分)

下列選項中，何者的值最大？

(A) $3 sin 1 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ}$
(B) $3 sin 4 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ}$
(C) $3 sin 7 0^{\circ} + cos 7 0^{\circ}$
(D) $3 sin 10 0^{\circ} + cos 10 0^{\circ}$
(E) $3 sin 13 0^{\circ} + cos 13 0^{\circ}$

要得到函數

y = cos (3 x + \frac{π}{4})

的圖形，只需將

y = cos 3 x

的圖形

(A) 向右平移 $\frac{π}{12}$
(B) 向左平移 $\frac{π}{12}$
(C) 向右平移 $\frac{π}{4}$
(D) 向左平移 $\frac{π}{4}$
(E) 向上平移 $\frac{π}{4}$

設

a = \frac{1}{2} cos 1 6^{\circ} + \frac{3}{2} sin 1 6^{\circ}

，

b = \frac{2 tan 2 9 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 9 ^{\circ}}

，

c = \frac{1 - cos 7 4 ^{\circ}}{2}

，則

a

，

b

，

c

大小關係為下列何者？

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $a > c > b$
(D) $b > c > a$
(E) $b > a > c$

圖是

y = a^{x} - b

的部份圖形，則下列選項哪一個正確？

(A) $a > 1$ ， $b < - 1$
(B) $a > 1$ ， $b > 1$
(C) $a > 1$ ， $0 < b < 1$
(D) $0 < a < 1$ ， $b < 0$
(E) $0 < a < 1$ ， $b > 0$

載入中...

對任意實數

x

而言，

2 7^{(- x^{2} - \frac{2}{3})}

的最大值為何？

(A) $9$
(B) $33$
(C) $- 9$
(D) $27$
(E) $\frac{1}{9}$

二、多選題(4 題，每題 5 分，共 20 分)

設

θ = 32

弳，則下列選項哪些是正確的？

(A) $θ$ 為第二象限角
(B) $θ$ 為第三象限角
(C) $θ$ 為第四象限角
(D) $θ$ 的最小正同界角為 $32 - 10 π$
(E) $θ$ 的最大負同界角為 $32 - 11 π$

關於函數

y = 3 sin (x - \frac{π}{6}) - sin x

的圖形，選出正確的選項：

(A) 週期為 $2 π$
(B) 振幅為 $2$
(C) 在 $0 \leq x \leq π$ 的範圍內最大值為 $1$
(D) 對稱於 y 軸
(E) 對稱於直線 $x = - \frac{π}{6}$

△ A B C

中，

tan B = \frac{1}{3}

，

tan C = 2

，

\overline{B C} = 14

，則下列選項哪些是正確的？

(A) $tan A = - 7$
(B) $\overline{A C} = 25$
(C) $\overline{A B} = 410$
(D) $△ A B C$ 面積為 $28$
(E) $△ A B C$ 的外接圓半徑為 $102$

下列哪些選項的值等於

- \frac{1}{2}

？

(A) $2 sin 10 5^{\circ} cos 10 5^{\circ}$
(B) $sin 4 7^{\circ} cos 10 3^{\circ} + sin 4 3^{\circ} sin 7 7^{\circ}$
(C) $cos (- 7 3^{\circ}) cos 16 7^{\circ} + sin 19 3^{\circ} sin 7 3^{\circ}$
(D) $\frac{1 - cos 42 0 ^{\circ}}{2}$
(E) $4 cos^{3} 4 0^{\circ} - 3 cos 4 0^{\circ}$

三、填充題(8 題，每題 6 分，共 48 分)

如圖，

\overline{A B} = 10

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____ 平方單位。

載入中...

某電商發現若不在 YouTube 頻道播放廣告，每月的營業額會以相同的比例呈指數退化。已知此電商在某年的前

4

個月皆未在 YouTube 頻道播放廣告，營業額從

1024

萬元降為

768

萬元，若當年

12

個月皆不播放廣告，則營業額會變成 ____ 萬元。

設

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1}

，且

- 1 \leq x \leq 2

，

f (x)

的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m 之值為 ____。

如圖，直角三角形

A B C

中，

∠ B = 9 0^{\circ}

，

D

在

\overline{B C}

上，

\overline{A D} = 17

，

\overline{A B} = 15

，設

∠ C A D = ∠ D A B = θ

，則

\overline{A C} =

____。

載入中...

解方程式

(\frac{1}{9})^{x - \frac{1}{2}} - 28 \times (\frac{1}{3})^{x} + 9 = 0

，得

x

為 ____。

附圖中每一個正方形的大小都相等，則

tan ∠ B A C =

____。

載入中...

設

cos α + cos β = \frac{3}{2}

，

sin α + sin β = \frac{5}{4}

，則

cos (α - β) =

____。

設

x

為實數，

f (x) = 3 + 4 sin x + 4 cos x + 2 sin x cos x

，求

f (x)

的最小值為 ____。

四、計算題(共 7 分)

已知

△ A B C

中，

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 8

且

∠ A = 2∠ C

，則

△ A B C

面積為何?(需列出詳細計算過程)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(E)

第 4 題(C)

第 5 題(E)

第 6 題(D)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(A)(B)(C)(D)

第 9 題(A)(C)(E)

第 10 題

\frac{25 π}{2} - 25

第 11 題

432

第 12 題

7

第 13 題

\frac{4335}{161}

第 14 題

x = 1

或

- 2

第 15 題

\frac{10}{11}

第 16 題

\frac{5}{32}

第 17 題

4 - 42

第 18 題

\frac{468}{25}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：疊合比大小、圖形的平移

第 1 題

答案 (C)。疊合： $3 sin θ + cos θ = 2 (sin θ cos 3 0^{\circ} + cos θ sin 3 0^{\circ}) = 2 sin (θ + 3 0^{\circ})$ 。五個選項依序是 $2 sin 4 0^{\circ}$ 、 $2 sin 7 0^{\circ}$ 、 $2 sin 10 0^{\circ}$ 、 $2 sin 13 0^{\circ}$ 、 $2 sin 16 0^{\circ}$ 。

$2 sin 10 0^{\circ} = 2 sin 8 0^{\circ}$ ， $2 sin 13 0^{\circ} = 2 sin 5 0^{\circ}$ ， $2 sin 16 0^{\circ} = 2 sin 2 0^{\circ}$ 。在 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ 之間正弦遞增， $8 0^{\circ}$ 最大，所以第三個選項 (C) $2 sin 10 0^{\circ}$ 最大。

角度離

9 0^{\circ}

越近，正弦越大：

10 0^{\circ}

只差

1 0^{\circ}

，

7 0^{\circ}

差

2 0^{\circ}

。

第 2 題答案 (B)。

y = cos (3 x + \frac{π}{4}) = cos [3 (x + \frac{π}{12})]

，是把

y = cos 3 x

中的

x

換成

x + \frac{π}{12}

，也就是圖形向左平移

\frac{π}{12}

。

平移量要先把

x

的係數

3

提出來，不是

\frac{π}{4}

。

a sinθ 加 b cosθ 先疊合成單一正弦再比較；平移量要先把 x 的係數提出括號。

02單選 3：和角、倍角、半角公式

第 3 題

答案 (E)。

$a = sin 3 0^{\circ} cos 1 6^{\circ} + cos 3 0^{\circ} sin 1 6^{\circ} = sin 4 6^{\circ}$ 。

$b = \frac{2 tan 2 9 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 9 ^{\circ}} = tan 5 8^{\circ}$ （正切的二倍角公式）， $5 8^{\circ} > 4 5^{\circ}$ ，所以 $b > 1$ 。

$c$ ：由半角公式 $sin^{2} 3 7^{\circ} = \frac{1 - cos 7 4 ^{\circ}}{2}$ ，且 $sin 3 7^{\circ} > 0$ ，所以 $c = sin 3 7^{\circ}$ 。

$a$ 、 $c$ 都小於 $1$ ，且 $sin 4 6^{\circ} > sin 3 7^{\circ}$ ，所以 $b > a > c$ 。

數值：

a \approx 0.719

，

b \approx 1.600

，

c \approx 0.602

。

03單選 4～5：指數函數的圖形與極值

第 4 題

答案 (C)。

圖形由左往右上升，所以 $y = a^{x}$ 是遞增函數， $a > 1$ 。

$y = a^{x} - b$ 是 $y = a^{x}$ 向下平移 $b$ ，漸近線是 $y = - b$ 。圖中漸近線在 $x$ 軸下方， $- b < 0$ ， $b > 0$ 。

圖形與 $y$ 軸交在原點上方，交點是 $(0, 1 - b)$ ，所以 $1 - b > 0$ ， $b < 1$ 。合起來 $a > 1$ ， $0 < b < 1$ 。

三個判斷依序看：遞增或遞減定

a

；漸近線在

x

軸上方或下方定

b

的正負；

y

截距

1 - b

的正負定

b

與

1

的大小。

第 5 題答案 (E)。底數

27 > 1

，

2 7^{t}

隨

t

遞增，所以指數

- x^{2} - \frac{2}{3}

最大時整個式子最大。

- x^{2} \leq 0

，指數最大是

x = 0

時的

- \frac{2}{3}

，最大值

= 2 7^{- \frac{2}{3}} = (3^{3})^{- \frac{2}{3}} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

。

指數函數的值恆正，(C)

- 9

一定不可能。

底數大於 1 的指數函數是遞增的：判斷圖形先看遞增遞減，求極值就轉成求指數的極值。

04多選 1：弧度角的象限與同界角

第 6 題

答案 (D)。 $2 π \approx 6.28$ ， $32 \div 2 π \approx 5.09$ ，所以 $32$ 弳轉了 $5$ 圈多一點： $32 - 5 \cdot 2 π = 32 - 10 π$ 。因為 $3.14 < π < 3.15$ ， $31.4 < 10 π < 31.5$ ，所以 $0.5 < 32 - 10 π < 0.6$ ，比 $\frac{π}{2} \approx 1.57$ 小。

(A)(B)(C) 錯誤。 $θ$ 與 $32 - 10 π$ 同界， $0 < 32 - 10 π < \frac{π}{2}$ ，所以 $θ$ 是第一象限角。

(D) 正確。 同界角相差 $2 π$ 的整數倍； $32 - 10 π$ 在 $0$ 與 $2 π$ 之間，是最小的正同界角。

(E) 錯誤。 $32 - 11 π$ 與 $32$ 相差 $11 π$ ，不是 $2 π$ 的整數倍，不是同界角。最大負同界角是 $32 - 10 π - 2 π = 32 - 12 π$ （約 $- 5.70$ ）。

32 - 11 π

與

θ

相差

π

的奇數倍，它的終邊與

θ

的終邊方向相反。

05多選 2：化成單一正弦再判斷

第 7 題

答案 (A)(C)(E)。先用差角公式展開：

$3 sin (x - \frac{π}{6}) = 3 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = \frac{3}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x$

所以 $y = \frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x = sin x cos \frac{π}{3} - cos x sin \frac{π}{3} = sin (x - \frac{π}{3})$ 。

(A) 正確。 週期與 $y = sin x$ 相同，是 $2 π$ 。

(B) 錯誤。 振幅是 $1$ 。

(C) 正確。 $0 \leq x \leq π$ 時 $- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{2 π}{3}$ ，這個範圍包含 $\frac{π}{2}$ ，所以最大值是 $1$ （在 $x = \frac{5 π}{6}$ ）。

(D) 錯誤。 對稱於 $y$ 軸要 $y (- x) = y (x)$ ，但 $y (\frac{π}{3}) = sin 0 = 0$ ， $y (- \frac{π}{3}) = sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}$ ，不相等。

(E) 正確。 $x = - \frac{π}{6}$ 時 $x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$ ， $y = - 1$ 是最低點，正弦圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於 $x = - \frac{π}{6}$ 。

y = sin (x - \frac{π}{3})

的對稱軸是

x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k π

，即

x = \frac{5 π}{6} + k π

（

k

為整數）；

k = - 1

就是

x = - \frac{π}{6}

。

看到正弦與餘弦混在一起，先展開再疊合成單一正弦，週期、振幅、極值、對稱軸就都看得出來。

06多選 3：由兩角正切解三角形

第 8 題

答案 (A)(B)(C)(D)。

(A) 正確。 $A = 18 0^{\circ} - (B + C)$ ， $tan A = - tan (B + C) = - \frac{\frac{1}{3} + 2}{1 - \frac{1}{3} \cdot 2} = - \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = - 7$ 。

由 $tan B = \frac{1}{3}$ （ $B$ 銳角）得 $sin B = \frac{1}{10}$ ； $tan C = 2$ （ $C$ 銳角）得 $sin C = \frac{2}{5}$ ； $tan A = - 7$ （ $A$ 鈍角）得 $sin A = \frac{7}{50} = \frac{7}{5 2}$ 。由正弦定理

$2 R = \frac{B C}{sin A} = 14 \cdot \frac{5 2}{7} = 102$

(B) 正確。 $\overline{A C} = 2 R sin B = 102 \cdot \frac{1}{10} = \frac{10}{5} = 25$ 。

(D) 正確。 面積 $= \frac{1}{2} \cdot \overline{A B} \cdot \overline{A C} \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 410 \cdot 25 \cdot \frac{7}{5 2} = \frac{1}{2} \cdot 402 \cdot \frac{7}{5 2} = 28$ 。

(E) 錯誤。 $2 R = 102$ ，外接圓半徑 $R = 52$ ，不是 $102$ 。

(D) 也可以作

\overline{B C}

上的高

h

：

\overline{B C} = \frac{h}{tan B} + \frac{h}{tan C} = 3 h + \frac{h}{2} = \frac{7 h}{2} = 14

，

h = 4

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28

。

三角形已知兩角的正切：第三角用正切和角公式，邊長用正弦定理。

07多選 4：和差角、倍角、半角、三倍角求值

第 9 題

答案 (A)(C)(E)。

(A) 正確。 二倍角公式： $2 sin 10 5^{\circ} cos 10 5^{\circ} = sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

(B) 錯誤。 $sin 4 3^{\circ} = cos 4 7^{\circ}$ ， $sin 7 7^{\circ} = cos 1 3^{\circ}$ ， $cos 10 3^{\circ} = - sin 1 3^{\circ}$ ，所以原式 $= cos 4 7^{\circ} cos 1 3^{\circ} - sin 4 7^{\circ} sin 1 3^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 。

(C) 正確。 $cos (- 7 3^{\circ}) = cos 7 3^{\circ}$ ， $cos 16 7^{\circ} = - cos 1 3^{\circ}$ ， $sin 19 3^{\circ} = - sin 1 3^{\circ}$ ，所以原式 $= - (cos 7 3^{\circ} cos 1 3^{\circ} + sin 7 3^{\circ} sin 1 3^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

(D) 錯誤。 $cos 42 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ，原式 $= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 。根號的值不會是負的。

(E) 正確。 三倍角公式 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ ，原式 $= cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

(E) 的三倍角公式可由和角公式推出：

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (2 cos^{2} θ - 1) cos θ - 2 (1 - cos^{2} θ) cos θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

。

先用誘導公式把角度都換成銳角，再看出是哪一條和差角或倍角公式。

08填充 1（本頁第 10 題）：扇形與弓形

第 10 題

設半圓的圓心為 $O$ （ $\overline{A B}$ 的中點），半徑 $5$ 。 $C$ 是半圓弧的中點， $∠ A O C = ∠ C O B = 9 0^{\circ}$ ， $△ O B C$ 是等腰直角三角形，所以 $∠ A B D = ∠ O B C = 4 5^{\circ}$ 。

右邊灰色：弧 $C B$ 與弦 $\overline{C B}$ 圍成的弓形，面積 $=$ 扇形 $O C B$ $- △ O C B = \frac{1}{4} \cdot π \cdot 5^{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}$ 。

左邊灰色：扇形 $B A D$ （半徑 $10$ 、圓心角 $4 5^{\circ}$ ）扣掉「 $\overline{A B}$ 、半圓弧 $A C$ 、 $\overline{C B}$ 圍成的部分」。後者 $=$ 扇形 $O A C + △ O C B = \frac{25 π}{4} + \frac{25}{2}$ 。扇形 $B A D = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} \cdot \frac{π}{4} = \frac{25 π}{2}$ 。所以左邊灰色 $= \frac{25 π}{2} - \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}$ 。

合計 $= \frac{25 π}{2} - 25$ （平方單位）。

兩塊灰色剛好一樣大。也可以一次算：兩塊合起來

=

扇形

B A D - △ A C B -

弓形

A C +

弓形

C B

，而弓形

A C

與弓形

C B

一樣大，所以合計

= \frac{25 π}{2} - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = \frac{25 π}{2} - 25

。數值約

14.27

。

09填充 2～3（本頁第 11～12 題）：指數模型與指數函數的極值

第 11 題

設每個月營業額變成前一個月的 $r$ 倍（ $0 < r < 1$ ）。前 $4$ 個月由 $1024$ 萬元降為 $768$ 萬元： $1024 r^{4} = 768$ ， $r^{4} = \frac{3}{4}$ 。 $12$ 個月就是 $3$ 個「 $4$ 個月」：

$1024 \cdot r^{12} = 1024 \cdot (r^{4})^{3} = 1024 \cdot \frac{27}{64} = 432$

營業額會變成 $432$ 萬元。

不必求出

r

本身，把

r^{12}

寫成

(r^{4})^{3}

即可。每

4

個月乘

\frac{3}{4}

：

1024 \to 768 \to 576 \to 432

。

第 12 題

令 $t = 2^{x}$ ，則 $4^{x} = t^{2}$ ， $2^{x + 1} = 2 t$ ， $f (x) = t^{2} - 2 t = (t - 1)^{2} - 1$ 。 $- 1 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{2} \leq t \leq 4$ 。

$t = 1$ （ $x = 0$ ）時有最小值 $m = - 1$ ； $t$ 離 $1$ 最遠的是 $t = 4$ （ $x = 2$ ），最大值 $M = 16 - 8 = 8$ 。所以 $M + m = 8 + (- 1) = 7$ 。

另一端

t = \frac{1}{2}

（

x = - 1

）時

f = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

，比

8

小。

4 的 x 次方與 2 的 x 次方同時出現，就令 t 等於 2 的 x 次方，注意 t 的範圍。

10填充 4（本頁第 13 題）：倍角公式

第 13 題

由附圖， $∠ B$ 是直角， $\overline{A D}$ 把 $∠ C A B$ 分成兩個 $θ$ 。在直角三角形 $A B D$ 中， $cos θ = \frac{A B}{A D} = \frac{15}{17}$ 。 $∠ C A B = 2 θ$ ，由二倍角公式

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \cdot \frac{225}{289} - 1 = \frac{161}{289}$

在直角三角形 $A B C$ 中， $cos 2 θ = \frac{A B}{A C}$ ，所以 $\overline{A C} = \frac{15}{\frac{161}{289}} = \frac{4335}{161}$ 。

161 = 7 \times 23

，

4335 = 3 \times 5 \times 1 7^{2}

，沒有公因數，已是最簡分數；約為

26.93

。

11填充 5（本頁第 14 題）：換元解指數方程式

第 14 題

令 $t = (\frac{1}{3})^{x} > 0$ 。 $(\frac{1}{9})^{x - \frac{1}{2}} = (\frac{1}{3})^{2 x - 1} = (\frac{1}{3})^{- 1} \cdot [(\frac{1}{3})^{x}]^{2} = 3 t^{2}$ 。方程式變成

$3 t^{2} - 28 t + 9 = 0, (3 t - 1) (t - 9) = 0$

$t = \frac{1}{3}$ 或 $t = 9$ ，兩個都是正數。 $(\frac{1}{3})^{x} = \frac{1}{3}$ 得 $x = 1$ ； $(\frac{1}{3})^{x} = 9 = (\frac{1}{3})^{- 2}$ 得 $x = - 2$ 。

代回檢查：

x = 1

時

\frac{1}{3} - \frac{28}{3} + 9 = 0

；

x = - 2

時

9^{\frac{5}{2}} - 28 \cdot 9 + 9 = 243 - 252 + 9 = 0

。

12填充 6～7（本頁第 15～16 題）：差角的正切與餘弦

第 15 題

設正方形邊長為 $1$ ，以 $A$ 為原點，則 $B (2, 3)$ 、 $C (4, 1)$ 。 $\overline{A B}$ 的斜角 $α$ 滿足 $tan α = \frac{3}{2}$ ， $\overline{A C}$ 的斜角 $β$ 滿足 $tan β = \frac{1}{4}$ ， $∠ B A C = α - β$ 。

$tan ∠ B A C = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{11}{8}} = \frac{10}{11}$

B

、

C

的位置由附圖的方格讀出：

B

在右

2

格、上

3

格，

C

在右

4

格、上

1

格。

第 16 題

兩式平方相加：

$(cos α + cos β)^{2} + (sin α + sin β)^{2} = 2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 + 2 cos (α - β)$

左邊 $= \frac{3}{4} + \frac{25}{16} = \frac{37}{16}$ ，所以 $2 cos (α - β) = \frac{37}{16} - 2 = \frac{5}{16}$ ， $cos (α - β) = \frac{5}{32}$ 。

平方展開時

cos^{2} α + sin^{2} α = 1

、

cos^{2} β + sin^{2} β = 1

，所以常數是

2

。

兩角的正弦和、餘弦和同時給，平方相加就得到差角的餘弦。

13填充 8（本頁第 17 題）：令 t＝sin x＋cos x

第 17 題

令 $t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ ，則 $- 2 \leq t \leq 2$ 。又 $t^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ ， $2 sin x cos x = t^{2} - 1$ 。

$f (x) = 3 + 4 t + (t^{2} - 1) = t^{2} + 4 t + 2 = (t + 2)^{2} - 2$

頂點 $t = - 2$ 不在 $[- 2, 2]$ 內，而在這個範圍內 $t$ 越大函數值越大，所以最小值在 $t = - 2$ ： $f = 2 - 42 + 2 = 4 - 42$ 。

t = - 2

時

x = \frac{5 π}{4}

，

sin x = cos x = - \frac{2}{2}

，代回

3 - 22 - 22 + 1 = 4 - 42 \approx - 1.66

。

14計算題（本頁第 18 題）：角是另一角兩倍的三角形

第 18 題

設 $∠ C = θ$ ，則 $∠ A = 2 θ$ 。 $\overline{B C}$ 對 $∠ A$ ， $\overline{A B}$ 對 $∠ C$ ，由正弦定理

$\frac{8}{sin 2 θ} = \frac{5}{sin θ}, \frac{8}{2 sin θ cos θ} = \frac{5}{sin θ}$

得 $cos θ = \frac{4}{5}$ 。 $θ$ 是三角形內角， $sin θ = \frac{3}{5}$ 。

$∠ B = 18 0^{\circ} - 3 θ$ ， $sin B = sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ$ 。其中 $sin 2 θ = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ ， $cos 2 θ = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{7}{25}$ ，所以

$sin B = \frac{24}{25} \cdot \frac{4}{5} + \frac{7}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{96 + 21}{125} = \frac{117}{125}$

面積 $= \frac{1}{2} \cdot \overline{A B} \cdot \overline{B C} \cdot sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{117}{125} = \frac{468}{25}$ 。

檢查：

cos 2 θ = \frac{7}{25} > 0

，

∠ A

是銳角；

∠ A + ∠ C = 3 θ

，

sin 3 θ > 0

，

∠ B

存在。也可以先由正弦定理求

\overline{A C} = \frac{5 sin B}{sin θ} = \frac{39}{5}

，再算

\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{39}{5} \cdot \frac{24}{25} = \frac{468}{25}

。面積約

18.72

。

角是另一角的兩倍：正弦定理配二倍角公式，先求出那個角的餘弦。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

康橋高中 115 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題要先疊合再看哪個角度最靠近 90 度；多選第 1 題 32 弳要和 10π 比大小才知道在第一象限，而且相差 11π 不是同界角；多選第 2 題要先展開再疊合成單一正弦；填充第 1 題兩塊灰色要分開用扇形與弓形算；計算題要用正弦定理配二倍角公式求出角的餘弦。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自康橋高中 115 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

康橋高中 115 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～2：疊合比大小、圖形的平移

02單選 3：和角、倍角、半角公式

03單選 4～5：指數函數的圖形與極值

04多選 1：弧度角的象限與同界角

05多選 2：化成單一正弦再判斷

06多選 3：由兩角正切解三角形

07多選 4：和差角、倍角、半角、三倍角求值

08填充 1（本頁第 10 題）：扇形與弓形

09填充 2～3（本頁第 11～12 題）：指數模型與指數函數的極值

10填充 4（本頁第 13 題）：倍角公式

11填充 5（本頁第 14 題）：換元解指數方程式

12填充 6～7（本頁第 15～16 題）：差角的正切與餘弦

13填充 8（本頁第 17 題）：令 t＝sin x＋cos x

14計算題（本頁第 18 題）：角是另一角兩倍的三角形

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