段考詳解範圍：第四冊第 1～6 單元：空間概念、空間坐標與空間向量、內積與外積、三階行列式、空間中的平面與直線

復興實中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（16 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、填充題（54 分，依答對格數給分，每人作答 9 格：第 1～6 題各組都作答，第 7、8 題為 A、B 組共同試題，第 9、10 題為 C、D 組共同試題，另一組的兩題中再挑選一題）、混合題 3 小題（10 分）。學校尚未公布答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單一選擇題：16 分，每題 4 分

假設有一矩形

A B C D

，

P

為平面

A B C D

外一點，且

\overline{P A} ⊥

平面

A B C D

，如圖所示。若

\overline{P B} = 4

，

\overline{P C} = 43

，

\overline{P D} = 35

，試求

\overline{P A} =

(A) $42$
(B) $3$
(C) $8$
(D) $29$
(E) $13$

載入中...

坐標空間中，已知向量

a = (3, 4, 0)

，向量

b = (6, 2, - 3)

，若向量

a + k b

平分

a

與

b

的夾角，則

k

之值為下列何者？

(A) $7$
(B) $5$
(C) $\frac{7}{5}$
(D) $\frac{5}{7}$
(E) $- \frac{5}{7}$

已知坐標空間中

P

、

Q

、

R

為平面

5 x - 3 y + 2 z = 7

上不共線三點。令

P Q = (a_{1}, b_{1}, c_{1})

，

P R = (a_{2}, b_{2}, c_{2})

。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。

(A) $- 1 a_{1} a_{2} 1 b_{1} b_{2} 1 c_{1} c_{2}$
(B) $1 a_{1} a_{2} - 1 b_{1} b_{2} 1 c_{1} c_{2}$
(C) $1 a_{1} a_{2} 1 b_{1} b_{2} - 1 c_{1} c_{2}$
(D) $1 a_{1} a_{2} 1 b_{1} b_{2} 1 c_{1} c_{2}$
(E) $3 a_{1} a_{2} 0 b_{1} b_{2} 0 c_{1} c_{2}$

如圖為一正四面體

A - B C D

，邊長為

12

，

M

為

\overline{A B}

中點且

\overline{C N} = 2 \overline{N D}

，則

M N \cdot B C =

(A) $- 12$
(B) $0$
(C) $60$
(D) $84$
(E) $144$

載入中...

二、多重選擇題：共 20 分，每題 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分

空間中三點

A (2, 0, - 1)

，

B (6, - 1, 4)

，

C (1, - 5, 3)

，在

y z

平面上的正射影依次為

A^{'}

，

B^{'}

，

C^{'}

，則下列何者為真？

(A) $△ A B C$ 為正三角形
(B) $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 為正三角形
(C) $△ A B C$ 的面積為 $\frac{21 3}{2}$
(D) $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面積為 $\frac{21}{2}$
(E) 若平面 $A B C$ 與 $y z$ 平面的夾角為 $θ$ ，則 $sin θ = \frac{6}{3}$

下列哪些數滿足

1 - x 11 2 3 - x 2 32 3 - x > 0

？

(A) $- 2$
(B) $0.375$
(C) $4.56$
(D) $7.245$
(E) $100$

坐標空間中，設直線

L : \frac{x - 1}{2} = \frac{2 - y}{3} = \frac{z}{- 1}

，平面

E_{1} : 2 x - 3 y - z = 0

，平面

E_{2} : x + y - z = 0

。試選出正確的選項。

(A) 點 $(3, 0, - 1)$ 在直線 $L$ 上
(B) 點 $(1, 2, 3)$ 在平面 $E_{1}$ 上
(C) 直線 $L$ 與平面 $E_{1}$ 垂直
(D) 直線 $L$ 在平面 $E_{2}$ 上
(E) 平面 $E_{1}$ 與 $E_{2}$ 交於一直線

設

a

、

b

、

c

為空間中的三個非零向量，請選出恆成立的等式。

(A) $a \times a = 0$
(B) $(b \times c) \cdot a = (a \times c) \cdot b$
(C) $(3 b - 2 c) \cdot (b \times c) = 2 (b \times c) \cdot (b + c)$
(D) $(b \times c) \cdot (b \times c) + (b \cdot c)^{2} = ∣ b ∣^{2} ∣ c ∣^{2}$
(E) $∣ a \cdot (b \times c) ∣ = ∣ a \times c ∣∣ b ∣∣ cos θ ∣$ ，其中 $θ$ 是 $a \times c$ 與 $b$ 的夾角

三、填充題：共 54 分，依答對格數給分（答對 1～9 格依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54 分）；原卷第 7、8 題為 A、B 組共同試題，第 9、10 題為 C、D 組共同試題

設

O A = (1, 2, - 1)

、

O B = (2, 0, 1)

為空間中兩向量，若

O C ⊥ O B

，

O A ∥ B C

，則

O C =

？

試求通過

A (2, 1, - 1)

、

B (1, - 1, 2)

兩點，且與平面

F : 7 x + 4 y - 4 z + 9 = 0

垂直的平面方程式為？

已知

a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} = 3

，則

a_{1} + 4 b_{1} + c_{1} 5 b_{1} - 4 c_{1} 2 c_{1} a_{2} + 4 b_{2} + c_{2} 5 b_{2} - 4 c_{2} 2 c_{2} a_{3} + 4 b_{3} + c_{3} 5 b_{3} - 4 c_{3} 2 c_{3} =

？

空間中一點

A (2, - 1, 3)

，對

x z

平面作對稱點

B

，而

B

點再對

y

軸旋轉

18 0^{\circ}

得

C

點，

C

點再沿著

y

軸正向移動

3

單位得

D

點。若直線

A D

的比例式為

\frac{x - 6}{4} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}

，則

b + c + y_{0} + z_{0} =

？

求與

x + 3 y + z = 1

平行，且與

(3, - 5, 1)

，

(- 1, 3, 7)

等距離的平面方程式為？

設

A (3, 2, 1)

，

B (- 1, 2, 5)

，若點

Q

位於直線

L : {x - y + z = 2 x - 3 y - z = 4

上，且點

Q

到

A

，

B

兩點等距離，試求

Q

點坐標為

（A、B 組共同試題；C、D 組由第 15、16 題挑選一題作答）正三角形的紙張

A B C

，設

D

、

E

是

\overline{B C}

的三等分點，如圖所示。今沿著摺線

\overline{A D}

、

\overline{A E}

摺起，使得

B

、

C

兩點重合，令此重合點為

P

點。設平面

A P D

與

A P E

所夾的銳角為

θ

，則

cos θ =

載入中...

（A、B 組共同試題；C、D 組由第 15、16 題挑選一題作答）設空間中

△ A B C

的三頂點坐標分別為

A (- 2, 7, 15)

、

B (1, 16, 3)

、

C (10, 7, 3)

，試求

△ A B C

的外心坐標為？

（C、D 組共同試題；A、B 組由第 17、18 題挑選一題作答）將一張正方形的紙張

A B C D

，沿著對角線

\overline{B D}

摺起，使得

∠ A B C = 6 0^{\circ}

，示意圖如下。則平面

A B D

與平面

B C D

的二面角為多少度

載入中...

（C、D 組共同試題；A、B 組由第 17、18 題挑選一題作答）空間中，

△ A B C

的三頂點坐標為

A (1, - 2, 4)

，

B (2, 0, 2)

，

C (x, y, 0)

，當

△ A B C

的周長最小時，

C

點的坐標為？

四、混合題：10 分　原卷混合題第 1～3 小題，本頁第 19～21 題

混合題（原卷混合題第 1～3 小題，本頁第 19～21 題）（第 19～21 題）　「滑板運動」是一種包含滑行和用滑板表演雜技的一種極限運動，近年來這項運動影響了許多愛好運動的人口，根據

2009

年的統計，全球大約有

110

萬滑板運動的愛好者，而且人口還逐年增加。某運動公園設置了一個中型的滑板練習場，如圖所示。已知

A B C D

是一矩形，弧線

D E

、

C F

是某圓圓周長的一部分，

A

點離地面

6

公尺。試回答下列問題：

已知

A (1, 1, 6)

、

B (- 2, 5, 6)

、

E (1, 3, 0)

、

F (k, k + 1, 0)

四點共平面，則

k

值為何？　(1)

\frac{2}{7}

　(2)

\frac{5}{7}

　(3)

\frac{6}{7}

　(4)

\frac{10}{7}

　(5)

\frac{15}{7}

載入中...

承上題，若點

O

為空間坐標原點，則

O A

、

O B

、

O F

所決定的平行六面體體積為何？（計算）

設空間另一點

P (x, y, 0)

且點

P

到原點的距離為

15

，則由

O A

、

O B

、

O P

所決定的平行六面體體積之最大值為何？（計算）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(C)(D)(E)

第 6 題(A)(C)

第 7 題(C)(E)

第 8 題(A)(C)(D)(E)

第 9 題

(- 3, - 10, 6)

第 10 題

4 x - 17 y - 10 z = 1

第 11 題

30

第 12 題

4

第 13 題

x + 3 y + z = 2

第 14 題

(- 1, - 2, 1)

第 15 題

\frac{1}{3}

第 16 題

(3, 9, 8)

第 17 題

9 0^{\circ}

第 18 題

(\frac{5}{3}, - \frac{2}{3}, 0)

第 19 題(4)（

k = \frac{10}{7}

）

第 20 題

78

第 21 題

450

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：垂直於平面的線段、平分夾角的向量

第 1 題答案 (E)。

\overline{P A}

垂直平面

A B C D

，所以

\overline{P A}

與平面上通過

A

的每一條直線都垂直：

\overline{P A} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{P A} ⊥ \overline{A D}

、

\overline{P A} ⊥ \overline{A C}

。三個直角三角形分別給出

\overline{P A}^{2} + \overline{A B}^{2} = \overline{P B}^{2} = 16

，

\overline{P A}^{2} + \overline{A D}^{2} = \overline{P D}^{2} = 45

，

\overline{P A}^{2} + \overline{A C}^{2} = \overline{P C}^{2} = 48

。

A B C D

是矩形，

\overline{A C}^{2} = \overline{A B}^{2} + \overline{A D}^{2}

。前兩式相加再減第三式：

2 \overline{P A}^{2} + \overline{A C}^{2} - (\overline{P A}^{2} + \overline{A C}^{2}) = 16 + 45 - 48

，得

\overline{P A}^{2} = 13

，

\overline{P A} = 13

。

驗算：

\overline{A B}^{2} = 16 - 13 = 3

，

\overline{A D}^{2} = 45 - 13 = 32

，

\overline{A C}^{2} = 35

，

13 + 35 = 48

。這個結果可以記成

\overline{P A}^{2} + \overline{P C}^{2} = \overline{P B}^{2} + \overline{P D}^{2}

。

第 2 題答案 (D)。

∣ a ∣ = 9 + 16 + 0 = 5

，

∣ b ∣ = 36 + 4 + 9 = 7

。

a + k b

是以

a

與

k b

為鄰邊的平行四邊形的對角線；對角線要平分夾角，這個平行四邊形必須是菱形，而且

k b

與

b

同方向。所以

k > 0

且

∣ k b ∣ = ∣ a ∣

，即

7 k = 5

，

k = \frac{5}{7}

。

驗算：

a + \frac{5}{7} b = (\frac{51}{7}, \frac{38}{7}, - \frac{15}{7})

，它與

\frac{a}{5}

、

\frac{b}{7}

兩個單位向量的內積都是

\frac{61}{7}

，夾角相等。(E) 的

k = - \frac{5}{7}

長度條件也符合，但方向相反，平分的是

a

與

- b

的夾角。

直線垂直平面，就與平面上每一條直線垂直；平分夾角的向量是兩個等長向量的和。

02單選 3～4：行列式與法向量、正四面體的內積

第 3 題答案 (B)。把第一列記為

v

，三階行列式

v P Q P R = v \cdot (P Q \times P R)

。

P

、

Q

、

R

在平面上且不共線，所以

P Q \times P R

是這個平面的法向量，與

n = (5, - 3, 2)

平行，可寫成

t n

（

t \neq = 0

）。於是每個選項的絕對值都是

∣ t ∣ \cdot ∣ v \cdot n ∣

，只要比較

∣ v \cdot n ∣

：(A)

∣ - 5 - 3 + 2∣ = 6

；(B)

∣5 + 3 + 2∣ = 10

；(C)

∣5 - 3 - 2∣ = 0

；(D)

∣5 - 3 + 2∣ = 4

；(E)

∣5 3 ∣ = 53 \approx 8.66

。最大的是 (B)。

平面方程式右邊的

7

用不到，法向量只看

x, y, z

的係數。

53 = 75 < 100 = 10

。(C) 的第一列

(1, 1, - 1)

與法向量垂直，和

P Q

、

P R

共平面，行列式為

0

。

第 4 題答案 (C)。以

A

為起點，令

b = A B

，

c = A C

，

d = A D

。正四面體每個面都是正三角形，所以

∣ b ∣^{2} = ∣ c ∣^{2} = ∣ d ∣^{2} = 144

，

b \cdot c = c \cdot d = b \cdot d = 12 \cdot 12 \cdot cos 6 0^{\circ} = 72

。

M

是

\overline{A B}

中點：

A M = \frac{1}{2} b

。

N

在

\overline{C D}

上且

\overline{C N} : \overline{N D} = 2 : 1

：

A N = \frac{1}{3} c + \frac{2}{3} d

。所以

M N = \frac{1}{3} c + \frac{2}{3} d - \frac{1}{2} b

，

B C = c - b

。展開：

M N \cdot B C = \frac{1}{3} ∣ c ∣^{2} - \frac{1}{3} b \cdot c + \frac{2}{3} c \cdot d - \frac{2}{3} b \cdot d - \frac{1}{2} b \cdot c + \frac{1}{2} ∣ b ∣^{2} = 48 - 24 + 48 - 48 - 36 + 72 = 60

。

分點公式的係數要交叉：

N

靠近

D

，所以

d

的係數是

\frac{2}{3}

、

c

的係數是

\frac{1}{3}

。若把

\overline{C N} = 2 \overline{N D}

看反，會算出

\frac{2}{3} \cdot 144 - \frac{2}{3} \cdot 72 + \frac{1}{3} \cdot 72 - \frac{1}{3} \cdot 72 - 36 + 72 = 84

，就是選項 (D)。

三階行列式等於第一列與後兩列外積的內積；正四面體的題目選一個頂點當起點，三條稜的內積都相同。

03多選 1～2：面積與正射影、行列式不等式

第 5 題答案 (A)(C)(D)(E)。

A B = (4, - 1, 5)

，

A C = (- 1, - 5, 4)

，

B C = (- 5, - 4, - 1)

。(A) 三個向量的長度平方分別是

16 + 1 + 25 = 42

、

1 + 25 + 16 = 42

、

25 + 16 + 1 = 42

，三邊等長，是正三角形，對。(B) 對

y z

平面作正射影就是把

x

坐標改成

0

：

A^{'} (0, 0, - 1)

，

B^{'} (0, - 1, 4)

，

C^{'} (0, - 5, 3)

。

\overline{A^{'} B^{'}}^{2} = 1 + 25 = 26

，

\overline{A^{'} C^{'}}^{2} = 25 + 16 = 41

，不相等，不是正三角形，錯。(C) 邊長平方為

42

的正三角形，面積

= \frac{3}{4} \cdot 42 = \frac{21 3}{2}

，對。(D)

A^{'} B^{'} = (0, - 1, 5)

，

A^{'} C^{'} = (0, - 5, 4)

，面積

= \frac{1}{2} ∣ (- 1) (4) - (5) (- 5) ∣ = \frac{21}{2}

，對。(E) 平面

A B C

的法向量

A B \times A C = (- 4 + 25, - 5 - 16, - 20 - 1) = (21, - 21, - 21)

，與

(1, - 1, - 1)

平行；

y z

平面的法向量是

(1, 0, 0)

。兩法向量夾角的餘弦為

\frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}

，所以

cos θ = \pm \frac{1}{3}

，

sin θ = 1 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3}

，對。

(D) 與 (C) 可以互相檢查：正射影的面積等於原面積乘上兩平面夾角的餘弦，

\frac{21 3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{21}{2}

。兩平面的夾角有

θ

與

18 0^{\circ} - θ

兩個，正弦值相同，所以 (E) 不受影響。

第 6 題答案 (A)(C)。每一列的三個數相加都是

6 - x

，所以把第二、三行都加到第一行，第一行變成三個

6 - x

，提出來：原式

= (6 - x) 111 2 3 - x 2 32 3 - x

。第二列、第三列各減去第一列：

= (6 - x) 100 2 1 - x 0 3 - 1 - x = (6 - x) (1 - x) (- x) = - x (x - 1) (x - 6)

。題目要它大於

0

，即

x (x - 1) (x - 6) < 0

，解為

x < 0

或

1 < x < 6

。(A)

- 2 < 0

，滿足；(B)

0 < 0.375 < 1

，不滿足；(C)

1 < 4.56 < 6

，滿足；(D)

7.245 > 6

，不滿足；(E)

100 > 6

，不滿足。

直接展開也可以：

(1 - x) [(3 - x)^{2} - 4] - 2 [(3 - x) - 2] + 3 [2 - (3 - x)] = (1 - x) (x^{2} - 6 x + 5) - 5 (1 - x) = (1 - x) (x^{2} - 6 x)

，結果相同。代

x = - 2

檢查：

(8) (3) (2) = 48 > 0

。三次不等式用數線標出

0, 1, 6

三個根，由右而左正負交錯。

行列式各列的和相同時，把各行加到同一行就能提出公因式。

04多選 3～4：直線與平面的關係、外積的性質

第 7 題答案 (C)(E)。先把

L

整理成標準形式：

\frac{2 - y}{3} = \frac{y - 2}{- 3}

，所以

L

通過

(1, 2, 0)

，方向向量

v = (2, - 3, - 1)

。

E_{1}

的法向量

n_{1} = (2, - 3, - 1)

，

E_{2}

的法向量

n_{2} = (1, 1, - 1)

。(A) 代入

(3, 0, - 1)

：

\frac{3 - 1}{2} = 1

，

\frac{2 - 0}{3} = \frac{2}{3}

，兩個比值不相等，不在

L

上，錯。(B)

2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 - 3 = - 7 \neq = 0

，不在

E_{1}

上，錯。(C)

v = n_{1}

，直線的方向與平面的法向量平行，所以

L

與

E_{1}

垂直，對。(D)

v \cdot n_{2} = 2 - 3 + 1 = 0

，

L

與

E_{2}

平行或在

E_{2}

上；再代

L

上的點

(1, 2, 0)

：

1 + 2 - 0 = 3 \neq = 0

，這個點不在

E_{2}

上，所以

L

與

E_{2}

平行而不在

E_{2}

上，錯。(E)

n_{1}

與

n_{2}

不平行（

\frac{2}{1} \neq = \frac{- 3}{1}

），兩平面不平行也不重合，交於一直線，對。

中間那一項是

\frac{2 - y}{3}

，分子的

y

前面是負號；方向向量的第二個分量是

- 3

，不是

3

。(D) 只算內積為

0

還不夠，要再代一個點分辨「平行」與「在平面上」。

第 8 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 任何向量與自己的外積都是零向量（兩向量平行，所張的平行四邊形面積為

0

），成立。(B) 左邊

(b \times c) \cdot a = a \cdot (b \times c)

。右邊

(a \times c) \cdot b = - (c \times a) \cdot b = - a \cdot (b \times c)

。兩邊差一個負號，只有在三向量共平面（值為

0

）時才相等，不恆成立。例如

a = (1, 0, 0)

，

b = (0, 1, 0)

，

c = (0, 0, 1)

：左邊

= 1

，右邊

= - 1

。(C)

b \times c

與

b

、

c

都垂直，所以左邊

= 3 b \cdot (b \times c) - 2 c \cdot (b \times c) = 0

，右邊

= 2 (b \times c) \cdot b + 2 (b \times c) \cdot c = 0

，兩邊都是

0

，成立。(D) 設

b

、

c

的夾角為

φ

，

∣ b \times c ∣^{2} + (b \cdot c)^{2} = ∣ b ∣^{2} ∣ c ∣^{2} sin^{2} φ + ∣ b ∣^{2} ∣ c ∣^{2} cos^{2} φ = ∣ b ∣^{2} ∣ c ∣^{2}

，成立。(E)

∣ a \cdot (b \times c) ∣

是三向量所張平行六面體的體積，換底面來算也相同：

∣ a \cdot (b \times c) ∣ = ∣ b \cdot (a \times c) ∣

。再用內積的定義，

∣ b \cdot (a \times c) ∣ = ∣ b ∣∣ a \times c ∣∣ cos θ ∣

，成立。

(A) 卷面印的是「

= 0

」，

0

上面沒有印向量箭號。嚴格來說外積的結果是零向量

0

，不是數

0

；本頁把卷面的

0

當成零向量，所以列入 (A)。若校方把它當成「向量不等於數」的辨正題，答案會是 (C)(D)(E)，請以校方公布為準。(E) 在

a

與

c

平行時

a \times c

是零向量，夾角沒有定義，但這時等式兩邊都是

0

。

外積與原來的兩個向量都垂直；三重積交換兩個向量會變號，輪換則不變。

05填充 1～3（本頁第 9～11 題）：平行與垂直、平面方程式、行列式的列運算

第 9 題

B C

與

O A

平行，設

B C = t (1, 2, - 1)

。則

O C = O B + B C = (2 + t, 2 t, 1 - t)

。由

O C ⊥ O B

：

2 (2 + t) + 0 \cdot 2 t + 1 \cdot (1 - t) = 0

，即

5 + t = 0

，

t = - 5

。所以

O C = (- 3, - 10, 6)

。

驗算：

O C \cdot O B = - 6 + 0 + 6 = 0

；

B C = (- 5, - 10, 5) = - 5 (1, 2, - 1)

。注意

B C = O C - O B

，所以

O C

要把

O B

加回去。

第 10 題所求平面包含

A B = (- 1, - 2, 3)

，又與

F

垂直，所以也與

F

的法向量

(7, 4, - 4)

平行。它的法向量同時垂直這兩個向量，取外積：

(- 1, - 2, 3) \times (7, 4, - 4) = ((- 2) (- 4) - 3 \cdot 4, 3 \cdot 7 - (- 1) (- 4), (- 1) \cdot 4 - (- 2) \cdot 7) = (- 4, 17, 10)

。代入

A (2, 1, - 1)

：

- 4 \cdot 2 + 17 \cdot 1 + 10 \cdot (- 1) = - 1

。平面為

- 4 x + 17 y + 10 z = - 1

，即

4 x - 17 y - 10 z = 1

。

驗算：代

B (1, - 1, 2)

得

4 + 17 - 20 = 1

；法向量與

(7, 4, - 4)

的內積為

28 - 68 + 40 = 0

。答案寫成

4 x - 17 y - 10 z - 1 = 0

或

- 4 x + 17 y + 10 z = - 1

都是同一個平面。

第 11 題由下往上化簡。第三列提出

2

：原式

= 2 a_{1} + 4 b_{1} + c_{1} 5 b_{1} - 4 c_{1} c_{1} a_{2} + 4 b_{2} + c_{2} 5 b_{2} - 4 c_{2} c_{2} a_{3} + 4 b_{3} + c_{3} 5 b_{3} - 4 c_{3} c_{3}

。第二列加上第三列的

4

倍、第一列減去第三列，行列式的值不變：

= 2 a_{1} + 4 b_{1} 5 b_{1} c_{1} a_{2} + 4 b_{2} 5 b_{2} c_{2} a_{3} + 4 b_{3} 5 b_{3} c_{3}

。第二列提出

5

，再把第一列減去第二列的

4

倍：

= 10 a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} = 10 \times 3 = 30

。

「某一列加上另一列的倍數」不改變行列式的值；「某一列提出公因數」則要把這個數乘在外面。這裡一共提出

2

與

5

。

同時垂直兩個向量的方向用外積求；化簡行列式時先提公因數，再用列運算消去多餘的項。

06填充 4～6（本頁第 12～14 題）：直線的比例式、等距離的平面、交線上的點

第 12 題對

x z

平面對稱，

y

坐標變號：

B (2, 1, 3)

。繞

y

軸旋轉

18 0^{\circ}

，

y

坐標不變，

x

、

z

坐標都變號：

C (- 2, 1, - 3)

。沿

y

軸正向移動

3

單位：

D (- 2, 4, - 3)

。

A D = (- 4, 5, - 6)

，題目的比例式中

x

的分母是

4

，所以方向向量取

(4, - 5, 6)

，得

b = - 5

，

c = 6

。比例式的分子表示直線通過

(6, y_{0}, z_{0})

：由

A (2, - 1, 3)

沿

(4, - 5, 6)

走一步，得

(6, - 6, 9)

，所以

y_{0} = - 6

，

z_{0} = 9

。

b + c + y_{0} + z_{0} = - 5 + 6 - 6 + 9 = 4

。

直線

A D

為

\frac{x - 6}{4} = \frac{y + 6}{- 5} = \frac{z - 9}{6}

；代

D (- 2, 4, - 3)

檢查，三個比值都是

- 2

。

x

的分母已指定為

4

、分子已指定為

x - 6

，所以

b, c, y_{0}, z_{0}

都只有一組值。

第 13 題與

x + 3 y + z = 1

平行的平面可設為

x + 3 y + z = k

。兩點到它的距離相等：

\frac{∣3 - 15 + 1 - k ∣}{11} = \frac{∣ - 1 + 9 + 7 - k ∣}{11}

，即

∣ - 11 - k ∣ = ∣15 - k ∣

，也就是

∣ k + 11∣ = ∣ k - 15∣

。

k

到

- 11

與到

15

的距離相等，所以

k = \frac{- 11 + 15}{2} = 2

。平面為

x + 3 y + z = 2

。

這個平面恰好通過兩點的中點

(1, - 1, 4)

：

1 - 3 + 4 = 2

。兩點在平面的兩側（代入得

- 11 - 2 < 0

、

15 - 2 > 0

）。兩點連線的方向

(- 4, 8, 6)

與法向量的內積是

26 \neq = 0

，連線不與平面平行，所以沒有「兩點在同側」的另一個解。

第 14 題到

A

、

B

等距離的點都在

\overline{A B}

的垂直平分面上：它通過中點

(1, 2, 3)

，法向量

A B = (- 4, 0, 4)

，取

(1, 0, - 1)

，方程式為

x - z = 1 - 3 = - 2

，即

z = x + 2

。

Q

同時在

L

的兩個平面上，三式聯立：把

z = x + 2

代入

x - y + z = 2

得

2 x - y = 0

，

y = 2 x

；代入

x - 3 y - z = 4

得

x - 6 x - (x + 2) = 4

，

- 6 x = 6

，

x = - 1

。所以

y = - 2

，

z = 1

，

Q (- 1, - 2, 1)

。

驗算：

- 1 + 2 + 1 = 2

，

- 1 + 6 - 1 = 4

；

\overline{Q A}^{2} = 16 + 16 + 0 = 32

，

\overline{QB}^{2} = 0 + 16 + 16 = 32

。也可以先求

L

的參數式

(3 + 2 t, t, - 1 - t)

再令

\overline{Q A}^{2} = \overline{QB}^{2}

，解出

t = - 2

。

到兩點等距離的點都在垂直平分面上；把條件換成一個平面，再與其他平面聯立。

07填充 7～8（本頁第 15～16 題，A、B 組共同試題）：摺紙的二面角、空間中的外心

第 15 題設正三角形邊長為

3

，則

\overline{B D} = \overline{D E} = \overline{E C} = 1

。摺起後長度與每個紙面上的角度都不變：

\overline{P D} = \overline{B D} = 1

，

\overline{P E} = \overline{C E} = 1

，

\overline{P A} = 3

，

∠ A P D = ∠ A B D = 6 0^{\circ}

，

∠ A P E = ∠ A C E = 6 0^{\circ}

。兩平面

A P D

、

A P E

的交線是

\overline{P A}

。在平面

A P D

上由

D

向

\overline{P A}

作垂線，垂足

H

滿足

\overline{P H} = \overline{P D} cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，

\overline{D H} = \overline{P D} sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。同樣由

E

向

\overline{P A}

作垂線，垂足到

P

的距離也是

\frac{1}{2}

，是同一點

H

，且

\overline{E H} = \frac{3}{2}

。所以

∠ D H E

就是兩平面的二面角。在

△ D H E

中

\overline{D E} = 1

，由餘弦定理

cos ∠ D H E = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1}{2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}

。這個值為正，是銳角，所以

cos θ = \frac{1}{3}

。

二面角要在交線上的「同一點」各作一條垂直交線的線段；這裡因為兩個面對稱，兩個垂足剛好重合。

△ P D E

三邊都是

1

，是正三角形，所以以

P

為頂點的三個面角都是

6 0^{\circ}

，和正四面體頂點的情形相同，二面角的餘弦也是

\frac{1}{3}

。答案與邊長無關。

第 16 題外心

O (x, y, z)

到三頂點等距離，而且在平面

A B C

上，用三個平面聯立。

A B = (3, 9, - 12)

，

\overline{A B}

的中點為

(- \frac{1}{2}, \frac{23}{2}, 9)

，垂直平分面的法向量取

(1, 3, - 4)

：

x + 3 y - 4 z = - \frac{1}{2} + \frac{69}{2} - 36 = - 2

。

A C = (12, 0, - 12)

，

\overline{A C}

的中點為

(4, 7, 9)

，垂直平分面的法向量取

(1, 0, - 1)

：

x - z = - 5

。平面

A B C

的法向量

A B \times A C = (- 108, - 144 + 36, - 108) = (- 108, - 108, - 108)

，取

(1, 1, 1)

，代

A

得

x + y + z = 20

。由第二式

z = x + 5

，代入第一式：

x + 3 y - 4 x - 20 = - 2

，

y = x + 6

；代入第三式：

x + (x + 6) + (x + 5) = 20

，

x = 3

。所以

y = 9

，

z = 8

，外心為

(3, 9, 8)

。

驗算：

\overline{O A}^{2} = 25 + 4 + 49 = 78

，

\overline{O B}^{2} = 4 + 49 + 25 = 78

，

\overline{O C}^{2} = 49 + 4 + 25 = 78

。只聯立兩個垂直平分面得到的是一條直線，一定要再加上「在平面

A B C

上」這個條件。

摺紙題先列出哪些長度與角度沒有變；空間中的外心是兩個垂直平分面與三角形所在平面的交點。

08填充 9～10（本頁第 17～18 題，C、D 組共同試題）：摺正方形的二面角、周長的最小值

第 17 題設正方形邊長為

a

，對角線交點為

O

。摺起後

\overline{A B} = \overline{B C} = a

不變，又

∠ A B C = 6 0^{\circ}

，所以

△ A B C

是正三角形，

\overline{A C} = a

。正方形的兩條對角線互相垂直平分，摺起後仍有

\overline{A O} ⊥ \overline{B D}

、

\overline{C O} ⊥ \overline{B D}

，且

\overline{A O} = \overline{C O} = \frac{2}{2} a

。

\overline{B D}

是兩平面

A B D

、

B C D

的交線，所以

∠ A O C

就是二面角。在

△ A O C

中，

\overline{A O}^{2} + \overline{C O}^{2} = \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2} = a^{2} = \overline{A C}^{2}

，由畢氏定理的逆定理

∠ A O C = 9 0^{\circ}

。二面角為

9 0^{\circ}

。

摺之前

∠ A B C = 9 0^{\circ}

，對應的二面角是

18 0^{\circ}

（還是平的）；摺到

∠ A B C = 6 0^{\circ}

時兩個半面互相垂直。答案與正方形的邊長無關。

第 18 題

\overline{A B}

的長度固定，周長最小就是

\overline{A C} + \overline{C B}

最小。

C (x, y, 0)

在

x y

平面上，而

A

、

B

的

z

坐標

4

、

2

都是正的，在

x y

平面的同一側。取

A

對

x y

平面的對稱點

A^{'} (1, - 2, - 4)

，則

\overline{A C} = \overline{A^{'} C}

，

\overline{A C} + \overline{C B} = \overline{A^{'} C} + \overline{C B} \geq \overline{A^{'} B}

，等號在

C

是

\overline{A^{'} B}

與

x y

平面的交點時成立。

A^{'} B = (1, 2, 6)

，直線

A^{'} B

上的點為

(1 + t, - 2 + 2 t, - 4 + 6 t)

；令

- 4 + 6 t = 0

得

t = \frac{2}{3}

，所以

C (\frac{5}{3}, - \frac{2}{3}, 0)

。

這時

\overline{A C} + \overline{C B} = \overline{A^{'} B} = 1 + 4 + 36 = 41

，

\overline{A B} = 3

，周長的最小值是

3 + 41

。

t = \frac{2}{3}

介於

0

與

1

之間，

C

確實在線段

\overline{A^{'} B}

上。兩點在平面同側要先對稱；直接連

\overline{A B}

不會與

x y

平面在線段內相交。

同側兩點到平面上一點的距離和，先把其中一點對平面作對稱，再連成直線。

09混合題 1～3（本頁第 19～21 題）：四點共平面、平行六面體的體積與最大值

第 19 題答案 (4)。

A B = (- 3, 4, 0)

，

A E = (0, 2, - 6)

。平面

A B E

的法向量

A B \times A E = (4 \cdot (- 6) - 0 \cdot 2, 0 \cdot 0 - (- 3) (- 6), (- 3) \cdot 2 - 4 \cdot 0) = (- 24, - 18, - 6)

，取

(4, 3, 1)

。代

A (1, 1, 6)

：平面為

4 x + 3 y + z = 13

。

F (k, k + 1, 0)

在這個平面上：

4 k + 3 (k + 1) + 0 = 13

，

7 k = 10

，

k = \frac{10}{7}

。

驗算：

B

代入

- 8 + 15 + 6 = 13

，

E

代入

4 + 9 + 0 = 13

。

A

、

B

的

z

坐標都是

6

，對應題目的「

A

點離地面

6

公尺」；

E

、

F

的

z

坐標是

0

，在地面上。

第 20 題由上題

F (\frac{10}{7}, \frac{17}{7}, 0)

。三向量所決定的平行六面體體積是三階行列式的絕對值：

1 - 2 \frac{10}{7} 15 \frac{17}{7} 660 = 1 \cdot (0 - \frac{102}{7}) - 1 \cdot (0 - \frac{60}{7}) + 6 \cdot (- \frac{34}{7} - \frac{50}{7}) = - \frac{102}{7} + \frac{60}{7} - \frac{504}{7} = - \frac{546}{7} = - 78

。體積為

∣ - 78∣ = 78

。

也可以先算

O A \times O B = (1 \cdot 6 - 6 \cdot 5, 6 \cdot (- 2) - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 1 \cdot (- 2)) = (- 24, - 18, 7)

，再與

O F

內積：

- \frac{240}{7} - \frac{306}{7} + 0 = - 78

。體積要取絕對值。

第 21 題

O A \times O B = (- 24, - 18, 7)

，

O P = (x, y, 0)

，所以體積

V = O P \cdot (O A \times O B) = ∣ - 24 x - 18 y ∣ = ∣24 x + 18 y ∣

。

P

到原點的距離為

15

：

x^{2} + y^{2} = 225

。由柯西不等式，

(24 x + 18 y)^{2} \leq (2 4^{2} + 1 8^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 900 \times 225

，所以

∣24 x + 18 y ∣ \leq 30 \times 15 = 450

。等號成立於

\frac{x}{24} = \frac{y}{18}

，設

x = 4 s

、

y = 3 s

，代入

x^{2} + y^{2} = 225

得

s = \pm 3

，即

P (12, 9, 0)

或

P (- 12, - 9, 0)

，這樣的點存在。體積的最大值為

450

。

2 4^{2} + 1 8^{2} = 576 + 324 = 900

。外積的第三個分量

7

乘上

O P

的

z

坐標

0

，不影響結果。用柯西不等式求極值，最後要檢查等號成立的點確實存在。

三向量所張平行六面體的體積是三階行列式的絕對值；其中一個向量在變動時，先把另外兩個的外積算好。

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單選第 4 題：N 靠近 D，分點公式的係數看反會算成 84。多選第 3 題：直線比例式中間那一項的分子是 2 減 y，方向向量的第二個分量是負的；直線與平面平行還要代一個點才知道是不是在平面上。多選第 4 題：三重積交換兩個向量會變號。填充第 7 題（A、B 組）：二面角要在交線上的同一點作兩條垂線。填充第 8 題（A、B 組）：外心除了到三頂點等距離，還要在三角形所在的平面上。詳解逐題寫在本頁。

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02單選 3～4：行列式與法向量、正四面體的內積

03多選 1～2：面積與正射影、行列式不等式

04多選 3～4：直線與平面的關係、外積的性質

05填充 1～3（本頁第 9～11 題）：平行與垂直、平面方程式、行列式的列運算

06填充 4～6（本頁第 12～14 題）：直線的比例式、等距離的平面、交線上的點

07填充 7～8（本頁第 15～16 題，A、B 組共同試題）：摺紙的二面角、空間中的外心

08填充 9～10（本頁第 17～18 題，C、D 組共同試題）：摺正方形的二面角、周長的最小值

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