段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角公式、兩直線的夾角、正餘弦的疊合）

正義高中 115 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 正義高中 115 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 正義高中 115 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題要先由兩角的範圍確定和角在第三、四象限，才能從餘弦值定出角度；多選第 1 題要分清楚 AC 等於 2 sin 2θ，也就是 4 sinθ cosθ；多選第 2 題的直線 x=π 通過的是零點，圖形只對稱於那一點而不對稱於直線；填充第 4 題要用平方相加與平方相減兩條式子；填充第 10 題疊合後要看括號內角度的範圍，最大值在端點。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《三角函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多重選擇題 3 題（每答對一選項得 1 分，共 15 分）、填充題 10 題（依量尺配分，共 50 分；學校答案卷所附量尺為答對 1～10 題依序得 6、12、18、24、29、34、38、42、46、50 分）、素養與混合題 2 題（共 10 分，學校答案卷標第 1 題 5 分），合計 100 分。卷面各大題各自從 1 編號，本頁題號全卷連續：多選 1～3 為第 6～8 題，填充 1～10 為第 9～18 題，素養與混合題 1～2 為第 19～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題：（每題 5 分，共 25 分）

試求

sin^{2} \frac{2 π}{3} + sin (- \frac{5 π}{3}) cos (- \frac{5 π}{6})

之值為何。

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $- \frac{3}{2}$

點

A (cos 4, sin 4)

落在何處？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

函數

y = 1 + 2 sin [3 (x + 4)]

的週期為何？

(A) $2 π$
(B) $π$
(C) $\frac{π}{2}$
(D) $\frac{π}{3}$
(E) $\frac{2 π}{3}$

把函數

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

單位後，會得到下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = - sin x$
(B) $y = cos x$
(C) $y = - cos x$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(E) $y = cos (x - \frac{π}{2})$

若

\frac{π}{2} < α < π

，

\frac{π}{2} < β < π

，且

sin α = \frac{1}{5}

，

cos β = - \frac{3}{10}

，試

α + β

之值為何。

(A) $\frac{7 π}{4}$
(B) $\frac{5 π}{4}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $\frac{5 π}{3}$
(E) $\frac{11 π}{6}$

二、多重選擇題：（每答對一選項得 1 分，答錯不倒扣，共 15 分。）

如右圖，設圓

O

的半徑為

2

，

O

為圓心，設

∠ A B C = θ

，

\overline{A C}

垂直

\overline{B C}

，則下列選項哪些是正確的？

(A) $∠ A O C = 2 θ$
(B) $\overline{O C} = 2 cos 2 θ$
(C) $\overline{A C} = 2 sin θ cos θ$
(D) $\overline{A B} = 4 cos θ$
(E) $△ A O B$ 面積 $= 8 sin θ cos θ$

載入中...

考慮函數

f (x) = 2 sin 3 x

，試問下列選項何者為真？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時有最大值
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = π$
(E) $f (2) > 0$

△ A B C

中，已知

tan A = \frac{1}{8}

，

cos B = \frac{9}{130}

，則下列選項哪些正確？

(A) $tan B = - \frac{7}{9}$
(B) $tan (A - B) < 0$
(C) $tan (A + B) = 1$
(D) $cos C = - \frac{2}{2}$
(E) $△ A B C$ 為鈍角三角形

三、填充題：(依量尺配分，共 50 分)

方程式

sin x = \frac{- 2}{3}

，在

0 \leq x \leq 4 π

內的所有實根總和為 ____？

已知

0 < x < π

，則不等式

- \frac{1}{2} \leq cos x \leq \frac{1}{2}

的解為 ____。

試求

sin 8 3^{\circ} cos 2 3^{\circ} + cos 8 3^{\circ} cos 11 3^{\circ}

之值為 ____。

設

cos α + cos β = \frac{3}{2}

，

sin α + sin β = \frac{3}{2}

，則

cos (α + β) =

____。

下圖為三個大小相同的連續正方形。若

∠ E A D = α

，

∠ E B D = β

，

∠ A E B = γ

，則

tan γ =

____。

載入中...

在

△ A B C

中，已知

\overline{A B} = 5

，

cos B = \frac{- 3}{5}

，且其外接圓半徑為

\frac{13}{2}

，試求

cos A

的值為 ____。

已知

△ A B C

中，

\overline{A B} = 2

、

\overline{B C} = 3

且

∠ A = 2∠ C

，則

\overline{A C} =

____。（化成最簡分數）

直線

L_{1}

：

y = 2 x - 1

，若直線

L

過

(1, 1)

且與

L_{1}

的銳夾角為

θ

，已知

tan θ = \frac{1}{3}

，且

L

的斜率大於

L_{1}

，試求直線

L

方程式為 ____。

已知

0 \leq x < 2 π

，則方程式

sin x - cos x = \frac{1}{2}

的解為 ____。(全對才給分)

設

y = 3 cos x - sin x + 1

，在

\frac{π}{6} \leq x \leq π

範圍內，求

y

的最大值為 ____。

四、素養與混合題：(共 10 分，每小題依配分，需有詳細計算過程，否則不予計分)

晚間某社區傳出天然氣外洩，當地消防隊火速抵達現場灑水警戒，在坐標地圖上，以該社區為圓心

O (0, 0)

，半徑

r = 1

（公里）的圓內均為警戒區域。後來經過消防隊與天然氣公司的人員檢視其危險性後，決定將其警戒區域縮小至扇形

A O B

的區域，其中

A (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})

，

B (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})

，如附圖，試求扇形

A O B

的區域面積。

載入中...

坐落在臺北的美麗華摩天輪，其直徑為

70

公尺，設立在

30

公尺的基座上，因此摩天輪垂直於地面且最低點離地面是

30

公尺。若摩天輪每隔

1

小時轉一圈，小安從最低點坐上摩天輪的車廂，並且在開始轉動時同時計時，小安的車廂所在的高度為

y

公尺。每隔

15

分鐘，測量車廂的高度，並且得到上表，現在以函數

y = a sin (b t + c) + d

（其中

a

，

b

，

d

為正數，

∣ c ∣ < π

）來描述車廂所在的高度，試求

a

，

b

，

c

，

d

的值。

轉動時間 t （小時） 車廂高度為 y （公尺） 030 \frac{1}{4} 65 \frac{1}{2} 100 \frac{3}{4} 65 130

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(A)(B)(D)

第 7 題(A)(B)(C)

第 8 題(B)(C)(D)(E)

第 9 題

10 π

第 10 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

- \frac{1}{2}

第 13 題

\frac{1}{7}

第 14 題

\frac{56}{65}

第 15 題

\frac{5}{2}

第 16 題

y = 7 x - 6

第 17 題

x = \frac{5 π}{12}

或

\frac{13 π}{12}

第 18 題

2

第 19 題

\frac{7 π}{24}

平方公里

第 20 題

a = 35

，

b = 2 π

，

c = - \frac{π}{2}

，

d = 65

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：弧度制的三角函數值與象限

第 1 題答案 (C)。

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，平方得

\frac{3}{4}

。

- \frac{5 π}{3}

與

\frac{π}{3}

同界（相差

2 π

），

sin (- \frac{5 π}{3}) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

。

cos (- \frac{5 π}{6}) = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。所以原式

= \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0

。

- \frac{5 π}{3}

是

- 30 0^{\circ}

，終邊在第一象限，正弦為正；

- \frac{5 π}{6}

是

- 15 0^{\circ}

，終邊在第三象限，餘弦為負。

第 2 題答案 (C)。

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，所以

4

弧度約

229. 2^{\circ}

。也可以直接比較：

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

。角

4

的終邊在第三象限，

cos 4 < 0

，

sin 4 < 0

，點

A

在第三象限。

點

(cos θ, sin θ)

就是角

θ

的終邊與單位圓的交點，它所在的象限就是終邊所在的象限。

4

是弧度，不是

4^{\circ}

。

弧度換成度或與 π、3π/2 比大小，就能判斷終邊位置與三角函數值的正負。

02單選 3～4：週期與平移

第 3 題答案 (E)。

y = 1 + 2 sin [3 (x + 4)] = 1 + 2 sin (3 x + 12)

。

y = sin x

的週期是

2 π

，

x

的係數變成

3

時水平壓縮為

\frac{1}{3}

倍，週期變成

\frac{2 π}{3}

；振幅

2

、上下平移

1

、左右平移

4

都不改變週期。

驗證：把

x

換成

x + \frac{2 π}{3}

，括號內增加

2 π

，函數值不變。

第 4 題答案 (B)。圖形向左平移

\frac{π}{2}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{2}

：

y = sin (x + \frac{π}{2}) = sin x cos \frac{π}{2} + cos x sin \frac{π}{2} = cos x

。

(D) 是向右平移，

sin (x - \frac{π}{2}) = - cos x

；(E)

cos (x - \frac{π}{2}) = sin x

，就是原來的圖形。

y=a sin(bx+c)+d 的週期只看 x 的係數 b，是 2π 除以 b 的絕對值；向左平移是把 x 換成 x 加平移量。

03單選 5：先求和角的餘弦，再由範圍定角

第 5 題

答案 (A)。 $α$ 在第二象限， $cos α = - 1 - \frac{1}{5} = - \frac{2}{5}$ ； $β$ 在第二象限， $sin β = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ 。

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{6}{50} - \frac{1}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}$

又 $π < α + β < 2 π$ ，在這個範圍內餘弦為 $\frac{2}{2}$ 的角只有 $\frac{7 π}{4}$ 。

若只看

cos (α + β) = \frac{2}{2}

而忘了範圍，會誤以為是

\frac{π}{4}

；也可以算

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = - \frac{3}{50} - \frac{2}{50} = - \frac{2}{2}

來確認終邊在第四象限。

04多選 1：圓內的倍角關係

第 6 題

答案 (A)(B)(D)。由附圖， $\overline{B D}$ 是直徑，垂足 $C$ 在 $O$ 、 $D$ 之間（ $A$ 在 $D$ 這一側， $θ < \frac{π}{4}$ ），以下都依這個位置計算。

(A) 正確。 $∠ A B C$ 是弧 $A D$ 所對的圓周角， $∠ A O C$ 是同一弧所對的圓心角，所以 $∠ A O C = 2 θ$ 。

(B) 正確。 在直角三角形 $A O C$ 中， $\overline{O A} = 2$ ， $∠ A O C = 2 θ$ ，所以 $\overline{O C} = 2 cos 2 θ$ 。

(D) 正確。 $\overline{B D}$ 是直徑，所以 $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ ，直角三角形 $A B D$ 中 $\overline{A B} = \overline{B D} cos θ = 4 cos θ$ 。

(E) 錯誤。 $△ A O B$ 以 $\overline{O B} = 2$ 為底，高是 $\overline{A C}$ ，面積 $= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 sin θ cos θ = 4 sin θ cos θ$ ，不是 $8 sin θ cos θ$ 。

A B C

中

\overline{A C} = \overline{A B} sin θ = 4 cos θ sin θ

，與倍角公式的結果一致。

圓心角是同弧圓周角的兩倍；同一段長度用兩種直角三角形算，就得到倍角公式。

05多選 2～3：正弦型函數的性質、三角形內角的和角公式

第 7 題

答案 (A)(B)(C)。

(A) 正確。 $- 1 \leq sin 3 x \leq 1$ ，乘以 $2$ 得 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ 。

(B) 正確。 $f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2$ ，就是最大值。

(D) 錯誤。 $f (π) = 2 sin 3 π = 0$ ，圖形在 $x = π$ 處通過 $x$ 軸，不是最高點或最低點。實際上 $f (π + t) = 2 sin (3 π + 3 t) = - 2 sin 3 t$ ， $f (π - t) = 2 sin (3 π - 3 t) = 2 sin 3 t$ ，兩者互為相反數，圖形對稱於點 $(π, 0)$ ，不對稱於直線 $x = π$ 。例如 $t = \frac{π}{6}$ ： $f (\frac{7 π}{6}) = - 2$ ， $f (\frac{5 π}{6}) = 2$ 。

(E) 錯誤。 $f (2) = 2 sin 6$ 。 $\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 6 < 2 π \approx 6.28$ ，角 $6$ 的終邊在第四象限， $sin 6 < 0$ ，所以 $f (2) < 0$ 。

正弦型函數的圖形只對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，即

3 x = \frac{π}{2} + k π

，

x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}

（

k

為整數）；

x = π

不是這種位置。

sin 6 \approx - 0.28

。

第 8 題

答案 (B)(C)(D)(E)。 $cos B = \frac{9}{130} > 0$ ， $B$ 是銳角， $sin B = 1 - \frac{81}{130} = \frac{7}{130}$ ， $tan B = \frac{7}{9}$ 。

(A) 錯誤。 $tan B = \frac{7}{9}$ ，是正的。

(B) 正確。 $tan (A - B) = \frac{\frac{1}{8} - \frac{7}{9}}{1 + \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{9}} = \frac{- \frac{47}{72}}{\frac{79}{72}} = - \frac{47}{79} < 0$ 。

(C) 正確。 $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{8} + \frac{7}{9}}{1 - \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{9}} = \frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}} = 1$ 。

(D) 正確。 $tan A > 0$ ， $A$ 是銳角， $0 < A + B < π$ 且 $tan (A + B) = 1$ ，所以 $A + B = \frac{π}{4}$ ， $C = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ ， $cos C = - \frac{2}{2}$ 。

(E) 正確。 $C = \frac{3 π}{4}$ 是鈍角，所以 $△ A B C$ 是鈍角三角形。

(B) 也可以不算：

A

、

B

都是銳角，

tan A = \frac{1}{8} < tan B = \frac{7}{9}

，所以

A < B

，

A - B

在

- \frac{π}{2}

與

0

之間，正切為負。

三角形中已知兩角的三角函數值，用正切的和角公式求出 A+B，第三個角就是 π 減 A+B。

06填充 1～2（本頁第 9～10 題）：用圖形解三角方程式與不等式

第 9 題

y = sin x

在一個週期

[0, 2 π]

內，取負值的部分在

π < x < 2 π

，圖形對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

（最低點）。

- 1 < - \frac{2}{3} < 0

，所以在

[0, 2 π]

內恰有兩根，對稱於

x = \frac{3 π}{2}

，和為

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

。在

[2 π, 4 π]

內同理有兩根，對稱於

x = \frac{7 π}{2}

，和為

7 π

。所有實根的總和為

3 π + 7 π = 10 π

。

也可以設第一個根為

π + t

（

0 < t < \frac{π}{2}

），四個根是

π + t

、

2 π - t

、

3 π + t

、

4 π - t

，相加得

10 π

。數值上

t \approx 0.73

。

第 10 題在

0 < x < π

內，

cos x

由

1

遞減到

- 1

。

cos x = \frac{1}{2}

時

x = \frac{π}{3}

，

cos x = - \frac{1}{2}

時

x = \frac{2 π}{3}

。因為遞減，

- \frac{1}{2} \leq cos x \leq \frac{1}{2}

的範圍是

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。

兩端都含等號，所以端點

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

都要包含。

三角方程式的根與不等式的解，畫出一個週期的圖形看對稱軸與遞增遞減最清楚。

07填充 3～5（本頁第 11～13 題）：和差角公式

第 11 題

cos 11 3^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 2 3^{\circ}) = - sin 2 3^{\circ}

。所以原式

= sin 8 3^{\circ} cos 2 3^{\circ} - cos 8 3^{\circ} sin 2 3^{\circ} = sin (8 3^{\circ} - 2 3^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

數值檢查：

0.9925 \times 0.9205 + 0.1219 \times (- 0.3907) \approx 0.866

。

第 12 題

兩式平方相加： $(cos α + cos β)^{2} + (sin α + sin β)^{2} = 2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 + 2 cos (α - β)$ ，而左邊 $= \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3$ ，所以 $cos (α - β) = \frac{1}{2}$ 。兩式平方相減： $(cos α + cos β)^{2} - (sin α + sin β)^{2} = (cos^{2} α - sin^{2} β) + (cos^{2} β - sin^{2} α) + 2 (cos α cos β - sin α sin β)$ 。由和差角公式， $cos (α + β) cos (α - β) = cos^{2} α cos^{2} β - sin^{2} α sin^{2} β = cos^{2} α (1 - sin^{2} β) - (1 - cos^{2} α) sin^{2} β = cos^{2} α - sin^{2} β$ ；同理 $cos^{2} β - sin^{2} α$ 也等於 $cos (α + β) cos (α - β)$ 。所以

$\frac{3}{4} - \frac{9}{4} = 2 cos (α + β) cos (α - β) + 2 cos (α + β) = 2 cos (α + β) (1 + \frac{1}{2})$

即 $- \frac{3}{2} = 3 cos (α + β)$ ，得 $cos (α + β) = - \frac{1}{2}$ 。

可以找一組實際的角檢查：

α = \frac{π}{2}

、

β = \frac{π}{6}

時

cos α + cos β = \frac{3}{2}

、

sin α + sin β = \frac{3}{2}

，而

cos (α + β) = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

第 13 題

設正方形邊長為 $1$ 。在直角三角形 $A E D$ 中， $\overline{E D} = 1$ ， $\overline{A D} = 3$ ， $tan α = \frac{1}{3}$ ；在直角三角形 $B E D$ 中， $\overline{B D} = 2$ ， $tan β = \frac{1}{2}$ 。 $β$ 是 $△ A B E$ 在 $B$ 的外角，等於兩個不相鄰內角的和： $β = α + γ$ ，所以 $γ = β - α$ 。

$tan γ = \frac{tan β - tan α}{1 + tan β tan α} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{7}$

同樣的方法：

∠ E C D = \frac{π}{4}

，且

α + β = \frac{π}{4}

（

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = 1

），這是這個圖常見的另一個結論。

把未知角寫成兩個已知角的和或差，再用正切的和差角公式。

08填充 6～7（本頁第 14～15 題）：配合正弦定理解三角形

第 14 題

由正弦定理， $\overline{A B} = 2 R sin C$ ， $5 = 13 sin C$ ， $sin C = \frac{5}{13}$ 。 $cos B < 0$ ， $B$ 是鈍角，所以 $C$ 是銳角， $cos C = \frac{12}{13}$ 。又 $sin B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ 。 $A = π - (B + C)$ ，

$cos A = - cos (B + C) = - (cos B cos C - sin B sin C) = - (- \frac{36}{65} - \frac{20}{65}) = \frac{56}{65}$

三角形最多一個鈍角，所以

cos C

只能取正的

\frac{12}{13}

。此時

sin A = \frac{33}{65}

，

sin^{2} A + cos^{2} A = \frac{1089 + 3136}{4225} = 1

。

第 15 題

設 $∠ C = θ$ ，則 $∠ A = 2 θ$ 。由正弦定理， $\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ ， $\frac{3}{sin 2 θ} = \frac{2}{sin θ}$ ， $\frac{3}{2 sin θ cos θ} = \frac{2}{sin θ}$ ，得 $cos θ = \frac{3}{4}$ ， $sin^{2} θ = \frac{7}{16}$ 。 $∠ B = π - 3 θ$ ，再由正弦定理

$\overline{A C} = \frac{A B sin B}{sin C} = \frac{2 sin 3 θ}{sin θ}$

而 $sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ = sin θ (3 - 4 sin^{2} θ)$ ，所以 $\overline{A C} = 2 (3 - 4 \cdot \frac{7}{16}) = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$ 。

若改用餘弦定理

\overline{A B}^{2} = \overline{B C}^{2} + \overline{A C}^{2} - 2 \cdot \overline{B C} \cdot \overline{A C} cos C

，得

2 b^{2} - 9 b + 10 = 0

，

b = 2

或

\frac{5}{2}

。

b = 2

時

\overline{A C} = \overline{A B}

，

∠ B = ∠ C

，配合

∠ A = 2∠ C

會得

∠ C = 4 5^{\circ}

，與

cos C = \frac{3}{4}

矛盾，要捨去。

已知外接圓半徑就用正弦定理把邊換成角的正弦；角是另一角的兩倍，就用倍角公式。

09填充 8（本頁第 16 題）：兩直線的夾角

第 16 題

設 $L_{1}$ 的斜角為 $φ$ ， $tan φ = 2$ 。 $L$ 與 $L_{1}$ 的銳夾角為 $θ$ ，所以 $L$ 的斜角是 $φ + θ$ 或 $φ - θ$ 。

$tan (φ + θ) = \frac{2 + \frac{1}{3}}{1 - 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = 7, tan (φ - θ) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$

$L$ 的斜率要大於 $2$ ，所以取 $7$ 。過 $(1, 1)$ ： $y - 1 = 7 (x - 1)$ ，即 $y = 7 x - 6$ 。

檢查夾角：

\frac{7 - 2}{1 + 7 \cdot 2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}

。答案也可寫成

7 x - y - 6 = 0

。

10填充 9～10（本頁第 17～18 題）：疊合

第 17 題疊合：

sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

。方程式變成

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq x - \frac{π}{4} < \frac{7 π}{4}

，這個範圍內正弦為

\frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

。所以

x = \frac{π}{6} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{12}

或

x = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4} = \frac{13 π}{12}

。

驗算：

x = \frac{5 π}{12} = 7 5^{\circ}

時

sin 7 5^{\circ} - cos 7 5^{\circ} \approx 0.966 - 0.259 = 0.707

；

x = \frac{13 π}{12} = 19 5^{\circ}

時

- 0.259 - (- 0.966) = 0.707

，都等於

\frac{1}{2}

。本題全對才給分，兩個解都要寫。

第 18 題疊合：

3 cos x - sin x = 2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

，所以

y = 2 cos (x + \frac{π}{6}) + 1

。

\frac{π}{6} \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，餘弦在

\frac{π}{3}

到

π

遞減、在

π

到

\frac{7 π}{6}

遞增，但

cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}

比

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

小，所以最大值在

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

（

x = \frac{π}{6}

），

y = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2

。

不限範圍時最大值是

3

（

x = - \frac{π}{6}

），但它不在

\frac{π}{6} \leq x \leq π

內。最小值是

- 1

，在

x = \frac{5 π}{6}

。

疊合成單一正弦或餘弦之後，先把括號內角度的範圍算出來，再解方程式或找極值。

11素養與混合題 1～2（本頁第 19～20 題）：扇形面積、摩天輪的高度函數

第 19 題

A

、

B

都在單位圓上。

A (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}) = (cos \frac{π}{4}, sin \frac{π}{4})

，所以

O A

是角

\frac{π}{4}

的終邊；

B (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}) = (cos \frac{5 π}{6}, sin \frac{5 π}{6})

，

O B

是角

\frac{5 π}{6}

的終邊。如附圖，扇形

A O B

是由

A

逆時針轉到

B

的那一塊，圓心角

= \frac{5 π}{6} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{12}

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{7 π}{12} = \frac{7 π}{24}

（平方公里）。

\frac{7 π}{12} = 10 5^{\circ}

，即

4 5^{\circ}

到

15 0^{\circ}

。附圖中扇形的弧畫成實線、其餘的圓畫成虛線，所以取的是小於半圓的那一塊；面積約

0.92

平方公里。

第 20 題

由表可知，最低高度 $30$ 公尺，最高高度 $100$ 公尺。振幅 $a = \frac{100 - 30}{2} = 35$ （等於摩天輪的半徑）；中心高度 $d = \frac{100 + 30}{2} = 65$ 。摩天輪 $1$ 小時轉一圈，週期為 $1$ ， $\frac{2 π}{b} = 1$ ， $b = 2 π$ 。 $t = 0$ 時在最低點： $35 sin c + 65 = 30$ ， $sin c = - 1$ ，在 $∣ c ∣ < π$ 內 $c = - \frac{π}{2}$ 。所以 $a = 35$ ， $b = 2 π$ ， $c = - \frac{π}{2}$ ， $d = 65$ ，即

$y = 35 sin (2 π t - \frac{π}{2}) + 65$

驗算表中各點： $t = \frac{1}{4}$ ， $sin 0 = 0$ ， $y = 65$ ； $t = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{π}{2} = 1$ ， $y = 100$ ； $t = \frac{3}{4}$ ， $sin π = 0$ ， $y = 65$ ； $t = 1$ ， $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ ， $y = 30$ 。都與表相符。

只看表上五個時刻，

b = 10 π

等值也會吻合；但題目說摩天輪每

1

小時轉一圈，高度的週期是

1

小時，所以

b = 2 π

。

a > 0

時最低點對應

sin (b t + c) = - 1

，不是

1

。

等速轉動的高度函數：振幅是半徑，中心高度是最高與最低的平均，週期是轉一圈的時間，再用起點位置決定 c。

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單選第 5 題要先由兩角的範圍確定和角在第三、四象限，才能從餘弦值定出角度；多選第 1 題要分清楚 AC 等於 2 sin 2θ，也就是 4 sinθ cosθ；多選第 2 題的直線 x=π 通過的是零點，圖形只對稱於那一點而不對稱於直線；填充第 4 題要用平方相加與平方相減兩條式子；填充第 10 題疊合後要看括號內角度的範圍，最大值在端點。詳解逐題寫在本頁。

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02單選 3～4：週期與平移

03單選 5：先求和角的餘弦，再由範圍定角

04多選 1：圓內的倍角關係

05多選 2～3：正弦型函數的性質、三角形內角的和角公式

06填充 1～2（本頁第 9～10 題）：用圖形解三角方程式與不等式

07填充 3～5（本頁第 11～13 題）：和差角公式

08填充 6～7（本頁第 14～15 題）：配合正弦定理解三角形

09填充 8（本頁第 16 題）：兩直線的夾角

10填充 9～10（本頁第 17～18 題）：疊合

11素養與混合題 1～2（本頁第 19～20 題）：扇形面積、摩天輪的高度函數

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