段考詳解範圍：相似形 1-1～1-3（連比、比例線段與平行線截比例線段、縮放與相似多邊形、相似三角形）

蘆洲國中 113 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

選擇題 10 題（40 分）、填充題 13 題（52 分）、計算題 2 題（8 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、選擇題：（每題 4 分，共 40 分）

若

x : z = 2 : 3

，

y : z = 5 : 3

，則下列敘述何者錯誤？

(A) $x : y : z = 2 : 5 : 3$
(B) $2 x = 5 y = 3 z$
(C) $\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3}$
(D) $15 x = 6 y = 10 z$

撲滿內有壹元、伍元、拾元硬幣共

156

枚，其個數比為

5 : 3 : 4

，則撲滿內共有多少元？

(A) $780$ 元
(B) $720$ 元
(C) $840$ 元
(D) $900$ 元

若

a : b : c = 2 : 3 : 7

，且

a - b + 3 = c - 2 b

，則

c

值為何？

(A) $7$
(B) $63$
(C) $\frac{21}{2}$
(D) $\frac{21}{4}$

如圖，四邊形

A B C D

中，

\overline{B E} ⊥ \overline{A C}

於

E

，

\overline{D F} ⊥ \overline{A C}

於

F

，且

\overline{B E} = 4

，

\overline{D F} = 5

，已知

△ A B C

面積

= 16

平方單位，則

△ A C D

面積為多少平方單位？

(A) $20$
(B) $25$
(C) $30$
(D) $40$

載入中...

如圖，在

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{F G} ∥ \overline{B C}

，則

x =

？

(A) $\frac{6}{5}$
(B) $\frac{7}{5}$
(C) $\frac{9}{5}$
(D) $\frac{8}{5}$

載入中...

已知四邊形

A B C D \sim

四邊形

P QR S

，且

∠ P

是

∠ A

的對應角，

∠ A = (2 x + 16)^{\circ}

，

∠ P = (3 x - 44)^{\circ}

，

∠ Q = (3 x - 46)^{\circ}

，則

∠ Q

的度數為何？

(A) $13 4^{\circ}$
(B) $12 0^{\circ}$
(C) $6 0^{\circ}$
(D) $13 6^{\circ}$

如圖，四邊形

A B C D

、

A B E F

、

F E C D

皆為長方形，則下列敘述何者正確？

(A) 長方形 $A B E F \sim$ 長方形 $F E C D$
(B) 長方形 $A B C D \sim$ 長方形 $A F E B$
(C) 長方形 $A B C D \sim$ 長方形 $F D C E$
(D) 三個長方形中，任意兩個都不相似。

載入中...

已知

△ P QR

如下圖所示，則下列四個三角形中，哪一個三角形與

△ P QR

相似？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)

載入中...

如圖，

S

、

R

、

Q

在

\overline{A P}

上，

B

、

C

、

D

、

E

在

\overline{A F}

上，其中

\overline{B S}

、

\overline{C R}

、

\overline{D Q}

皆垂直於

\overline{A F}

，且

\overline{A B} = \overline{B C} = \overline{C D} = \overline{D E}

。若

\overline{P E} = 4

公尺，則

\overline{B S} - \overline{C R} + \overline{D Q}

的長是多少公尺？

(A) $\frac{3}{2}$
(B) $3$
(C) $\frac{5}{2}$
(D) $2$

載入中...

如圖，梯形

A B C D

中，

\overline{E F}

為

\overline{B D}

和

\overline{A C}

的中點連線，則

\overline{E F} =

？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

載入中...

二、填充題：（每題 4 分，共 52 分）

已知

A

、

B

、

C

三個班的人數比為

6 : 7 : 8

，且

C

班比

A

班多

32

人，則

B

班有 ____ 人。

如圖，

△ A B C

中，

\overline{B D} = 2 \overline{C D}

，若

△ A B C

的面積為

36

，則

△ A B D

的面積為 ____。

載入中...

△ A B C

中，

∠ A B C = ∠ A E D

，各線段的長度如下圖所示，則

\overline{A B} =

____。

載入中...

如下圖，

\overline{A D} ∥ \overline{E F} ∥ \overline{B C}

，若

\overline{A E} = \frac{2}{5} \overline{B E}

、

\overline{E F} = 20

、

\overline{B C} = 50

，則

\overline{A D} =

____。

載入中...

如下圖，

△ A B C

中，

∠ B = 9 0^{\circ}

，且

\overline{A B} = 32

，

\overline{B C} = 24

。若

D

、

E

、

F

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

、

\overline{B C}

的中點，則

△ D E F

的周長為 ____。

載入中...

如下圖，四邊形

A B C D \sim

四邊形

E F G H

，且

A

、

B

、

C

、

D

四點的對應點分別為

E

、

F

、

G

、

H

，回答下列問題：若

\overline{A B} = 3

公分、

\overline{E F} = 2

公分、

\overline{B C} = 5

公分，則

\overline{F G}

為多少公分？ ____。

載入中...

如下圖，四邊形

A B C D

中，

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，且

\overline{A C}

、

\overline{B D}

相交於

G

點，過

G

點作一直線交

\overline{A B}

於

E

點，交

\overline{C D}

於

F

點，且

\overline{E F} ∥ \overline{B C}

。已知

\overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

，

\overline{B C} = 30

，則

\overline{E F} =

____。

載入中...

如圖，

□ A B C D

中，

E

為

D C

上的一點，且

\overline{A E}

與

\overline{B C}

交於

F

點，若

\overline{A B} = 10

，

\overline{B F} = 5

，

\overline{C F} = 3

，則

\overline{C E} =

____。

載入中...

如圖，

△ A B C

中，

M

是

\overline{A B}

中點，

\overline{C M}

上取一點

N

，使

\overline{C N} : \overline{N M} = 7 : 5

，且

\overline{M P} ∥ \overline{A N}

。交

\overline{B C}

於

P

，則

\overline{B P} : \overline{B C} =

____。

載入中...

如圖，

\overline{A A^{'}} = 3

，

\overline{B B^{'}} = 4

，

\overline{A B} = 2

，

\overline{A C} = 8

，則

\overline{C C^{'}} =

____。

載入中...

如圖，由光源

O

發出的光線將

△ A B C

映至

△ A^{'} B^{'} C^{'}

且

\overline{O A} : \overline{O A^{'}} = 2 : 5

且

\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C A} = 4 : 3 : 2

，當

\overline{A B} = 16

公分時，

△ A^{'} B^{'} C^{'}

的周長為 ____ 公分。

載入中...

如圖，在

△ A B C

中，已知

∠ A = 9 0^{\circ}

，

\overline{D E} ⊥ \overline{B C}

，若

E

為

\overline{B C}

中點，

\overline{A C} = 12

，

\overline{A B} = 16

，則

△ D B E

面積為 ____ 平方單位。

載入中...

如圖，直線

L

為一次函數

y = - \frac{1}{2} x + 3

之圖形，

\overline{A B} ⊥ x

軸，且

\overline{B D} : \overline{C D} = 2 : 1

，則

D

點坐標為 ____。

載入中...

三、計算題：（每題 4 分，共 8 分）沒有計算過程不計分

如圖，

\overline{A C}

與

\overline{B D}

相交於

O

點，已知

∠ B = ∠ D

，且

\overline{O A} = \overline{O D} = 36

，

\overline{B D} = 48

，則

\overline{O C} =

？

載入中...

圖(一)為一張正三角形紙片

A B C

，其中

D

點在

\overline{A B}

上，

E

點在

\overline{A C}

上。今以

\overline{D E}

為摺線將

A

點往下摺後，

\overline{A D}

、

\overline{A E}

分別與

\overline{B C}

相交於

F

點、

G

點，如圖(二)。若

\overline{B D} = 5

，

\overline{B F} = 8

，

\overline{D F} = 7

，

\overline{A F} = 4

，則

\overline{C G}

的長度為何？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(A)

第 3 題(C)

第 4 題(A)

第 5 題(D)

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(B)

第 9 題(D)

第 10 題(B)

第 11 題

112

第 12 題

24

第 13 題

16

第 14 題

8

第 15 題

48

第 16 題

\frac{10}{3}

第 17 題

24

第 18 題

6

第 19 題

5 : 17

第 20 題

7

第 21 題

90

第 22 題

\frac{75}{2}

第 23 題

(- 4, 5)

第 24 題

108

第 25 題

\frac{9}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1～3：連比

第 1 題答案 (B)。兩個比裡

z

都是

3

，所以

x : y : z = 2 : 5 : 3

，(A) 正確。設

x = 2 k

、

y = 5 k

、

z = 3 k

（

k \neq = 0

）。(B)

2 x = 4 k

，

5 y = 25 k

，

3 z = 9 k

，三者不相等，錯誤。(C)

\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3} = k

，正確。(D)

15 x = 30 k

，

6 y = 30 k

，

10 z = 30 k

，三者相等，正確。

由

x : y : z = 2 : 5 : 3

寫成等式時，是

\frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3}

；同乘以

30

才得到

15 x = 6 y = 10 z

，不是把比的數字直接乘上去。

第 2 題答案 (A)。設壹元、伍元、拾元硬幣各有

5 k

、

3 k

、

4 k

枚，則

5 k + 3 k + 4 k = 156

，

12 k = 156

，

k = 13

。所以壹元

65

枚、伍元

39

枚、拾元

52

枚。總金額

= 1 \times 65 + 5 \times 39 + 10 \times 52 = 65 + 195 + 520 = 780

元。

第 3 題答案 (C)。設

a = 2 k

、

b = 3 k

、

c = 7 k

。代入

a - b + 3 = c - 2 b

：左邊

= 2 k - 3 k + 3 = - k + 3

，右邊

= 7 k - 6 k = k

。所以

- k + 3 = k

，

2 k = 3

，

k = \frac{3}{2}

。

c = 7 k = \frac{21}{2}

。

驗算：

a = 3

、

b = \frac{9}{2}

、

c = \frac{21}{2}

，左邊

= 3 - \frac{9}{2} + 3 = \frac{3}{2}

，右邊

= \frac{21}{2} - 9 = \frac{3}{2}

，相符。

連比的題目先設成

ak

、

bk

、

c k

，再用題目給的條件求

k

。

02選擇 4～5：同底三角形的面積、平行線截比例線段

第 4 題答案 (A)。

△ A B C

以

\overline{A C}

為底，高是

\overline{B E} = 4

：

\frac{1}{2} \times \overline{A C} \times 4 = 16

，所以

\overline{A C} = 8

。

△ A C D

也以

\overline{A C}

為底，高是

\overline{D F} = 5

，面積

= \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20

平方單位。

兩個三角形共用底邊

\overline{A C}

，面積比等於高的比

4 : 5

，也可以直接算

16 \times \frac{5}{4} = 20

。

第 5 題答案 (D)。由圖，

\overline{A D} = 3

、

\overline{D F} = 5

、

\overline{F B} = 2

、

\overline{A C} = 8

，

x

是

\overline{GC}

的長。

\overline{A B} = 3 + 5 + 2 = 10

。因為

\overline{F G} ∥ \overline{B C}

，所以

\overline{GC} : \overline{A C} = \overline{F B} : \overline{A B} = 2 : 10 = 1 : 5

。

x = 8 \times \frac{1}{5} = \frac{8}{5}

。

圖上的

8

標的是整段

\overline{A C}

，不是

\overline{E G}

。

03選擇 6～8：相似多邊形、相似三角形的判別

第 6 題答案 (A)。相似多邊形的對應角相等，所以

∠ A = ∠ P

：

2 x + 16 = 3 x - 44

，

x = 60

。

∠ Q = (3 \times 60 - 46)^{\circ} = 13 4^{\circ}

。

驗算：

∠ A = 13 6^{\circ}

，

∠ P = 13 6^{\circ}

，相等。題目問的是

∠ Q

，不是

∠ P

。

第 7 題答案 (C)。長方形的角都是

9 0^{\circ}

，所以只要看對應邊是否成比例。三個長方形的邊長：

A B C D

是

9

與

6

；

A B E F

是

5

與

6

；

F E C D

是

4

與

6

。(A)

A B E F

對

F E C D

：

\overline{A B} : \overline{F E} = 6 : 6

，

\overline{B E} : \overline{E C} = 5 : 4

，不成比例。(B)

A B C D

對

A F E B

：

\overline{A B} : \overline{A F} = 6 : 5

，

\overline{B C} : \overline{F E} = 9 : 6

，不成比例。(C)

A B C D

對

F D C E

：

\overline{A B} : \overline{F D} = 6 : 4 = 3 : 2

，

\overline{B C} : \overline{D C} = 9 : 6 = 3 : 2

，成比例，所以相似。(D) 因為 (C) 成立，所以錯誤。

相似的寫法有對應順序：

A B C D \sim F D C E

表示

A

對

F

、

B

對

D

、

C

對

C

、

D

對

E

。

第 8 題答案 (B)。

△ P QR

中

\overline{P Q} = \overline{P R} = 6

，是等腰三角形，兩個底角

∠ Q = ∠ R = 7 5^{\circ}

，頂角

∠ P = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} \times 2 = 3 0^{\circ}

。也就是「兩邊等長、夾角

3 0^{\circ}

」。(A) 兩條長

5

的邊夾角是

7 5^{\circ}

，不是

3 0^{\circ}

，不相似。(B) 兩條長

5

的邊夾角是

3 0^{\circ}

，與

△ P QR

的兩邊成比例（

6 : 5 = 6 : 5

）且夾角相等，由 SAS 相似性質知相似。(C) 三邊等長，是正三角形，三個角都是

6 0^{\circ}

，不相似。(D)

3 0^{\circ}

的角不是兩條長

5

的邊的夾角，而是底角，所以另一個底角也是

3 0^{\circ}

，頂角是

12 0^{\circ}

，不相似。

(B) 與 (D) 都有

3 0^{\circ}

和兩條長

5

的邊，差別在

3 0^{\circ}

是不是這兩邊的夾角。

判斷相似要看對應順序：角要對應相等，邊要照對應的順序成比例。

04選擇 9～10：平行線與相似三角形、梯形對角線中點連線

第 9 題答案 (D)。由圖，

\overline{P E}

也垂直於

\overline{A F}

，所以

\overline{B S} ∥ \overline{C R} ∥ \overline{D Q} ∥ \overline{P E}

。

△ A B S

與

△ A E P

中，

∠ A

共用，

∠ A B S = ∠ A E P = 9 0^{\circ}

，所以相似（AA），

\overline{B S} : \overline{P E} = \overline{A B} : \overline{A E} = 1 : 4

，

\overline{B S} = 1

。同理

\overline{C R} : \overline{P E} = \overline{A C} : \overline{A E} = 2 : 4

，

\overline{C R} = 2

；

\overline{D Q} : \overline{P E} = \overline{A D} : \overline{A E} = 3 : 4

，

\overline{D Q} = 3

。所求

= 1 - 2 + 3 = 2

公尺。

第 10 題答案 (B)。由圖，

\overline{A B} = 8

、

\overline{D C} = 12

，

\overline{A B} ∥ \overline{D C}

，

F

是

\overline{B D}

的中點，

E

是

\overline{A C}

的中點。取

\overline{A D}

的中點

M

。在

△ D A B

中，

M

、

F

是

\overline{D A}

、

\overline{D B}

的中點，所以

\overline{M F} ∥ \overline{A B}

且

\overline{M F} = \frac{1}{2} \times 8 = 4

。在

△ A D C

中，

M

、

E

是

\overline{A D}

、

\overline{A C}

的中點，所以

\overline{M E} ∥ \overline{D C}

且

\overline{M E} = \frac{1}{2} \times 12 = 6

。

\overline{M F}

、

\overline{M E}

都過

M

且都與兩底平行，所以

M

、

F

、

E

在同一直線上，

\overline{E F} = \overline{M E} - \overline{M F} = 6 - 4 = 2

。

看到中點，先想三角形兩邊中點連線：平行第三邊，長度是第三邊的一半。

05填充 1～3（第 11～13 題）：連比、等高三角形、共用角的相似

第 11 題設

A

、

B

、

C

三班各有

6 k

、

7 k

、

8 k

人。

C

班比

A

班多

32

人：

8 k - 6 k = 32

，

k = 16

。

B

班有

7 \times 16 = 112

人。

第 12 題

△ A B D

與

△ A B C

的底邊

\overline{B D}

、

\overline{B C}

在同一直線上，頂點都是

A

，高相同，所以面積比等於底邊的比。

\overline{B D} = 2 \overline{C D}

，所以

\overline{B D} : \overline{B C} = 2 : 3

。

△ A B D

面積

= 36 \times \frac{2}{3} = 24

。

第 13 題由圖，

\overline{A E} = 8

、

\overline{D E} = 12

、

\overline{B C} = 24

。看

△ A E D

與

△ A B C

：

∠ A

是共用的角，又

∠ A E D = ∠ A B C

，所以兩個三角形相似（AA）。對應頂點是

A

對

A

、

E

對

B

、

D

對

C

。對應邊成比例：

\overline{A E} : \overline{A B} = \overline{E D} : \overline{B C}

，即

8 : \overline{A B} = 12 : 24

。

12 \times \overline{A B} = 8 \times 24 = 192

，

\overline{A B} = 16

。

\overline{A E}

的對應邊是

\overline{A B}

，不是

\overline{A C}

；對應頂點要照相等的角來排。

06填充 4～7（第 14～17 題）：梯形中的平行線、中點連線、相似四邊形

第 14 題

\overline{A E} = \frac{2}{5} \overline{B E}

，所以

\overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 5

，

\overline{A E} : \overline{A B} = 2 : 7

。設

\overline{A D} = a

。過

A

作一條與

\overline{D C}

平行的直線，交

\overline{E F}

於

M

、交

\overline{B C}

於

N

。四邊形

A M F D

與

A N C D

都是平行四邊形，所以

\overline{M F} = \overline{N C} = a

，

\overline{E M} = 20 - a

，

\overline{B N} = 50 - a

。在

△ A B N

中，

\overline{E M} ∥ \overline{B N}

，所以

△ A E M

與

△ A B N

相似（AA），

\overline{E M} : \overline{B N} = \overline{A E} : \overline{A B} = 2 : 7

。

(20 - a) : (50 - a) = 2 : 7

，

7 (20 - a) = 2 (50 - a)

，

140 - 7 a = 100 - 2 a

，

5 a = 40

，

a = 8

。所以

\overline{A D} = 8

。

驗算：

\overline{E M} = 12

，

\overline{B N} = 42

，

12 : 42 = 2 : 7

，相符。

第 15 題

∠ B = 9 0^{\circ}

，由畢氏定理

\overline{A C}^{2} = 3 2^{2} + 2 4^{2} = 1024 + 576 = 1600

，

\overline{A C} = 40

。三角形兩邊中點的連線段，長度是第三邊的一半：

\overline{D E} = \frac{1}{2} \overline{B C} = 12

，

\overline{E F} = \frac{1}{2} \overline{A B} = 16

，

\overline{D F} = \frac{1}{2} \overline{A C} = 20

。

△ D E F

的周長

= 12 + 16 + 20 = 48

。

也可以先算

△ A B C

的周長

32 + 24 + 40 = 96

，

△ D E F

的周長是它的一半。

第 16 題相似四邊形的對應邊成比例。

\overline{A B}

的對應邊是

\overline{E F}

，

\overline{B C}

的對應邊是

\overline{F G}

，所以

\overline{A B} : \overline{E F} = \overline{B C} : \overline{F G}

，即

3 : 2 = 5 : \overline{F G}

。

3 \times \overline{F G} = 10

，

\overline{F G} = \frac{10}{3}

公分。

第 17 題

\overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

，所以

\overline{A E} : \overline{A B} = 2 : 5

。在

△ A B C

中，

\overline{E G} ∥ \overline{B C}

，所以

△ A E G

與

△ A B C

相似（AA），

\overline{E G} : \overline{B C} = \overline{A E} : \overline{A B} = 2 : 5

，

\overline{E G} = 30 \times \frac{2}{5} = 12

。又

\overline{A D} ∥ \overline{E F} ∥ \overline{B C}

，平行線截比例線段，

\overline{D F} : \overline{F C} = \overline{A E} : \overline{E B} = 2 : 3

，所以

\overline{D F} : \overline{D C} = 2 : 5

。在

△ D B C

中，

\overline{GF} ∥ \overline{B C}

，所以

△ D GF

與

△ D B C

相似（AA），

\overline{GF} : \overline{B C} = \overline{D F} : \overline{D C} = 2 : 5

，

\overline{GF} = 12

。

\overline{E F} = \overline{E G} + \overline{GF} = 12 + 12 = 24

。

梯形裡有平行於兩底的線段時，過上底的一個端點作腰的平行線，或沿對角線切成兩個三角形來看。

07填充 8～10（第 18～20 題）：平行四邊形中的相似、平行線截比例線段

第 18 題

A B C D

是平行四邊形，所以

\overline{A B} ∥ \overline{D C}

；

E

在

D C

上，所以

\overline{A B} ∥ \overline{C E}

。看

△ A B F

與

△ E C F

：

∠ A F B = ∠ E F C

（對頂角），

∠ A B F = ∠ E C F

（內錯角），所以兩個三角形相似（AA）。對應頂點是

A

對

E

、

B

對

C

、

F

對

F

。

\overline{A B} : \overline{E C} = \overline{B F} : \overline{C F}

，即

10 : \overline{C E} = 5 : 3

。

5 \times \overline{C E} = 30

，

\overline{C E} = 6

。

第 19 題延長

\overline{A N}

交

\overline{B C}

於

Q

（圖上已畫出）。在

△ A B Q

中，

M

是

\overline{A B}

的中點且

\overline{M P} ∥ \overline{A Q}

，所以

\overline{B P} : \overline{P Q} = \overline{B M} : \overline{M A} = 1 : 1

，

\overline{B P} = \overline{P Q}

。在

△ C M P

中，

\overline{N Q} ∥ \overline{M P}

，所以

\overline{C Q} : \overline{QP} = \overline{C N} : \overline{N M} = 7 : 5

。設

\overline{QP} = 5 t

，則

\overline{C Q} = 7 t

，

\overline{B P} = 5 t

，

\overline{B C} = 5 t + 5 t + 7 t = 17 t

。所以

\overline{B P} : \overline{B C} = 5 : 17

。

兩組平行線分別用在不同的三角形：先看

△ A B Q

，再看

△ C M P

。

第 20 題由圖，

\overline{A A^{'}}

、

\overline{B B^{'}}

、

\overline{C C^{'}}

都垂直於

\overline{A C}

，

A^{'}

、

B^{'}

、

C^{'}

在同一直線上；過

A^{'}

作

\overline{A C}

的平行線，交

\overline{B B^{'}}

於

D

、交

\overline{C C^{'}}

於

E

。四邊形

A A^{'} D B

與

A A^{'} E C

都是長方形，所以

\overline{A^{'} D} = \overline{A B} = 2

，

\overline{A^{'} E} = \overline{A C} = 8

，

\overline{B D} = \overline{C E} = \overline{A A^{'}} = 3

。

\overline{B^{'} D} = 4 - 3 = 1

。在

△ A^{'} E C^{'}

中，

\overline{B^{'} D} ∥ \overline{C^{'} E}

，所以

△ A^{'} D B^{'}

與

△ A^{'} E C^{'}

相似（AA），

\overline{B^{'} D} : \overline{C^{'} E} = \overline{A^{'} D} : \overline{A^{'} E} = 2 : 8 = 1 : 4

。

\overline{C^{'} E} = 4

，

\overline{C C^{'}} = \overline{C E} + \overline{C^{'} E} = 3 + 4 = 7

。

08填充 11～13（第 21～23 題）：縮放、直角三角形中的相似、坐標平面

第 21 題

\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C A} = 4 : 3 : 2

，

\overline{A B} = 16

，所以每一份是

4

，

\overline{B C} = 12

，

\overline{C A} = 8

，

△ A B C

的周長

= 16 + 12 + 8 = 36

公分。

△ A^{'} B^{'} C^{'}

是

△ A B C

以

O

為中心的縮放圖，倍數是

\overline{O A^{'}} : \overline{O A} = 5 : 2

，也就是

\frac{5}{2}

倍。每一邊都變成

\frac{5}{2}

倍，周長也變成

\frac{5}{2}

倍：

36 \times \frac{5}{2} = 90

公分。

第 22 題

∠ A = 9 0^{\circ}

，由畢氏定理

\overline{B C}^{2} = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 400

，

\overline{B C} = 20

。

E

是

\overline{B C}

的中點，

\overline{B E} = 10

。由圖，

D

在

\overline{A B}

上。看

△ B E D

與

△ B A C

：

∠ B

是共用的角，

∠ B E D = ∠ B A C = 9 0^{\circ}

，所以相似（AA），對應頂點是

B

對

B

、

E

對

A

、

D

對

C

。

\overline{B E} : \overline{B A} = \overline{E D} : \overline{A C}

，即

10 : 16 = \overline{D E} : 12

。

16 \times \overline{D E} = 120

，

\overline{D E} = \frac{15}{2}

。

△ D B E

面積

= \frac{1}{2} \times \overline{B E} \times \overline{D E} = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{15}{2} = \frac{75}{2}

平方單位。

\overline{B E}

的對應邊是

\overline{B A}

（都是夾

∠ B

的直角邊），不是斜邊

\overline{B C}

。

第 23 題由圖，

A

的坐標是

(- 12, 0)

，

B

在直線

L

上且在

A

的正上方，

C

是

L

與

y

軸的交點。

B

的

x

坐標是

- 12

，代入得

y = - \frac{1}{2} \times (- 12) + 3 = 9

，所以

B (- 12, 9)

。

x = 0

時

y = 3

，所以

C (0, 3)

。過

D

作

x

軸的垂線，垂足為

H

。

\overline{A B}

、

\overline{D H}

與

y

軸都垂直於

x

軸，三條線互相平行，所以

\overline{A H} : \overline{H O} = \overline{B D} : \overline{D C} = 2 : 1

。

\overline{A O} = 12

，所以

\overline{H O} = 12 \times \frac{1}{3} = 4

，

D

的

x

坐標是

- 4

。代入

L

：

y = - \frac{1}{2} \times (- 4) + 3 = 5

。所以

D (- 4, 5)

。

D

靠近

C

（

\overline{B D}

是

\overline{C D}

的

2

倍），所以

H

靠近原點，

\overline{H O}

是

4

不是

8

。

找相似三角形時，先找共用的角或直角，再找第二組相等的角；對應頂點的順序寫對，比例式才不會列錯。

09計算 1～2（第 24～25 題）：對頂角與相似、摺紙

第 24 題

\overline{O B} = \overline{B D} - \overline{O D} = 48 - 36 = 12

。在

△ O A B

與

△ O C D

中，

∠ A O B = ∠ C O D

（對頂角），

∠ B = ∠ D

（已知），所以

△ O A B

與

△ O C D

相似（AA），對應頂點是

O

對

O

、

A

對

C

、

B

對

D

。對應邊成比例：

\overline{O A} : \overline{O C} = \overline{O B} : \overline{O D}

，即

36 : \overline{O C} = 12 : 36

。

12 \times \overline{O C} = 36 \times 36 = 1296

，

\overline{O C} = 108

。

\overline{O A} = \overline{O D} = 36

，但這兩個三角形不是全等：

\overline{O A}

的對應邊是

\overline{O C}

，

\overline{O D}

的對應邊是

\overline{O B}

。

第 25 題摺疊前後的線段等長，所以圖(一)的

\overline{A D}

等於圖(二)的

\overline{A D} = \overline{D F} + \overline{A F} = 7 + 4 = 11

。正三角形的邊長

= \overline{A B} = \overline{A D} + \overline{B D} = 11 + 5 = 16

，所以

\overline{B C} = 16

。在圖(二)中看

△ B D F

與

△ A GF

（

A

是摺下來的點）：

∠ B = 6 0^{\circ}

，摺下來的

∠ A

就是原來正三角形的

∠ A = 6 0^{\circ}

，所以

∠ B = ∠ A

；又

∠ B F D = ∠ A F G

（對頂角）。所以

△ B D F

與

△ A GF

相似（AA），對應頂點是

B

對

A

、

D

對

G

、

F

對

F

。對應邊成比例：

\overline{B F} : \overline{A F} = \overline{D F} : \overline{GF}

，即

8 : 4 = 7 : \overline{GF}

。

8 \times \overline{GF} = 28

，

\overline{GF} = \frac{7}{2}

。

\overline{C G} = \overline{B C} - \overline{B F} - \overline{F G} = 16 - 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}

。

這題的關鍵是摺下來的角仍然是

6 0^{\circ}

，和

∠ B

相等，再配上一組對頂角就得到相似。

摺紙的題目：摺疊前後對應的線段等長、對應的角相等。

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蘆洲國中 113 上國三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘆洲國中 113 上國三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇第 7 題要照相似寫法的對應順序逐項比邊長；選擇第 10 題要多取一個中點，用兩次三角形中點連線；填充第 9 題（本頁第 19 題）要把 AN 延長到 BC，分兩個三角形用平行線截比例線段；計算第 2 題（本頁第 25 題）要看出摺下來的角仍是六十度，和一組對頂角配成相似。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘆洲國中 113 學年度上學期國三第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘆洲國中 113 上國三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02選擇 4～5：同底三角形的面積、平行線截比例線段

03選擇 6～8：相似多邊形、相似三角形的判別

04選擇 9～10：平行線與相似三角形、梯形對角線中點連線

05填充 1～3（第 11～13 題）：連比、等高三角形、共用角的相似

06填充 4～7（第 14～17 題）：梯形中的平行線、中點連線、相似四邊形

07填充 8～10（第 18～20 題）：平行四邊形中的相似、平行線截比例線段

08填充 11～13（第 21～23 題）：縮放、直角三角形中的相似、坐標平面

09計算 1～2（第 24～25 題）：對頂角與相似、摺紙

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