段考詳解範圍：相似形（連比、比例線段、相似多邊形與相似三角形）

誠正國中 113 上
國三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

選擇題 15 題（每題 4 分，共 60 分）、填充題 4 題共 6 格（每格 4 分，共 24 分）、非選題 2 題（共 16 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、選擇題：（每題 4 分，共 60 分）

若

x : y = 3 : 2

，

x : z = 6 : 7

，則

x : y : z =

？

(A) $9 : 6 : 14$
(B) $6 : 4 : 14$
(C) $9 : 6 : 7$
(D) $6 : 4 : 7$

已知

x

、

y

、

z

皆不等於

0

，且

5 x = 8 y = 3 z

，則下列敘述何者正確？

(A) $x : y = 3 : 5$
(B) $\frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z} = 5 : 8 : 3$
(C) $y : z = 8 : 3$
(D) $x : y : z = 5 : 3 : 8$

已知

x : y : z = 2 : 3 : 5

且

x + y + z = 60

則下列敘述何者正確？

(A) $x = 20$
(B) $y = 15$
(C) $z - y = 12$
(D) $x + y = 25$

已知某

△ A B C

的三邊長比為

3 : 6 : 4

，則其三個對應高的比為何？

(A) $6 : 3 : 4$
(B) $4 : 2 : 3$
(C) $6 : 2 : 3$
(D) $5 : 3 : 4$

如右圖，

△ A B C

中，

\overline{P Q} ∥ \overline{A B}

，

\overline{C P} = 8

，

\overline{P A} = 16

，

\overline{C Q} = 12

，則

\overline{B C} =

？

(A) $36$
(B) $24$
(C) $48$
(D) $18$

載入中...

下列敘述何者正確？

(A) 兩個直角三角形一定相似
(B) 兩個矩形一定相似
(C) 兩個菱形一定相似
(D) 兩個等腰直角三角形一定相似

△ A B C

中，直線

L

分別交

\overline{A B}

、

\overline{A C}

於

D

、

E

兩點，若

\overline{A B} = 8

，

\overline{A C} = 12

，

\overline{D B} = 6

，

\overline{B C} = 16

，則下列哪一個條件可以使直線

L

必平行

\overline{B C}

？

(A) $\overline{E A} = 3$
(B) $\overline{D E} = 12$
(C) $\overline{A D} = 2$
(D) $\overline{E C} = 4$

如右圖，

△ A B C

中，

D

、

E

分別為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，

F

、

G

分別為

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，若

\overline{B C} = 24

，則

\overline{F G} =

？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $6$
(D) $12$

載入中...

如右圖，

△ A B C

中，

P

、

Q

兩點分別在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，若

\overline{P Q} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A P} = 9

，

\overline{P B} = 12

，

\overline{P Q} = 6

，則

\overline{B C} =

？

(A) $9$
(B) $12$
(C) $14$
(D) $8$

載入中...

若

△ A B C

中，其中

∠ A : ∠ B = 2 : 5

，

∠ A : ∠ C = 4 : 1

，則

∠ B

的外角為多少度？

(A) $6 0^{\circ}$
(B) $12 0^{\circ}$
(C) $13 6^{\circ}$
(D) $14 4^{\circ}$

如右圖，平行四邊形

A B C D

中，若

\overline{A D} : \overline{E C} = 7 : 2

且

\overline{A B} = 35

，則

\overline{F C} =

？

(A) $10$
(B) $14$
(C) $16$
(D) $18$

載入中...

若

△ A B C

與

△ D E F

中，已知

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}

，其中

∠ A = 6 5^{\circ}

，

∠ E = (6 x + y)^{\circ}

，

∠ C = 4 0^{\circ}

，

∠ D = (2 x + 3 y)^{\circ}

，則

x + y =

？

(A) $20$
(B) $25$
(C) $30$
(D) $35$

如右圖，

△ A B C

中，

D

、

E

為

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上兩點，若

\overline{D B} = 9

，

\overline{E C} = 1

，

\overline{A D} = 6

，

\overline{A E} = 9

，

\overline{B C} = 12.5

，則

\overline{D E} =

？

(A) $10$
(B) $15$
(C) $7.5$
(D) $17.5$

載入中...

如右圖直線

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，直線

M_{1}

與

M_{2}

為截線，已知

\overline{A B} = 15

，

\overline{B C} = 27

，

\overline{D E} = 3 x + 1

，

\overline{E F} = 5 x + 3

，則

\overline{D F} =

？

(A) $10$
(B) $18$
(C) $21$
(D) $28$

載入中...

如右圖，

△ A B C

中，已知

\overline{A B} = \overline{A C} = 16

，

\overline{B C} = \overline{B D} = 12

，則

△ A B D

的面積：

△ B C D

的面積＝？

(A) $7 : 9$
(B) $3 : 4$
(C) $1 : 3$
(D) $2 : 7$

載入中...

二、填充題（每格 4 分，共 24 分）（第 16～19 題依序為原卷填充題第 1～4 題）

已知

a

、

b

、

c

皆不等於

0

，且

2 a = 5 b

，

4 b = 3 c

，則

a : b : c =

____(1)____。

如右圖，

△ A B C

與

△ C E F

中，

\overline{A B} ∥ \overline{C E}

，

\overline{B C} ∥ \overline{E F}

，若

\overline{A B} = 15

，

\overline{A F} = 4

，

\overline{E F} = 16

，

\overline{C E} = 12

，則

\overline{B C} =

____(2)____，

\overline{A C} =

____(3)____。

載入中...

妙麗、威利、艾美三人一起參加

3

km 的競走活動，他們三人所花的時間比為

12 : 15 : 20

，請問他們三人的速率比為多少，妙麗：威利：艾美＝ ____(4)____？

如右圖，

△ A B C

中，

D

在

\overline{B C}

上，

E

在

\overline{A D}

上，且

\overline{B D} : \overline{D C} = 7 : 4

，

\overline{A E} : \overline{A D} = 3 : 8

，若

△ B D E

的面積是

70

，則

△ C D E

的面積為 ____(5)____，

△ A B E

的面積為 ____(6)____。

載入中...

三、非選題（請寫出完整過程，共 16 分）（第 20、21 題依序為原卷非選題第 1、2 題）

如右圖，四邊形

A B C D

為平行四邊形，

E

為

\overline{C D}

延長線上的一點，

\overline{B E}

交

\overline{A D}

於

F

點，交

\overline{A C}

於

G

點，若

\overline{B C} = 21

，

\overline{A F} = 15

，求：　(1)

△ A B G

和哪一個三角形相似？（1 分）為什麼？請說明理由。（3 分）　(2)

\overline{B G} : \overline{F G} : \overline{E F} =

？（請用最簡整數比表示，3 分）

載入中...

如右圖，

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{D F} ∥ \overline{B E}

，若

\overline{A D} = 15

，

\overline{A F} = 12

，

\overline{B C} = 30

，

\overline{E F} = 6

，求：　(1)

\overline{D B} =

？（3 分）　(2)

\overline{C E} =

？（3 分）　(3)

\overline{D E} =

？（3 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(A)

第 8 題(C)

第 9 題(C)

第 10 題(A)

第 11 題(B)

第 12 題(B)

第 13 題(C)

第 14 題(D)

第 15 題(A)

第 16 題(1)

15 : 6 : 8

第 17 題(2)

20

　(3)

20

第 18 題(4)

5 : 4 : 3

第 19 題(5)

40

　(6)

42

第 20 題(1)

△ A B G \sim △ C E G

（AA 相似）　(2)

35 : 25 : 24

第 21 題(1)

7.5

　(2)

9

　(3)

20

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題：連比

第 1 題答案 (D)。兩個比都有

x

，先把

x

變成一樣。

3

和

6

的最小公倍數是

6

。

x : y = 3 : 2 = 6 : 4

（同乘

2

）。

x : z = 6 : 7

不用變。所以

x : y : z = 6 : 4 : 7

。

共同的那一項是

x

，不是

y

。(B) 的

6 : 4 : 14

是把

z

也乘了

2

（

7 \to 14

），但

x : z = 6 : 7

的

x

本來就是

6

，不必再乘。

第 2 題答案 (B)。

5

、

8

、

3

的最小公倍數是

120

，設

5 x = 8 y = 3 z = 120 k

（

k \neq = 0

），則

x = 24 k

、

y = 15 k

、

z = 40 k

，

x : y : z = 24 : 15 : 40

。(A)

x : y = 24 : 15 = 8 : 5

，不是

3 : 5

。(C)

y : z = 15 : 40 = 3 : 8

，不是

8 : 3

。(D)

x : y : z = 24 : 15 : 40

，不是

5 : 3 : 8

。(B)

\frac{1}{x} = \frac{1}{24 k} = \frac{5}{120 k}

，

\frac{1}{y} = \frac{1}{15 k} = \frac{8}{120 k}

，

\frac{1}{z} = \frac{1}{40 k} = \frac{3}{120 k}

，所以

\frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z} = 5 : 8 : 3

，正確。

5 x = 8 y

改成比是

x : y = 8 : 5

（係數要交換），不是

5 : 8

。

第 3 題答案 (C)。設

x = 2 k

、

y = 3 k

、

z = 5 k

。

x + y + z = 10 k = 60

，

k = 6

。所以

x = 12

、

y = 18

、

z = 30

。(A)

x = 12

，不是

20

。(B)

y = 18

，不是

15

。(C)

z - y = 30 - 18 = 12

，正確。(D)

x + y = 30

，不是

25

。

第 4 題答案 (B)。同一個三角形的面積不管用哪一邊當底都一樣：面積

= \frac{1}{2} \times

底

\times

高。設三邊長為

3 k

、

6 k

、

4 k

，對應的高為

h_{1}

、

h_{2}

、

h_{3}

，則

3 k \times h_{1} = 6 k \times h_{2} = 4 k \times h_{3}

，也就是

3 h_{1} = 6 h_{2} = 4 h_{3}

。

3

、

6

、

4

的最小公倍數是

12

，設

3 h_{1} = 6 h_{2} = 4 h_{3} = 12 t

，得

h_{1} = 4 t

、

h_{2} = 2 t

、

h_{3} = 3 t

。所以高的比是

4 : 2 : 3

。

邊越長，對應的高越短；高的比不是邊長比

3 : 6 : 4

，也不是把它倒過來寫的

4 : 6 : 3

。

連等式

a x = b y = cz

求連比：設它們都等於係數的最小公倍數的

k

倍，再分別除回去。

02第 5～8 題：平行線截比例線段、相似的判斷、中點連線

第 5 題答案 (A)。

\overline{P Q} ∥ \overline{A B}

，所以

\overline{C P} : \overline{P A} = \overline{C Q} : \overline{QB}

。

8 : 16 = 12 : \overline{QB}

，

8 \times \overline{QB} = 16 \times 12 = 192

，

\overline{QB} = 24

。

\overline{B C} = \overline{C Q} + \overline{QB} = 12 + 24 = 36

。

24

只是

\overline{QB}

，題目問的是整段

\overline{B C}

。

第 6 題答案 (D)。相似要「對應角相等」而且「對應邊成比例」。(A) 錯：直角三角形只有一個角確定是

9 0^{\circ}

，例如

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

與

4 5^{\circ}

4 5^{\circ}

9 0^{\circ}

的三角形不相似。(B) 錯：矩形的角都是

9 0^{\circ}

，但邊不一定成比例，例如

1 \times 2

與

1 \times 3

的矩形。(C) 錯：菱形四邊等長，邊成比例，但角不一定相等，例如有一個內角

6 0^{\circ}

的菱形與正方形。(D) 對：等腰直角三角形的三個角一定是

4 5^{\circ}

、

4 5^{\circ}

、

9 0^{\circ}

，兩個這樣的三角形有兩組角對應相等，所以相似（AA 相似）。

第 7 題答案 (A)。

\overline{A D} = \overline{A B} - \overline{D B} = 8 - 6 = 2

，所以

\overline{A D} : \overline{A B} = 2 : 8 = 1 : 4

。直線

L

要平行

\overline{B C}

，

E

點在

\overline{A C}

上的位置要滿足

\overline{A E} : \overline{A C} = \overline{A D} : \overline{A B} = 1 : 4

，也就是

\overline{A E} = 12 \times \frac{1}{4} = 3

（此時

\overline{E C} = 9

）。(A)

\overline{E A} = 3

：

\overline{A D} : \overline{D B} = 2 : 6 = 1 : 3

，

\overline{A E} : \overline{E C} = 3 : 9 = 1 : 3

，兩邊被截成的線段成比例，所以

L ∥ \overline{B C}

，正確。(B) 若

L ∥ \overline{B C}

，則

\overline{D E} : \overline{B C} = 1 : 4

，

\overline{D E} = 4

，不會是

12

。(C)

\overline{A D} = 2

本來就能由

\overline{A B} = 8

、

\overline{D B} = 6

算出來，沒有多給

E

點的位置，不能確定平行。(D)

\overline{E C} = 4

時

\overline{A E} = 8

，

\overline{A E} : \overline{E C} = 2 : 1

，與

1 : 3

不同，不平行。

判斷平行用的是兩邊上「被截出的線段」成比例，要先把

\overline{A D}

算出來。

第 8 題答案 (C)。

D

、

E

是

\overline{A B}

、

\overline{A C}

的中點，三角形兩邊中點的連線長是第三邊的一半，

\overline{D E} = \frac{1}{2} \times 24 = 12

。在

△ A D E

中，

F

、

G

是

\overline{A D}

、

\overline{A E}

的中點，同理

\overline{F G} = \frac{1}{2} \times \overline{D E} = 6

。

要用兩次中點連線性質；

12

是

\overline{D E}

，不是

\overline{F G}

。

平行線把兩邊截成的「段與段」的比相等；反過來，兩邊被截成的線段成比例，截線就平行第三邊。

03第 9～12 題：平行線與相似三角形、連比與角度

第 9 題答案 (C)。

\overline{A B} = \overline{A P} + \overline{P B} = 9 + 12 = 21

。

\overline{P Q} ∥ \overline{B C}

，所以

∠ A P Q = ∠ A B C

（同位角），又

∠ A

共用，

△ A P Q \sim △ A B C

（AA 相似）。對應邊成比例：

\overline{P Q} : \overline{B C} = \overline{A P} : \overline{A B} = 9 : 21 = 3 : 7

。

6 : \overline{B C} = 3 : 7

，

3 \times \overline{B C} = 42

，

\overline{B C} = 14

。

平行線本身長度的比要用從頂點

A

量起的

\overline{A P} : \overline{A B} = 9 : 21

，不是

\overline{A P} : \overline{P B} = 9 : 12

（那樣會算出

8

）。

第 10 題答案 (A)。兩個比都有

∠ A

，把

∠ A

變成一樣：

∠ A : ∠ B = 2 : 5 = 4 : 10

，

∠ A : ∠ C = 4 : 1

。所以

∠ A : ∠ B : ∠ C = 4 : 10 : 1

。三角形內角和

18 0^{\circ}

，共

4 + 10 + 1 = 15

份，一份是

1 2^{\circ}

。

∠ B = 10 \times 1 2^{\circ} = 12 0^{\circ}

，

∠ B

的外角

= 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。

題目問的是

∠ B

的外角，

12 0^{\circ}

是

∠ B

本身。

第 11 題答案 (B)。由圖，

E

在

\overline{B C}

上，

\overline{A E}

的延長線與

\overline{D C}

的延長線交於

F

。平行四邊形的對邊平行且等長，所以

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，

\overline{C D} = \overline{A B} = 35

。在

△ F A D

中，

\overline{E C} ∥ \overline{A D}

，所以

∠ F C E = ∠ F D A

（同位角），又

∠ F

共用，

△ F E C \sim △ F A D

（AA 相似）。對應邊成比例：

\overline{F C} : \overline{F D} = \overline{E C} : \overline{A D} = 2 : 7

。設

\overline{F C} = 2 k

，則

\overline{F D} = 7 k

，

\overline{C D} = \overline{F D} - \overline{F C} = 5 k = 35

，

k = 7

。

\overline{F C} = 14

。

2 : 7

是

\overline{F C} : \overline{F D}

，不是

\overline{F C} : \overline{C D}

；

35

對應的是其中的

5

份。

第 12 題答案 (B)。三組邊成比例，所以

△ A B C \sim △ D E F

（SSS 相似），對應頂點是

A \to D

、

B \to E

、

C \to F

。

∠ B = 18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} - 4 0^{\circ} = 7 5^{\circ}

。對應角相等：

∠ D = ∠ A = 6 5^{\circ}

，

∠ E = ∠ B = 7 5^{\circ}

。所以

2 x + 3 y = 65

，

6 x + y = 75

。第一式乘

3

：

6 x + 9 y = 195

，減去第二式得

8 y = 120

，

y = 15

；代回得

6 x = 60

，

x = 10

。

x + y = 25

。

∠ E

對應的是

∠ B

（要先用內角和算出

7 5^{\circ}

），不是題目直接給的

∠ C = 4 0^{\circ}

。

平行線本身長度的比，要用「從共同頂點量起」的整段長度來比。

04第 13～15 題：SAS 相似、三條平行線、等腰三角形中的相似

第 13 題答案 (C)。

\overline{A B} = \overline{A D} + \overline{D B} = 6 + 9 = 15

，

\overline{A C} = \overline{A E} + \overline{E C} = 9 + 1 = 10

。看

△ A D E

與

△ A C B

：

\overline{A D} : \overline{A C} = 6 : 10 = 3 : 5

，

\overline{A E} : \overline{A B} = 9 : 15 = 3 : 5

，兩組邊成比例，夾角

∠ A

是同一個角，所以

△ A D E \sim △ A C B

（SAS 相似），對應頂點是

A \to A

、

D \to C

、

E \to B

。對應邊

\overline{D E} : \overline{C B} = 3 : 5

，

\overline{D E} = 12.5 \times \frac{3}{5} = 7.5

。

\overline{D E}

與

\overline{B C}

不平行。若對成

\overline{A D} : \overline{A B} = 6 : 15

、

\overline{A E} : \overline{A C} = 9 : 10

就不成比例，要把短邊

\overline{A D}

對

\overline{A C}

、

\overline{A E}

對

\overline{A B}

。

第 14 題答案 (D)。

L_{1} ∥ L_{2} ∥ L_{3}

，平行線截比例線段，

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{D E} : \overline{E F}

。

15 : 27 = 5 : 9

，所以

5 : 9 = (3 x + 1) : (5 x + 3)

。

9 (3 x + 1) = 5 (5 x + 3)

，

27 x + 9 = 25 x + 15

，

2 x = 6

，

x = 3

。

\overline{D E} = 3 \times 3 + 1 = 10

，

\overline{E F} = 5 \times 3 + 3 = 18

，

\overline{D F} = \overline{D E} + \overline{E F} = 28

。

驗算：

\overline{D E} : \overline{E F} = 10 : 18 = 5 : 9

，相符。(A) 的

10

是

\overline{D E}

、(B) 的

18

是

\overline{E F}

，題目問的是

\overline{D F}

。

第 15 題答案 (A)。

\overline{A B} = \overline{A C}

，所以

∠ A B C = ∠ A C B

。

\overline{B C} = \overline{B D}

，所以

∠ B D C = ∠ B C D

。在

△ A B C

與

△ B C D

中：

∠ A C B = ∠ B C D

（同一個角），

∠ A B C = ∠ A C B = ∠ B D C

，所以

△ A B C \sim △ B C D

（AA 相似），對應頂點是

A \to B

、

B \to C

、

C \to D

。對應邊成比例：

\overline{A B} : \overline{B C} = \overline{B C} : \overline{C D}

，

16 : 12 = 12 : \overline{C D}

，

16 \times \overline{C D} = 144

，

\overline{C D} = 9

。

\overline{A D} = \overline{A C} - \overline{C D} = 16 - 9 = 7

。

△ A B D

與

△ B C D

的底邊

\overline{A D}

、

\overline{D C}

在同一直線上，頂點都是

B

，高相同，所以面積比

= \overline{A D} : \overline{D C} = 7 : 9

。

兩個等腰三角形共用底角

∠ C

，所以相似；先求出

\overline{C D}

，面積比才看得出來。

兩個三角形頂點相同、底邊在同一直線上，面積比就等於底邊的比。

05第 16～19 題（填充題 1～4）：連比、相似三角形、反比、面積比

第 16 題由

2 a = 5 b

得

a : b = 5 : 2

。由

4 b = 3 c

得

b : c = 3 : 4

。把

b

變成一樣：

2

和

3

的最小公倍數是

6

。

a : b = 5 : 2 = 15 : 6

，

b : c = 3 : 4 = 6 : 8

。所以

a : b : c = 15 : 6 : 8

。

驗算：取

a = 15

、

b = 6

、

c = 8

，

2 a = 30 = 5 b

，

4 b = 24 = 3 c

，都成立。

第 17 題

F

在

\overline{A C}

上。

\overline{A B} ∥ \overline{C E}

，內錯角相等，

∠ B A C = ∠ E C F

。

\overline{B C} ∥ \overline{E F}

，內錯角相等，

∠ A C B = ∠ C F E

。所以

△ A B C \sim △ C E F

（AA 相似），對應頂點是

A \to C

、

B \to E

、

C \to F

。對應邊成比例：

\overline{A B} : \overline{C E} = \overline{B C} : \overline{E F} = \overline{A C} : \overline{C F}

，而

\overline{A B} : \overline{C E} = 15 : 12 = 5 : 4

。(2)

\overline{B C} : 16 = 5 : 4

，

\overline{B C} = 20

。(3)

\overline{A C} : \overline{C F} = 5 : 4

，設

\overline{A C} = 5 k

、

\overline{C F} = 4 k

，則

\overline{A F} = \overline{A C} - \overline{C F} = k = 4

，所以

\overline{A C} = 20

。

\overline{A C}

對應的是

\overline{C F}

，不是

\overline{A F}

；

\overline{A F} = 4

是兩者的差。

第 18 題三人走的距離相同（都是

3

km），速率

=

距離

\div

時間，所以速率比是時間的倒數比。速率比

= \frac{1}{12} : \frac{1}{15} : \frac{1}{20}

。

12

、

15

、

20

的最小公倍數是

60

，同乘

60

得

5 : 4 : 3

。

花的時間越多，速率越慢；速率比不是

12 : 15 : 20

，也不是直接倒過來寫的

20 : 15 : 12

。

第 19 題(5)

△ B D E

與

△ C D E

的底邊

\overline{B D}

、

\overline{D C}

在同一直線上，頂點都是

E

，高相同，面積比

= \overline{B D} : \overline{D C} = 7 : 4

。

△ C D E

的面積

= 70 \times \frac{4}{7} = 40

。(6)

\overline{A E} : \overline{A D} = 3 : 8

，所以

\overline{A E} : \overline{E D} = 3 : (8 - 3) = 3 : 5

。

△ A B E

與

△ B D E

的底邊

\overline{A E}

、

\overline{E D}

在同一直線上，頂點都是

B

，高相同，面積比

= \overline{A E} : \overline{E D} = 3 : 5

。

△ A B E

的面積

= 70 \times \frac{3}{5} = 42

。

題目給的是

\overline{A E} : \overline{A D}

（部分比全部），要先換成

\overline{A E} : \overline{E D} = 3 : 5

才能和

△ B D E

比。

距離相同時，速率比是時間比的倒數比；化成整數比時同乘分母的最小公倍數。

06非選題 1、2（第 20、21 題）

第 20 題(1)

△ A B G \sim △ C E G

。理由：

A B C D

是平行四邊形，

\overline{A B} ∥ \overline{C D}

，

E

在

\overline{C D}

的延長線上，所以

\overline{A B} ∥ \overline{C E}

。內錯角相等：

∠ B A G = ∠ E C G

，

∠ A B G = ∠ C E G

。兩組角對應相等，所以

△ A B G \sim △ C E G

（AA 相似）。（也可以用對頂角

∠ A GB = ∠ C GE

配一組內錯角。）　(2)

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，內錯角相等，

∠ F A G = ∠ B C G

，又

∠ A GF = ∠ C GB

（對頂角），所以

△ A F G \sim △ C B G

（AA 相似），

\overline{F G} : \overline{B G} = \overline{A F} : \overline{C B} = 15 : 21 = 5 : 7

。設

\overline{B G} = 7 r

、

\overline{F G} = 5 r

，則

\overline{B F} = 12 r

。平行四邊形對邊等長，

\overline{A D} = \overline{B C} = 21

，

\overline{F D} = 21 - 15 = 6

。

\overline{A B} ∥ \overline{D E}

，內錯角相等，

∠ A B F = ∠ D E F

，又

∠ A F B = ∠ D F E

（對頂角），所以

△ A B F \sim △ D E F

（AA 相似），

\overline{B F} : \overline{E F} = \overline{A F} : \overline{D F} = 15 : 6 = 5 : 2

。

\overline{E F} = 12 r \times \frac{2}{5} = \frac{24}{5} r

。所以

\overline{B G} : \overline{F G} : \overline{E F} = 7 r : 5 r : \frac{24}{5} r = 35 : 25 : 24

。

5 : 2

是

\overline{B F} : \overline{E F}

，而

\overline{B F}

是

\overline{B G} + \overline{F G}

共

12 r

，不是

7 r

。

第 21 題

\overline{A E} = \overline{A F} + \overline{E F} = 12 + 6 = 18

。　(1) 在

△ A B E

中，

\overline{D F} ∥ \overline{B E}

，平行線截比例線段，

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A F} : \overline{F E}

。

15 : \overline{D B} = 12 : 6

，

12 \times \overline{D B} = 90

，

\overline{D B} = 7.5

。　(2) 在

△ A B C

中，

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{E C}

。

15 : 7.5 = 18 : \overline{C E}

，

15 \times \overline{C E} = 135

，

\overline{C E} = 9

。　(3)

\overline{A B} = 15 + 7.5 = 22.5

。

\overline{D E} ∥ \overline{B C}

，

∠ A D E = ∠ A B C

（同位角），

∠ A

共用，所以

△ A D E \sim △ A B C

（AA 相似），

\overline{D E} : \overline{B C} = \overline{A D} : \overline{A B} = 15 : 22.5 = 2 : 3

。

\overline{D E} = 30 \times \frac{2}{3} = 20

。

(1) 用的是

△ A B E

裡的平行線

\overline{D F}

，(2)(3) 用的是

△ A B C

裡的平行線

\overline{D E}

，兩組不要混在一起。(3) 也可以用

\overline{A E} : \overline{A C} = 18 : 27 = 2 : 3

。

同一個圖裡有兩組平行線時，先看清楚每一組平行線是在哪一個三角形裡，再各自列比例式。

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選擇第 7 題要先算出 AD 等於 2，再用兩邊被截出的線段成比例來判斷平行；選擇第 13 題的兩條線段不平行，要把短邊對到另一邊才看得出相似；選擇第 15 題要看出兩個等腰三角形共用一個底角而相似，先求出 CD 再比面積；非選第 1 題第二小題要用到三組相似三角形，並注意 BF 是 BG 加 FG。詳解逐題寫在本頁。

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01第 1～4 題：連比

02第 5～8 題：平行線截比例線段、相似的判斷、中點連線

03第 9～12 題：平行線與相似三角形、連比與角度

04第 13～15 題：SAS 相似、三條平行線、等腰三角形中的相似

05第 16～19 題（填充題 1～4）：連比、相似三角形、反比、面積比

06非選題 1、2（第 20、21 題）

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