段考詳解範圍：1-1～1-3、5-1（多項式與其加減乘除、乘法公式、統計圖表與累積相對次數）

蘆洲國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

選擇題 10 題（每題 4 分，共 40 分，單選）；填充題 12 格（第 11～22 題，每格 4 分，共 48 分）；計算題 2 題共 4 個答案（第 23～26 題，共 12 分，需有計算過程）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、選擇題(每題4分，共計40分)

計算

(2000 - 2)^{2}

的結果，與下列哪一個式子相同？

(A) $200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 2 + 2$
(B) $200 0^{2} - 2^{2}$
(C) $200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 2 + 2^{2}$
(D) $200 0^{2} - 2000 \times 2 + 2$

有四位同學想算出

10. 5^{2}

的值，他們的方法如下：小娟：

10. 5^{2} = (\frac{21}{2})^{2}

；小品：

10. 5^{2} = 1 0^{2} + 0. 5^{2}

；阿惠：

10. 5^{2} = (10 + 0.5)^{2} = 1 0^{2} + 2 \times 10 \times 0.5 + 0. 5^{2}

；阿明：

10. 5^{2} = (11 - 0.5)^{2} = 1 1^{2} - 2 \times 11 \times 0.5 - 0. 5^{2}

。如果這四人接下來都沒有計算或其他方面的錯誤，那麼誰的計算過程是正確的？

(A) 小娟
(B) 小品
(C) 阿惠
(D) 阿明

下列哪一個是

x

的多項式？

(A) $x + 3 = 0$
(B) $∣ x ∣ + 6$
(C) $\frac{1}{x - 3}$
(D) $\frac{4}{7} x$

若多項式

(a - 3) x^{2} + (b + 2) x + 10

是一個常數多項式，則

a + b =

？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

下列的敘述哪一個是正確的？

(A) 多項式 $x^{2} - 3 x$ 中， $x$ 項的係數是 $3$
(B) 若常數多項式不為 $0$ 時，稱為零次多項式
(C) 兩個 $x$ 的二次多項式相加，其結果也是 $x$ 的二次多項式
(D) 在多項式除法中，當餘式不為 $0$ 時，餘式的次數必小於商式的次數

若想知道某次段考英語科成績不及格（未滿

60

分）或

80

分以上占全班人數的百分比，則應使用下列何種統計圖最為適合？

(A) 次數分配折線圖
(B) 次數分配直方圖
(C) 相對次數分配折線圖
(D) 累積相對次數分配折線圖

下圖是八年甲班段考數學成績累積相對次數分配折線圖，則未滿

60

分與

90

分以上（含）者，共占多少百分比？

(A) $60%$
(B) $50%$
(C) $40%$
(D) $30%$

載入中...

已知一身高累積次數分配折線圖上各點的坐標分別為

(150, 0)

、

(160, 8)

、

(170, 23)

、

(180, 36)

、

(190, 40)

，則

160 \sim 180

公分有多少人？

(A) $20$ 人
(B) $28$ 人
(C) $31$ 人
(D) $40$ 人

阿丁將班上

50

個同學身高的資料，自

130

公分開始，每

10

公分為一組，製作身高折線圖，如下圖所示。根據此圖判別下列哪一個敘述是錯誤的？

(A) 在 $130 \sim 150$ 公分之間的人數占全班的 $26%$
(B) 在 $130 \sim 160$ 公分之間的人數占全班的 $80%$
(C) 在 $140 \sim 160$ 公分之間的人數占全班的 $76%$
(D) 在 $150 \sim 160$ 公分之間的人數占全班的 $50%$

載入中...

若

A

是二次多項式，

B

是一次多項式，則下列兩人的說法何者正確？甲：

A + B

是三次多項式、

A - B

是一次多項式；乙：

A \times B

是三次多項式、

A \div B

的商是一次多項式。

(A) 甲正確、乙錯誤
(B) 甲錯誤、乙正確
(C) 兩人皆正確
(D) 兩人皆錯誤

二、填充題(每格4分，共計48分) (多項式答案請按降冪排列)

計算

(2 x - 3) (7 x + 2) =

____

計算

59.5 \times 60.5 =

____

計算

31 9^{2} - 11 9^{2} =

____

計算

3 (2 x + 1)^{2} - [(x - 4) (x + 4) - 1] =

____

若

49 9^{2} = 50 0^{2} - n + 1^{2}

，則

n =

____

有一多項式

B

除以

x - 6

的商式為

3 x^{2} - 2

，餘式為

- 5

，則此多項式

B =

____

已知

3 x^{2} + 2 x - 9

除以另一個多項式

B

後，得商式為

x - 2

，餘式為

7

，則此多項式

B =

____

若

A

是多項式，且

A + (- 2 x^{2} + 7 x + 1) = - 4 x^{2} - 3 x + 6

，則此多項式

A =

____

下表是新新百貨公司員工年齡分配表的一部分：

年齡（歲） 40 \sim 50 相對次數（％） 40% 累積相對次數（％） 70%

已知

40 \sim 50

歲有

120

位，則全部的員工有 ____ 人

承上表（年齡

40 \sim 50

歲有

120

位，相對次數

40%

，累積相對次數

70%

），則年齡在

50

歲以上有 ____ 人

萬聖節即將到來，阿中設計一個面具，準備戴上它參加學校的活動，這個面具是將一個大正方形紙板，內部減去四個相同大小的小正方形，當成是眼、鼻、口的位置，如下圖所示。求此面具的面積為 ____ 平方公分？

載入中...

阿強分到一大塊長方形田地，田地中縱向、橫向各被開闢一條寬為

x

公尺的小路，其餘作為稻田耕作，如圖所示。若測量得知田地長為

4 x + 4

公尺，寬為

3 x - 1

公尺，則阿強能耕作的稻田面積有 ____ 平方公尺？（以

x

的多項式表示）

載入中...

三、計算題(共12分) (需有計算過程，多項式答案請按降冪排列)

(1) 求多項式除法

(3 x^{2} + 6 x + 2) \div (3 x^{2} - 3 x + 4)

的商式與餘式。（每個答案各 2 分）

(2) 求多項式除法

(2 x^{2} - 3) \div (x + 1)

的商式與餘式。（每個答案各 2 分）

珊瑚國中八年級共有

600

位學生，第一次段考數學成績的相對次數分配折線圖如下，回答下列問題：(1) 不及格（未滿

60

分）占全部人數的百分比是多少？（2 分）

載入中...

承上題（珊瑚國中八年級共有

600

位學生）：(2)

70

分以上（含）有多少人？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)（學校公布的答案是 (C)；選項 (A) 那一行式子本身也成立，說明見詳解）

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(B)

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(A)

第 10 題(B)

第 11 題

14 x^{2} - 17 x - 6

第 12 題

3599.75

第 13 題

87600

第 14 題

11 x^{2} + 12 x + 20

第 15 題

1000

第 16 題

3 x^{3} - 18 x^{2} - 2 x + 7

第 17 題

3 x + 8

第 18 題

- 2 x^{2} - 10 x + 5

第 19 題

300

第 20 題

90

第 21 題

228

第 22 題

6 x^{2} + 5 x - 4

第 23 題商式

1

，餘式

9 x - 2

第 24 題商式

2 x - 2

，餘式

- 1

第 25 題

25%

第 26 題

330

人

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：乘法公式、多項式的判別、常數多項式與係數

第 1 題答案 (C)。

(2000 - 2)^{2}

用差的平方公式展開：

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

，其中

a = 2000

、

b = 2

，得

200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 2 + 2^{2}

。(A) 的最後一項寫成

2

，少了平方；(B) 缺中間項；(D) 中間項少乘

2

，最後一項也少了平方。

用計算機驗算：

(2000 - 2)^{2} = 3992004

，只有 (C) 與它相同。

第 2 題答案 (C)（學校公布的答案）。把四個人的式子逐一驗算，

10. 5^{2} = 110.25

。小娟：只寫了一行，把

10.5

化成

\frac{21}{2}

，

(\frac{21}{2})^{2} = \frac{441}{4} = 110.25

，這一行成立。小品：

1 0^{2} + 0. 5^{2} = 100.25

，漏掉中間項

2 \times 10 \times 0.5 = 10

，不成立。阿惠：用和的平方公式，

1 0^{2} + 2 \times 10 \times 0.5 + 0. 5^{2} = 100 + 10 + 0.25 = 110.25

，成立。阿明：

1 1^{2} - 2 \times 11 \times 0.5 - 0. 5^{2} = 121 - 11 - 0.25 = 109.75

，最後一項應該是

+ 0. 5^{2}

，不成立。所以小品與阿明一定錯；小娟與阿惠寫出來的式子都成立，而題幹沒有限定要用哪一種方法，嚴格說 (A) 與 (C) 兩個都對。學校公布的答案是 (C)：這一題在乘法公式的單元，阿惠是唯一把

10. 5^{2}

用乘法公式完整展開而且正確的。作答以學校公布的答案為準。

「和的平方」與「差的平方」只有中間項的符號不同，最後一項都是加；小品、阿明各錯在其中一處。

第 3 題答案 (D)。多項式的每一項都是常數乘以

x

的非負整數次方。(A) 是等式，不是多項式。(B) 含絕對值，

∣ x ∣

不是

x

的整數次方。(C) 的

x

在分母，不是多項式。(D)

\frac{4}{7} x

的係數是

\frac{4}{7}

，是一次多項式。

第 4 題答案 (A)。常數多項式的

x^{2}

項與

x

項的係數都要是

0

：

a - 3 = 0

，得

a = 3

；

b + 2 = 0

，得

b = - 2

。所以

a + b = 3 + (- 2) = 1

。

第 5 題答案 (B)。(A) 錯：

x^{2} - 3 x

中

x

項的係數是

- 3

，不是

3

。(B) 對：這是零次多項式的定義。(C) 錯：例如

(x^{2} + x) + (- x^{2} + x) = 2 x

，是一次多項式。(D) 錯：餘式的次數要比「除式」低，不是比商式低。

判斷「某件事一定成立」只要找到一個反例就可以排除。

02第 6～10 題：統計圖的選擇與讀法、多項式的和差積商

第 6 題答案 (D)。次數分配折線圖與相對次數分配折線圖只能看到每一組各占多少；要把好幾組加起來，才能算出「未滿

60

分」或「

80

分以上」的比例。累積相對次數分配折線圖的每個點，表示「低於該分數」的累積比例，因此可以直接讀出未滿

60

分的比例，再用

100%

減去累積比例得到

80

分以上的比例。

累積相對次數的點是在組界上，例如

60

分的點表示未滿

60

分的比例。

第 7 題答案 (D)。由圖，

60

分處的累積相對次數是

20%

，所以未滿

60

分占

20%

。

90

分處的累積相對次數是

90%

，所以

90

分以上（含）占

100% - 90% = 10%

。兩者合計

20% + 10% = 30%

。

讀圖時先找到組界的點，再讀縱軸的數字。

第 8 題答案 (B)。累積次數在

160

公分時是

8

人，在

180

公分時是

36

人。

160 \sim 180

公分的人數是

36 - 8 = 28

人。

第 9 題答案 (A)。由圖，各組人數依序是

130 \sim 140

：

2

人；

140 \sim 150

：

13

人；

150 \sim 160

：

25

人；

160 \sim 170

：

8

人；

170 \sim 180

：

2

人，合計

50

人。(A)

130 \sim 150

公分有

2 + 13 = 15

人，

\frac{15}{50} = 30%

，不是

26%

，所以是錯誤的敘述。(B)

2 + 13 + 25 = 40

人，

\frac{40}{50} = 80%

，正確。(C)

13 + 25 = 38

人，

\frac{38}{50} = 76%

，正確。(D)

25

人，

\frac{25}{50} = 50%

，正確。

折線圖上的數字就是各組的人數，不要把點的位置當成人數。

第 10 題答案 (B)。設

A

為二次多項式、

B

為一次多項式。甲：

A + B

的最高次項是

A

的二次項，仍是二次多項式，不是三次；

A - B

也是二次多項式，不是一次。所以甲錯誤。乙：

A \times B

的次數是

2 + 1 = 3

，是三次多項式；

A \div B

的商式次數是

2 - 1 = 1

，是一次多項式。所以乙正確。

多項式相乘，次數相加；相除，商式次數等於被除式次數減除式次數。

多項式相加減時次數取最高；相乘時次數相加；相除時商式次數等於兩者次數相減。

03第 11～15 題：分配律、平方差公式、和差平方公式

第 11 題用分配律展開：

(2 x) (7 x) = 14 x^{2}

，

(2 x) (2) = 4 x

，

(- 3) (7 x) = - 21 x

，

(- 3) (2) = - 6

。合併同類項：

4 x - 21 x = - 17 x

。答案

14 x^{2} - 17 x - 6

。

第 12 題

59.5 = 60 - 0.5

，

60.5 = 60 + 0.5

，得

59.5 \times 60.5 = 6 0^{2} - 0. 5^{2} = 3600 - 0.25 = 3599.75

。

第 13 題

31 9^{2} - 11 9^{2}

是平方差，

= (319 + 119) (319 - 119) = 438 \times 200 = 87600

。

第 14 題先展開

3 (2 x + 1)^{2} = 3 (4 x^{2} + 4 x + 1) = 12 x^{2} + 12 x + 3

。再用平方差公式

(x - 4) (x + 4) = x^{2} - 16

，所以中括號內為

x^{2} - 16 - 1 = x^{2} - 17

，前面有負號，變成

- x^{2} + 17

。合併：

12 x^{2} - x^{2} = 11 x^{2}

，

12 x

，

3 + 17 = 20

。答案

11 x^{2} + 12 x + 20

。

中括號前的負號要讓括號內每一項都變號。

第 15 題

499 = 500 - 1

，所以

49 9^{2} = 50 0^{2} - 2 \times 500 \times 1 + 1^{2} = 50 0^{2} - 1000 + 1^{2}

。和題目的

50 0^{2} - n + 1^{2}

比較，

n = 1000

。

驗算：

50 0^{2} - 1000 + 1 = 249001 = 49 9^{2}

。

04第 16～18 題：多項式的除法關係、多項式的加減

第 16 題被除式＝除式×商式＋餘式。除式是

x - 6

，商式是

3 x^{2} - 2

，餘式是

- 5

，所以

B = (x - 6) (3 x^{2} - 2) + (- 5)

。展開：

(x - 6) (3 x^{2} - 2) = 3 x^{3} - 2 x - 18 x^{2} + 12

，加上

- 5

得

3 x^{3} - 18 x^{2} - 2 x + 7

。

驗算：

3 x^{3} - 18 x^{2} - 2 x + 7

除以

x - 6

，商

3 x^{2} - 2

、餘

- 5

，正確。

第 17 題題目是「除以

B

」，所以除式是

B

，被除式是

3 x^{2} + 2 x - 9

，商式是

x - 2

，餘式是

7

。由被除式＝除式×商式＋餘式，得

3 x^{2} + 2 x - 9 = B (x - 2) + 7

，所以

B (x - 2) = 3 x^{2} + 2 x - 9 - 7 = 3 x^{2} + 2 x - 16

，也就是

B = (3 x^{2} + 2 x - 16) \div (x - 2)

。用直式除法：第一步

3 x^{2} \div x = 3 x

，

3 x (x - 2) = 3 x^{2} - 6 x

，相減得

8 x - 16

；第二步

8 x \div x = 8

，

8 (x - 2) = 8 x - 16

，相減得

0

，整除。所以

B = 3 x + 8

。

驗算：

(3 x + 8) (x - 2) + 7 = 3 x^{2} + 2 x - 16 + 7 = 3 x^{2} + 2 x - 9

。

第 18 題把

(- 2 x^{2} + 7 x + 1)

移到等號右邊要變號：

A = (- 4 x^{2} - 3 x + 6) - (- 2 x^{2} + 7 x + 1) = - 4 x^{2} - 3 x + 6 + 2 x^{2} - 7 x - 1

。合併同類項：

- 2 x^{2} - 10 x + 5

。

去括號時，括號前是減號，括號內每一項都要變號。

由「被除式＝除式×商式＋餘式」列式，再用同類項去括號整理。

05第 19～22 題：相對次數的人數、正方形面積、田地的稻田面積

第 19 題

40 \sim 50

歲的相對次數是

40%

，對應人數是

120

人，所以全部人數為

120 \div 40% = 120 \div 0.4 = 300

人。

相對次數的總和是

100%

，所以總人數＝該組人數÷該組相對次數。

第 20 題累積相對次數

70%

表示未滿

50

歲的人占

70%

，所以

50

歲以上占

100% - 70% = 30%

，人數為

300 \times 30% = 90

人。

第 21 題大正方形面積為

16. 4^{2} = 268.96

平方公分。四個小正方形，每個面積為

3. 2^{2} = 10.24

平方公分，四個共

40.96

平方公分。面具面積為

268.96 - 40.96 = 228

平方公分。

題幹說「內部減去四個相同大小的小正方形」，所以是大正方形面積減去四個小正方形面積。圖上只標大正方形邊長

16.4

與小正方形邊長

3.2

（括線標在小正方形的一條邊上，是邊長不是對角線）；小正方形轉了方向，面積不變。

第 22 題田地長為

4 x + 4

，寬為

3 x - 1

。縱向與橫向各一條寬

x

的小路，稻田是由田地扣去兩條路後剩下的部分，長為

(4 x + 4) - x = 3 x + 4

，寬為

(3 x - 1) - x = 2 x - 1

。稻田面積為

(3 x + 4) (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4

。

驗算：整塊田地

(4 x + 4) (3 x - 1) = 12 x^{2} + 8 x - 4

，兩條路的面積合計

x (3 x - 1) + x (4 x + 4) - x^{2} = 6 x^{2} + 3 x

（兩條路重疊的

x \times x

只算一次），相減得

6 x^{2} + 5 x - 4

，與上式相同。

面積題先找出哪些部分要扣掉，再把長與寬列成多項式相乘。

06第 23～26 題：多項式除法、由相對次數折線圖求百分比與人數

第 23 題用直式除法。第一步：

3 x^{2} \div 3 x^{2} = 1

，商式第一項是

1

；

1 \times (3 x^{2} - 3 x + 4) = 3 x^{2} - 3 x + 4

，相減得

(6 x + 3 x) + (2 - 4) = 9 x - 2

。

9 x - 2

的次數是

1

，比除式

3 x^{2} - 3 x + 4

的次數

2

低，所以除法結束。商式

1

，餘式

9 x - 2

。

驗算：

(3 x^{2} - 3 x + 4) \times 1 + (9 x - 2) = 3 x^{2} + 6 x + 2

，正確。

第 24 題第一步：

2 x^{2} \div x = 2 x

，

2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x

，相減得

- 2 x - 3

。第二步：

- 2 x \div x = - 2

，

- 2 (x + 1) = - 2 x - 2

，相減得

- 1

。商式

2 x - 2

，餘式

- 1

。

驗算：

(x + 1) (2 x - 2) + (- 1) = 2 x^{2} - 2 - 1 = 2 x^{2} - 3

，正確。

第 25 題由圖，組中點

45

、

55

對應的組是

40 \sim 50

與

50 \sim 60

，相對次數分別是

10%

與

15%

。未滿

60

分占

10% + 15% = 25%

。

相對次數折線圖上的點是組中點，要把它對應回組的範圍。

第 26 題

70

分以上（含）包含

70 \sim 80

（

30%

）、

80 \sim 90

（

15%

）與

90 \sim 100

（

10%

）三組，合計

55%

。人數為

600 \times 55% = 330

人。

驗算：

100% - 25% - 20% = 55%

，其中

20%

是

60 \sim 70

分的相對次數，結果與上式相同。

相對次數折線圖的點要對回組的範圍；相對次數乘總人數就是人數。

同一次段考的其他學校

同樣是國二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

蘆洲國中 113 上國二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 26 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘆洲國中 113 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要把四位同學的式子逐一驗算，不要看到一個對的就停；第 7、9 題要從折線圖的點讀出各組的數字，不要讀錯組界；第 16、17 題要記得被除式等於除式乘商式再加餘式；第 22 題的稻田要扣掉縱向與橫向兩條小路，各扣一次 x。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自蘆洲國中 113 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／國二

段考詳解範圍：1-1～1-3、5-1（多項式與其加減乘除、乘法公式、統計圖表與累積相對次數）

蘆洲國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 26 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

一、選擇題(每題4分，共計40分)

計算

(2000 - 2)^{2}

的結果，與下列哪一個式子相同？

(A) $200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 2 + 2$
(B) $200 0^{2} - 2^{2}$
(C) $200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 2 + 2^{2}$
(D) $200 0^{2} - 2000 \times 2 + 2$

有四位同學想算出

10. 5^{2}

的值，他們的方法如下：小娟：

10. 5^{2} = (\frac{21}{2})^{2}

；小品：

10. 5^{2} = 1 0^{2} + 0. 5^{2}

；阿惠：

10. 5^{2} = (10 + 0.5)^{2} = 1 0^{2} + 2 \times 10 \times 0.5 + 0. 5^{2}

；阿明：

10. 5^{2} = (11 - 0.5)^{2} = 1 1^{2} - 2 \times 11 \times 0.5 - 0. 5^{2}

。如果這四人接下來都沒有計算或其他方面的錯誤，那麼誰的計算過程是正確的？

(A) 小娟
(B) 小品
(C) 阿惠
(D) 阿明

下列哪一個是

x

的多項式？

(A) $x + 3 = 0$
(B) $∣ x ∣ + 6$
(C) $\frac{1}{x - 3}$
(D) $\frac{4}{7} x$

若多項式

(a - 3) x^{2} + (b + 2) x + 10

是一個常數多項式，則

a + b =

？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

下列的敘述哪一個是正確的？

(A) 多項式 $x^{2} - 3 x$ 中， $x$ 項的係數是 $3$
(B) 若常數多項式不為 $0$ 時，稱為零次多項式
(C) 兩個 $x$ 的二次多項式相加，其結果也是 $x$ 的二次多項式
(D) 在多項式除法中，當餘式不為 $0$ 時，餘式的次數必小於商式的次數

若想知道某次段考英語科成績不及格（未滿

60

分）或

80

分以上占全班人數的百分比，則應使用下列何種統計圖最為適合？

(A) 次數分配折線圖
(B) 次數分配直方圖
(C) 相對次數分配折線圖
(D) 累積相對次數分配折線圖

下圖是八年甲班段考數學成績累積相對次數分配折線圖，則未滿

60

分與

90

分以上（含）者，共占多少百分比？

(A) $60%$
(B) $50%$
(C) $40%$
(D) $30%$

載入中...

已知一身高累積次數分配折線圖上各點的坐標分別為

(150, 0)

、

(160, 8)

、

(170, 23)

、

(180, 36)

、

(190, 40)

，則

160 \sim 180

公分有多少人？

(A) $20$ 人
(B) $28$ 人
(C) $31$ 人
(D) $40$ 人

阿丁將班上

50

個同學身高的資料，自

130

公分開始，每

10

公分為一組，製作身高折線圖，如下圖所示。根據此圖判別下列哪一個敘述是錯誤的？

(A) 在 $130 \sim 150$ 公分之間的人數占全班的 $26%$
(B) 在 $130 \sim 160$ 公分之間的人數占全班的 $80%$
(C) 在 $140 \sim 160$ 公分之間的人數占全班的 $76%$
(D) 在 $150 \sim 160$ 公分之間的人數占全班的 $50%$

載入中...

若

A

是二次多項式，

B

是一次多項式，則下列兩人的說法何者正確？甲：

A + B

是三次多項式、

A - B

是一次多項式；乙：

A \times B

是三次多項式、

A \div B

的商是一次多項式。

(A) 甲正確、乙錯誤
(B) 甲錯誤、乙正確
(C) 兩人皆正確
(D) 兩人皆錯誤

二、填充題(每格4分，共計48分) (多項式答案請按降冪排列)

計算

(2 x - 3) (7 x + 2) =

____

計算

59.5 \times 60.5 =

____

計算

31 9^{2} - 11 9^{2} =

____

計算

3 (2 x + 1)^{2} - [(x - 4) (x + 4) - 1] =

____

若

49 9^{2} = 50 0^{2} - n + 1^{2}

，則

n =

____

有一多項式

B

除以

x - 6

的商式為

3 x^{2} - 2

，餘式為

- 5

，則此多項式

B =

____

已知

3 x^{2} + 2 x - 9

除以另一個多項式

B

後，得商式為

x - 2

，餘式為

7

，則此多項式

B =

____

若

A

是多項式，且

A + (- 2 x^{2} + 7 x + 1) = - 4 x^{2} - 3 x + 6

，則此多項式

A =

____

下表是新新百貨公司員工年齡分配表的一部分：

年齡（歲） 40 \sim 50 相對次數（％） 40% 累積相對次數（％） 70%

已知

40 \sim 50

歲有

120

位，則全部的員工有 ____ 人

承上表（年齡

40 \sim 50

歲有

120

位，相對次數

40%

，累積相對次數

70%

），則年齡在

50

歲以上有 ____ 人

載入中...

阿強分到一大塊長方形田地，田地中縱向、橫向各被開闢一條寬為

x

公尺的小路，其餘作為稻田耕作，如圖所示。若測量得知田地長為

4 x + 4

公尺，寬為

3 x - 1

公尺，則阿強能耕作的稻田面積有 ____ 平方公尺？（以

x

的多項式表示）

載入中...

三、計算題(共12分) (需有計算過程，多項式答案請按降冪排列)

(1) 求多項式除法

(3 x^{2} + 6 x + 2) \div (3 x^{2} - 3 x + 4)

的商式與餘式。（每個答案各 2 分）

(2) 求多項式除法

(2 x^{2} - 3) \div (x + 1)

的商式與餘式。（每個答案各 2 分）

珊瑚國中八年級共有

600

位學生，第一次段考數學成績的相對次數分配折線圖如下，回答下列問題：(1) 不及格（未滿

60

分）占全部人數的百分比是多少？（2 分）

載入中...

承上題（珊瑚國中八年級共有

600

位學生）：(2)

70

分以上（含）有多少人？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(C)（學校公布的答案是 (C)；選項 (A) 那一行式子本身也成立，說明見詳解）

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(B)

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(A)

第 10 題(B)

第 11 題

14 x^{2} - 17 x - 6

第 12 題

3599.75

第 13 題

87600

第 14 題

11 x^{2} + 12 x + 20

第 15 題

1000

第 16 題

3 x^{3} - 18 x^{2} - 2 x + 7

第 17 題

3 x + 8

第 18 題

- 2 x^{2} - 10 x + 5

第 19 題

300

第 20 題

90

第 21 題

228

第 22 題

6 x^{2} + 5 x - 4

第 23 題商式

1

，餘式

9 x - 2

第 24 題商式

2 x - 2

，餘式

- 1

第 25 題

25%

第 26 題

330

人

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：乘法公式、多項式的判別、常數多項式與係數

第 1 題答案 (C)。

(2000 - 2)^{2}

用差的平方公式展開：

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

，其中

a = 2000

、

b = 2

，得

200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 2 + 2^{2}

。(A) 的最後一項寫成

2

，少了平方；(B) 缺中間項；(D) 中間項少乘

2

，最後一項也少了平方。

用計算機驗算：

(2000 - 2)^{2} = 3992004

，只有 (C) 與它相同。

第 2 題答案 (C)（學校公布的答案）。把四個人的式子逐一驗算，

10. 5^{2} = 110.25

。小娟：只寫了一行，把

10.5

化成

\frac{21}{2}

，

(\frac{21}{2})^{2} = \frac{441}{4} = 110.25

，這一行成立。小品：

1 0^{2} + 0. 5^{2} = 100.25

，漏掉中間項

2 \times 10 \times 0.5 = 10

，不成立。阿惠：用和的平方公式，

1 0^{2} + 2 \times 10 \times 0.5 + 0. 5^{2} = 100 + 10 + 0.25 = 110.25

，成立。阿明：

1 1^{2} - 2 \times 11 \times 0.5 - 0. 5^{2} = 121 - 11 - 0.25 = 109.75

，最後一項應該是

+ 0. 5^{2}

10. 5^{2}

用乘法公式完整展開而且正確的。作答以學校公布的答案為準。

「和的平方」與「差的平方」只有中間項的符號不同，最後一項都是加；小品、阿明各錯在其中一處。

第 3 題答案 (D)。多項式的每一項都是常數乘以

x

的非負整數次方。(A) 是等式，不是多項式。(B) 含絕對值，

∣ x ∣

不是

x

的整數次方。(C) 的

x

在分母，不是多項式。(D)

\frac{4}{7} x

的係數是

\frac{4}{7}

，是一次多項式。

第 4 題答案 (A)。常數多項式的

x^{2}

項與

x

項的係數都要是

0

：

a - 3 = 0

，得

a = 3

；

b + 2 = 0

，得

b = - 2

。所以

a + b = 3 + (- 2) = 1

。

第 5 題答案 (B)。(A) 錯：

x^{2} - 3 x

中

x

項的係數是

- 3

，不是

3

。(B) 對：這是零次多項式的定義。(C) 錯：例如

(x^{2} + x) + (- x^{2} + x) = 2 x

，是一次多項式。(D) 錯：餘式的次數要比「除式」低，不是比商式低。

判斷「某件事一定成立」只要找到一個反例就可以排除。

02第 6～10 題：統計圖的選擇與讀法、多項式的和差積商

第 6 題答案 (D)。次數分配折線圖與相對次數分配折線圖只能看到每一組各占多少；要把好幾組加起來，才能算出「未滿

60

分」或「

80

分以上」的比例。累積相對次數分配折線圖的每個點，表示「低於該分數」的累積比例，因此可以直接讀出未滿

60

分的比例，再用

100%

減去累積比例得到

80

分以上的比例。

累積相對次數的點是在組界上，例如

60

分的點表示未滿

60

分的比例。

第 7 題答案 (D)。由圖，

60

分處的累積相對次數是

20%

，所以未滿

60

分占

20%

。

90

分處的累積相對次數是

90%

，所以

90

分以上（含）占

100% - 90% = 10%

。兩者合計

20% + 10% = 30%

。

讀圖時先找到組界的點，再讀縱軸的數字。

第 8 題答案 (B)。累積次數在

160

公分時是

8

人，在

180

公分時是

36

人。

160 \sim 180

公分的人數是

36 - 8 = 28

人。

第 9 題答案 (A)。由圖，各組人數依序是

130 \sim 140

：

2

人；

140 \sim 150

：

13

人；

150 \sim 160

：

25

人；

160 \sim 170

：

8

人；

170 \sim 180

：

2

人，合計

50

人。(A)

130 \sim 150

公分有

2 + 13 = 15

人，

\frac{15}{50} = 30%

，不是

26%

，所以是錯誤的敘述。(B)

2 + 13 + 25 = 40

人，

\frac{40}{50} = 80%

，正確。(C)

13 + 25 = 38

人，

\frac{38}{50} = 76%

，正確。(D)

25

人，

\frac{25}{50} = 50%

，正確。

折線圖上的數字就是各組的人數，不要把點的位置當成人數。

第 10 題答案 (B)。設

A

為二次多項式、

B

為一次多項式。甲：

A + B

的最高次項是

A

的二次項，仍是二次多項式，不是三次；

A - B

也是二次多項式，不是一次。所以甲錯誤。乙：

A \times B

的次數是

2 + 1 = 3

，是三次多項式；

A \div B

的商式次數是

2 - 1 = 1

，是一次多項式。所以乙正確。

多項式相乘，次數相加；相除，商式次數等於被除式次數減除式次數。

多項式相加減時次數取最高；相乘時次數相加；相除時商式次數等於兩者次數相減。

03第 11～15 題：分配律、平方差公式、和差平方公式

第 11 題用分配律展開：

(2 x) (7 x) = 14 x^{2}

，

(2 x) (2) = 4 x

，

(- 3) (7 x) = - 21 x

，

(- 3) (2) = - 6

。合併同類項：

4 x - 21 x = - 17 x

。答案

14 x^{2} - 17 x - 6

。

第 12 題

59.5 = 60 - 0.5

，

60.5 = 60 + 0.5

，得

59.5 \times 60.5 = 6 0^{2} - 0. 5^{2} = 3600 - 0.25 = 3599.75

。

第 13 題

31 9^{2} - 11 9^{2}

是平方差，

= (319 + 119) (319 - 119) = 438 \times 200 = 87600

。

第 14 題先展開

3 (2 x + 1)^{2} = 3 (4 x^{2} + 4 x + 1) = 12 x^{2} + 12 x + 3

。再用平方差公式

(x - 4) (x + 4) = x^{2} - 16

，所以中括號內為

x^{2} - 16 - 1 = x^{2} - 17

，前面有負號，變成

- x^{2} + 17

。合併：

12 x^{2} - x^{2} = 11 x^{2}

，

12 x

，

3 + 17 = 20

。答案

11 x^{2} + 12 x + 20

。

中括號前的負號要讓括號內每一項都變號。

第 15 題

499 = 500 - 1

，所以

49 9^{2} = 50 0^{2} - 2 \times 500 \times 1 + 1^{2} = 50 0^{2} - 1000 + 1^{2}

。和題目的

50 0^{2} - n + 1^{2}

比較，

n = 1000

。

驗算：

50 0^{2} - 1000 + 1 = 249001 = 49 9^{2}

。

04第 16～18 題：多項式的除法關係、多項式的加減

第 16 題被除式＝除式×商式＋餘式。除式是

x - 6

，商式是

3 x^{2} - 2

，餘式是

- 5

，所以

B = (x - 6) (3 x^{2} - 2) + (- 5)

。展開：

(x - 6) (3 x^{2} - 2) = 3 x^{3} - 2 x - 18 x^{2} + 12

，加上

- 5

得

3 x^{3} - 18 x^{2} - 2 x + 7

。

驗算：

3 x^{3} - 18 x^{2} - 2 x + 7

除以

x - 6

，商

3 x^{2} - 2

、餘

- 5

，正確。

第 17 題題目是「除以

B

」，所以除式是

B

，被除式是

3 x^{2} + 2 x - 9

，商式是

x - 2

，餘式是

7

。由被除式＝除式×商式＋餘式，得

3 x^{2} + 2 x - 9 = B (x - 2) + 7

，所以

B (x - 2) = 3 x^{2} + 2 x - 9 - 7 = 3 x^{2} + 2 x - 16

，也就是

B = (3 x^{2} + 2 x - 16) \div (x - 2)

。用直式除法：第一步

3 x^{2} \div x = 3 x

，

3 x (x - 2) = 3 x^{2} - 6 x

，相減得

8 x - 16

；第二步

8 x \div x = 8

，

8 (x - 2) = 8 x - 16

，相減得

0

，整除。所以

B = 3 x + 8

。

驗算：

(3 x + 8) (x - 2) + 7 = 3 x^{2} + 2 x - 16 + 7 = 3 x^{2} + 2 x - 9

。

第 18 題把

(- 2 x^{2} + 7 x + 1)

移到等號右邊要變號：

A = (- 4 x^{2} - 3 x + 6) - (- 2 x^{2} + 7 x + 1) = - 4 x^{2} - 3 x + 6 + 2 x^{2} - 7 x - 1

。合併同類項：

- 2 x^{2} - 10 x + 5

。

去括號時，括號前是減號，括號內每一項都要變號。

由「被除式＝除式×商式＋餘式」列式，再用同類項去括號整理。

05第 19～22 題：相對次數的人數、正方形面積、田地的稻田面積

第 19 題

40 \sim 50

歲的相對次數是

40%

，對應人數是

120

人，所以全部人數為

120 \div 40% = 120 \div 0.4 = 300

人。

相對次數的總和是

100%

，所以總人數＝該組人數÷該組相對次數。

第 20 題累積相對次數

70%

表示未滿

50

歲的人占

70%

，所以

50

歲以上占

100% - 70% = 30%

，人數為

300 \times 30% = 90

人。

第 21 題大正方形面積為

16. 4^{2} = 268.96

平方公分。四個小正方形，每個面積為

3. 2^{2} = 10.24

平方公分，四個共

40.96

平方公分。面具面積為

268.96 - 40.96 = 228

平方公分。

題幹說「內部減去四個相同大小的小正方形」，所以是大正方形面積減去四個小正方形面積。圖上只標大正方形邊長

16.4

與小正方形邊長

3.2

（括線標在小正方形的一條邊上，是邊長不是對角線）；小正方形轉了方向，面積不變。

第 22 題田地長為

4 x + 4

，寬為

3 x - 1

。縱向與橫向各一條寬

x

的小路，稻田是由田地扣去兩條路後剩下的部分，長為

(4 x + 4) - x = 3 x + 4

，寬為

(3 x - 1) - x = 2 x - 1

。稻田面積為

(3 x + 4) (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4

。

驗算：整塊田地

(4 x + 4) (3 x - 1) = 12 x^{2} + 8 x - 4

，兩條路的面積合計

x (3 x - 1) + x (4 x + 4) - x^{2} = 6 x^{2} + 3 x

（兩條路重疊的

x \times x

只算一次），相減得

6 x^{2} + 5 x - 4

，與上式相同。

面積題先找出哪些部分要扣掉，再把長與寬列成多項式相乘。

06第 23～26 題：多項式除法、由相對次數折線圖求百分比與人數

第 23 題用直式除法。第一步：

3 x^{2} \div 3 x^{2} = 1

，商式第一項是

1

；

1 \times (3 x^{2} - 3 x + 4) = 3 x^{2} - 3 x + 4

，相減得

(6 x + 3 x) + (2 - 4) = 9 x - 2

。

9 x - 2

的次數是

1

，比除式

3 x^{2} - 3 x + 4

的次數

2

低，所以除法結束。商式

1

，餘式

9 x - 2

。

驗算：

(3 x^{2} - 3 x + 4) \times 1 + (9 x - 2) = 3 x^{2} + 6 x + 2

，正確。

第 24 題第一步：

2 x^{2} \div x = 2 x

，

2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x

，相減得

- 2 x - 3

。第二步：

- 2 x \div x = - 2

，

- 2 (x + 1) = - 2 x - 2

，相減得

- 1

。商式

2 x - 2

，餘式

- 1

。

驗算：

(x + 1) (2 x - 2) + (- 1) = 2 x^{2} - 2 - 1 = 2 x^{2} - 3

，正確。

第 25 題由圖，組中點

45

、

55

對應的組是

40 \sim 50

與

50 \sim 60

，相對次數分別是

10%

與

15%

。未滿

60

分占

10% + 15% = 25%

。

相對次數折線圖上的點是組中點，要把它對應回組的範圍。

第 26 題

70

分以上（含）包含

70 \sim 80

（

30%

）、

80 \sim 90

（

15%

）與

90 \sim 100

（

10%

）三組，合計

55%

。人數為

600 \times 55% = 330

人。

驗算：

100% - 25% - 20% = 55%

，其中

20%

是

60 \sim 70

分的相對次數，結果與上式相同。

相對次數折線圖的點要對回組的範圍；相對次數乘總人數就是人數。

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03第 11～15 題：分配律、平方差公式、和差平方公式

04第 16～18 題：多項式的除法關係、多項式的加減

05第 19～22 題：相對次數的人數、正方形面積、田地的稻田面積

06第 23～26 題：多項式除法、由相對次數折線圖求百分比與人數

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