段考詳解範圍：多項式與乘法公式、平方根（多項式的加減乘除、乘法公式、平方根）

大有國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

選擇題 10 題，每題 4 分，共 40 分；填充題 13 題共 15 格，每格 4 分，共 60 分；全卷 100 分。注意：以下答案中，若是以多項式表示的，皆需以「降冪排列」呈現，否則不予計分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

一、選擇題（每題 4 分，共 40 分）

下列共有多少個

x

的多項式？

3 x^{2} + 7

，

∣ - 5∣ - 2 x

，

- x^{2} + ∣ x ∣

，

x - \frac{2}{x}

，

(\frac{2}{3})^{x} + 5 x

，

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} = 0

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

有關分配律或乘法公式的使用，下列哪一個式子是正確的？

(A) $(a - b) (c - d) = a c - a d + b c - b d$
(B) $(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}$
(C) $(- a + b) (- a - b) = - a^{2} - b^{2}$
(D) $(a + 3 b)^{2} = a^{2} + 9 b^{2}$

已知

A

為三次多項式，

B

為二次多項式，則下列敘述何者正確？

(A) $A + B$ 為五次多項式
(B) $A - B$ 為一次多項式
(C) $A \times B$ 為六次多項式
(D) $A \div B$ 的商為一次多項式

下列數字中，有多少個完全平方數？

1

，

\frac{9}{4}

，

- 4

，

169

，

400

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

下列各式中，哪一個是錯誤的？

(A) $(- 5)^{2} = - 5$
(B) $1 6^{2} = 16$
(C) $8 1^{2} = 9^{2}$
(D) $6 \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$

有關多項式

7 x^{2} - 3 x - 15 + 27 x^{4}

的敘述，下列何者是正確的？

(A) 此多項式為二次多項式
(B) 此多項式的升冪排列為 $- 3 x + 7 x^{2} + 27 x^{4} - 15$
(C) $x$ 項的係數為 $3$
(D) $x^{3}$ 項的係數為 $0$

有關多項式的除法

(6 x^{2} + 9 x + 3) \div (- 3 x)

的商式與餘式，正確答案為下列哪一項選項？

(A) 商式 $2 x^{2} + 3 x + 1$ ，餘式 $0$
(B) 商式 $- 2 x^{2} - 3 x - 1$ ，餘式 $0$
(C) 商式 $2 x + 3$ ，餘式 $- 3$
(D) 商式 $- 2 x - 3$ ，餘式 $3$

阿達做多項式的直式減法運算，其計算結果正確且算式如下所示，請問

a + b + c

的值正確為多少？

(a x^{2} + 5 x + c) - (4 x^{2} - 3 x - 2) = - 6 x^{2} - b x + 5

(A) $- 17$
(B) $- 7$
(C) $15$
(D) $25$

已知

a + b = 10

，

ab = 16

，則

a^{2} + b^{2}

的值正確為多少？

(A) $68$
(B) $84$
(C) $100$
(D) $- 1$

請計算

2025 \times \frac{2025}{2021}

的值，請問此數值最接近下列哪一個正整數？

(A) $2025$
(B) $2026$
(C) $2029$
(D) $2030$

二、填充題（每格 4 分，共 60 分）（本頁第 11～23 題依序為原卷填充題 1～13；第 11 題有 (1)(2)(3) 三格，共 15 格）

化簡下列各式：(1)

(- 5 x^{2} + 7 x + 3) - (- x^{2} - 4 x + 2) =

____。(2)

(6 x - \frac{1}{3})^{2} =

____。(3)

(2 - 3 x) (- 4 x + 5) - 2 (- x^{2} - 7) =

____。

求

(4 - 6 x + 8 x^{2}) \div (4 x - 1)

的商式為 ____。

256

的平方根為 ____。

已知

- 5

是

4 x - 3

的負平方根，則

x =

____。

請計算

(70 \frac{1}{2})^{2} - 70 \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

的值為 ____。

已知

a x^{2} + 6 x - 7 + 2 x^{2} - b x + 4

為常數多項式，則

a + b

的值為 ____。

已知

6 x^{2} - 13 x + k

被

3 x - 2

除後，得到餘式為

7

，則

k

的值為 ____。

已知

m

為正整數，且

9 < m < 11

，則滿足這樣條件的正整數

m

共有 ____ 個可能答案。

已知

B

為一個多項式，且滿足

\frac{4 x ^{2} + 5 x - 13}{B} = x + 2 - \frac{7}{B}

，則多項式

B =

____。

如圖，有一個 H 字型的圖案，其相鄰兩邊的交角皆為直角，邊長如圖所示，請以

x

的多項式表示此圖形的周長為 ____。

載入中...

請計算

\frac{202 0 ^{2} - 25}{4050 + 101 4 ^{2} - 101 1 ^{2}}

的值為 ____。

已知

A = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) + 1

，試求

A

的個位數字為 ____。

請計算

\frac{2 ^{2}}{2 ^{2} - 1} \times \frac{3 ^{2}}{3 ^{2} - 1} \times \frac{4 ^{2}}{4 ^{2} - 1} \times \dots \times \frac{3 0 ^{2}}{3 0 ^{2} - 1}

的值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(A)

第 10 題(C)

第 11 題(1)

- 4 x^{2} + 11 x + 1

　(2)

36 x^{2} - 4 x + \frac{1}{9}

　(3)

14 x^{2} - 23 x + 24

第 12 題

2 x - 1

第 13 題

\pm 4

第 14 題

7

第 15 題

4900

第 16 題

4

第 17 題

13

第 18 題

39

第 19 題

4 x - 3

第 20 題

34 x

第 21 題

403

第 22 題

6

第 23 題

\frac{60}{31}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01選擇 1～3：多項式與乘法公式

第 1 題答案 (B)。多項式裡的

x

只能做加、減、乘，以及非負整數次方，逐一判斷：

3 x^{2} + 7

是

x

的二次多項式；

∣ - 5∣ - 2 x

的絕對值裡只有常數，

∣ - 5∣ = 5

，式子就是

5 - 2 x

，是一次多項式。這兩個是。

- x^{2} + ∣ x ∣

的

x

在絕對值裡，不是多項式；

x - \frac{2}{x}

的分母含有

x

，不是；

(\frac{2}{3})^{x} + 5 x

的

x

在指數上，不是；

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} = 0

有等號，是方程式，不是多項式。所以共

2

個。

∣ - 5∣

只是一個數，

∣ x ∣

才是把文字放進絕對值，兩者要分清楚。

第 2 題答案 (B)。(A) 展開

(a - b) (c - d) = a c - a d - b c + b d

，中間兩項應是

- b c

，原式寫成

+ b c

，錯。(B)

(2 a - b)^{2} = (2 a)^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot b + b^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}

，對。(C)

(- a + b) (- a - b) = a^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}

，原式寫成

- a^{2} - b^{2}

，錯。(D) 中間項

2 \cdot a \cdot 3 b = 6 ab

不能漏，應為

a^{2} + 6 ab + 9 b^{2}

，錯。

第 3 題答案 (D)。

A

是三次、

B

是二次。(A)

A + B

的最高次項仍是

x^{3}

，是三次，不是五次。(B)

A - B

的最高次項仍是三次，不是一次。(C) 兩個多項式相乘，次數相加：

3 + 2 = 5

，是五次，不是六次。(D) 除法的商式次數等於被除式次數減除式次數：

3 - 2 = 1

，商式是一次，對。

判斷次數只看最高次項。

多項式的次數看最高次項；乘法次數相加，除法次數相減。

02選擇 4～7：完全平方數、根號、多項式的項與除法

第 4 題答案 (C)。這裡的完全平方數指整數的平方。

1 = 1^{2}

是；

\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^{2}

雖是有理數的平方，但

\frac{3}{2}

不是整數，依國中的定義不算；

- 4

是負數，不能寫成整數的平方；

169 = 1 3^{2}

是；

400 = 2 0^{2}

是。共

3

個。

\frac{9}{4}

不是整數，不能算進完全平方數，因此不是 4 個。

第 5 題答案 (A)。(A)

(- 5)^{2} = 25 = 5

，不是

- 5

，錯（根號的值不會是負數）。(B)

1 6^{2} = 16

，對。(C)

8 1^{2} = 81 = 9^{2}

，對。(D)

6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}

，

\frac{25}{4} = \frac{5}{2}

，對。

第 6 題答案 (D)。(A) 最高次項是

27 x^{4}

，是四次，不是二次。(B) 升冪排列要從次數最低的項開始，應寫成

- 15 - 3 x + 7 x^{2} + 27 x^{4}

，題目把常數項擺在最後，錯。(C)

x

項是

- 3 x

，係數是

- 3

，不是

3

。(D) 原式沒有

x^{3}

的項，所以

x^{3}

項的係數是

0

，對。

第 7 題答案 (D)。用長除法：

6 x^{2} \div (- 3 x) = - 2 x

，

- 2 x \times (- 3 x) = 6 x^{2}

，相減得

9 x

；

9 x \div (- 3 x) = - 3

，

- 3 \times (- 3 x) = 9 x

，相減得

3

。商式是

- 2 x - 3

，餘式是

3

。驗算：

(- 3 x) (- 2 x - 3) + 3 = 6 x^{2} + 9 x + 3

，對。

(A)(B) 的商式是二次式，乘回一次的除式會變成三次，不可能；(C) 乘回去是

(- 3 x) (2 x + 3) - 3 = - 6 x^{2} - 9 x - 3

，正負號全部相反。

根號的值不是負數；多項式除法用長除法，餘式的次數要比除式低。

03選擇 8～10：多項式的係數、乘法公式與估算

第 8 題答案 (B)。比較兩邊係數：

x^{2}

項

a - 4 = - 6

，得

a = - 2

；

x

項

5 - (- 3) = 8

應等於

- b

，得

b = - 8

；常數項

c - (- 2) = c + 2

應等於

5

，得

c = 3

。

a + b + c = - 2 - 8 + 3 = - 7

。

原卷以直式排列，本檔改寫成橫式，係數與原式相同。

第 9 題答案 (A)。

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 1 0^{2} - 2 \times 16 = 100 - 32 = 68

。

第 10 題答案 (C)。把分子的

2025

寫成

2021 + 4

：

2025 \times \frac{2025}{2021} = 2025 \times \frac{2021 + 4}{2021} = 2025 \times (1 + \frac{4}{2021}) = 2025 + \frac{4 \times 2025}{2021}

。又

4 \times 2025 = 8100 = 4 \times 2021 + 16

，所以

\frac{4 \times 2025}{2021} = 4 + \frac{16}{2021}

，原式

= 2025 + 4 + \frac{16}{2021} = 2029 + \frac{16}{2021}

。

\frac{16}{2021}

比

\frac{1}{2}

小很多，最接近

2029

。

和與積可以求平方和；大數的商先拆成整數加餘數，再判斷最接近的整數。

04填充 11～14：多項式的運算、平方根

第 11 題(1)

(- 5 x^{2} + 7 x + 3) - (- x^{2} - 4 x + 2) = - 5 x^{2} + 7 x + 3 + x^{2} + 4 x - 2 = - 4 x^{2} + 11 x + 1

。(2)

(6 x - \frac{1}{3})^{2} = (6 x)^{2} - 2 \cdot 6 x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} = 36 x^{2} - 4 x + \frac{1}{9}

。(3)

(2 - 3 x) (- 4 x + 5) = - 8 x + 10 + 12 x^{2} - 15 x = 12 x^{2} - 23 x + 10

；

- 2 (- x^{2} - 7) = 2 x^{2} + 14

；相加得

14 x^{2} - 23 x + 24

。

(1)(2)(3) 的答案都要按降冪排列，否則不予計分。

第 12 題被除式依降冪排列為

8 x^{2} - 6 x + 4

。長除法：

8 x^{2} \div 4 x = 2 x

，

2 x \times (4 x - 1) = 8 x^{2} - 2 x

，相減得

- 4 x + 4

；

- 4 x \div 4 x = - 1

，

- 1 \times (4 x - 1) = - 4 x + 1

，相減得

3

。商式是

2 x - 1

，餘式是

3

。

第 13 題

256 = 16

，因為

1 6^{2} = 256

。

16

的平方根是

\pm 4

，因為

4^{2} = 16

且

(- 4)^{2} = 16

。兩個都要寫。

第 14 題

- 5

是

4 x - 3

的負平方根，即

- 4 x - 3 = - 5

。兩邊變號得

4 x - 3 = 5

，所以

4 x - 3 = 25

，

4 x = 28

，

x = 7

。驗算：

4 \times 7 - 3 = 25

，

25 = 5

，負平方根是

- 5

，符合。

負平方根是根號前面加負號；多項式的答案要照降冪排列。

05填充 15～17：完全平方、常數多項式、除法中的未知數

第 15 題令

a = 70 \frac{1}{2}

，原式為

a^{2} - a + \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^{2}

（完全平方公式）。

a - \frac{1}{2} = 70

，所以原式

= 7 0^{2} = 4900

。

第 16 題合併同類項：

a x^{2} + 6 x - 7 + 2 x^{2} - b x + 4 = (a + 2) x^{2} + (6 - b) x - 3

。要是常數多項式，

x^{2}

項與

x

項的係數都必須是

0

：

a + 2 = 0

，得

a = - 2

；

6 - b = 0

，得

b = 6

。

a + b = 4

。

第 17 題用長除法：

6 x^{2} \div 3 x = 2 x

，

2 x (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x

，相減得

- 9 x + k

；

- 9 x \div 3 x = - 3

，

- 3 (3 x - 2) = - 9 x + 6

，相減得

k - 6

。餘式是

k - 6

，依題意

k - 6 = 7

，所以

k = 13

。驗算：

(3 x - 2) (2 x - 3) + 7 = 6 x^{2} - 13 x + 13

，對。

常數多項式要讓變數的各次項係數都為零；除法的餘式由長除法最後一步得到。

06填充 18～20：平方根的範圍、分式等式、H 字形周長

第 18 題

9 < m < 11

兩邊平方（兩邊都是正數，平方後不等號方向不變），得

81 < m < 121

。正整數

m

為

82, 83, \dots, 120

，共

120 - 82 + 1 = 39

個。

第 19 題兩邊乘以

B

：

4 x^{2} + 5 x - 13 = (x + 2) B - 7

，移項得

(x + 2) B = 4 x^{2} + 5 x - 6

。長除法：

4 x^{2} \div x = 4 x

，

4 x (x + 2) = 4 x^{2} + 8 x

，相減得

- 3 x - 6

；

- 3 x \div x = - 3

，

- 3 (x + 2) = - 3 x - 6

，相減得

0

。商式是

4 x - 3

，所以

B = 4 x - 3

。驗算：

(x + 2) (4 x - 3) - 7 = 4 x^{2} + 5 x - 13

，對。

第 20 題看圖：H 字形有十二條邊，相鄰邊互相垂直。左外邊

6 x + 1

與右外邊同長（都是從最上到最下）；上左腿頂與上右腿頂各為

2 x - 3

；上凹槽的寬，也就是中間橫桿的上緣，為

4 x + 3

。上方總寬

= (2 x - 3) + (4 x + 3) + (2 x - 3) = 8 x - 3

。中間橫桿的下緣也是

4 x + 3

，所以下方兩個腿底的和是

(8 x - 3) - (4 x + 3) = 4 x - 6

。左側：上凹槽的左壁為

3 x - 2

，下凹槽的左壁為

4

，所以中間橫桿厚為

(6 x + 1) - (3 x - 2) - 4 = 3 x - 1

。右側兩壁的和也等於左側兩壁的和，即

(3 x - 2) + 4 = 3 x + 2

。周長＝橫邊總和＋直邊總和：橫邊為

(4 x - 6) + (4 x + 3) + (4 x - 6) + (4 x + 3) = 16 x - 6

；直邊為

2 (6 x + 1) + (3 x + 2) + (3 x + 2) = 18 x + 6

，合計

34 x

。

驗算：取

x = 3

，各段長

3

、

7

、

15

、

19

、

4

都是正數，周長為

102 = 34 \times 3

。

不規則的直角圖形，邊要一條一條加，左右對稱的邊不能漏。

07填充 21～23：平方差公式與連乘

第 21 題分子用平方差公式：

202 0^{2} - 25 = (2020 - 5) (2020 + 5) = 2015 \times 2025

。分母：

101 4^{2} - 101 1^{2} = (1014 - 1011) (1014 + 1011) = 3 \times 2025 = 6075

，所以分母

= 4050 + 6075 = 10125 = 5 \times 2025

。原式

= \frac{2015 \times 2025}{5 \times 2025} = \frac{2015}{5} = 403

。

第 22 題乘上

(2 - 1) = 1

不改變值，再用平方差公式一步一步化簡：

(2 - 1) (2 + 1) = 2^{2} - 1

，

(2^{2} - 1) (2^{2} + 1) = 2^{4} - 1

，……，

(2^{16} - 1) (2^{16} + 1) = 2^{32} - 1

。所以

A = 2^{32} - 1 + 1 = 2^{32}

。2 的次方個位數依序為

2, 4, 8, 6

循環，

32

是

4

的倍數，個位數字是

6

。

第 23 題

\frac{n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{n ^{2}}{( n - 1 ) ( n + 1 )} = \frac{n}{n - 1} \times \frac{n}{n + 1}

（平方差公式）。連乘：

\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \dots \frac{30}{29} = 30

；

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{30}{31} = \frac{2}{31}

。兩者相乘：

30 \times \frac{2}{31} = \frac{60}{31}

。

看到平方差，拆成相鄰兩數相乘，連乘時中間的因式會互相消去。

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大有國中 113 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 20 題要把 H 字形的十二條邊全部加進去，左右對稱的邊不能漏；第 1 題要逐一判斷六個式子是不是 x 的多項式，分母、指數或絕對值裡含有 x 的都不算；第 23 題要看出每一項平方差拆開後，連乘會消去大部分的因式。

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題目取自大有國中 113 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／國二

段考詳解範圍：多項式與乘法公式、平方根（多項式的加減乘除、乘法公式、平方根）

大有國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

一、選擇題（每題 4 分，共 40 分）

下列共有多少個

x

的多項式？

3 x^{2} + 7

，

∣ - 5∣ - 2 x

，

- x^{2} + ∣ x ∣

，

x - \frac{2}{x}

，

(\frac{2}{3})^{x} + 5 x

，

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} = 0

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

有關分配律或乘法公式的使用，下列哪一個式子是正確的？

(A) $(a - b) (c - d) = a c - a d + b c - b d$
(B) $(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}$
(C) $(- a + b) (- a - b) = - a^{2} - b^{2}$
(D) $(a + 3 b)^{2} = a^{2} + 9 b^{2}$

已知

A

為三次多項式，

B

為二次多項式，則下列敘述何者正確？

(A) $A + B$ 為五次多項式
(B) $A - B$ 為一次多項式
(C) $A \times B$ 為六次多項式
(D) $A \div B$ 的商為一次多項式

下列數字中，有多少個完全平方數？

1

，

\frac{9}{4}

，

- 4

，

169

，

400

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

下列各式中，哪一個是錯誤的？

(A) $(- 5)^{2} = - 5$
(B) $1 6^{2} = 16$
(C) $8 1^{2} = 9^{2}$
(D) $6 \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$

有關多項式

7 x^{2} - 3 x - 15 + 27 x^{4}

的敘述，下列何者是正確的？

(A) 此多項式為二次多項式
(B) 此多項式的升冪排列為 $- 3 x + 7 x^{2} + 27 x^{4} - 15$
(C) $x$ 項的係數為 $3$
(D) $x^{3}$ 項的係數為 $0$

有關多項式的除法

(6 x^{2} + 9 x + 3) \div (- 3 x)

的商式與餘式，正確答案為下列哪一項選項？

(A) 商式 $2 x^{2} + 3 x + 1$ ，餘式 $0$
(B) 商式 $- 2 x^{2} - 3 x - 1$ ，餘式 $0$
(C) 商式 $2 x + 3$ ，餘式 $- 3$
(D) 商式 $- 2 x - 3$ ，餘式 $3$

阿達做多項式的直式減法運算，其計算結果正確且算式如下所示，請問

a + b + c

的值正確為多少？

(a x^{2} + 5 x + c) - (4 x^{2} - 3 x - 2) = - 6 x^{2} - b x + 5

(A) $- 17$
(B) $- 7$
(C) $15$
(D) $25$

已知

a + b = 10

，

ab = 16

，則

a^{2} + b^{2}

的值正確為多少？

(A) $68$
(B) $84$
(C) $100$
(D) $- 1$

請計算

2025 \times \frac{2025}{2021}

的值，請問此數值最接近下列哪一個正整數？

(A) $2025$
(B) $2026$
(C) $2029$
(D) $2030$

二、填充題（每格 4 分，共 60 分）（本頁第 11～23 題依序為原卷填充題 1～13；第 11 題有 (1)(2)(3) 三格，共 15 格）

化簡下列各式：(1)

(- 5 x^{2} + 7 x + 3) - (- x^{2} - 4 x + 2) =

____。(2)

(6 x - \frac{1}{3})^{2} =

____。(3)

(2 - 3 x) (- 4 x + 5) - 2 (- x^{2} - 7) =

____。

求

(4 - 6 x + 8 x^{2}) \div (4 x - 1)

的商式為 ____。

256

的平方根為 ____。

已知

- 5

是

4 x - 3

的負平方根，則

x =

____。

請計算

(70 \frac{1}{2})^{2} - 70 \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

的值為 ____。

已知

a x^{2} + 6 x - 7 + 2 x^{2} - b x + 4

為常數多項式，則

a + b

的值為 ____。

已知

6 x^{2} - 13 x + k

被

3 x - 2

除後，得到餘式為

7

，則

k

的值為 ____。

已知

m

為正整數，且

9 < m < 11

，則滿足這樣條件的正整數

m

共有 ____ 個可能答案。

已知

B

為一個多項式，且滿足

\frac{4 x ^{2} + 5 x - 13}{B} = x + 2 - \frac{7}{B}

，則多項式

B =

____。

如圖，有一個 H 字型的圖案，其相鄰兩邊的交角皆為直角，邊長如圖所示，請以

x

的多項式表示此圖形的周長為 ____。

載入中...

請計算

\frac{202 0 ^{2} - 25}{4050 + 101 4 ^{2} - 101 1 ^{2}}

的值為 ____。

已知

A = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) + 1

，試求

A

的個位數字為 ____。

請計算

\frac{2 ^{2}}{2 ^{2} - 1} \times \frac{3 ^{2}}{3 ^{2} - 1} \times \frac{4 ^{2}}{4 ^{2} - 1} \times \dots \times \frac{3 0 ^{2}}{3 0 ^{2} - 1}

的值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(B)

第 9 題(A)

第 10 題(C)

第 11 題(1)

- 4 x^{2} + 11 x + 1

　(2)

36 x^{2} - 4 x + \frac{1}{9}

　(3)

14 x^{2} - 23 x + 24

第 12 題

2 x - 1

第 13 題

\pm 4

第 14 題

7

第 15 題

4900

第 16 題

4

第 17 題

13

第 18 題

39

第 19 題

4 x - 3

第 20 題

34 x

第 21 題

403

第 22 題

6

第 23 題

\frac{60}{31}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01選擇 1～3：多項式與乘法公式

第 1 題答案 (B)。多項式裡的

x

只能做加、減、乘，以及非負整數次方，逐一判斷：

3 x^{2} + 7

是

x

的二次多項式；

∣ - 5∣ - 2 x

的絕對值裡只有常數，

∣ - 5∣ = 5

，式子就是

5 - 2 x

，是一次多項式。這兩個是。

- x^{2} + ∣ x ∣

的

x

在絕對值裡，不是多項式；

x - \frac{2}{x}

的分母含有

x

，不是；

(\frac{2}{3})^{x} + 5 x

的

x

在指數上，不是；

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} = 0

有等號，是方程式，不是多項式。所以共

2

個。

∣ - 5∣

只是一個數，

∣ x ∣

才是把文字放進絕對值，兩者要分清楚。

第 2 題答案 (B)。(A) 展開

(a - b) (c - d) = a c - a d - b c + b d

，中間兩項應是

- b c

，原式寫成

+ b c

，錯。(B)

(2 a - b)^{2} = (2 a)^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot b + b^{2} = 4 a^{2} - 4 ab + b^{2}

，對。(C)

(- a + b) (- a - b) = a^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}

，原式寫成

- a^{2} - b^{2}

，錯。(D) 中間項

2 \cdot a \cdot 3 b = 6 ab

不能漏，應為

a^{2} + 6 ab + 9 b^{2}

，錯。

第 3 題答案 (D)。

A

是三次、

B

是二次。(A)

A + B

的最高次項仍是

x^{3}

，是三次，不是五次。(B)

A - B

的最高次項仍是三次，不是一次。(C) 兩個多項式相乘，次數相加：

3 + 2 = 5

，是五次，不是六次。(D) 除法的商式次數等於被除式次數減除式次數：

3 - 2 = 1

，商式是一次，對。

判斷次數只看最高次項。

多項式的次數看最高次項；乘法次數相加，除法次數相減。

02選擇 4～7：完全平方數、根號、多項式的項與除法

第 4 題答案 (C)。這裡的完全平方數指整數的平方。

1 = 1^{2}

是；

\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^{2}

雖是有理數的平方，但

\frac{3}{2}

不是整數，依國中的定義不算；

- 4

是負數，不能寫成整數的平方；

169 = 1 3^{2}

是；

400 = 2 0^{2}

是。共

3

個。

\frac{9}{4}

不是整數，不能算進完全平方數，因此不是 4 個。

第 5 題答案 (A)。(A)

(- 5)^{2} = 25 = 5

，不是

- 5

，錯（根號的值不會是負數）。(B)

1 6^{2} = 16

，對。(C)

8 1^{2} = 81 = 9^{2}

，對。(D)

6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}

，

\frac{25}{4} = \frac{5}{2}

，對。

第 6 題答案 (D)。(A) 最高次項是

27 x^{4}

，是四次，不是二次。(B) 升冪排列要從次數最低的項開始，應寫成

- 15 - 3 x + 7 x^{2} + 27 x^{4}

，題目把常數項擺在最後，錯。(C)

x

項是

- 3 x

，係數是

- 3

，不是

3

。(D) 原式沒有

x^{3}

的項，所以

x^{3}

項的係數是

0

，對。

第 7 題答案 (D)。用長除法：

6 x^{2} \div (- 3 x) = - 2 x

，

- 2 x \times (- 3 x) = 6 x^{2}

，相減得

9 x

；

9 x \div (- 3 x) = - 3

，

- 3 \times (- 3 x) = 9 x

，相減得

3

。商式是

- 2 x - 3

，餘式是

3

。驗算：

(- 3 x) (- 2 x - 3) + 3 = 6 x^{2} + 9 x + 3

，對。

(A)(B) 的商式是二次式，乘回一次的除式會變成三次，不可能；(C) 乘回去是

(- 3 x) (2 x + 3) - 3 = - 6 x^{2} - 9 x - 3

，正負號全部相反。

根號的值不是負數；多項式除法用長除法，餘式的次數要比除式低。

03選擇 8～10：多項式的係數、乘法公式與估算

第 8 題答案 (B)。比較兩邊係數：

x^{2}

項

a - 4 = - 6

，得

a = - 2

；

x

項

5 - (- 3) = 8

應等於

- b

，得

b = - 8

；常數項

c - (- 2) = c + 2

應等於

5

，得

c = 3

。

a + b + c = - 2 - 8 + 3 = - 7

。

原卷以直式排列，本檔改寫成橫式，係數與原式相同。

第 9 題答案 (A)。

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 1 0^{2} - 2 \times 16 = 100 - 32 = 68

。

第 10 題答案 (C)。把分子的

2025

寫成

2021 + 4

：

2025 \times \frac{2025}{2021} = 2025 \times \frac{2021 + 4}{2021} = 2025 \times (1 + \frac{4}{2021}) = 2025 + \frac{4 \times 2025}{2021}

。又

4 \times 2025 = 8100 = 4 \times 2021 + 16

，所以

\frac{4 \times 2025}{2021} = 4 + \frac{16}{2021}

，原式

= 2025 + 4 + \frac{16}{2021} = 2029 + \frac{16}{2021}

。

\frac{16}{2021}

比

\frac{1}{2}

小很多，最接近

2029

。

和與積可以求平方和；大數的商先拆成整數加餘數，再判斷最接近的整數。

04填充 11～14：多項式的運算、平方根

第 11 題(1)

(- 5 x^{2} + 7 x + 3) - (- x^{2} - 4 x + 2) = - 5 x^{2} + 7 x + 3 + x^{2} + 4 x - 2 = - 4 x^{2} + 11 x + 1

。(2)

(6 x - \frac{1}{3})^{2} = (6 x)^{2} - 2 \cdot 6 x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} = 36 x^{2} - 4 x + \frac{1}{9}

。(3)

(2 - 3 x) (- 4 x + 5) = - 8 x + 10 + 12 x^{2} - 15 x = 12 x^{2} - 23 x + 10

；

- 2 (- x^{2} - 7) = 2 x^{2} + 14

；相加得

14 x^{2} - 23 x + 24

。

(1)(2)(3) 的答案都要按降冪排列，否則不予計分。

第 12 題被除式依降冪排列為

8 x^{2} - 6 x + 4

。長除法：

8 x^{2} \div 4 x = 2 x

，

2 x \times (4 x - 1) = 8 x^{2} - 2 x

，相減得

- 4 x + 4

；

- 4 x \div 4 x = - 1

，

- 1 \times (4 x - 1) = - 4 x + 1

，相減得

3

。商式是

2 x - 1

，餘式是

3

。

第 13 題

256 = 16

，因為

1 6^{2} = 256

。

16

的平方根是

\pm 4

，因為

4^{2} = 16

且

(- 4)^{2} = 16

。兩個都要寫。

第 14 題

- 5

是

4 x - 3

的負平方根，即

- 4 x - 3 = - 5

。兩邊變號得

4 x - 3 = 5

，所以

4 x - 3 = 25

，

4 x = 28

，

x = 7

。驗算：

4 \times 7 - 3 = 25

，

25 = 5

，負平方根是

- 5

，符合。

負平方根是根號前面加負號；多項式的答案要照降冪排列。

05填充 15～17：完全平方、常數多項式、除法中的未知數

第 15 題令

a = 70 \frac{1}{2}

，原式為

a^{2} - a + \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^{2}

（完全平方公式）。

a - \frac{1}{2} = 70

，所以原式

= 7 0^{2} = 4900

。

第 16 題合併同類項：

a x^{2} + 6 x - 7 + 2 x^{2} - b x + 4 = (a + 2) x^{2} + (6 - b) x - 3

。要是常數多項式，

x^{2}

項與

x

項的係數都必須是

0

：

a + 2 = 0

，得

a = - 2

；

6 - b = 0

，得

b = 6

。

a + b = 4

。

第 17 題用長除法：

6 x^{2} \div 3 x = 2 x

，

2 x (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x

，相減得

- 9 x + k

；

- 9 x \div 3 x = - 3

，

- 3 (3 x - 2) = - 9 x + 6

，相減得

k - 6

。餘式是

k - 6

，依題意

k - 6 = 7

，所以

k = 13

。驗算：

(3 x - 2) (2 x - 3) + 7 = 6 x^{2} - 13 x + 13

，對。

常數多項式要讓變數的各次項係數都為零；除法的餘式由長除法最後一步得到。

06填充 18～20：平方根的範圍、分式等式、H 字形周長

第 18 題

9 < m < 11

兩邊平方（兩邊都是正數，平方後不等號方向不變），得

81 < m < 121

。正整數

m

為

82, 83, \dots, 120

，共

120 - 82 + 1 = 39

個。

第 19 題兩邊乘以

B

：

4 x^{2} + 5 x - 13 = (x + 2) B - 7

，移項得

(x + 2) B = 4 x^{2} + 5 x - 6

。長除法：

4 x^{2} \div x = 4 x

，

4 x (x + 2) = 4 x^{2} + 8 x

，相減得

- 3 x - 6

；

- 3 x \div x = - 3

，

- 3 (x + 2) = - 3 x - 6

，相減得

0

。商式是

4 x - 3

，所以

B = 4 x - 3

。驗算：

(x + 2) (4 x - 3) - 7 = 4 x^{2} + 5 x - 13

，對。

第 20 題看圖：H 字形有十二條邊，相鄰邊互相垂直。左外邊

6 x + 1

與右外邊同長（都是從最上到最下）；上左腿頂與上右腿頂各為

2 x - 3

；上凹槽的寬，也就是中間橫桿的上緣，為

4 x + 3

。上方總寬

= (2 x - 3) + (4 x + 3) + (2 x - 3) = 8 x - 3

。中間橫桿的下緣也是

4 x + 3

，所以下方兩個腿底的和是

(8 x - 3) - (4 x + 3) = 4 x - 6

。左側：上凹槽的左壁為

3 x - 2

，下凹槽的左壁為

4

，所以中間橫桿厚為

(6 x + 1) - (3 x - 2) - 4 = 3 x - 1

。右側兩壁的和也等於左側兩壁的和，即

(3 x - 2) + 4 = 3 x + 2

。周長＝橫邊總和＋直邊總和：橫邊為

(4 x - 6) + (4 x + 3) + (4 x - 6) + (4 x + 3) = 16 x - 6

；直邊為

2 (6 x + 1) + (3 x + 2) + (3 x + 2) = 18 x + 6

，合計

34 x

。

驗算：取

x = 3

，各段長

3

、

7

、

15

、

19

、

4

都是正數，周長為

102 = 34 \times 3

。

不規則的直角圖形，邊要一條一條加，左右對稱的邊不能漏。

07填充 21～23：平方差公式與連乘

第 21 題分子用平方差公式：

202 0^{2} - 25 = (2020 - 5) (2020 + 5) = 2015 \times 2025

。分母：

101 4^{2} - 101 1^{2} = (1014 - 1011) (1014 + 1011) = 3 \times 2025 = 6075

，所以分母

= 4050 + 6075 = 10125 = 5 \times 2025

。原式

= \frac{2015 \times 2025}{5 \times 2025} = \frac{2015}{5} = 403

。

第 22 題乘上

(2 - 1) = 1

不改變值，再用平方差公式一步一步化簡：

(2 - 1) (2 + 1) = 2^{2} - 1

，

(2^{2} - 1) (2^{2} + 1) = 2^{4} - 1

，……，

(2^{16} - 1) (2^{16} + 1) = 2^{32} - 1

。所以

A = 2^{32} - 1 + 1 = 2^{32}

。2 的次方個位數依序為

2, 4, 8, 6

循環，

32

是

4

的倍數，個位數字是

6

。

第 23 題

\frac{n ^{2}}{n ^{2} - 1} = \frac{n ^{2}}{( n - 1 ) ( n + 1 )} = \frac{n}{n - 1} \times \frac{n}{n + 1}

（平方差公式）。連乘：

\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \dots \frac{30}{29} = 30

；

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{30}{31} = \frac{2}{31}

。兩者相乘：

30 \times \frac{2}{31} = \frac{60}{31}

。

看到平方差，拆成相鄰兩數相乘，連乘時中間的因式會互相消去。

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大有國中 113 上國二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大有國中 113 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自大有國中 113 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

大有國中 113 上國二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01選擇 1～3：多項式與乘法公式

02選擇 4～7：完全平方數、根號、多項式的項與除法

03選擇 8～10：多項式的係數、乘法公式與估算

04填充 11～14：多項式的運算、平方根

05填充 15～17：完全平方、常數多項式、除法中的未知數

06填充 18～20：平方根的範圍、分式等式、H 字形周長

07填充 21～23：平方差公式與連乘

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04填充 11～14：多項式的運算、平方根

05填充 15～17：完全平方、常數多項式、除法中的未知數

06填充 18～20：平方根的範圍、分式等式、H 字形周長

07填充 21～23：平方差公式與連乘

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大有國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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國二第一次段考
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