段考詳解範圍：多項式與乘法公式、平方根（多項式的意義與加減、多項式的乘法與除法、乘法公式、平方根的意義）

誠正國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 34 題，照原卷順序

選擇題 12 題（第 1～12 題，第 11～12 題為題組）與填充題 15 題（第 13～27 題）共 27 題，依答對總題數查配分表，滿分 75 分；配分表（題目卷）：答對 1～27 題分別得 3、6、9、12、16、20、24、28、32、35、38、41、44、47、50、53、55、57、59、61、63、65、67、69、71、73、75 分。計算題 5 題（第 28～32 題）每題 4 分，共 20 分；非選擇題第 1 題 2 分、第 2 題 3 分，共 5 分（第 33、34 題）。學校答案卷上的配分表第 14、15 格印 48、51，與題目卷的 47、50 不同，此處依題目卷。答案已與學校公布的答案逐題核對，34 題全部一致。

一、選擇題：（配分方式，請參照配分表）

下列關於多項式的敘述，何者正確？

(A) $x + \frac{1}{x} + 1$ 是 $x$ 的一次多項式
(B) $x + 1 = 2$ 是 $x$ 的一次多項式
(C) $∣3 x + 1∣$ 是 $x$ 的一次多項式
(D) $x^{2} + 1$ 是 $x$ 的二次多項式

請問

28

的整數部分為？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $4$
(D) $5$

下列關於多項式

x^{2} - 12 x + 36

的敘述何者錯誤？

(A) 此多項式能化成 $(x - 12)^{2}$
(B) 此多項式共有三項
(C) 一次項的係數是 $- 12$
(D) 此多項式為二次多項式

若

A = 5 x^{2} + 2 x + 3

，

B = 5 x^{2} - 2 x + 4

，則

A - B

的一次項係數是多少？

(A) $4$
(B) $- 4$
(C) $0$
(D) $- 1$

若

(a - 2) x^{2} - (b + 2) x + c

為

x

的二次多項式，則

a

一定不能等於多少？

(A) $0$
(B) $- 2$
(C) $2$
(D) 所有數字都可以

一個

x

的四次多項式與

x

的五次多項式，相加之後其為幾次多項式？

(A) 一次
(B) 五次
(C) 九次
(D) 二十次

已知多項式

A

，若

A \times (2 x - 7) = 6 x^{2} - 25 x + 14

，則

A =

？

(A) $4 x - 3$
(B) $4 x + 2$
(C) $3 x + 3$
(D) $3 x - 2$

若

A = (a - b)^{2}

，

B = (b - a)^{2}

，利用乘法公式展開後，則

A

、

B

的大小關係為何？

(A) $A = B$
(B) $A < B$
(C) $A > B$
(D) 無法得知。

若

a

是

9

的平方根，

b

是

25

的平方根，則

a + b

不可能為下列何者？

(A) $- 8$
(B) $2$
(C) $0$
(D) $- 2$

若

a = 29

，

b = 28

，

c = 39

，請問

a

、

b

、

c

哪一個最小？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) 無法比較大小

題組（第 11～12 題）　請閱讀下列敘述後，回答 11～12 題。小愛在數學考卷上看到一個題目：「假設

A

為

x

的多項式，且

\frac{4 x ^{2} + 3 x - 1}{A} = 2 x + 1 - \frac{3}{A}

，請問

A

為下列何者？」小愛想試著找出

A

，她發現

\frac{4 x ^{2} + 3 x - 1}{A}

可以想成

(4 x^{2} + 3 x - 1) \div A

，所以她寫出了一個算式

(4 x^{2} + 3 x - 1) \div A = (2 x + 1) \dots 3

。老師看了小愛寫的算式後，請另一位同學阿奎亞也把這題寫一遍……

單純看小愛寫出來的算式：

(4 x^{2} + 3 x - 1) \div A = (2 x + 1) \dots 3

，你可以發現什麼？

(A) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1) \div (2 x + 1) - 3$
(B) $A = (2 x + 1) (4 x^{2} + 3 x - 1) + 3$
(C) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1 - 3) \div (2 x + 1)$
(D) 以上皆非

阿奎亞把原題目再看一次後，重新列出另一個算式，老師說，阿奎亞寫的才是對的，請問他寫的是什麼？

(A) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1) \div (2 x + 1) - 3$
(B) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1 + 3) \div (2 x + 1)$
(C) $A = (2 x + 1) (4 x^{2} + 3 x - 1) - 3$
(D) 以上皆非。

二、填充題：（配分方式，請參照配分表）

已知

14.8 \times 99.5 = (15 - 0.2) (100 - a) = b

，則

a =

____

7 2^{2} - 2 8^{2}

的值為 ____。

\frac{202 1 ^{2} - 1}{2022} =

____。

計算下列圖形的周長為 ____（請以

x

表示，並將此答案以降冪排列表示之）

載入中...

已知

A

為四次多項式，

B

為三次多項式，則

A \div B

的商式為 ____ 次多項式。

若

3 x^{2} + 6 + a x^{3} - x + x^{2}

為

x

的二次多項式，則

a =

____

若

4 x + 1

的平方根是

\pm 9

，則

x =

____

在求

(48 x^{2} - 6) \div (4 x + 5)

的商式與餘式時，第一個要觀察是否需要缺項補零，請幫忙將

48 x^{2} - 6

這個多項式缺項補零：____（請以降冪排列）。

若

2 x^{2} + 5 x + n

能被

x + 1

整除，則

n =

____

試求

\frac{121}{49} =

____

試求

- 1.96 =

____

試求

3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} =

____

若

x + y - 3 = 0

，則

3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + x + y - 2

為 ____

如果

28 \times a

是一個整數，則

a

的最小正整數為 ____

小愛和阿奎亞在玩猜數字的遊戲，阿奎亞說：「甲是一個三位數的完全平方數，如果把甲加上

21

之後，所得到的和是乙，乙也是完全平方數哦！那甲會是多少呢？」小愛想了想，回答說：「我知道，甲是 ____。」阿奎亞說：「你好棒，答對了！」

三、計算題：（每題皆需有詳細的計算過程，2～5 題請抄題，每題 4 分，共 20 分）

(1) 請先寫出和的平方公式

(a + b)^{2} =

？(2) 利用上述乘法公式，計算

7 3^{2} + 2 7^{2} + 2 \times 73 \times 27 =

？

計算

(x^{2} + 5 x - 4) + (5 - 2 x) =

？

計算

(7 x^{2} + 12) - (6 x^{2} + 4 x - 5) =

？

計算

(5 x + 2) (5 x - 2) =

？

計算

(6 x^{2} + 8 x - 7) \div (3 x - 2) =

？（請寫出商式、餘式）

四、非選擇題：（第 1 題 2 分、第 2 題 3 分，共 5 分）

老師在課堂上教了多項式的除法後，馬上在黑板上出了一個題目讓學生練習，老師一邊講解這題的作法給學生參考。但是老師發現許多同學沒有聽講也沒有自行練習……所以就擦掉部分計算過程，並點名阿奎亞上台來把計算過程重新補齊。老師將部分過程擦掉後，黑板上剩下一個直式除法（原卷為直式的圖，以下改用文字敘述）：除式為

x - 2

，商式為

- 2 x + 3

，被除式為「◎

x^{2}

＋◇

x

＋△」，中間的計算過程被擦掉，最後的餘式為

5

。請根據相關資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：(1) 請問「◎」應該填入什麼數字？

承上題（除式

x - 2

、商式

- 2 x + 3

、餘式

5

）：(2) 經過思考阿奎亞計算出原題目的被除式為

3 x^{2} - 5 x + 5

，請問他算的是正確的嗎？若正確，請說明原因；如果不正確，請幫他計算出原題目正確的被除式為何。（此多項式請以降冪排列）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(B)

第 7 題(D)

第 8 題(A)

第 9 題(C)

第 10 題(B)

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題

0.5

第 14 題

4400

第 15 題

2020

第 16 題

2 x^{2} + 2 x + 18

第 17 題一

第 18 題

0

第 19 題

20

第 20 題

48 x^{2} + 0 x - 6

第 21 題

3

第 22 題

\frac{11}{7}

第 23 題

- 1.4

第 24 題

315

第 25 題

28

第 26 題

7

第 27 題

100

第 28 題(1)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

；(2)

10000

第 29 題

x^{2} + 3 x + 1

第 30 題

x^{2} - 4 x + 17

第 31 題

25 x^{2} - 4

第 32 題商式

2 x + 4

，餘式

1

第 33 題

- 2

第 34 題不正確，正確的被除式為

- 2 x^{2} + 7 x - 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇題 1～4：多項式的次數、根號的整數部分、完全平方式、多項式的減法

第 1 題答案 (D)。

x

的多項式是由數與

x

做加、減、乘組成的式子，

x

不能在分母，也不能在絕對值裡面。(A) 含有

\frac{1}{x}

，

x

在分母，不是多項式。(B) 含有等號，是等式，不是多項式。(C) 含有絕對值符號，不是多項式。(D)

x^{2} + 1

的最高次項是

x^{2}

，為二次多項式。

第 2 題答案 (D)。

5^{2} = 25 < 28 < 36 = 6^{2}

，所以

5 < 28 < 6

，整數部分是

5

。

第 3 題答案 (A)。

x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2}

，因為

2 \times 6 = 12

、

6^{2} = 36

。(A) 若寫成

(x - 12)^{2}

，展開後是

x^{2} - 24 x + 144

，與原式不同，所以敘述錯誤。(B) 三項

x^{2}

、

- 12 x

、

36

，正確。(C) 一次項係數是

- 12

，正確。(D) 最高次是

x^{2}

，正確。

題目問的是「錯誤」的敘述。

第 4 題答案 (A)。

A - B = (5 x^{2} + 2 x + 3) - (5 x^{2} - 2 x + 4)

。去括號時

B

的每一項都要變號：

5 x^{2} + 2 x + 3 - 5 x^{2} + 2 x - 4 = 4 x - 1

。一次項係數是

4

。

02選擇題 5～8：二次多項式的條件、多項式的次數、因式、乘法公式的比較

第 5 題答案 (C)。

(a - 2) x^{2} - (b + 2) x + c

要是

x

的二次多項式，

x^{2}

項的係數

a - 2

不能是

0

，所以

a \neq = 2

。

a

一定不能等於

2

；

a = 0

或

a = - 2

都不影響它是二次多項式。

第 6 題答案 (B)。相加時，五次多項式的

x^{5}

項沒有可以和它相消的項，所以和的最高次項是

x^{5}

，為五次多項式。

第 7 題答案 (D)。由

A \times (2 x - 7) = 6 x^{2} - 25 x + 14

，

A

就是

6 x^{2} - 25 x + 14

除以

2 x - 7

的商式。直式除法：第一步

6 x^{2} \div 2 x = 3 x

，

3 x (2 x - 7) = 6 x^{2} - 21 x

，相減得

- 4 x + 14

；第二步

- 4 x \div 2 x = - 2

，

- 2 (2 x - 7) = - 4 x + 14

，相減得

0

。所以

A = 3 x - 2

。

乘回去檢查：

(2 x - 7) (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x - 21 x + 14 = 6 x^{2} - 25 x + 14

。

第 8 題答案 (A)。

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

；

(b - a)^{2} = b^{2} - 2 ab + a^{2}

。兩式展開後相同，所以

A = B

。

03選擇題 9～12（11～12 為題組）：平方根的正負、根號大小比較、多項式的除法關係

第 9 題答案 (C)。

9

的平方根是

\pm 3

，

25

的平方根是

\pm 5

，所以

a + b

的可能值是

3 + 5 = 8

、

3 - 5 = - 2

、

- 3 + 5 = 2

、

- 3 - 5 = - 8

。沒有

0

，所以

0

不可能。

平方根有正負兩個，兩個都要列出。

第 10 題答案 (B)。

28 < 29 < 39

，正數的平方根大小與被開方數的大小一致，所以

28 < 29 < 39

，最小的是

b

。

第 11 題答案 (C)。小愛寫的算式表示：被除式

4 x^{2} + 3 x - 1

除以

A

，商式是

2 x + 1

，餘式是

3

。由「被除式＝除式×商式＋餘式」，

4 x^{2} + 3 x - 1 = A (2 x + 1) + 3

。移項得

A (2 x + 1) = 4 x^{2} + 3 x - 1 - 3

，所以

A = (4 x^{2} + 3 x - 1 - 3) \div (2 x + 1)

。

第 12 題答案 (B)。原題兩邊同乘

A

：

4 x^{2} + 3 x - 1 = (2 x + 1) A - 3

。移項得

(2 x + 1) A = 4 x^{2} + 3 x - 1 + 3

，所以

A = (4 x^{2} + 3 x - 1 + 3) \div (2 x + 1)

。(A) 是除完才減

3

，(C) 把除法寫成乘法，都與

(2 x + 1) A = 4 x^{2} + 3 x - 1 + 3

不符。

把

- 3

移到另一邊要變成

+ 3

。

04填充題 1～5：乘法公式、圖形的周長、多項式的次數與商式

第 13 題把

14.8

寫成

15 - 0.2

，

99.5

寫成

100 - 0.5

，所以

a = 0.5

。驗算：

(15 - 0.2) (100 - 0.5) = 1500 - 7.5 - 20 + 0.1 = 1472.6

，而

14.8 \times 99.5 = 1472.6

。

第 14 題用平方差公式：

7 2^{2} - 2 8^{2} = (72 + 28) (72 - 28) = 100 \times 44 = 4400

。

第 15 題分子是平方差：

202 1^{2} - 1 = (2021 + 1) (2021 - 1) = 2022 \times 2020

。約掉分母的

2022

，得

2020

。

第 16 題圖上的直角記號表示相鄰的邊互相垂直，所以橫的邊都互相平行，直的邊也都互相平行。周長是六條邊長的總和。圖上標出的有：上邊

x^{2} + 3

、左邊

6

、下方那條短的直邊

x

、最下面的橫邊

2

。沒有標的兩條邊：中間那條橫邊加上最下面的橫邊

2

等於上邊，所以它是

x^{2} + 3 - 2 = x^{2} + 1

；右邊等於左邊的

6

加上短直邊的

x

，即

6 + x

。總和：

(x^{2} + 3) + 6 + (x^{2} + 1) + x + 2 + (6 + x) = 2 x^{2} + 2 x + 18

。

也可以這樣想：兩條朝下的橫邊合起來等於上邊，左邊與短直邊合起來等於右邊，所以周長

= 2 (x^{2} + 3) + 2 (6 + x)

，結果相同。

第 17 題商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數，

4 - 3 = 1

，所以商式是一次多項式。

05填充題 6～10：缺項的次數條件、由平方根求 x、補零、整除、分數的平方根

第 18 題合併同類項：

3 x^{2} + x^{2} = 4 x^{2}

，原式成為

a x^{3} + 4 x^{2} - x + 6

。要是二次多項式，

x^{3}

項的係數必須是

0

，所以

a = 0

。

第 19 題

4 x + 1

的平方根是

\pm 9

，表示

4 x + 1 = 9^{2} = 81

，所以

4 x = 80

，

x = 20

。

第 20 題

48 x^{2} - 6

中沒有

x

的一次項，要補上

0 x

，寫成

48 x^{2} + 0 x - 6

。

第 21 題用直式除以

x + 1

：

2 x^{2} + 5 x + n = (x + 1) (2 x + 3) + (n - 3)

，因為

(x + 1) (2 x + 3) = 2 x^{2} + 5 x + 3

。能整除表示餘式

n - 3 = 0

，所以

n = 3

。

第 22 題

121 = 1 1^{2}

，

49 = 7^{2}

，所以

(\frac{11}{7})^{2} = \frac{11 \times 11}{7 \times 7} = \frac{121}{49}

。根號表示正的平方根，所以

\frac{121}{49} = \frac{11}{7}

。

06填充題 11～15：負的平方根、根號內的質因數、代入求值、完全平方數

第 23 題

1. 4^{2} = 1.96

，所以

1.96 = 1.4

。根號前面有負號，所以

- 1.96 = - 1.4

。

第 24 題把被開方數寫成某個正數的平方：

3^{4} = 3^{2} \times 3^{2}

，所以

3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} = (3^{2} \times 5 \times 7) \times (3^{2} \times 5 \times 7) = (3^{2} \times 5 \times 7)^{2} = 31 5^{2}

。根號表示正的平方根，所以

3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} = 315

。

第 25 題

3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} = 3 (x + y)^{2}

，且

x + y = 3

。原式

= 3 (x + y)^{2} + (x + y) - 2 = 3 \times 9 + 3 - 2 = 28

。

第 26 題

28 = 2^{2} \times 7

。要讓

28 \times a

是完全平方數，

a

至少要有一個

7

，取

a = 7

時

28 \times 7 = 196 = 1 4^{2}

，根號值是整數

14

。

a = 1

到

6

時，

28 \times a

分別是

28

、

56

、

84

、

112

、

140

、

168

，都不是完全平方數，所以

a

的最小正整數是

7

。

第 27 題設甲

= n^{2}

（三位數），乙

= k^{2}

，

k^{2} - n^{2} = 21

，即

(k - n) (k + n) = 21

。

21 = 1 \times 21 = 3 \times 7

，兩個因數同為奇數，得

(k - n, k + n) = (1, 21)

或

(3, 7)

。解得

n = 10

或

n = 2

。甲是三位數，所以

n = 10

，甲

= 100

，乙

= 121 = 1 1^{2}

。

n = 2

時甲

= 4

，不是三位數，不符合題意。

07計算題 1～5：和的平方、多項式的加減、平方差公式、直式除法

第 28 題(1) 和的平方公式

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

。(2) 式子形如

a^{2} + 2 ab + b^{2}

，其中

a = 73

、

b = 27

，所以原式

= (73 + 27)^{2} = 10 0^{2} = 10000

。

第 29 題去括號：

+ (5 - 2 x)

括號前是加號，不變號，得

x^{2} + 5 x - 4 + 5 - 2 x

。合併同類項：

x^{2} + 3 x + 1

。

第 30 題去括號：括號前是減號，括號內每項變號，得

7 x^{2} + 12 - 6 x^{2} - 4 x + 5

。合併同類項：

x^{2} - 4 x + 17

。

第 31 題形如

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

，其中

a = 5 x

、

b = 2

：

(5 x)^{2} - 2^{2} = 25 x^{2} - 4

。

第 32 題直式：第一步

6 x^{2} \div 3 x = 2 x

，

2 x (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x

，相減得

12 x - 7

。第二步

12 x \div 3 x = 4

，

4 (3 x - 2) = 12 x - 8

，相減得

1

。商式

2 x + 4

，餘式

1

。驗算：

(3 x - 2) (2 x + 4) + 1 = 6 x^{2} + 8 x - 7

。

除完後用「除式×商式＋餘式」乘回去，看是否等於被除式。

08非選擇題 1 的 (1)、(2)：多項式除法的被除式

第 33 題直式除法的第一步，是用被除式的最高次項 ◎

x^{2}

除以除式的最高次項

x

，得到商式的第一項

- 2 x

。反過來，◎

x^{2} = x \times (- 2 x) = - 2 x^{2}

，所以 ◎ 應填

- 2

。

第 34 題阿奎亞算的不正確。由上一題，被除式的

x^{2}

項係數是

- 2

，不是

3

，所以

3 x^{2} - 5 x + 5

不可能是被除式。被除式等於除式乘以商式再加上餘式：

(x - 2) (- 2 x + 3) + 5 = - 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6 + 5 = - 2 x^{2} + 7 x - 1

。驗算：

- 2 x^{2} + 7 x - 1

除以

x - 2

，第一步商

- 2 x

，相減得

3 x - 1

；第二步商

3

，

3 (x - 2) = 3 x - 6

，相減得

5

，商式

- 2 x + 3

、餘式

5

，與題目一致。

被除式的最高次項係數由「除式的首項乘以商式的首項」決定，可以先用它檢查。

同一次段考的其他學校

同樣是國二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

誠正國中 113 上國二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 34 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

誠正國中 113 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要看出 x²－12x＋36 是 (x－6)² 而不是 (x－12)²；第 7 題要由積反求因式；第 9、10 題要注意平方根有正負兩個，以及被開方數大小與根號大小的關係；第 11、12 題的題組要分清被除式、除式、商式與餘式；第 34 題要用第 33 題求出的係數判斷題目裡那位同學算的被除式對不對。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自誠正國中 113 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／國二

段考詳解範圍：多項式與乘法公式、平方根（多項式的意義與加減、多項式的乘法與除法、乘法公式、平方根的意義）

誠正國中 113 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 34 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 34 題，照原卷順序

一、選擇題：（配分方式，請參照配分表）

下列關於多項式的敘述，何者正確？

(A) $x + \frac{1}{x} + 1$ 是 $x$ 的一次多項式
(B) $x + 1 = 2$ 是 $x$ 的一次多項式
(C) $∣3 x + 1∣$ 是 $x$ 的一次多項式
(D) $x^{2} + 1$ 是 $x$ 的二次多項式

請問

28

的整數部分為？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $4$
(D) $5$

下列關於多項式

x^{2} - 12 x + 36

的敘述何者錯誤？

(A) 此多項式能化成 $(x - 12)^{2}$
(B) 此多項式共有三項
(C) 一次項的係數是 $- 12$
(D) 此多項式為二次多項式

若

A = 5 x^{2} + 2 x + 3

，

B = 5 x^{2} - 2 x + 4

，則

A - B

的一次項係數是多少？

(A) $4$
(B) $- 4$
(C) $0$
(D) $- 1$

若

(a - 2) x^{2} - (b + 2) x + c

為

x

的二次多項式，則

a

一定不能等於多少？

(A) $0$
(B) $- 2$
(C) $2$
(D) 所有數字都可以

一個

x

的四次多項式與

x

的五次多項式，相加之後其為幾次多項式？

(A) 一次
(B) 五次
(C) 九次
(D) 二十次

已知多項式

A

，若

A \times (2 x - 7) = 6 x^{2} - 25 x + 14

，則

A =

？

(A) $4 x - 3$
(B) $4 x + 2$
(C) $3 x + 3$
(D) $3 x - 2$

若

A = (a - b)^{2}

，

B = (b - a)^{2}

，利用乘法公式展開後，則

A

、

B

的大小關係為何？

(A) $A = B$
(B) $A < B$
(C) $A > B$
(D) 無法得知。

若

a

是

9

的平方根，

b

是

25

的平方根，則

a + b

不可能為下列何者？

(A) $- 8$
(B) $2$
(C) $0$
(D) $- 2$

若

a = 29

，

b = 28

，

c = 39

，請問

a

、

b

、

c

哪一個最小？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) 無法比較大小

題組（第 11～12 題）　請閱讀下列敘述後，回答 11～12 題。小愛在數學考卷上看到一個題目：「假設

A

為

x

的多項式，且

\frac{4 x ^{2} + 3 x - 1}{A} = 2 x + 1 - \frac{3}{A}

，請問

A

為下列何者？」小愛想試著找出

A

，她發現

\frac{4 x ^{2} + 3 x - 1}{A}

可以想成

(4 x^{2} + 3 x - 1) \div A

，所以她寫出了一個算式

(4 x^{2} + 3 x - 1) \div A = (2 x + 1) \dots 3

。老師看了小愛寫的算式後，請另一位同學阿奎亞也把這題寫一遍……

單純看小愛寫出來的算式：

(4 x^{2} + 3 x - 1) \div A = (2 x + 1) \dots 3

，你可以發現什麼？

(A) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1) \div (2 x + 1) - 3$
(B) $A = (2 x + 1) (4 x^{2} + 3 x - 1) + 3$
(C) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1 - 3) \div (2 x + 1)$
(D) 以上皆非

阿奎亞把原題目再看一次後，重新列出另一個算式，老師說，阿奎亞寫的才是對的，請問他寫的是什麼？

(A) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1) \div (2 x + 1) - 3$
(B) $A = (4 x^{2} + 3 x - 1 + 3) \div (2 x + 1)$
(C) $A = (2 x + 1) (4 x^{2} + 3 x - 1) - 3$
(D) 以上皆非。

二、填充題：（配分方式，請參照配分表）

已知

14.8 \times 99.5 = (15 - 0.2) (100 - a) = b

，則

a =

____

7 2^{2} - 2 8^{2}

的值為 ____。

\frac{202 1 ^{2} - 1}{2022} =

____。

計算下列圖形的周長為 ____（請以

x

表示，並將此答案以降冪排列表示之）

載入中...

已知

A

為四次多項式，

B

為三次多項式，則

A \div B

的商式為 ____ 次多項式。

若

3 x^{2} + 6 + a x^{3} - x + x^{2}

為

x

的二次多項式，則

a =

____

若

4 x + 1

的平方根是

\pm 9

，則

x =

____

在求

(48 x^{2} - 6) \div (4 x + 5)

的商式與餘式時，第一個要觀察是否需要缺項補零，請幫忙將

48 x^{2} - 6

這個多項式缺項補零：____（請以降冪排列）。

若

2 x^{2} + 5 x + n

能被

x + 1

整除，則

n =

____

試求

\frac{121}{49} =

____

試求

- 1.96 =

____

試求

3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} =

____

若

x + y - 3 = 0

，則

3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + x + y - 2

為 ____

如果

28 \times a

是一個整數，則

a

的最小正整數為 ____

小愛和阿奎亞在玩猜數字的遊戲，阿奎亞說：「甲是一個三位數的完全平方數，如果把甲加上

21

之後，所得到的和是乙，乙也是完全平方數哦！那甲會是多少呢？」小愛想了想，回答說：「我知道，甲是 ____。」阿奎亞說：「你好棒，答對了！」

三、計算題：（每題皆需有詳細的計算過程，2～5 題請抄題，每題 4 分，共 20 分）

(1) 請先寫出和的平方公式

(a + b)^{2} =

？(2) 利用上述乘法公式，計算

7 3^{2} + 2 7^{2} + 2 \times 73 \times 27 =

？

計算

(x^{2} + 5 x - 4) + (5 - 2 x) =

？

計算

(7 x^{2} + 12) - (6 x^{2} + 4 x - 5) =

？

計算

(5 x + 2) (5 x - 2) =

？

計算

(6 x^{2} + 8 x - 7) \div (3 x - 2) =

？（請寫出商式、餘式）

四、非選擇題：（第 1 題 2 分、第 2 題 3 分，共 5 分）

x - 2

，商式為

- 2 x + 3

，被除式為「◎

x^{2}

＋◇

x

＋△」，中間的計算過程被擦掉，最後的餘式為

5

。請根據相關資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：(1) 請問「◎」應該填入什麼數字？

承上題（除式

x - 2

、商式

- 2 x + 3

、餘式

5

）：(2) 經過思考阿奎亞計算出原題目的被除式為

3 x^{2} - 5 x + 5

，請問他算的是正確的嗎？若正確，請說明原因；如果不正確，請幫他計算出原題目正確的被除式為何。（此多項式請以降冪排列）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(B)

第 7 題(D)

第 8 題(A)

第 9 題(C)

第 10 題(B)

第 11 題(C)

第 12 題(B)

第 13 題

0.5

第 14 題

4400

第 15 題

2020

第 16 題

2 x^{2} + 2 x + 18

第 17 題一

第 18 題

0

第 19 題

20

第 20 題

48 x^{2} + 0 x - 6

第 21 題

3

第 22 題

\frac{11}{7}

第 23 題

- 1.4

第 24 題

315

第 25 題

28

第 26 題

7

第 27 題

100

第 28 題(1)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

；(2)

10000

第 29 題

x^{2} + 3 x + 1

第 30 題

x^{2} - 4 x + 17

第 31 題

25 x^{2} - 4

第 32 題商式

2 x + 4

，餘式

1

第 33 題

- 2

第 34 題不正確，正確的被除式為

- 2 x^{2} + 7 x - 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇題 1～4：多項式的次數、根號的整數部分、完全平方式、多項式的減法

第 1 題答案 (D)。

x

的多項式是由數與

x

做加、減、乘組成的式子，

x

不能在分母，也不能在絕對值裡面。(A) 含有

\frac{1}{x}

，

x

在分母，不是多項式。(B) 含有等號，是等式，不是多項式。(C) 含有絕對值符號，不是多項式。(D)

x^{2} + 1

的最高次項是

x^{2}

，為二次多項式。

第 2 題答案 (D)。

5^{2} = 25 < 28 < 36 = 6^{2}

，所以

5 < 28 < 6

，整數部分是

5

。

第 3 題答案 (A)。

x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2}

，因為

2 \times 6 = 12

、

6^{2} = 36

。(A) 若寫成

(x - 12)^{2}

，展開後是

x^{2} - 24 x + 144

，與原式不同，所以敘述錯誤。(B) 三項

x^{2}

、

- 12 x

、

36

，正確。(C) 一次項係數是

- 12

，正確。(D) 最高次是

x^{2}

，正確。

題目問的是「錯誤」的敘述。

第 4 題答案 (A)。

A - B = (5 x^{2} + 2 x + 3) - (5 x^{2} - 2 x + 4)

。去括號時

B

的每一項都要變號：

5 x^{2} + 2 x + 3 - 5 x^{2} + 2 x - 4 = 4 x - 1

。一次項係數是

4

。

02選擇題 5～8：二次多項式的條件、多項式的次數、因式、乘法公式的比較

第 5 題答案 (C)。

(a - 2) x^{2} - (b + 2) x + c

要是

x

的二次多項式，

x^{2}

項的係數

a - 2

不能是

0

，所以

a \neq = 2

。

a

一定不能等於

2

；

a = 0

或

a = - 2

都不影響它是二次多項式。

第 6 題答案 (B)。相加時，五次多項式的

x^{5}

項沒有可以和它相消的項，所以和的最高次項是

x^{5}

，為五次多項式。

第 7 題答案 (D)。由

A \times (2 x - 7) = 6 x^{2} - 25 x + 14

，

A

就是

6 x^{2} - 25 x + 14

除以

2 x - 7

的商式。直式除法：第一步

6 x^{2} \div 2 x = 3 x

，

3 x (2 x - 7) = 6 x^{2} - 21 x

，相減得

- 4 x + 14

；第二步

- 4 x \div 2 x = - 2

，

- 2 (2 x - 7) = - 4 x + 14

，相減得

0

。所以

A = 3 x - 2

。

乘回去檢查：

(2 x - 7) (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x - 21 x + 14 = 6 x^{2} - 25 x + 14

。

第 8 題答案 (A)。

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

；

(b - a)^{2} = b^{2} - 2 ab + a^{2}

。兩式展開後相同，所以

A = B

。

03選擇題 9～12（11～12 為題組）：平方根的正負、根號大小比較、多項式的除法關係

第 9 題答案 (C)。

9

的平方根是

\pm 3

，

25

的平方根是

\pm 5

，所以

a + b

的可能值是

3 + 5 = 8

、

3 - 5 = - 2

、

- 3 + 5 = 2

、

- 3 - 5 = - 8

。沒有

0

，所以

0

不可能。

平方根有正負兩個，兩個都要列出。

第 10 題答案 (B)。

28 < 29 < 39

，正數的平方根大小與被開方數的大小一致，所以

28 < 29 < 39

，最小的是

b

。

第 11 題答案 (C)。小愛寫的算式表示：被除式

4 x^{2} + 3 x - 1

除以

A

，商式是

2 x + 1

，餘式是

3

。由「被除式＝除式×商式＋餘式」，

4 x^{2} + 3 x - 1 = A (2 x + 1) + 3

。移項得

A (2 x + 1) = 4 x^{2} + 3 x - 1 - 3

，所以

A = (4 x^{2} + 3 x - 1 - 3) \div (2 x + 1)

。

第 12 題答案 (B)。原題兩邊同乘

A

：

4 x^{2} + 3 x - 1 = (2 x + 1) A - 3

。移項得

(2 x + 1) A = 4 x^{2} + 3 x - 1 + 3

，所以

A = (4 x^{2} + 3 x - 1 + 3) \div (2 x + 1)

。(A) 是除完才減

3

，(C) 把除法寫成乘法，都與

(2 x + 1) A = 4 x^{2} + 3 x - 1 + 3

不符。

把

- 3

移到另一邊要變成

+ 3

。

04填充題 1～5：乘法公式、圖形的周長、多項式的次數與商式

第 13 題把

14.8

寫成

15 - 0.2

，

99.5

寫成

100 - 0.5

，所以

a = 0.5

。驗算：

(15 - 0.2) (100 - 0.5) = 1500 - 7.5 - 20 + 0.1 = 1472.6

，而

14.8 \times 99.5 = 1472.6

。

第 14 題用平方差公式：

7 2^{2} - 2 8^{2} = (72 + 28) (72 - 28) = 100 \times 44 = 4400

。

第 15 題分子是平方差：

202 1^{2} - 1 = (2021 + 1) (2021 - 1) = 2022 \times 2020

。約掉分母的

2022

，得

2020

。

第 16 題圖上的直角記號表示相鄰的邊互相垂直，所以橫的邊都互相平行，直的邊也都互相平行。周長是六條邊長的總和。圖上標出的有：上邊

x^{2} + 3

、左邊

6

、下方那條短的直邊

x

、最下面的橫邊

2

。沒有標的兩條邊：中間那條橫邊加上最下面的橫邊

2

等於上邊，所以它是

x^{2} + 3 - 2 = x^{2} + 1

；右邊等於左邊的

6

加上短直邊的

x

，即

6 + x

。總和：

(x^{2} + 3) + 6 + (x^{2} + 1) + x + 2 + (6 + x) = 2 x^{2} + 2 x + 18

。

也可以這樣想：兩條朝下的橫邊合起來等於上邊，左邊與短直邊合起來等於右邊，所以周長

= 2 (x^{2} + 3) + 2 (6 + x)

，結果相同。

第 17 題商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數，

4 - 3 = 1

，所以商式是一次多項式。

05填充題 6～10：缺項的次數條件、由平方根求 x、補零、整除、分數的平方根

第 18 題合併同類項：

3 x^{2} + x^{2} = 4 x^{2}

，原式成為

a x^{3} + 4 x^{2} - x + 6

。要是二次多項式，

x^{3}

項的係數必須是

0

，所以

a = 0

。

第 19 題

4 x + 1

的平方根是

\pm 9

，表示

4 x + 1 = 9^{2} = 81

，所以

4 x = 80

，

x = 20

。

第 20 題

48 x^{2} - 6

中沒有

x

的一次項，要補上

0 x

，寫成

48 x^{2} + 0 x - 6

。

第 21 題用直式除以

x + 1

：

2 x^{2} + 5 x + n = (x + 1) (2 x + 3) + (n - 3)

，因為

(x + 1) (2 x + 3) = 2 x^{2} + 5 x + 3

。能整除表示餘式

n - 3 = 0

，所以

n = 3

。

第 22 題

121 = 1 1^{2}

，

49 = 7^{2}

，所以

(\frac{11}{7})^{2} = \frac{11 \times 11}{7 \times 7} = \frac{121}{49}

。根號表示正的平方根，所以

\frac{121}{49} = \frac{11}{7}

。

06填充題 11～15：負的平方根、根號內的質因數、代入求值、完全平方數

第 23 題

1. 4^{2} = 1.96

，所以

1.96 = 1.4

。根號前面有負號，所以

- 1.96 = - 1.4

。

第 24 題把被開方數寫成某個正數的平方：

3^{4} = 3^{2} \times 3^{2}

，所以

3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} = (3^{2} \times 5 \times 7) \times (3^{2} \times 5 \times 7) = (3^{2} \times 5 \times 7)^{2} = 31 5^{2}

。根號表示正的平方根，所以

3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} = 315

。

第 25 題

3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} = 3 (x + y)^{2}

，且

x + y = 3

。原式

= 3 (x + y)^{2} + (x + y) - 2 = 3 \times 9 + 3 - 2 = 28

。

第 26 題

28 = 2^{2} \times 7

。要讓

28 \times a

是完全平方數，

a

至少要有一個

7

，取

a = 7

時

28 \times 7 = 196 = 1 4^{2}

，根號值是整數

14

。

a = 1

到

6

時，

28 \times a

分別是

28

、

56

、

84

、

112

、

140

、

168

，都不是完全平方數，所以

a

的最小正整數是

7

。

第 27 題設甲

= n^{2}

（三位數），乙

= k^{2}

，

k^{2} - n^{2} = 21

，即

(k - n) (k + n) = 21

。

21 = 1 \times 21 = 3 \times 7

，兩個因數同為奇數，得

(k - n, k + n) = (1, 21)

或

(3, 7)

。解得

n = 10

或

n = 2

。甲是三位數，所以

n = 10

，甲

= 100

，乙

= 121 = 1 1^{2}

。

n = 2

時甲

= 4

，不是三位數，不符合題意。

07計算題 1～5：和的平方、多項式的加減、平方差公式、直式除法

第 28 題(1) 和的平方公式

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

。(2) 式子形如

a^{2} + 2 ab + b^{2}

，其中

a = 73

、

b = 27

，所以原式

= (73 + 27)^{2} = 10 0^{2} = 10000

。

第 29 題去括號：

+ (5 - 2 x)

括號前是加號，不變號，得

x^{2} + 5 x - 4 + 5 - 2 x

。合併同類項：

x^{2} + 3 x + 1

。

第 30 題去括號：括號前是減號，括號內每項變號，得

7 x^{2} + 12 - 6 x^{2} - 4 x + 5

。合併同類項：

x^{2} - 4 x + 17

。

第 31 題形如

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

，其中

a = 5 x

、

b = 2

：

(5 x)^{2} - 2^{2} = 25 x^{2} - 4

。

第 32 題直式：第一步

6 x^{2} \div 3 x = 2 x

，

2 x (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x

，相減得

12 x - 7

。第二步

12 x \div 3 x = 4

，

4 (3 x - 2) = 12 x - 8

，相減得

1

。商式

2 x + 4

，餘式

1

。驗算：

(3 x - 2) (2 x + 4) + 1 = 6 x^{2} + 8 x - 7

。

除完後用「除式×商式＋餘式」乘回去，看是否等於被除式。

08非選擇題 1 的 (1)、(2)：多項式除法的被除式

第 33 題直式除法的第一步，是用被除式的最高次項 ◎

x^{2}

除以除式的最高次項

x

，得到商式的第一項

- 2 x

。反過來，◎

x^{2} = x \times (- 2 x) = - 2 x^{2}

，所以 ◎ 應填

- 2

。

第 34 題阿奎亞算的不正確。由上一題，被除式的

x^{2}

項係數是

- 2

，不是

3

，所以

3 x^{2} - 5 x + 5

不可能是被除式。被除式等於除式乘以商式再加上餘式：

(x - 2) (- 2 x + 3) + 5 = - 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6 + 5 = - 2 x^{2} + 7 x - 1

。驗算：

- 2 x^{2} + 7 x - 1

除以

x - 2

，第一步商

- 2 x

，相減得

3 x - 1

；第二步商

3

，

3 (x - 2) = 3 x - 6

，相減得

5

，商式

- 2 x + 3

、餘式

5

，與題目一致。

被除式的最高次項係數由「除式的首項乘以商式的首項」決定，可以先用它檢查。

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02選擇題 5～8：二次多項式的條件、多項式的次數、因式、乘法公式的比較

03選擇題 9～12（11～12 為題組）：平方根的正負、根號大小比較、多項式的除法關係

04填充題 1～5：乘法公式、圖形的周長、多項式的次數與商式

05填充題 6～10：缺項的次數條件、由平方根求 x、補零、整除、分數的平方根

06填充題 11～15：負的平方根、根號內的質因數、代入求值、完全平方數

07計算題 1～5：和的平方、多項式的加減、平方差公式、直式除法

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國二第一次段考
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