段考詳解範圍：乘法公式與多項式、平方根(乘法公式、多項式的意義與加減、多項式的乘法與除法、平方根的意義與近似值)

蘆洲國中 114 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

填充題 25 題（每題 4 分，共 100 分）

填充題（共 25 題，每題 4 分）（除第七題外，答案一律降冪排列否則不予計分）

計算

899 \times 101

的值

=

____。

計算

49 5^{2} + 2 \times 495 \times 5 + 5^{2}

的值

=

____。

計算

954 5^{2} - 45 5^{2}

的值

=

____。

下列各選項中，哪些是

x

的多項式？

(A) $5$
(B) $\frac{2}{x} - x$
(C) $- x^{2}$
(D) $\frac{x ^{2}}{2} + 1$

下列關於多項式

- 3 x - 2 - 2 x^{2}

的敘述，哪些正確？

(A) $x^{2}$ 項的係數是 $2$
(B) 此多項式共有 $3$ 項
(C) 該多項式為 $x$ 的一次多項式
(D) 常數項是 $- 2$

若

(a + 2) x^{2} - (b - 2) x + (c - 3)

為

x

的零次多項式，則

a + b =

____。

請將多項式

- 10 x^{2} + 13 x^{3} - 10 + 5 x

升冪排列 ____。

(x^{3} - 4 x - 7) + (- 2 x + 3 x^{2}) =

____。

(- 3 x^{2} - 6) - (4 x^{2} + 5 - 2 x) =

____。

若

B

是多項式，且

B - (5 x^{3} - 2 + x^{2}) = 2 x^{2} + 11 - 3 x

，則多項式

B =

____。

- x (- 5 x + 8) =

____。

(- 5 x + 2)^{2} =

____。

(2 x - 4) (3 x + 1) =

____。

(3 x + 7) (3 x - 7) =

____。

已知

a

為正整數或

0

，若要使

16 - a

為正整數，則

a

的所有可能值為 ____。

求

(4 x^{2} - 10 x + 15) \div (2 x - 3)

的商式為 ____。

已知

8 x^{2} + 2 x - 15

除以另一個多項式

B

後，得到商式為

4 x + 7

，餘式為

6

，試求此多項式

B =

____。

下圖的多項式除法中有七個數，分別以

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

、

g

表示，則

a + d + e =

____。

載入中...

1 - 5 (x - 1)^{2} - 2 (x - 3) =

____。

關於平方根的敘述，下列何者正確？

(A) $0.04$ 的正平方根是 $0.2$
(B) 正方形面積為 $3$ ，其邊長記為 $3$
(C) $- 7^{2} = - 49$ ，所以 $- 7$ 是 $- 49$ 的平方根
(D) 若 $a = (- 29)^{2}$ ，則 $a$ 為 $- 29$ 的平方根

下圖數線上有

A

、

B

、

C

、

D

四點，哪個點所表示的數最接近

17

？ ____

載入中...

1089 + 2.89 - \frac{169}{4} =

____。

如圖，已知正方形

A B C D

邊長

10

公分，

E

、

F

、

G

、

H

分別為四邊中點，

\overline{E F}

為？ ____

載入中...

已知

2 a + 6

的正平方根為

4

，

2 a + b + 5

的負平方根為

- 5

，則

a + b

的平方根為？ ____

計算

\frac{16}{230} + \frac{226 \times 234}{230} + 230 =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

90799

第 2 題

250000

第 3 題

90900000

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題(B)(D)

第 6 題

0

第 7 題

- 10 + 5 x - 10 x^{2} + 13 x^{3}

第 8 題

x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 7

第 9 題

- 7 x^{2} + 2 x - 11

第 10 題

5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 9

第 11 題

5 x^{2} - 8 x

第 12 題

25 x^{2} - 20 x + 4

第 13 題

6 x^{2} - 10 x - 4

第 14 題

9 x^{2} - 49

第 15 題

0

、

7

、

12

、

15

第 16 題

2 x - 2

第 17 題

2 x - 3

第 18 題

8

第 19 題

- 5 x^{2} + 8 x + 2

第 20 題(A)(B)

第 21 題

B

第 22 題

28.2

第 23 題

50

公分

第 24 題

\pm 15

第 25 題

460

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：用乘法公式做速算

第 1 題

899 = 900 - 1

，

101 = 100 + 1

，兩個數不是「同一個數加減同一個數」，所以改用分配律。

899 \times 101 = 899 \times (100 + 1) = 899 \times 100 + 899 \times 1 = 89900 + 899 = 90799

。

也可以寫成

(900 - 1) \times 101 = 900 \times 101 - 101 = 90900 - 101 = 90799

，結果相同。

第 2 題式子的樣子是

a^{2} + 2 ab + b^{2}

，其中

a = 495

、

b = 5

。由和的平方公式，

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

。所以原式

= (495 + 5)^{2} = 50 0^{2} = 250000

。

第 3 題式子的樣子是

a^{2} - b^{2}

，其中

a = 9545

、

b = 455

。由平方差公式，

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

。

a + b = 9545 + 455 = 10000

，

a - b = 9545 - 455 = 9090

。所以原式

= 10000 \times 9090 = 90900000

。

90900000

是九千零九十萬，

909

後面有

5

個

0

。

看到

a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

或

a^{2} - b^{2}

的樣子，先收成

(a \pm b)^{2}

或

(a + b) (a - b)

再算。

02第 4～7 題：多項式的意義、次數與排列

第 4 題答案 (A)(C)(D)。多項式裡，文字

x

不能出現在分母，也不能出現在絕對值或根號裡。(A) 是：

5

是常數，常數也是多項式（常數多項式）。(B) 不是：

\frac{2}{x}

的

x

在分母。(C) 是：

- x^{2}

只有一項，是二次多項式。(D) 是：

\frac{x ^{2}}{2} = \frac{1}{2} x^{2}

，分母是數字

2

，不是

x

，係數是

\frac{1}{2}

。

分母有數字沒關係，分母有

x

才不是多項式。

第 5 題答案 (B)(D)。先照降冪排列：

- 3 x - 2 - 2 x^{2} = - 2 x^{2} - 3 x - 2

。(A) 錯：

x^{2}

項是

- 2 x^{2}

，係數是

- 2

，不是

2

。(B) 對：共有

- 2 x^{2}

、

- 3 x

、

- 2

三項。(C) 錯：次數最高的項是

- 2 x^{2}

，所以是二次多項式。(D) 對：不含

x

的項是

- 2

，常數項是

- 2

。

係數要連同前面的負號一起看。

第 6 題零次多項式就是不等於

0

的常數，所以

x^{2}

項和

x

項的係數都要是

0

。

x^{2}

項的係數：

a + 2 = 0

，得

a = - 2

。

x

項的係數：

- (b - 2) = 0

，得

b = 2

。所以

a + b = - 2 + 2 = 0

。

常數項

c - 3

不能是

0

（也就是

c \neq = 3

），否則整個式子等於

0

，不是零次多項式。這個條件不影響

a + b

。

第 7 題升冪排列是次數由小排到大。四項的次數：

- 10

是

0

次，

5 x

是

1

次，

- 10 x^{2}

是

2

次，

13 x^{3}

是

3

次。依序寫出：

- 10 + 5 x - 10 x^{2} + 13 x^{3}

。

搬動每一項時，前面的正負號要跟著一起搬。

03第 8～10 題：多項式的加減

第 8 題加法直接去括號：

x^{3} - 4 x - 7 - 2 x + 3 x^{2}

。合併同類項：

- 4 x - 2 x = - 6 x

。照降冪排列：

x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 7

。

第 9 題減法去括號時，後面括號裡每一項都要變號：

- 3 x^{2} - 6 - 4 x^{2} - 5 + 2 x

。合併同類項：

- 3 x^{2} - 4 x^{2} = - 7 x^{2}

，

- 6 - 5 = - 11

。照降冪排列：

- 7 x^{2} + 2 x - 11

。

- (- 2 x) = + 2 x

，這一項最容易漏掉變號。

第 10 題

B

減去

(5 x^{3} - 2 + x^{2})

得到

2 x^{2} + 11 - 3 x

，所以

B

等於「差」加上「減去的式子」。

B = (2 x^{2} + 11 - 3 x) + (5 x^{3} - 2 + x^{2})

。合併同類項：

2 x^{2} + x^{2} = 3 x^{2}

，

11 - 2 = 9

。照降冪排列：

B = 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 9

。

驗算：

(5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 9) - (5 x^{3} + x^{2} - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 11

，與題目相同。

減去一個多項式時，括號裡的每一項都要變號，再合併同類項。

04第 11～14、19 題：多項式的乘法與乘法公式

第 11 題用分配律，

- x

分別乘進括號：

(- x) \times (- 5 x) = 5 x^{2}

，

(- x) \times 8 = - 8 x

。所以原式

= 5 x^{2} - 8 x

。

第 12 題用和的平方公式

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

，其中

a = - 5 x

、

b = 2

。

a^{2} = (- 5 x)^{2} = 25 x^{2}

，

2 ab = 2 \times (- 5 x) \times 2 = - 20 x

，

b^{2} = 4

。所以原式

= 25 x^{2} - 20 x + 4

。

(- 5 x + 2)^{2}

和

(5 x - 2)^{2}

相等，用差的平方公式展開

(5 x - 2)^{2}

也得到相同結果。

第 13 題用分配律，四項逐一相乘：

2 x \times 3 x = 6 x^{2}

，

2 x \times 1 = 2 x

，

(- 4) \times 3 x = - 12 x

，

(- 4) \times 1 = - 4

。合併同類項：

2 x - 12 x = - 10 x

。所以原式

= 6 x^{2} - 10 x - 4

。

第 14 題用平方差公式

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

，其中

a = 3 x

、

b = 7

。

a^{2} = (3 x)^{2} = 9 x^{2}

，

b^{2} = 49

。所以原式

= 9 x^{2} - 49

。

(3 x)^{2}

的係數

3

也要平方，是

9 x^{2}

不是

3 x^{2}

。

第 19 題先展開平方：

(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

。乘上

- 5

：

- 5 (x^{2} - 2 x + 1) = - 5 x^{2} + 10 x - 5

。再展開

- 2 (x - 3) = - 2 x + 6

。全部寫在一起：

1 - 5 x^{2} + 10 x - 5 - 2 x + 6

。合併同類項：

10 x - 2 x = 8 x

，

1 - 5 + 6 = 2

。所以原式

= - 5 x^{2} + 8 x + 2

。

要先算平方、再乘

- 5

；

- 2 \times (- 3) = + 6

。

05第 16～18 題：多項式的除法

第 16 題用直式除法。第一步：

4 x^{2} \div 2 x = 2 x

，商的第一項是

2 x

；

2 x \times (2 x - 3) = 4 x^{2} - 6 x

；

(4 x^{2} - 10 x) - (4 x^{2} - 6 x) = - 4 x

，把

+ 15

帶下來得

- 4 x + 15

。第二步：

- 4 x \div 2 x = - 2

，商的第二項是

- 2

；

- 2 \times (2 x - 3) = - 4 x + 6

；

(- 4 x + 15) - (- 4 x + 6) = 9

。餘式

9

的次數比除式低，除法結束。商式為

2 x - 2

，餘式為

9

。

驗算：

(2 x - 3) (2 x - 2) + 9 = 4 x^{2} - 10 x + 6 + 9 = 4 x^{2} - 10 x + 15

。

第 17 題被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式，所以

8 x^{2} + 2 x - 15 = B \times (4 x + 7) + 6

。把餘式移過去：

B \times (4 x + 7) = 8 x^{2} + 2 x - 15 - 6 = 8 x^{2} + 2 x - 21

。所以

B = (8 x^{2} + 2 x - 21) \div (4 x + 7)

。直式除法：

8 x^{2} \div 4 x = 2 x

，

2 x \times (4 x + 7) = 8 x^{2} + 14 x

，相減得

- 12 x - 21

；

- 12 x \div 4 x = - 3

，

- 3 \times (4 x + 7) = - 12 x - 21

，相減得

0

。所以

B = 2 x - 3

。

驗算：

(2 x - 3) (4 x + 7) + 6 = 8 x^{2} + 14 x - 12 x - 21 + 6 = 8 x^{2} + 2 x - 15

。要先減掉餘式

6

再除。

第 18 題直式的意思：除式是

a x + b

，被除式是

c x^{2} + d x + e

，商式是

2 x + 3

，餘式是

- 2

。第一步：商的第一項

2 x

乘以除式，得到第三列

10 x^{2} + f x

。

2 x \times (a x + b) = 2 a x^{2} + 2 b x

，所以

2 a = 10

，

a = 5

，而且

f = 2 b

。第二步：商的第二項

3

乘以除式，得到第五列

g x - 6

。

3 \times (a x + b) = 3 a x + 3 b

，所以

g = 3 a = 15

，

3 b = - 6

，

b = - 2

，於是

f = 2 b = - 4

。第一次相減：

c x^{2} - 10 x^{2}

要消掉，所以

c = 10

；

d x - f x = 15 x

，即

d - (- 4) = 15

，

d = 11

。第二次相減：

e - (- 6) = - 2

，

e = - 8

。所以

a + d + e = 5 + 11 + (- 8) = 8

。

驗算：

(5 x - 2) (2 x + 3) + (- 2) = 10 x^{2} + 15 x - 4 x - 6 - 2 = 10 x^{2} + 11 x - 8

，正好是

c x^{2} + d x + e

。

除法做完，用「除式 × 商式＋餘式＝被除式」乘回去驗算。

06第 15、20～22 題：平方根的意義與近似值

第 15 題

16 - a

是正整數，所以

16 - a

要是完全平方數

1

、

4

、

9

、

16

、

25

、……。

a

是正整數或

0

，所以

16 - a

最大是

16

。

16 - a = 16

時

a = 0

；

16 - a = 9

時

a = 7

；

16 - a = 4

時

a = 12

；

16 - a = 1

時

a = 15

。所以

a

的所有可能值為

0

、

7

、

12

、

15

。

a = 16

時

16 - a = 0

，

0

不是正整數，不能算進去。

第 20 題答案 (A)(B)。(A) 對：

0. 2^{2} = 0.04

，而且

0.2

是正數，所以

0.04

的正平方根是

0.2

。(B) 對：邊長的平方等於面積

3

，邊長是正數，所以邊長是

3

的正平方根，記為

3

。(C) 錯：

- 7^{2} = - 49

這個算式是對的，但是它表示的是

7^{2}

的相反數；

(- 7)^{2} = 49

，所以

- 7

是

49

的平方根。任何數的平方都不會是負數，

- 49

沒有平方根。(D) 錯：

a = (- 29)^{2}

表示

- 29

的平方是

a

，所以是「

- 29

為

a

的平方根」，題目把兩者說反了。

「甲是乙的平方根」的意思是「甲的平方等於乙」，要分清楚誰平方之後等於誰。

第 21 題先估

17

的大小。

4. 1^{2} = 16.81

，

4. 2^{2} = 17.64

，而

16.81 < 17 < 17.64

，所以

17

在

4.1

和

4.2

之間。由圖，

A

在

4

的左邊，

B

在

4.1

和

4.2

之間，

C

在

4.3

和

4.4

之間，

D

在

4.5

的右邊。只有

B

落在

4.1

和

4.2

之間，所以最接近

17

的是

B

點。

17

比

16

多一點點，所以

17

只比

4

多一點點，再用

4. 1^{2}

、

4. 2^{2}

夾出範圍。

第 22 題三個根號分開算。

3 3^{2} = 1089

，所以

1089 = 33

。

1. 7^{2} = 2.89

，所以

2.89 = 1.7

。

(\frac{13}{2})^{2} = \frac{169}{4}

，所以

\frac{169}{4} = \frac{13}{2} = 6.5

。原式

= 33 + 1.7 - 6.5 = 28.2

。

找

1089

：

3 0^{2} = 900

、

4 0^{2} = 1600

，所以在

30

和

40

之間；個位數是

9

，試

33

和

37

，

3 3^{2} = 1089

。

07第 23～25 題：平方根的應用與乘法公式的綜合

第 23 題用面積來求。大正方形

A B C D

的面積是

10 \times 10 = 100

平方公分。四個角落各有一個直角三角形，兩股都是邊長的一半

5

公分，每個面積是

\frac{5 \times 5}{2} = 12.5

平方公分，四個共

12.5 \times 4 = 50

平方公分。中間的四邊形

E F G H

面積是

100 - 50 = 50

平方公分。四個角落的三角形大小形狀都相同，都是等腰直角三角形，所以

E F G H

的四個邊一樣長；每個銳角是

4 5^{\circ}

，所以

E F G H

的每個角是

18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

。

E F G H

是正方形，面積是

50

，邊長就是

50

的正平方根。所以

\overline{E F} = 50

公分。

7^{2} = 49

、

8^{2} = 64

，所以

50

比

7

多一點，約

7.07

公分。之後學到根式的化簡，

50

會寫成

52

，兩者是同一個數。

第 24 題

2 a + 6

的正平方根是

4

，表示

4^{2} = 2 a + 6

，即

2 a + 6 = 16

，

2 a = 10

，

a = 5

。

2 a + b + 5

的負平方根是

- 5

，表示

(- 5)^{2} = 2 a + b + 5

，即

2 a + b + 5 = 25

。把

a = 5

代入：

10 + b + 5 = 25

，

b = 10

。所以

a + b = 15

。

15

的平方根有正、負兩個，是

\pm 15

。

題目問的是「平方根」，正的和負的都要寫；

15

不是完全平方數，所以留著根號。

第 25 題

226 = 230 - 4

，

234 = 230 + 4

，由平方差公式

226 \times 234 = (230 - 4) (230 + 4) = 23 0^{2} - 4^{2} = 23 0^{2} - 16

。前兩項分母相同，先相加：

\frac{16}{230} + \frac{23 0 ^{2} - 16}{230} = \frac{16 + 23 0 ^{2} - 16}{230} = \frac{23 0 ^{2}}{230} = 230

。所以原式

= 230 + 230 = 460

。

226

和

234

與

230

都相差

4

，這是可以用平方差公式的線索；

4^{2} = 16

正好和前面的

16

消掉。

兩個數與同一個數相差一樣多時，把乘積寫成

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

。

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同樣是國二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

蘆洲國中 114 上國二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘆洲國中 114 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 18 題要從直式除法的每一列回推七個數，先由商的每一項乘以除式定出除式，再由兩次相減定出被除式；第 20 題要分清楚負七的平方與七的平方的相反數，還有誰是誰的平方根；第 23 題在還沒學畢氏定理時要改用面積，先確認中間的四邊形是正方形；第 25 題要看出兩個乘數與二百三十都相差四，用平方差公式消掉十六。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自蘆洲國中 114 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／國二

段考詳解範圍：乘法公式與多項式、平方根(乘法公式、多項式的意義與加減、多項式的乘法與除法、平方根的意義與近似值)

蘆洲國中 114 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

填充題 25 題（每題 4 分，共 100 分）

填充題（共 25 題，每題 4 分）（除第七題外，答案一律降冪排列否則不予計分）

計算

899 \times 101

的值

=

____。

計算

49 5^{2} + 2 \times 495 \times 5 + 5^{2}

的值

=

____。

計算

954 5^{2} - 45 5^{2}

的值

=

____。

下列各選項中，哪些是

x

的多項式？

(A) $5$
(B) $\frac{2}{x} - x$
(C) $- x^{2}$
(D) $\frac{x ^{2}}{2} + 1$

下列關於多項式

- 3 x - 2 - 2 x^{2}

的敘述，哪些正確？

(A) $x^{2}$ 項的係數是 $2$
(B) 此多項式共有 $3$ 項
(C) 該多項式為 $x$ 的一次多項式
(D) 常數項是 $- 2$

若

(a + 2) x^{2} - (b - 2) x + (c - 3)

為

x

的零次多項式，則

a + b =

____。

請將多項式

- 10 x^{2} + 13 x^{3} - 10 + 5 x

升冪排列 ____。

(x^{3} - 4 x - 7) + (- 2 x + 3 x^{2}) =

____。

(- 3 x^{2} - 6) - (4 x^{2} + 5 - 2 x) =

____。

若

B

是多項式，且

B - (5 x^{3} - 2 + x^{2}) = 2 x^{2} + 11 - 3 x

，則多項式

B =

____。

- x (- 5 x + 8) =

____。

(- 5 x + 2)^{2} =

____。

(2 x - 4) (3 x + 1) =

____。

(3 x + 7) (3 x - 7) =

____。

已知

a

為正整數或

0

，若要使

16 - a

為正整數，則

a

的所有可能值為 ____。

求

(4 x^{2} - 10 x + 15) \div (2 x - 3)

的商式為 ____。

已知

8 x^{2} + 2 x - 15

除以另一個多項式

B

後，得到商式為

4 x + 7

，餘式為

6

，試求此多項式

B =

____。

下圖的多項式除法中有七個數，分別以

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

、

g

表示，則

a + d + e =

____。

載入中...

1 - 5 (x - 1)^{2} - 2 (x - 3) =

____。

關於平方根的敘述，下列何者正確？

(A) $0.04$ 的正平方根是 $0.2$
(B) 正方形面積為 $3$ ，其邊長記為 $3$
(C) $- 7^{2} = - 49$ ，所以 $- 7$ 是 $- 49$ 的平方根
(D) 若 $a = (- 29)^{2}$ ，則 $a$ 為 $- 29$ 的平方根

下圖數線上有

A

、

B

、

C

、

D

四點，哪個點所表示的數最接近

17

？ ____

載入中...

1089 + 2.89 - \frac{169}{4} =

____。

如圖，已知正方形

A B C D

邊長

10

公分，

E

、

F

、

G

、

H

分別為四邊中點，

\overline{E F}

為？ ____

載入中...

已知

2 a + 6

的正平方根為

4

，

2 a + b + 5

的負平方根為

- 5

，則

a + b

的平方根為？ ____

計算

\frac{16}{230} + \frac{226 \times 234}{230} + 230 =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

90799

第 2 題

250000

第 3 題

90900000

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題(B)(D)

第 6 題

0

第 7 題

- 10 + 5 x - 10 x^{2} + 13 x^{3}

第 8 題

x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 7

第 9 題

- 7 x^{2} + 2 x - 11

第 10 題

5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 9

第 11 題

5 x^{2} - 8 x

第 12 題

25 x^{2} - 20 x + 4

第 13 題

6 x^{2} - 10 x - 4

第 14 題

9 x^{2} - 49

第 15 題

0

、

7

、

12

、

15

第 16 題

2 x - 2

第 17 題

2 x - 3

第 18 題

8

第 19 題

- 5 x^{2} + 8 x + 2

第 20 題(A)(B)

第 21 題

B

第 22 題

28.2

第 23 題

50

公分

第 24 題

\pm 15

第 25 題

460

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～3 題：用乘法公式做速算

第 1 題

899 = 900 - 1

，

101 = 100 + 1

，兩個數不是「同一個數加減同一個數」，所以改用分配律。

899 \times 101 = 899 \times (100 + 1) = 899 \times 100 + 899 \times 1 = 89900 + 899 = 90799

。

也可以寫成

(900 - 1) \times 101 = 900 \times 101 - 101 = 90900 - 101 = 90799

，結果相同。

第 2 題式子的樣子是

a^{2} + 2 ab + b^{2}

，其中

a = 495

、

b = 5

。由和的平方公式，

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

。所以原式

= (495 + 5)^{2} = 50 0^{2} = 250000

。

第 3 題式子的樣子是

a^{2} - b^{2}

，其中

a = 9545

、

b = 455

。由平方差公式，

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

。

a + b = 9545 + 455 = 10000

，

a - b = 9545 - 455 = 9090

。所以原式

= 10000 \times 9090 = 90900000

。

90900000

是九千零九十萬，

909

後面有

5

個

0

。

看到

a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

或

a^{2} - b^{2}

的樣子，先收成

(a \pm b)^{2}

或

(a + b) (a - b)

再算。

02第 4～7 題：多項式的意義、次數與排列

第 4 題答案 (A)(C)(D)。多項式裡，文字

x

不能出現在分母，也不能出現在絕對值或根號裡。(A) 是：

5

是常數，常數也是多項式（常數多項式）。(B) 不是：

\frac{2}{x}

的

x

在分母。(C) 是：

- x^{2}

只有一項，是二次多項式。(D) 是：

\frac{x ^{2}}{2} = \frac{1}{2} x^{2}

，分母是數字

2

，不是

x

，係數是

\frac{1}{2}

。

分母有數字沒關係，分母有

x

才不是多項式。

第 5 題答案 (B)(D)。先照降冪排列：

- 3 x - 2 - 2 x^{2} = - 2 x^{2} - 3 x - 2

。(A) 錯：

x^{2}

項是

- 2 x^{2}

，係數是

- 2

，不是

2

。(B) 對：共有

- 2 x^{2}

、

- 3 x

、

- 2

三項。(C) 錯：次數最高的項是

- 2 x^{2}

，所以是二次多項式。(D) 對：不含

x

的項是

- 2

，常數項是

- 2

。

係數要連同前面的負號一起看。

第 6 題零次多項式就是不等於

0

的常數，所以

x^{2}

項和

x

項的係數都要是

0

。

x^{2}

項的係數：

a + 2 = 0

，得

a = - 2

。

x

項的係數：

- (b - 2) = 0

，得

b = 2

。所以

a + b = - 2 + 2 = 0

。

常數項

c - 3

不能是

0

（也就是

c \neq = 3

），否則整個式子等於

0

，不是零次多項式。這個條件不影響

a + b

。

第 7 題升冪排列是次數由小排到大。四項的次數：

- 10

是

0

次，

5 x

是

1

次，

- 10 x^{2}

是

2

次，

13 x^{3}

是

3

次。依序寫出：

- 10 + 5 x - 10 x^{2} + 13 x^{3}

。

搬動每一項時，前面的正負號要跟著一起搬。

03第 8～10 題：多項式的加減

第 8 題加法直接去括號：

x^{3} - 4 x - 7 - 2 x + 3 x^{2}

。合併同類項：

- 4 x - 2 x = - 6 x

。照降冪排列：

x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 7

。

第 9 題減法去括號時，後面括號裡每一項都要變號：

- 3 x^{2} - 6 - 4 x^{2} - 5 + 2 x

。合併同類項：

- 3 x^{2} - 4 x^{2} = - 7 x^{2}

，

- 6 - 5 = - 11

。照降冪排列：

- 7 x^{2} + 2 x - 11

。

- (- 2 x) = + 2 x

，這一項最容易漏掉變號。

第 10 題

B

減去

(5 x^{3} - 2 + x^{2})

得到

2 x^{2} + 11 - 3 x

，所以

B

等於「差」加上「減去的式子」。

B = (2 x^{2} + 11 - 3 x) + (5 x^{3} - 2 + x^{2})

。合併同類項：

2 x^{2} + x^{2} = 3 x^{2}

，

11 - 2 = 9

。照降冪排列：

B = 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 9

。

驗算：

(5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 9) - (5 x^{3} + x^{2} - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 11

，與題目相同。

減去一個多項式時，括號裡的每一項都要變號，再合併同類項。

04第 11～14、19 題：多項式的乘法與乘法公式

第 11 題用分配律，

- x

分別乘進括號：

(- x) \times (- 5 x) = 5 x^{2}

，

(- x) \times 8 = - 8 x

。所以原式

= 5 x^{2} - 8 x

。

第 12 題用和的平方公式

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

，其中

a = - 5 x

、

b = 2

。

a^{2} = (- 5 x)^{2} = 25 x^{2}

，

2 ab = 2 \times (- 5 x) \times 2 = - 20 x

，

b^{2} = 4

。所以原式

= 25 x^{2} - 20 x + 4

。

(- 5 x + 2)^{2}

和

(5 x - 2)^{2}

相等，用差的平方公式展開

(5 x - 2)^{2}

也得到相同結果。

第 13 題用分配律，四項逐一相乘：

2 x \times 3 x = 6 x^{2}

，

2 x \times 1 = 2 x

，

(- 4) \times 3 x = - 12 x

，

(- 4) \times 1 = - 4

。合併同類項：

2 x - 12 x = - 10 x

。所以原式

= 6 x^{2} - 10 x - 4

。

第 14 題用平方差公式

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

，其中

a = 3 x

、

b = 7

。

a^{2} = (3 x)^{2} = 9 x^{2}

，

b^{2} = 49

。所以原式

= 9 x^{2} - 49

。

(3 x)^{2}

的係數

3

也要平方，是

9 x^{2}

不是

3 x^{2}

。

第 19 題先展開平方：

(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

。乘上

- 5

：

- 5 (x^{2} - 2 x + 1) = - 5 x^{2} + 10 x - 5

。再展開

- 2 (x - 3) = - 2 x + 6

。全部寫在一起：

1 - 5 x^{2} + 10 x - 5 - 2 x + 6

。合併同類項：

10 x - 2 x = 8 x

，

1 - 5 + 6 = 2

。所以原式

= - 5 x^{2} + 8 x + 2

。

要先算平方、再乘

- 5

；

- 2 \times (- 3) = + 6

。

05第 16～18 題：多項式的除法

第 16 題用直式除法。第一步：

4 x^{2} \div 2 x = 2 x

，商的第一項是

2 x

；

2 x \times (2 x - 3) = 4 x^{2} - 6 x

；

(4 x^{2} - 10 x) - (4 x^{2} - 6 x) = - 4 x

，把

+ 15

帶下來得

- 4 x + 15

。第二步：

- 4 x \div 2 x = - 2

，商的第二項是

- 2

；

- 2 \times (2 x - 3) = - 4 x + 6

；

(- 4 x + 15) - (- 4 x + 6) = 9

。餘式

9

的次數比除式低，除法結束。商式為

2 x - 2

，餘式為

9

。

驗算：

(2 x - 3) (2 x - 2) + 9 = 4 x^{2} - 10 x + 6 + 9 = 4 x^{2} - 10 x + 15

。

第 17 題被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式，所以

8 x^{2} + 2 x - 15 = B \times (4 x + 7) + 6

。把餘式移過去：

B \times (4 x + 7) = 8 x^{2} + 2 x - 15 - 6 = 8 x^{2} + 2 x - 21

。所以

B = (8 x^{2} + 2 x - 21) \div (4 x + 7)

。直式除法：

8 x^{2} \div 4 x = 2 x

，

2 x \times (4 x + 7) = 8 x^{2} + 14 x

，相減得

- 12 x - 21

；

- 12 x \div 4 x = - 3

，

- 3 \times (4 x + 7) = - 12 x - 21

，相減得

0

。所以

B = 2 x - 3

。

驗算：

(2 x - 3) (4 x + 7) + 6 = 8 x^{2} + 14 x - 12 x - 21 + 6 = 8 x^{2} + 2 x - 15

。要先減掉餘式

6

再除。

第 18 題直式的意思：除式是

a x + b

，被除式是

c x^{2} + d x + e

，商式是

2 x + 3

，餘式是

- 2

。第一步：商的第一項

2 x

乘以除式，得到第三列

10 x^{2} + f x

。

2 x \times (a x + b) = 2 a x^{2} + 2 b x

，所以

2 a = 10

，

a = 5

，而且

f = 2 b

。第二步：商的第二項

3

乘以除式，得到第五列

g x - 6

。

3 \times (a x + b) = 3 a x + 3 b

，所以

g = 3 a = 15

，

3 b = - 6

，

b = - 2

，於是

f = 2 b = - 4

。第一次相減：

c x^{2} - 10 x^{2}

要消掉，所以

c = 10

；

d x - f x = 15 x

，即

d - (- 4) = 15

，

d = 11

。第二次相減：

e - (- 6) = - 2

，

e = - 8

。所以

a + d + e = 5 + 11 + (- 8) = 8

。

驗算：

(5 x - 2) (2 x + 3) + (- 2) = 10 x^{2} + 15 x - 4 x - 6 - 2 = 10 x^{2} + 11 x - 8

，正好是

c x^{2} + d x + e

。

除法做完，用「除式 × 商式＋餘式＝被除式」乘回去驗算。

06第 15、20～22 題：平方根的意義與近似值

第 15 題

16 - a

是正整數，所以

16 - a

要是完全平方數

1

、

4

、

9

、

16

、

25

、……。

a

是正整數或

0

，所以

16 - a

最大是

16

。

16 - a = 16

時

a = 0

；

16 - a = 9

時

a = 7

；

16 - a = 4

時

a = 12

；

16 - a = 1

時

a = 15

。所以

a

的所有可能值為

0

、

7

、

12

、

15

。

a = 16

時

16 - a = 0

，

0

不是正整數，不能算進去。

第 20 題答案 (A)(B)。(A) 對：

0. 2^{2} = 0.04

，而且

0.2

是正數，所以

0.04

的正平方根是

0.2

。(B) 對：邊長的平方等於面積

3

，邊長是正數，所以邊長是

3

的正平方根，記為

3

。(C) 錯：

- 7^{2} = - 49

這個算式是對的，但是它表示的是

7^{2}

的相反數；

(- 7)^{2} = 49

，所以

- 7

是

49

的平方根。任何數的平方都不會是負數，

- 49

沒有平方根。(D) 錯：

a = (- 29)^{2}

表示

- 29

的平方是

a

，所以是「

- 29

為

a

的平方根」，題目把兩者說反了。

「甲是乙的平方根」的意思是「甲的平方等於乙」，要分清楚誰平方之後等於誰。

第 21 題先估

17

的大小。

4. 1^{2} = 16.81

，

4. 2^{2} = 17.64

，而

16.81 < 17 < 17.64

，所以

17

在

4.1

和

4.2

之間。由圖，

A

在

4

的左邊，

B

在

4.1

和

4.2

之間，

C

在

4.3

和

4.4

之間，

D

在

4.5

的右邊。只有

B

落在

4.1

和

4.2

之間，所以最接近

17

的是

B

點。

17

比

16

多一點點，所以

17

只比

4

多一點點，再用

4. 1^{2}

、

4. 2^{2}

夾出範圍。

第 22 題三個根號分開算。

3 3^{2} = 1089

，所以

1089 = 33

。

1. 7^{2} = 2.89

，所以

2.89 = 1.7

。

(\frac{13}{2})^{2} = \frac{169}{4}

，所以

\frac{169}{4} = \frac{13}{2} = 6.5

。原式

= 33 + 1.7 - 6.5 = 28.2

。

找

1089

：

3 0^{2} = 900

、

4 0^{2} = 1600

，所以在

30

和

40

之間；個位數是

9

，試

33

和

37

，

3 3^{2} = 1089

。

07第 23～25 題：平方根的應用與乘法公式的綜合

第 23 題用面積來求。大正方形

A B C D

的面積是

10 \times 10 = 100

平方公分。四個角落各有一個直角三角形，兩股都是邊長的一半

5

公分，每個面積是

\frac{5 \times 5}{2} = 12.5

平方公分，四個共

12.5 \times 4 = 50

平方公分。中間的四邊形

E F G H

面積是

100 - 50 = 50

平方公分。四個角落的三角形大小形狀都相同，都是等腰直角三角形，所以

E F G H

的四個邊一樣長；每個銳角是

4 5^{\circ}

，所以

E F G H

的每個角是

18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

。

E F G H

是正方形，面積是

50

，邊長就是

50

的正平方根。所以

\overline{E F} = 50

公分。

7^{2} = 49

、

8^{2} = 64

，所以

50

比

7

多一點，約

7.07

公分。之後學到根式的化簡，

50

會寫成

52

，兩者是同一個數。

第 24 題

2 a + 6

的正平方根是

4

，表示

4^{2} = 2 a + 6

，即

2 a + 6 = 16

，

2 a = 10

，

a = 5

。

2 a + b + 5

的負平方根是

- 5

，表示

(- 5)^{2} = 2 a + b + 5

，即

2 a + b + 5 = 25

。把

a = 5

代入：

10 + b + 5 = 25

，

b = 10

。所以

a + b = 15

。

15

的平方根有正、負兩個，是

\pm 15

。

題目問的是「平方根」，正的和負的都要寫；

15

不是完全平方數，所以留著根號。

第 25 題

226 = 230 - 4

，

234 = 230 + 4

，由平方差公式

226 \times 234 = (230 - 4) (230 + 4) = 23 0^{2} - 4^{2} = 23 0^{2} - 16

。前兩項分母相同，先相加：

\frac{16}{230} + \frac{23 0 ^{2} - 16}{230} = \frac{16 + 23 0 ^{2} - 16}{230} = \frac{23 0 ^{2}}{230} = 230

。所以原式

= 230 + 230 = 460

。

226

和

234

與

230

都相差

4

，這是可以用平方差公式的線索；

4^{2} = 16

正好和前面的

16

消掉。

兩個數與同一個數相差一樣多時，把乘積寫成

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

。

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02第 4～7 題：多項式的意義、次數與排列

03第 8～10 題：多項式的加減

04第 11～14、19 題：多項式的乘法與乘法公式

05第 16～18 題：多項式的除法

06第 15、20～22 題：平方根的意義與近似值

07第 23～25 題：平方根的應用與乘法公式的綜合

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國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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