段考詳解範圍：乘法公式與多項式、平方根（乘法公式、多項式的加減、多項式的乘除、平方根與近似值）

大有國中 114 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

選擇題 10 題（40 分）、填充題 9 題共 12 格（48 分）、計算題 3 題（12 分）；多項式答案皆以降冪排列寫出

一、選擇題（每題 4 分，滿分 40 分）

有關多項式

6 x + 7 x^{2} - 2

的敘述，下列何者錯誤？

(A) $x^{2}$ 項的係數為 $7$
(B) $x$ 項的係數為 $6$
(C) 常數項為 $2$
(D) 常數項為 $- 2$

如圖，四個小長方形面積如下，若拼成一個大長方形，則此大長方形的面積可用下列哪一個選項表示？

(A) $(5 + 7) (3 + 11)$
(B) $(3 + 7) (5 + 11)$
(C) $(7 + 5) (11 + 3)$
(D) $(5 + 3) (7 + 11)$

載入中...

下列各項等式中何者正確？

(A) $393 \times 407 = 30 0^{2} - 3^{2}$
(B) $(9 \frac{1}{3})^{2} = 9^{2} + (\frac{1}{3})^{2}$
(C) $(14 - 0.1)^{2} = 1 4^{2} - (0.1)^{2}$
(D) $199 6^{2} = 200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 4 + 4^{2}$

下列敘述何者正確？

(A) $3 x - x = 3$
(B) $2 x^{2} + 2 x^{2} = 4 x^{4}$
(C) $x + x \times x = 2 x^{2}$
(D) $4 x^{3} \div x^{3} = 4$

101 4^{2} - 100 0^{2}

的值是下列哪個數的倍數？

(A) $1007$
(B) $101$
(C) $17$
(D) $100$

下列敘述何者錯誤？

(A) $(6)^{2} = 6$
(B) $(- 3)^{2} = - 3$
(C) $0.25 = 0.5$
(D) $(- 4)^{2} = 4$

若

(x^{2} - x + 2) - A = - x^{2} + x - 2

，則

A =

？

(A) $2 x^{2} - 2 x + 4$
(B) $- x^{2} - 2 x + 4$
(C) $x^{2} - 2 x + 4$
(D) $- 2 x^{2} + x - 4$

下列多項式何者可以被

x

整除？

(A) $4 x^{2} + 4 x + 5$
(B) $3 x + 6$
(C) $x^{2} + 24 x$
(D) $x^{2} + 1$

展開多項式

(1 + x) \times (2 + x) \times (3 + x) \times \dots\dots \times (10 + x)

，求此多項式的次數為何？

(A) 一次
(B) 十次
(C) 三十次
(D) 五十五次

有關

7

的敘述，下列何者錯誤？

(A) 數線上有一點 $A$ ， $A (7)$ 在原點的右邊
(B) 最接近 $7$ 的整數是 $3$
(C) $- 7$ 是 $7$ 的負平方根
(D) $7$ 在 $6$ 和 $8$ 之間，且較接近 $8$

二、填充題（每格 4 分，滿分 48 分）（本頁第 11～19 題依序為原卷填充題 1～9；第 11 題有三格、第 12 題有兩格，共 12 格）

計算下列式子：(1)

(1.99)^{2} - 4 \times 1.99 + 4 =

____。(2)

10 1^{2} =

____。(3)

\frac{9 7 ^{2} - 3 ^{2}}{9 7 ^{2} + 2 \times 3 \times 97 + 3 ^{2}} =

____。

長方形長為

(3 x + 2)

，寬為

(4 x - 7)

，請問：(1) 長方形周長為 ____。(2) 長方形面積為 ____。

梯形面積為

8 x^{2} + 2 x

，上底為

(5 x - 2)

，下底為

(3 x + 4)

，則高為 ____。

有三數比大小，

A

為

1.5

，

B

為

1. 5^{2}

，

C

為

1.5

，則三數由大排到小為何？答：____。

已知

6 x^{2} - 7 x + m

可以被

2 x - 3

整除，則

m =

____。

已知多項式

B

除以

x - 1

得商式為

x + 5

，餘式為

8

，如果改將多項式

B

除以

x + 1

，則餘式為 ____。

如圖，花圃是由四塊長為

3 x

，寬為

2

的長方形草地（斜線部分）所圍成的，則花圃（空白部分）的面積為 ____。（以

x

的多項式表示）

載入中...

求小於

(30.05)^{2}

的最大正整數為 ____。

有一區農地價格如下：面積

x

平方公尺售價為

x

萬元。買家甲預算為

200 \sim 300

萬元，買家乙為

100 \sim 200

萬元，買家丙為

150 \sim 250

萬元，買家丁為

250 \sim 350

萬元。若最近有一塊農地面積

50000

平方公尺出售，則滿足個人預算的買家有哪些人？（全對才給分）答：____。

三、計算題（無計算過程不給分，每題 4 分，滿分 12 分）（本頁第 20～22 題依序為原卷計算題 1～3）

下圖的每一個角都是直角，則下圖的面積為多少？

載入中...

有一多項式

2 x^{2} + x + 3

，除以多項式

B

得到商式為

(x - 1)

，餘式為

6

，則多項式

B

為何？

計算

(x^{2} - 5 x + 1) - [(x^{2} - 2 x + 1) - (3 x^{2} - 4)]

。（本題過程完整正確才給分，否則不予計分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(D)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(B)

第 7 題(A)

第 8 題(C)

第 9 題(B)

第 10 題(C)

第 11 題(1)

0.0001

(2)

10201

(3)

\frac{47}{50}

第 12 題(1)

14 x - 10

(2)

12 x^{2} - 13 x - 14

第 13 題

2 x

第 14 題

B > A > C

第 15 題

- 3

第 16 題

0

第 17 題

9 x^{2} - 12 x + 4

第 18 題

903

第 19 題甲、丙

第 20 題

16 y + 3

第 21 題

2 x + 3

第 22 題

3 x^{2} - 3 x - 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1、4、7：多項式的項與加減

第 1 題答案 (C)。先照降冪排列：

6 x + 7 x^{2} - 2 = 7 x^{2} + 6 x - 2

。

x^{2}

項是

7 x^{2}

，係數是

7

，(A) 對。

x

項是

6 x

，係數是

6

，(B) 對。常數項要連前面的符號一起看，是

- 2

，所以 (D) 對，(C) 錯。

係數和常數項都要帶著前面的正負號。

第 4 題答案 (D)。(A)

3 x - x = (3 - 1) x = 2 x

，不是

3

。(B) 同類項相加只加係數，次數不變：

2 x^{2} + 2 x^{2} = 4 x^{2}

，不是

4 x^{4}

。(C) 先乘後加：

x + x \times x = x + x^{2}

；

x

和

x^{2}

不是同類項，不能再合併，不是

2 x^{2}

。(D)

4 x^{3} \div x^{3} = 4

，正確。

同類項相加減時次數不變；相乘時次數才會相加。

第 7 題答案 (A)。被減式減去

A

等於差，所以

A

等於被減式減去差：

A = (x^{2} - x + 2) - (- x^{2} + x - 2)

。去括號時減號後面每一項都變號：

A = x^{2} - x + 2 + x^{2} - x + 2

。合併同類項：

A = 2 x^{2} - 2 x + 4

。

驗算：

(x^{2} - x + 2) - (2 x^{2} - 2 x + 4) = - x^{2} + x - 2

，和題目相同。

係數帶符號看；去括號遇到減號，每一項都要變號。

02選擇 2、3、5：乘法公式

第 2 題答案 (D)。大長方形被一條橫線和一條直線分成四塊，同一列的兩塊寬相同，同一行的兩塊長相同。上列：

35 = 5 \times 7

，

55 = 5 \times 11

，共同的邊是

5

。下列：

21 = 3 \times 7

，

33 = 3 \times 11

，共同的邊是

3

。左行兩塊共同的邊是

7

，右行兩塊共同的邊是

11

。所以大長方形的一邊是

5 + 3

，另一邊是

7 + 11

，面積是

(5 + 3) (7 + 11)

。

驗算：

(5 + 3) (7 + 11) = 8 \times 18 = 144

，而

35 + 55 + 21 + 33 = 144

。其他三個選項乘出來分別是

168

、

160

、

168

，都不等於

144

。

第 3 題答案 (D)。(A)

393 = 400 - 7

，

407 = 400 + 7

，所以

393 \times 407 = 40 0^{2} - 7^{2}

，不是

30 0^{2} - 3^{2}

。(B)

9 \frac{1}{3} = 9 + \frac{1}{3}

，

(9 + \frac{1}{3})^{2} = 9^{2} + 2 \times 9 \times \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2}

，少了中間的

2 \times 9 \times \frac{1}{3} = 6

。(C)

(14 - 0.1)^{2} = 1 4^{2} - 2 \times 14 \times 0.1 + (0.1)^{2}

，等號右邊少了中間項，最後一項的符號也不對。(D)

1996 = 2000 - 4

，

(2000 - 4)^{2} = 200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 4 + 4^{2}

，正確。

和的平方、差的平方展開後都有三項，中間那一項是兩數乘積的

2

倍。

第 5 題答案 (A)。用平方差公式：

101 4^{2} - 100 0^{2} = (1014 + 1000) (1014 - 1000) = 2014 \times 14

。

2014 = 2 \times 1007

，所以原式

= 1007 \times 2 \times 14 = 1007 \times 28

，是

1007

的倍數。再看其他選項：原式

= 28196

。

28196 \div 101 = 279

餘

17

；

28196 \div 17 = 1658

餘

10

；

28196

的末兩位是

96

，不是

100

的倍數。所以只有 (A)。

看到兩個平方相減，先用平方差公式拆成「和×差」。

03選擇 6、10：平方根

第 6 題答案 (B)。(A)

6

是平方後等於

6

的正數，所以

(6)^{2} = 6

，對。(B)

(- 3)^{2} = 9

，

9 = 3

；根號代表正的平方根，結果不會是負數，所以

(- 3)^{2} = 3

，不是

- 3

，錯。(C)

0. 5^{2} = 0.25

，所以

0.25 = 0.5

，對。(D)

- 4 = - 2

，

(- 2)^{2} = 4

，對。

a

一定不是負數。

第 10 題答案 (C)。(A)

7

是正數，在原點右邊，對。(B)

2. 5^{2} = 6.25 < 7 < 9 = 3^{2}

，所以

2.5 < 7 < 3

，離

3

比離

2

近，最接近的整數是

3

，對。(C)

7

的負平方根寫成

- 7

，負號在根號外面；

- 7

是把

- 7

開根號，而負數沒有平方根，兩者不同，錯。(D)

6 < 7 < 8

，所以

6 < 7 < 8

。取近似值

6 \approx 2.449

、

7 \approx 2.646

、

8 \approx 2.828

：

7 - 6 \approx 0.197

，

8 - 7 \approx 0.182

，離

8

比較近，對。

- 7

和

- 7

只差在負號的位置，意思完全不同。

根號的結果不是負數；負號在根號外面才是負平方根。

04選擇 8、9：整除與次數

第 8 題答案 (C)。被

x

整除，就是每一項都能被

x

除盡，也就是沒有常數項。(A) 常數項

5

。(B) 常數項

6

。(D) 常數項

1

。這三個除以

x

都會有餘式。(C)

x^{2} + 24 x = x (x + 24)

，除以

x

的商式是

x + 24

，餘式是

0

，可以整除。

第 9 題答案 (B)。從

(1 + x)

到

(10 + x)

一共有

10

個括號相乘。次數最高的項是每個括號都取

x

相乘：

x \times x \times \dots \times x

（

10

個）

= x^{10}

，所以展開後是十次多項式。

次數看的是

x

的最高次方，和括號裡的常數

1

、

2

、…、

10

無關；

1 + 2 + \dots + 10 = 55

是把常數加起來，不是次數。

05填充 1、7、8（第 11、17、18 題）：乘法公式的應用

第 11 題(1)

4 \times 1.99 = 2 \times 1.99 \times 2

，

4 = 2^{2}

，所以原式

= (1.99)^{2} - 2 \times 1.99 \times 2 + 2^{2} = (1.99 - 2)^{2} = (- 0.01)^{2} = 0.0001

。(2)

10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10 0^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201

。(3) 分子用平方差公式：

9 7^{2} - 3^{2} = (97 + 3) (97 - 3) = 100 \times 94

。分母用和的平方公式：

9 7^{2} + 2 \times 3 \times 97 + 3^{2} = (97 + 3)^{2} = 100 \times 100

。所以原式

= \frac{100 \times 94}{100 \times 100} = \frac{94}{100} = \frac{47}{50}

。

(1) 的

- 0.01

平方後是正的

0.0001

。(3) 的答案要約到最簡分數。

第 17 題四塊草地繞成一個大正方形的外框。看圖的左邊：一塊草地的長

3 x

，上面再接另一塊草地的寬

2

，所以大正方形的邊長是

3 x + 2

。中間的花圃也是正方形，它的邊長是大正方形的邊長扣掉左、右各一個寬

2

：

(3 x + 2) - 2 - 2 = 3 x - 2

。花圃面積

= (3 x - 2)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4

。

另一種算法：大正方形面積減四塊草地，

(3 x + 2)^{2} - 4 \times (3 x \times 2) = 9 x^{2} + 12 x + 4 - 24 x = 9 x^{2} - 12 x + 4

，結果相同。

第 18 題

(30.05)^{2} = (30 + 0.05)^{2} = 3 0^{2} + 2 \times 30 \times 0.05 + (0.05)^{2} = 900 + 3 + 0.0025 = 903.0025

。小於

903.0025

的最大正整數是

903

。

數字靠近整十、整百時，拆成和或差再套公式。

06填充 2、3、5、6（第 12、13、15、16 題）：多項式的乘除

第 12 題(1) 周長

= 2 \times (長 + 寬) = 2 \times [(3 x + 2) + (4 x - 7)] = 2 \times (7 x - 5) = 14 x - 10

。(2) 面積

= 長 \times 寬 = (3 x + 2) (4 x - 7) = 12 x^{2} - 21 x + 8 x - 14 = 12 x^{2} - 13 x - 14

。

第 13 題梯形面積

= (上底 + 下底) \times 高 \div 2

。上底加下底：

(5 x - 2) + (3 x + 4) = 8 x + 2

。所以

(8 x + 2) \times 高 \div 2 = 8 x^{2} + 2 x

，兩邊同乘以

2

得

(8 x + 2) \times 高 = 16 x^{2} + 4 x

。高

= (16 x^{2} + 4 x) \div (8 x + 2)

。因為

2 x \times (8 x + 2) = 16 x^{2} + 4 x

，所以高

= 2 x

。

面積先乘以

2

再除以上下底的和，不要漏掉乘以

2

。

第 15 題用長除法。第一步：

6 x^{2} \div 2 x = 3 x

，

3 x \times (2 x - 3) = 6 x^{2} - 9 x

，相減得

(6 x^{2} - 7 x) - (6 x^{2} - 9 x) = 2 x

，帶下

m

成為

2 x + m

。第二步：

2 x \div 2 x = 1

，

1 \times (2 x - 3) = 2 x - 3

，相減得

(2 x + m) - (2 x - 3) = m + 3

。商式是

3 x + 1

，餘式是

m + 3

。整除表示餘式為

0

，所以

m + 3 = 0

，

m = - 3

。

驗算：

(2 x - 3) (3 x + 1) = 6 x^{2} + 2 x - 9 x - 3 = 6 x^{2} - 7 x - 3

。

第 16 題先還原

B

：被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式，所以

B = (x - 1) (x + 5) + 8 = x^{2} + 5 x - x - 5 + 8 = x^{2} + 4 x + 3

。再把

B

除以

x + 1

：第一步

x^{2} \div x = x

，

x \times (x + 1) = x^{2} + x

，相減得

3 x

，帶下

3

成為

3 x + 3

。第二步

3 x \div x = 3

，

3 \times (x + 1) = 3 x + 3

，相減得

0

。商式是

x + 3

，餘式是

0

。

被除式＝除式×商式＋餘式；整除就是餘式等於 0。

07填充 4、9（第 14、19 題）：平方根的大小與估算

第 14 題

B = 1. 5^{2} = 2.25

，比

A = 1.5

大。再看

C = 1.5

：因為

1^{2} = 1 < 1.5 < 2.25 = 1. 5^{2}

，所以

1 < 1.5 < 1.5

，也就是

C

比

A

小。由大排到小是

B > A > C

。

比

1

大的正數，平方後變大、開根號後變小。題目要求由大排到小，原卷參考答案註明順序不可對調。

第 19 題面積

50000

平方公尺，售價是

50000

萬元。用平方數來夾：

20 0^{2} = 40000

，

25 0^{2} = 62500

，而

40000 < 50000 < 62500

，所以

200 < 50000 < 250

。售價在

200

萬元和

250

萬元之間。甲的預算

200 \sim 300

萬元：在範圍內。乙

100 \sim 200

萬元：售價超過

200

萬元，不在範圍內。丙

150 \sim 250

萬元：在範圍內。丁

250 \sim 350

萬元：售價不到

250

萬元，不在範圍內。答：甲、丙。

再夾細一點：

22 3^{2} = 49729

，

22 4^{2} = 50176

，所以售價大約

223

多萬元。

估根號的大小，找前後兩個算得出來的平方數把它夾住。

08計算 1～3（第 20～22 題）

第 20 題把圖形補成一個大長方形，再扣掉缺的兩塊。大長方形的寬：看下面，

(y + 1) + 2 y = 3 y + 1

。大長方形的高：看右邊，

3 + 5 = 8

。大長方形面積

= 8 (3 y + 1) = 24 y + 8

。右上角缺的一塊：高

3

，寬是全寬扣掉上邊的

y

，即

(3 y + 1) - y = 2 y + 1

，面積

= 3 (2 y + 1) = 6 y + 3

。左下角缺的一塊：寬

y + 1

，高

2

，面積

= 2 (y + 1) = 2 y + 2

。所求面積

= (24 y + 8) - (6 y + 3) - (2 y + 2) = 24 y + 8 - 6 y - 3 - 2 y - 2 = 16 y + 3

。

也可以橫切成三個長方形相加：上面

y \times 3

，中間

(3 y + 1) \times 3

，下面

2 y \times 2

，合計

3 y + 9 y + 3 + 4 y = 16 y + 3

，結果相同。

第 21 題被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式，所以

2 x^{2} + x + 3 = B \times (x - 1) + 6

。兩邊同減

6

：

B \times (x - 1) = 2 x^{2} + x - 3

。所以

B = (2 x^{2} + x - 3) \div (x - 1)

。長除法：第一步

2 x^{2} \div x = 2 x

，

2 x \times (x - 1) = 2 x^{2} - 2 x

，相減得

3 x

，帶下

- 3

成為

3 x - 3

。第二步

3 x \div x = 3

，

3 \times (x - 1) = 3 x - 3

，相減得

0

。所以

B = 2 x + 3

。

驗算：

(2 x + 3) (x - 1) + 6 = 2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 + 6 = 2 x^{2} + x + 3

。

第 22 題先算中括號裡面：

(x^{2} - 2 x + 1) - (3 x^{2} - 4) = x^{2} - 2 x + 1 - 3 x^{2} + 4 = - 2 x^{2} - 2 x + 5

。再算外面：

(x^{2} - 5 x + 1) - (- 2 x^{2} - 2 x + 5) = x^{2} - 5 x + 1 + 2 x^{2} + 2 x - 5

。合併同類項：

= 3 x^{2} - 3 x - 4

。

有兩層括號時由內往外算；每次去掉減號後面的括號，括號裡每一項都要變號。

不規則的直角圖形，補成大長方形再扣掉，或切成幾個長方形相加。

同一次段考的其他學校

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常見問題

大有國中 114 上國二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大有國中 114 上國二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先用平方差公式拆成兩數相乘，再找因數；第 10 題要分清楚負數的平方根與正數的負平方根；第 16 題要先把被除式還原出來再除一次；第 20 題的大長方形長和寬要從各段邊長加出來，扣掉的兩塊也要各自找對長寬。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自大有國中 114 學年度上學期國二第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／國二

段考詳解範圍：乘法公式與多項式、平方根（乘法公式、多項式的加減、多項式的乘除、平方根與近似值）

大有國中 114 上
國二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

選擇題 10 題（40 分）、填充題 9 題共 12 格（48 分）、計算題 3 題（12 分）；多項式答案皆以降冪排列寫出

一、選擇題（每題 4 分，滿分 40 分）

有關多項式

6 x + 7 x^{2} - 2

的敘述，下列何者錯誤？

(A) $x^{2}$ 項的係數為 $7$
(B) $x$ 項的係數為 $6$
(C) 常數項為 $2$
(D) 常數項為 $- 2$

如圖，四個小長方形面積如下，若拼成一個大長方形，則此大長方形的面積可用下列哪一個選項表示？

(A) $(5 + 7) (3 + 11)$
(B) $(3 + 7) (5 + 11)$
(C) $(7 + 5) (11 + 3)$
(D) $(5 + 3) (7 + 11)$

載入中...

下列各項等式中何者正確？

(A) $393 \times 407 = 30 0^{2} - 3^{2}$
(B) $(9 \frac{1}{3})^{2} = 9^{2} + (\frac{1}{3})^{2}$
(C) $(14 - 0.1)^{2} = 1 4^{2} - (0.1)^{2}$
(D) $199 6^{2} = 200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 4 + 4^{2}$

下列敘述何者正確？

(A) $3 x - x = 3$
(B) $2 x^{2} + 2 x^{2} = 4 x^{4}$
(C) $x + x \times x = 2 x^{2}$
(D) $4 x^{3} \div x^{3} = 4$

101 4^{2} - 100 0^{2}

的值是下列哪個數的倍數？

(A) $1007$
(B) $101$
(C) $17$
(D) $100$

下列敘述何者錯誤？

(A) $(6)^{2} = 6$
(B) $(- 3)^{2} = - 3$
(C) $0.25 = 0.5$
(D) $(- 4)^{2} = 4$

若

(x^{2} - x + 2) - A = - x^{2} + x - 2

，則

A =

？

(A) $2 x^{2} - 2 x + 4$
(B) $- x^{2} - 2 x + 4$
(C) $x^{2} - 2 x + 4$
(D) $- 2 x^{2} + x - 4$

下列多項式何者可以被

x

整除？

(A) $4 x^{2} + 4 x + 5$
(B) $3 x + 6$
(C) $x^{2} + 24 x$
(D) $x^{2} + 1$

展開多項式

(1 + x) \times (2 + x) \times (3 + x) \times \dots\dots \times (10 + x)

，求此多項式的次數為何？

(A) 一次
(B) 十次
(C) 三十次
(D) 五十五次

有關

7

的敘述，下列何者錯誤？

(A) 數線上有一點 $A$ ， $A (7)$ 在原點的右邊
(B) 最接近 $7$ 的整數是 $3$
(C) $- 7$ 是 $7$ 的負平方根
(D) $7$ 在 $6$ 和 $8$ 之間，且較接近 $8$

二、填充題（每格 4 分，滿分 48 分）（本頁第 11～19 題依序為原卷填充題 1～9；第 11 題有三格、第 12 題有兩格，共 12 格）

計算下列式子：(1)

(1.99)^{2} - 4 \times 1.99 + 4 =

____。(2)

10 1^{2} =

____。(3)

\frac{9 7 ^{2} - 3 ^{2}}{9 7 ^{2} + 2 \times 3 \times 97 + 3 ^{2}} =

____。

長方形長為

(3 x + 2)

，寬為

(4 x - 7)

，請問：(1) 長方形周長為 ____。(2) 長方形面積為 ____。

梯形面積為

8 x^{2} + 2 x

，上底為

(5 x - 2)

，下底為

(3 x + 4)

，則高為 ____。

有三數比大小，

A

為

1.5

，

B

為

1. 5^{2}

，

C

為

1.5

，則三數由大排到小為何？答：____。

已知

6 x^{2} - 7 x + m

可以被

2 x - 3

整除，則

m =

____。

已知多項式

B

除以

x - 1

得商式為

x + 5

，餘式為

8

，如果改將多項式

B

除以

x + 1

，則餘式為 ____。

如圖，花圃是由四塊長為

3 x

，寬為

2

的長方形草地（斜線部分）所圍成的，則花圃（空白部分）的面積為 ____。（以

x

的多項式表示）

載入中...

求小於

(30.05)^{2}

的最大正整數為 ____。

有一區農地價格如下：面積

x

平方公尺售價為

x

萬元。買家甲預算為

200 \sim 300

萬元，買家乙為

100 \sim 200

萬元，買家丙為

150 \sim 250

萬元，買家丁為

250 \sim 350

萬元。若最近有一塊農地面積

50000

平方公尺出售，則滿足個人預算的買家有哪些人？（全對才給分）答：____。

三、計算題（無計算過程不給分，每題 4 分，滿分 12 分）（本頁第 20～22 題依序為原卷計算題 1～3）

下圖的每一個角都是直角，則下圖的面積為多少？

載入中...

有一多項式

2 x^{2} + x + 3

，除以多項式

B

得到商式為

(x - 1)

，餘式為

6

，則多項式

B

為何？

計算

(x^{2} - 5 x + 1) - [(x^{2} - 2 x + 1) - (3 x^{2} - 4)]

。（本題過程完整正確才給分，否則不予計分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(D)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(B)

第 7 題(A)

第 8 題(C)

第 9 題(B)

第 10 題(C)

第 11 題(1)

0.0001

(2)

10201

(3)

\frac{47}{50}

第 12 題(1)

14 x - 10

(2)

12 x^{2} - 13 x - 14

第 13 題

2 x

第 14 題

B > A > C

第 15 題

- 3

第 16 題

0

第 17 題

9 x^{2} - 12 x + 4

第 18 題

903

第 19 題甲、丙

第 20 題

16 y + 3

第 21 題

2 x + 3

第 22 題

3 x^{2} - 3 x - 4

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇 1、4、7：多項式的項與加減

第 1 題答案 (C)。先照降冪排列：

6 x + 7 x^{2} - 2 = 7 x^{2} + 6 x - 2

。

x^{2}

項是

7 x^{2}

，係數是

7

，(A) 對。

x

項是

6 x

，係數是

6

，(B) 對。常數項要連前面的符號一起看，是

- 2

，所以 (D) 對，(C) 錯。

係數和常數項都要帶著前面的正負號。

第 4 題答案 (D)。(A)

3 x - x = (3 - 1) x = 2 x

，不是

3

。(B) 同類項相加只加係數，次數不變：

2 x^{2} + 2 x^{2} = 4 x^{2}

，不是

4 x^{4}

。(C) 先乘後加：

x + x \times x = x + x^{2}

；

x

和

x^{2}

不是同類項，不能再合併，不是

2 x^{2}

。(D)

4 x^{3} \div x^{3} = 4

，正確。

同類項相加減時次數不變；相乘時次數才會相加。

第 7 題答案 (A)。被減式減去

A

等於差，所以

A

等於被減式減去差：

A = (x^{2} - x + 2) - (- x^{2} + x - 2)

。去括號時減號後面每一項都變號：

A = x^{2} - x + 2 + x^{2} - x + 2

。合併同類項：

A = 2 x^{2} - 2 x + 4

。

驗算：

(x^{2} - x + 2) - (2 x^{2} - 2 x + 4) = - x^{2} + x - 2

，和題目相同。

係數帶符號看；去括號遇到減號，每一項都要變號。

02選擇 2、3、5：乘法公式

第 2 題答案 (D)。大長方形被一條橫線和一條直線分成四塊，同一列的兩塊寬相同，同一行的兩塊長相同。上列：

35 = 5 \times 7

，

55 = 5 \times 11

，共同的邊是

5

。下列：

21 = 3 \times 7

，

33 = 3 \times 11

，共同的邊是

3

。左行兩塊共同的邊是

7

，右行兩塊共同的邊是

11

。所以大長方形的一邊是

5 + 3

，另一邊是

7 + 11

，面積是

(5 + 3) (7 + 11)

。

驗算：

(5 + 3) (7 + 11) = 8 \times 18 = 144

，而

35 + 55 + 21 + 33 = 144

。其他三個選項乘出來分別是

168

、

160

、

168

，都不等於

144

。

第 3 題答案 (D)。(A)

393 = 400 - 7

，

407 = 400 + 7

，所以

393 \times 407 = 40 0^{2} - 7^{2}

，不是

30 0^{2} - 3^{2}

。(B)

9 \frac{1}{3} = 9 + \frac{1}{3}

，

(9 + \frac{1}{3})^{2} = 9^{2} + 2 \times 9 \times \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2}

，少了中間的

2 \times 9 \times \frac{1}{3} = 6

。(C)

(14 - 0.1)^{2} = 1 4^{2} - 2 \times 14 \times 0.1 + (0.1)^{2}

，等號右邊少了中間項，最後一項的符號也不對。(D)

1996 = 2000 - 4

，

(2000 - 4)^{2} = 200 0^{2} - 2 \times 2000 \times 4 + 4^{2}

，正確。

和的平方、差的平方展開後都有三項，中間那一項是兩數乘積的

2

倍。

第 5 題答案 (A)。用平方差公式：

101 4^{2} - 100 0^{2} = (1014 + 1000) (1014 - 1000) = 2014 \times 14

。

2014 = 2 \times 1007

，所以原式

= 1007 \times 2 \times 14 = 1007 \times 28

，是

1007

的倍數。再看其他選項：原式

= 28196

。

28196 \div 101 = 279

餘

17

；

28196 \div 17 = 1658

餘

10

；

28196

的末兩位是

96

，不是

100

的倍數。所以只有 (A)。

看到兩個平方相減，先用平方差公式拆成「和×差」。

03選擇 6、10：平方根

第 6 題答案 (B)。(A)

6

是平方後等於

6

的正數，所以

(6)^{2} = 6

，對。(B)

(- 3)^{2} = 9

，

9 = 3

；根號代表正的平方根，結果不會是負數，所以

(- 3)^{2} = 3

，不是

- 3

，錯。(C)

0. 5^{2} = 0.25

，所以

0.25 = 0.5

，對。(D)

- 4 = - 2

，

(- 2)^{2} = 4

，對。

a

一定不是負數。

第 10 題答案 (C)。(A)

7

是正數，在原點右邊，對。(B)

2. 5^{2} = 6.25 < 7 < 9 = 3^{2}

，所以

2.5 < 7 < 3

，離

3

比離

2

近，最接近的整數是

3

，對。(C)

7

的負平方根寫成

- 7

，負號在根號外面；

- 7

是把

- 7

開根號，而負數沒有平方根，兩者不同，錯。(D)

6 < 7 < 8

，所以

6 < 7 < 8

。取近似值

6 \approx 2.449

、

7 \approx 2.646

、

8 \approx 2.828

：

7 - 6 \approx 0.197

，

8 - 7 \approx 0.182

，離

8

比較近，對。

- 7

和

- 7

只差在負號的位置，意思完全不同。

根號的結果不是負數；負號在根號外面才是負平方根。

04選擇 8、9：整除與次數

第 8 題答案 (C)。被

x

整除，就是每一項都能被

x

除盡，也就是沒有常數項。(A) 常數項

5

。(B) 常數項

6

。(D) 常數項

1

。這三個除以

x

都會有餘式。(C)

x^{2} + 24 x = x (x + 24)

，除以

x

的商式是

x + 24

，餘式是

0

，可以整除。

第 9 題答案 (B)。從

(1 + x)

到

(10 + x)

一共有

10

個括號相乘。次數最高的項是每個括號都取

x

相乘：

x \times x \times \dots \times x

（

10

個）

= x^{10}

，所以展開後是十次多項式。

次數看的是

x

的最高次方，和括號裡的常數

1

、

2

、…、

10

無關；

1 + 2 + \dots + 10 = 55

是把常數加起來，不是次數。

05填充 1、7、8（第 11、17、18 題）：乘法公式的應用

第 11 題(1)

4 \times 1.99 = 2 \times 1.99 \times 2

，

4 = 2^{2}

，所以原式

= (1.99)^{2} - 2 \times 1.99 \times 2 + 2^{2} = (1.99 - 2)^{2} = (- 0.01)^{2} = 0.0001

。(2)

10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10 0^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201

。(3) 分子用平方差公式：

9 7^{2} - 3^{2} = (97 + 3) (97 - 3) = 100 \times 94

。分母用和的平方公式：

9 7^{2} + 2 \times 3 \times 97 + 3^{2} = (97 + 3)^{2} = 100 \times 100

。所以原式

= \frac{100 \times 94}{100 \times 100} = \frac{94}{100} = \frac{47}{50}

。

(1) 的

- 0.01

平方後是正的

0.0001

。(3) 的答案要約到最簡分數。

第 17 題四塊草地繞成一個大正方形的外框。看圖的左邊：一塊草地的長

3 x

，上面再接另一塊草地的寬

2

，所以大正方形的邊長是

3 x + 2

。中間的花圃也是正方形，它的邊長是大正方形的邊長扣掉左、右各一個寬

2

：

(3 x + 2) - 2 - 2 = 3 x - 2

。花圃面積

= (3 x - 2)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4

。

另一種算法：大正方形面積減四塊草地，

(3 x + 2)^{2} - 4 \times (3 x \times 2) = 9 x^{2} + 12 x + 4 - 24 x = 9 x^{2} - 12 x + 4

，結果相同。

第 18 題

(30.05)^{2} = (30 + 0.05)^{2} = 3 0^{2} + 2 \times 30 \times 0.05 + (0.05)^{2} = 900 + 3 + 0.0025 = 903.0025

。小於

903.0025

的最大正整數是

903

。

數字靠近整十、整百時，拆成和或差再套公式。

06填充 2、3、5、6（第 12、13、15、16 題）：多項式的乘除

第 12 題(1) 周長

= 2 \times (長 + 寬) = 2 \times [(3 x + 2) + (4 x - 7)] = 2 \times (7 x - 5) = 14 x - 10

。(2) 面積

= 長 \times 寬 = (3 x + 2) (4 x - 7) = 12 x^{2} - 21 x + 8 x - 14 = 12 x^{2} - 13 x - 14

。

第 13 題梯形面積

= (上底 + 下底) \times 高 \div 2

。上底加下底：

(5 x - 2) + (3 x + 4) = 8 x + 2

。所以

(8 x + 2) \times 高 \div 2 = 8 x^{2} + 2 x

，兩邊同乘以

2

得

(8 x + 2) \times 高 = 16 x^{2} + 4 x

。高

= (16 x^{2} + 4 x) \div (8 x + 2)

。因為

2 x \times (8 x + 2) = 16 x^{2} + 4 x

，所以高

= 2 x

。

面積先乘以

2

再除以上下底的和，不要漏掉乘以

2

。

第 15 題用長除法。第一步：

6 x^{2} \div 2 x = 3 x

，

3 x \times (2 x - 3) = 6 x^{2} - 9 x

，相減得

(6 x^{2} - 7 x) - (6 x^{2} - 9 x) = 2 x

，帶下

m

成為

2 x + m

。第二步：

2 x \div 2 x = 1

，

1 \times (2 x - 3) = 2 x - 3

，相減得

(2 x + m) - (2 x - 3) = m + 3

。商式是

3 x + 1

，餘式是

m + 3

。整除表示餘式為

0

，所以

m + 3 = 0

，

m = - 3

。

驗算：

(2 x - 3) (3 x + 1) = 6 x^{2} + 2 x - 9 x - 3 = 6 x^{2} - 7 x - 3

。

第 16 題先還原

B

：被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式，所以

B = (x - 1) (x + 5) + 8 = x^{2} + 5 x - x - 5 + 8 = x^{2} + 4 x + 3

。再把

B

除以

x + 1

：第一步

x^{2} \div x = x

，

x \times (x + 1) = x^{2} + x

，相減得

3 x

，帶下

3

成為

3 x + 3

。第二步

3 x \div x = 3

，

3 \times (x + 1) = 3 x + 3

，相減得

0

。商式是

x + 3

，餘式是

0

。

被除式＝除式×商式＋餘式；整除就是餘式等於 0。

07填充 4、9（第 14、19 題）：平方根的大小與估算

第 14 題

B = 1. 5^{2} = 2.25

，比

A = 1.5

大。再看

C = 1.5

：因為

1^{2} = 1 < 1.5 < 2.25 = 1. 5^{2}

，所以

1 < 1.5 < 1.5

，也就是

C

比

A

小。由大排到小是

B > A > C

。

比

1

大的正數，平方後變大、開根號後變小。題目要求由大排到小，原卷參考答案註明順序不可對調。

第 19 題面積

50000

平方公尺，售價是

50000

萬元。用平方數來夾：

20 0^{2} = 40000

，

25 0^{2} = 62500

，而

40000 < 50000 < 62500

，所以

200 < 50000 < 250

。售價在

200

萬元和

250

萬元之間。甲的預算

200 \sim 300

萬元：在範圍內。乙

100 \sim 200

萬元：售價超過

200

萬元，不在範圍內。丙

150 \sim 250

萬元：在範圍內。丁

250 \sim 350

萬元：售價不到

250

萬元，不在範圍內。答：甲、丙。

再夾細一點：

22 3^{2} = 49729

，

22 4^{2} = 50176

，所以售價大約

223

多萬元。

估根號的大小，找前後兩個算得出來的平方數把它夾住。

08計算 1～3（第 20～22 題）

第 20 題把圖形補成一個大長方形，再扣掉缺的兩塊。大長方形的寬：看下面，

(y + 1) + 2 y = 3 y + 1

。大長方形的高：看右邊，

3 + 5 = 8

。大長方形面積

= 8 (3 y + 1) = 24 y + 8

。右上角缺的一塊：高

3

，寬是全寬扣掉上邊的

y

，即

(3 y + 1) - y = 2 y + 1

，面積

= 3 (2 y + 1) = 6 y + 3

。左下角缺的一塊：寬

y + 1

，高

2

，面積

= 2 (y + 1) = 2 y + 2

。所求面積

= (24 y + 8) - (6 y + 3) - (2 y + 2) = 24 y + 8 - 6 y - 3 - 2 y - 2 = 16 y + 3

。

也可以橫切成三個長方形相加：上面

y \times 3

，中間

(3 y + 1) \times 3

，下面

2 y \times 2

，合計

3 y + 9 y + 3 + 4 y = 16 y + 3

，結果相同。

第 21 題被除式

=

除式

\times

商式

+

餘式，所以

2 x^{2} + x + 3 = B \times (x - 1) + 6

。兩邊同減

6

：

B \times (x - 1) = 2 x^{2} + x - 3

。所以

B = (2 x^{2} + x - 3) \div (x - 1)

。長除法：第一步

2 x^{2} \div x = 2 x

，

2 x \times (x - 1) = 2 x^{2} - 2 x

，相減得

3 x

，帶下

- 3

成為

3 x - 3

。第二步

3 x \div x = 3

，

3 \times (x - 1) = 3 x - 3

，相減得

0

。所以

B = 2 x + 3

。

驗算：

(2 x + 3) (x - 1) + 6 = 2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3 + 6 = 2 x^{2} + x + 3

。

第 22 題先算中括號裡面：

(x^{2} - 2 x + 1) - (3 x^{2} - 4) = x^{2} - 2 x + 1 - 3 x^{2} + 4 = - 2 x^{2} - 2 x + 5

。再算外面：

(x^{2} - 5 x + 1) - (- 2 x^{2} - 2 x + 5) = x^{2} - 5 x + 1 + 2 x^{2} + 2 x - 5

。合併同類項：

= 3 x^{2} - 3 x - 4

。

有兩層括號時由內往外算；每次去掉減號後面的括號，括號裡每一項都要變號。

不規則的直角圖形，補成大長方形再扣掉，或切成幾個長方形相加。

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01選擇 1、4、7：多項式的項與加減

02選擇 2、3、5：乘法公式

03選擇 6、10：平方根

04選擇 8、9：整除與次數

05填充 1、7、8（第 11、17、18 題）：乘法公式的應用

06填充 2、3、5、6（第 12、13、15、16 題）：多項式的乘除

07填充 4、9（第 14、19 題）：平方根的大小與估算

08計算 1～3（第 20～22 題）

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國二第一次段考
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